逻辑函数的卡诺图化简法
知识点3.卡诺图化简法
相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。
逻辑函数的卡诺图化简法
[例]已知:真值表如下,写出 已知:真值表如下, 该逻辑函数和其反函数的标 准与或式 解:由题可知: 由题可知:
F = XY Z + XY Z + XY Z + XYZ
= m0 + m2 + m5 + m7
= ∑ ( 0 ,2 ,5 ,7 ) m
∴ F =
QF + F = 1
∑ m (1, 3 , 4 , 6 )
例如 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 1 1 8 个相邻项合并消去 3 个变量 A ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD +ABCD+ABCD =ACD +ACD =AD
2 个相邻项合并消去 4 个变量， 个相邻项合并消去 个变量， 1 个变量，化简结果 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。 化简结果为相同变量相与。 为相同变量相与。 为相同变量相与。
3. 已知一般表达式画函数卡诺图 的卡诺图。 [例] 已知 Y = AD + AB ( C + BD ) ，试画出 Y 的卡诺图。 解：(1) 将逻辑式转化为与或式 ) (2) 作变量卡诺图 ) Y = AD + AB + (C + BD ) (3) 根据与或式填图 ) = AD + AB + CBD CD 00 01 11 10 AB 1 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1
[例 ]
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
合并最小项 三个圈最小项分别为： 三个圈最小项分别为：
逻辑函数的卡诺图法化简
精品课件
26
输入变量ABC取值为001、010、100时，
逻辑函数Y有确定的值，根据题意，有任一命令（正 转、反转和停止）时为1，否则为0。
反变 函换 数为
CD BD
CD
AB
00 01 11 10
Y AB AC BD CD AB
00 1
0
1
1
01 1
0
0
1
11 0
0
0
0
10 0
0
1
1
AC
精品课件
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4、卡诺图的性质
（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
AB C
但是，若 F= ABCD+ABC+BC+ABC ，显然，该函数式
难于找到相邻项。
精品课件
1
2.4.2 逻辑函数的标准式——最小项表达 式
问题的提出：逻辑函数 F= ABC+ABC ，之所以易于看出它们 的乘积项是逻辑相邻项，是因为它们的每一个乘积项中都包 含了所有的变量。而F= ABCD+ABC+BC+ABC，每个乘积项没有 包含所有的变量，所以逻辑相邻关系不直观。于是引入了最 小项的概念。
15
AB CD
00 01 11 10
00 0
1
1
0
01 1 0 0 1
11 1
0
0
1 ＡＤ
10 0 1 1 0
ＢＤ
AB CD
00 01 11 10
00 1
0
0
1
01 0
1
1
0
11 0
逻辑函数的卡诺图化简法
① 3变量的卡诺图 有23个小方块；
相邻 相邻
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
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不 相邻
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。
A因BB此C是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
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最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
表1-17 三变量最小项真值表
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（2）最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它 的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；
②任意两个不同的最小项之积恒为0； ③变量全部最小项之和恒为1。
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最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小 项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的 那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十 进制数，就是该最小项的编号。
ABC ABC AC
(A B)C ABC AC
AC BC ABC AC
（2） 根据与或表达式画出卡诺图，如下
图所示。
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BC
A
00 01 11 10
0
11 1
逻辑函数的卡诺图化简法
逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。
但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。
运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。
但首先需要了解最小项的概念。
一、最小项的定义及其性质1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n ＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。
由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
3.最小项的编号最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。
以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。
下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。
例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。
6.逻辑函数的卡诺图化简法(数字系)
B
0
1
0 1
1 0 1 1
1
1
1 1
1
0
0
1
输出变量Y的值
例2：三输入变量
A 0 0 0 0 1 1 1 1
Y1 B C Z 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1
Y ABC ABC ABC
BC 00 A 0 0 1 01 11 10
10
0 1
ABC ABC BC
1 1
ABC
0
该方框中逻辑函数的取值与变量A无关，当 B=1、C=1时取“1”。
化简过程： BC 00 A 0 0 BC 01
0 0
11
1 1
10
0 1
1
0
AB
F=AB+BC
卡诺图适用于输入变量为3、4个的逻辑代数式的 化简；化简过程比公式法简单直观。
利用卡诺图化简的规则
例2：化简
CD 00 AB 00 1
01
01 11 10
1 1 0 1
1 1 0 1
1 1 1 1
FA
1 1 1
FD
11 10
FB
F A B D
例2：解二
CD 00 AB 00 1
01 11 10
01 11 10
1 1 0 1
1 1 0 1
1 1 1 1
ABD
1 1 1
F ABD A+B+D
A 0 0 0 0 1 1 1 1
Z1 B C 编号 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 2 0 1 1 1 3 0 0 0 4 1 0 1 0 5 1 0 1 6 7 1 1 1
卡诺图化简法
m 0 m 1 m 2 m 3 m 7
m (0,1,2,3,7)
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第6章
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➢ 已知真值表，写出函数的最小项之和的形式
如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最 小项相加，便是函数的最小项表达式。
ABC Y
000 0 001 1 010 1 011 1 100 0 101 1 110 0 111 0
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再如：
AC
BD
ABCDABCDABCDABCD ACD(BB)ACD(BB) CD(AA)CD
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BD
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性质3：卡诺图中八个相邻1格的最小项可以合并成一个与项， 并 消去三个变量。
综上所述，在 n 个变量卡诺图中，若有2k个1格相邻（k为
0，1，2…，n）, 它们可以圈在一起加以合并，合并时可消去
相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个变 量。如：
m 0 m 2 A B C A B C A ( B B ) C A C
第6章
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2.卡诺图
◆ 基本知识
卡诺图是由美国工程师卡诺（Karnaugh）首先提出的一种 用来描述逻辑函数的特殊方格图。
在这个方格图中，每一个方格代表逻辑函数的一个最小项， 而且几何相邻（在几何位置上，上下或左右相邻）的小方格具 有逻辑相邻性，即两相邻小方格所代表的最小项只有一个变量 取值不同。
的最简与或表达式
解：1画出函数F 的卡诺图。对于在函数 F 的标准与或表达式中出现
的那些最小项，在其卡诺图的对应小方格中填上1，其余方格不填；
2合并最小项。把图中所有的1格都圈起来，相邻且能够合并在 一起的1 格圈在一个大圈中； 3写出最简与或表达式。对卡诺图中所画每一个圈进行合并，保 留相同的变量，去掉互反的变量。
卡诺图化简逻辑表达式
卡诺图对于大规模逻辑电路的优化效果有限
随着逻辑电路规模的增大，卡诺图的化简过程变得复杂且耗时，难以在实际工程 中应用。
对于大规模逻辑电路，可能需要采用其他优化方法，如布尔代数、门级优化等， 以获得更好的优化效果。
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卡诺图化简逻辑表达式
• 卡诺图简介 • 卡诺图化简逻辑表达式的方法 • 卡诺图化简逻辑表达式的实例 • 卡诺图与其他化简方法的比较 • 卡诺图的局限性
01
卡诺图简介
卡诺图的定义
• 定义：卡诺图是一种用于表示二进制逻辑函数关系的图形表示 法，通过将逻辑函数输入变量的所有可能取值组合在网格中表 示出来，可以直观地观察到函数的最简形式。
卡诺图与布尔代数化简的比较
布尔代数化简
通过使用逻辑运算（与、或、非）的代数性质，如吸收律、分配律等，对逻辑表达式进 行简化。这种方法需要一定的数学基础，但在处理复杂逻辑表达式时可能较为繁琐。
卡诺图化简
利用图形直观地表示输入变量的所有可能组合，通过排除法简化逻辑表达式。卡诺图化 简简单易懂，不需要复杂的数学运算，特别适合初学者和解决多变量逻辑表达式的化简
问题。
卡诺图与公式化简的比较
公式化简
通过逻辑运算的公式和定理，对逻辑表达式 进行简化。这种方法需要熟练掌握各种逻辑 公式和定理，对于初学者有一定的难度。
卡诺图化简
利用图形化的方式表示输入变量的所有可能 组合，通过排除法简化逻辑表达式。卡诺图 化简直观、易于操作，不需要复杂的公式和 定理，特别适合初学者和解决多变量逻辑表 达式的化简问题。
05
卡诺图的局限性
卡诺图适用范围有限
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第十章 数字逻辑基础
补充：逻辑函数的卡诺图化简法
1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图。
优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。
缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。
公式化简法优点：变量个数不受限制
缺点：结果是否最简有时不易判断。
2．最小项（1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的
形式出现一次。
注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。
如：Y=F （A ，B ） （2个变量共有4个最小项 ）
B A
B A B A AB Y=F （A ，B ，
C ） （3个变量共有8个最小项
C B A C B A C B A BC A ）
C B A C B A C AB ABC 结论：n 变量共有2n 个最小项。
三变量最小项真值表
（2）最小项的性质
①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1：②任意两个最小项的乘种为零；③全体最小项之和为1。
（3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的
h i n
g s
n
十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。
3．最小项表达式——标准与或式
任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。
而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(+C)+BC(+A)+CA(+B)
C A B =ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC
C B A BC A C AB +++ =3
567m m m m +++例2.写出下列函数的标准与或式：C
B AD AB Y ++=解：))()(
C B
D A B A Y +++=（ )
)((C B D B A ++= D
C B C A B A B A +++= D
C B A
D C B A C B A C B A BC A ++++= D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A D BC A BCD A ++++++=_ 8014567m m m m m m m ++++++= ＝）
8,7,6,5,4,1,0(m ∑列真值表写最小项表达式。
4．卡诺图
（1）．卡诺图及其画法：把最小项按照一定规则排列而构成的方格图。
（2）.构成卡诺图的原则：
①N 变量的卡诺图有2n 个小方块（最小项）②最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻
逻辑相邻：只有一个变量取值不同其余变量均相同。
逻辑相邻的最小项
可以合并。
几何相邻：一是相邻——紧挨的
二是相对——任一行或一列的两头
三是相重——对折起来后位置相重
两个相邻最小项可以相加合并为一项，同时消去互反变量，合并结果为相同变量。
（3）．二变量卡诺图：对应四个最小项
（4）．三变量卡诺图：将八个最小项按照逻辑相邻性填入对应的小方格。
注意：逻辑相邻的两个相邻最小项只有一个变量不同，其它都相同。
（5）四变量卡诺图
对于五变量及以上的卡诺图，由于很复杂，在逻辑函数的化简中很少使用。
5．变量卡诺图中最小项合并的规律
（1）两个相邻最小项合并可以消去一个因子
（2）四个相邻最小项合并可以消去两个因子
（3）八个相邻最小项合并可以消去三个因子
6．逻辑函数的卡诺图
（1）逻辑函数的卡诺图的画法
①根据函数的变量个数画出相应的变量卡诺图。
②在函数每一个乘积项所包含的最小项处都填1，其余位置填0或不填。
（2）逻辑函数卡诺图的特点
优点：用几何位置的相邻，形象地表达了构成函数的各个最小项在逻辑上的
相邻性。
缺点：当函数变量多于五个时，画图十分麻烦，其优点不复存在，无实用价值。
（3）举例：1．D B A C B A Y +=2．D
C AB B A Y ++=3．C
B A D
C A C B C
D B Y +++
=4.利用图形法化简函数∑=m D C B A F )
15,13,12,8,6,5,4,1(),,,(
g s
5.利用图形法化简函数∑=m F )
15,4,111,10,8,43,2,10(，，，6.利用图形法化简函数C
B A D
C A C B C
D B Y +++=7. 试写出的标准与-或式，并画出卡诺图。
D C BC C B A Y ++=
（三）、用卡诺图化简逻辑函数
步骤：①画卡诺图②正确圈组③写最简与或表达式
（四）、具有无关项的逻辑函数的化简
（一）
、逻辑函数中的无关项
用“×”（或“d” ）表示
利用无关项化简原则：
①、无关项即可看作“1”也可看作“0”。
②、卡诺图中，圈组内的“×”视为“1”，圈组外的视为“0”。
例2. 5. 6 为8421BCD码，当其代表的十进制数≥5时，输出为“1”，求Y的最简表达式。
（用于间断输入是否大于5）
解：先列真值表，再画卡诺图。