2017-2018学年江苏省南京市玄武区七年级期末数学试卷

2017-2018学年江苏省南京市玄武区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列运算正确的是（）A．a2⋅a3＝a6B．（ab）2＝a2b2C．（a2）3＝a5D．a6÷a2＝a32．（2分）若x＞y，则下列式子中错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．＞C．x+3＞y+3 D．﹣3x＞﹣3y 3．（2分）每年四月北京很多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰．据测定，杨絮纤维的直径约为0.000 010 5米，将0.000 010 5用科学记数法可表示为（）A．1.05×105B．1.05×10﹣5C．0.105×10﹣4D．10.5×10﹣6 4．（2分）一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的内角和为（）A．360°B．1440°C．1080°D．720°5．（2分）如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5；④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3，其中能判断直线l1∥l2的有（）A．5 个B．4 个C．3 个D．2 个6．（2分）如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b的值为（）A．﹣1 B．2 C．1 D．0二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）命题“对顶角相等”的逆命题是．8．（2分）若a m＝8，a n＝2，则a m﹣n＝．9．（2分）如图，木工用图中的角尺画平行线的依据是．10．（2分）如图，把等腰直角三角尺与直尺重叠，则∠1+∠2＝．11．（2分）计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝．12．（2分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A＝25°，∠BDA'＝90°，则∠A'EC＝．13．（2分）如果4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，则m＝．14．（2分）若不等式x＜a只有5个正整数解，则a的取值范围．15．（2分）如图，AD是△ABC的角分平线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为．16．（2分）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，则整数p的值为．三、解答题（本大题共68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算：（1）（2a﹣3）（3a+2）（2）﹣22×2﹣1﹣（3﹣x）018．（8分）分解因式：（1）（a﹣b）x2﹣（a﹣b）（2）﹣12a2+12a﹣319．（4分）已知x与2y互为相反数，且2x+y＝3，求x、y的值．20．（7分）（1）解不等式﹣1（2）解不等式，并将解集在数轴上表示．21．（4分）如图，10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，小正方形的顶点叫格点，已知点A、B、C都是格点，将△ABC向右平移4个单位后得到△A1B1C1．请在图中画出△A1B1C1及其中线C1D1，此时△B1C1D1的面积为．22．（8分）某景点的门票价格，成人票每张是12元，儿童票每张是8元，（1）若小明买了20张该景点的门票，共花了216元．根据题意，小莉、小刚两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：小莉：小刚：根据两名同学所列的方程组，请你分别写出未知数x、y表示的实际意义．小莉：x表示，y表示；小刚：x表示，y表示；（2）某旅游团计划购买30张该景点的门票，购买费用不超过320元，求成人票最多购买多少张？23．（6分）如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上．点G在CA的延长线上，EG 交AB于点F，∠AFG＝∠G，求证：GE∥AD．24．（6分）学习了乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2后，老师向同学们提出了如下问题：①将多项式x2+4x+3因式分解；②求多项式x2+4x+3的最小值．请你运用上述的方法解决下列问题：（1）将多项式x2+6x﹣16因式分解；（2）求多项式﹣x2+6x﹣16的最大值．25．（8分）在△ABC中，∠BAC＝α°，BD、CE是△ABC的高，BD、CE所在直线交于点O（点O与A、B、C都不重合），根据题意画出图形，并求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．26．（10分）【阅读•领会】怎样判断两条直线否平行？如图①，很难看出直线a、b是否平行，可添加“第三条线”（截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【实践•体悟】（1）计算，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．（2）如图②，已知∠C+∠E＝∠EAB，求证AB∥CD，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．【创造•突破】（3）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为．（4）如图③，∠A1＝∠A5＝120°，∠A2＝∠A4＝70°，∠A6＝∠A8＝90°，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角∠A3＝270°，则优角∠A7＝．2017-2018学年江苏省南京市玄武区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列运算正确的是（）A．a2⋅a3＝a6B．（ab）2＝a2b2C．（a2）3＝a5D．a6÷a2＝a3【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a2⋅a3＝a5，故此选项错误；B、（ab）2＝a2b2，正确；C、（a2）3＝a6，故此选项错误；D、a6÷a2＝a4，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算和积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．（2分）若x＞y，则下列式子中错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3B．＞C．x+3＞y+3D．﹣3x＞﹣3y 【分析】根据不等式的基本性质，进行判断即可．【解答】解：A、根据不等式的性质1，可得x﹣3＞y﹣3，故A选项正确；B、根据不等式的性质2，可得＞，故B选项正确；C、根据不等式的性质1，可得x+3＞y+3，故C选项正确；D、根据不等式的性质3，可得﹣3x＜﹣3y，故D选项错误；故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．（2分）每年四月北京很多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰．据测定，杨絮纤维的直径约为0.000 010 5米，将0.000 010 5用科学记数法可表示为（）A．1.05×105B．1.05×10﹣5C．0.105×10﹣4D．10.5×10﹣6【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 010 5＝1.05×10﹣5．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．（2分）一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的内角和为（）A．360°B．1440°C．1080°D．720°【分析】根据n边的外角和为360°可得到这个多边形的边数＝＝8，然后根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°即可求得8边形的内角和．【解答】解：∵多边形的每个外角都是45°，∴这个多边形的边数＝＝8，∴这个多边形的内角和＝（8﹣2）×180°＝1080°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边的外角和为360°．5．（2分）如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5；④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3，其中能判断直线l1∥l2的有（）A．5 个B．4 个C．3 个D．2 个【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本小题正确；②∵∠2+∠4＝180°，∴l1∥l2，故本小题正确；③∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本小题正确；④∵∠2＝∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误；⑤∵∠6＝∠2+∠3，∴l1∥l2，故本小题正确．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．6．（2分）如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b的值为（）A．﹣1B．2C．1D．0【分析】把代入方程组，即可得到一个关于a，b的方程组，即可求解．【解答】解：把代入方程组，得：，方程左右两边相加，得：7（a+b）＝7，则a+b＝1．故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组的解的定义，理解定义是关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角．【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．故答案为相等的角为对顶角．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．8．（2分）若a m＝8，a n＝2，则a m﹣n＝4．【分析】根据同底数幂的除法法则求解．【解答】解：a m﹣n＝＝8÷2＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了同底数幂的除法，解答本题的关键是掌握同底数幂的除法法则．9．（2分）如图，木工用图中的角尺画平行线的依据是在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行．【分析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行【解答】解：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行，故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键10．（2分）如图，把等腰直角三角尺与直尺重叠，则∠1+∠2＝90°．【分析】如图，延长GF交CD于H．由题意∠3+∠4＝90°，只要证明∠1＝∠4，∠2＝∠3即可解决问题；【解答】解：如图，延长GF交CD于H．∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∵∠EFG＝∠EFH＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∵∠1＝∠4，∠3＝∠2，∴∠1+∠2＝90°，故答案为90°．【点评】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．（2分）计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝7．【分析】将所求式子利用完全平方公式变形后，把a+b与ab的值代入即可求出值．【解答】解：∵a+b＝3，ab＝1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2＝9﹣2＝7．故答案为：7【点评】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．（2分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A＝25°，∠BDA'＝90°，则∠A'EC＝40°．【分析】如图，利用折叠性质得∠ADE＝∠A′DE＝45°，∠AED＝∠A′ED，再根据三角形外角性质得∠CED＝70°，利用邻补角得到∠AED＝110°，则∠A′ED＝110°，然后利用∠A′EC＝∠A′ED﹣∠CED进行计算即可．【解答】解：如图，∵∠BDA'＝90°，∴∠ADA'＝90°，∵△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，∴∠ADE＝∠A′DE＝45°，∠AED＝∠A′ED，∵∠CED＝∠A+∠ADE＝25°+45°＝70°，∴∠AED＝110°，∴∠A′ED＝110°，∴∠A′EC＝∠A′ED﹣∠CED＝110°﹣70°＝40°．故答案为40°．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．13．（2分）如果4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，则m＝±12．【分析】这里首末两项是2x和3y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3y 积的2倍．【解答】解：∵4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，∴﹣mxy＝±2×2x×3y，∴m＝±12．【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．14．（2分）若不等式x＜a只有5个正整数解，则a的取值范围5＜a≤6．【分析】根据题意可以得到a的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵不等式x＜a只有5个正整数解，∴a的取值范围是：5＜a≤6，故答案为：5＜a≤6．【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．15．（2分）如图，AD是△ABC的角分平线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为20°或60°．【分析】分两种情况进行讨论：当∠BFD＝90°时，当∠BDF＝90°时，分别依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠ADF的度数为20°或60°．【解答】解：如图所示，当∠BFD＝90°时，∵AD是△ABC的角分平线，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴Rt△ADF中，∠ADF＝60°；如图，当∠BDF＝90°时，同理可得∠BAD＝30°，∵CE是△ABC的高，∠BCE＝50°，∴∠BFD＝∠BCE＝50°，∴∠ADF＝∠BFD﹣∠BAD＝20°，综上所述，∠ADF的度数为20°或60°．故答案为：20°或60°．【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．16．（2分）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，则整数p的值为5或7．【分析】首先用含p的代数式分别表示x，y，再根据条件二元一次方程组的解为正整数，得到关于p的不等式组，求出p的取值范围，再根据p为整数确定p的值．【解答】解：，②×3得：3x+3y＝3p，③，①﹣③得：2x＝23﹣3p，x＝，②×5得：5x+5y＝5p，④，④﹣①得：2y＝5p﹣23，y＝，∵x，y是正整数，∴，解得：＜p＜，∵p为整数，∴p＝5，6，7，又∵x，y是正整数，∴p＝6时，不合题意舍去，∴p＝5或7．故答案为：5或7．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组和解不等式组，要注意的是x，y都为正整数，解出x，y关于p的式子，最终求出p的范围，即可知道整数p的值．三、解答题（本大题共68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算：（1）（2a﹣3）（3a+2）（2）﹣22×2﹣1﹣（3﹣x）0【分析】（1）根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可得；（2）先计算乘方、负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算减法即可得．【解答】解：（1）原式＝6a2+4a﹣9a﹣6＝6a2﹣5a﹣6；（2）原式＝﹣4×﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3．【点评】本题主要考查整式与实数的混合运算，解题的关键是掌握多项式乘多项式的法则及负整数指数幂和零指数幂的法则．18．（8分）分解因式：（1）（a﹣b）x2﹣（a﹣b）（2）﹣12a2+12a﹣3【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝（a﹣b）（x2﹣1）＝（a﹣b）（x+1）（x﹣1）；（2）原式＝﹣3（4a2﹣4a+1）＝﹣3（2a﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．（4分）已知x与2y互为相反数，且2x+y＝3，求x、y的值．【分析】因为x与2y互为相反数，所以有x+2y＝0，又2x+y＝3，所以可组成方程组，用适当的方法进行解答．【解答】解：由题意得：，解得：．【点评】本题考查了解二元一次方程组，相反数，利用只有符号不同的两个数互为相反数得出关于x的方程是解题关键．20．（7分）（1）解不等式﹣1（2）解不等式，并将解集在数轴上表示．【分析】（1）根据解不等式的基本步骤求解可得；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：（1）去分母，得：4（x+1）＜5（x﹣1）﹣6，去括号，得：4x+4＜5x﹣5﹣6，移项，得：4x﹣5x＜﹣5﹣6﹣4，合并同类项，得：﹣x＜﹣15，系数化为1，得：x＞15；（2）解不等式2x﹣1≥x，得：x≥1，解不等式4﹣5（x﹣2）＞8﹣2x，得：x＜2，∴不等式组的解集为1≤x＜2，将解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（4分）如图，10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，小正方形的顶点叫格点，已知点A、B、C都是格点，将△ABC向右平移4个单位后得到△A1B1C1．请在图中画出△A1B1C1及其中线C1D1，此时△B1C1D1的面积为6．【分析】直接利用平移的性质得出对应点位置进而利用中线的定义以及三角形面积求法得出答案．【解答】解：如图所示：△A1B1C1，中线C1D1，即为所求；此时△B1C1D1的面积为：×3×4＝6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．22．（8分）某景点的门票价格，成人票每张是12元，儿童票每张是8元，（1）若小明买了20张该景点的门票，共花了216元．根据题意，小莉、小刚两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：小莉：小刚：根据两名同学所列的方程组，请你分别写出未知数x、y表示的实际意义．小莉：x表示成人票的张数，y表示儿童票的张数；小刚：x表示买成人票一共花的钱数，y表示买儿童票一共花的钱数；（2）某旅游团计划购买30张该景点的门票，购买费用不超过320元，求成人票最多购买多少张？【分析】（1）根据两人各自列得方程组确定出x与y表示的意义即可；（2）设成人票购买了m张，则儿童票为（30﹣m）张，根据购买费用不超过320元列出不等式，求出不等式的解集即可确定出结果．【解答】解：（1）小莉：x表示成人票的张数；y表示儿童票的张数；小刚：x表示买成人票一共花的钱数；y表示买儿童票一共花的钱数；故答案为：成人票的张数；儿童票的张数；买成人票一共花的钱数；买儿童票一共花的钱数；（2）设成人票购买了m张，则儿童票为（30﹣m）张，根据题意得：12m+8（30﹣m）≤320，解得：m≤20，则成人票最多购买20张．【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题意是解本题的关键．23．（6分）如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上．点G在CA的延长线上，EG 交AB于点F，∠AFG＝∠G，求证：GE∥AD．【分析】首先根据角平分线的性质可得∠BAC＝2∠DAC，再根据三角形外角与内角的关系可得∠G+∠GF A＝∠BAC，又∠AFG＝∠G．进而得到∠BAC＝2∠G，从而得到∠DAC ＝∠G，即可判定出GE∥AD．【解答】证明：∵AD是∠CAB的平分线，∴∠BAC＝2∠DAC，∵∠G+∠GF A＝∠BAC，∠AFG＝∠G．∴∠BAC＝2∠G，∴∠DAC＝∠G，∴AD∥GE．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握三角形内角与外角的关系，以及平行线的判定定理．24．（6分）学习了乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2后，老师向同学们提出了如下问题：①将多项式x2+4x+3因式分解；②求多项式x2+4x+3的最小值．请你运用上述的方法解决下列问题：（1）将多项式x2+6x﹣16因式分解；（2）求多项式﹣x2+6x﹣16的最大值．【分析】（1）x2+6x加上9就可以用完全平方分解，然后再用平方差公式．（2）利用（a±b）2≥0，就可以解决【解答】解：（1）x2+6x﹣16＝x2+6x+9﹣9﹣16＝（x+3）2﹣25＝（x+3+5）（x+3﹣5）＝（x+8）（x﹣2）（2）由题意得：﹣x2+6x﹣16＝﹣（x2﹣6x+16）＝﹣（x2﹣6x+9﹣9+16）＝﹣（x﹣3）2﹣7∵（x﹣3）2≥0，∴﹣（x﹣3）2≤0，∴﹣（x﹣3）2﹣7≤﹣7，∴当x＝3时，﹣x2+6x﹣16的值最大，最大值为﹣7．【点评】本题关键是利用二次项系数和一次项系数的特殊性，加上一次项系数一半的平方，可以构成完全平方公式，同时要减去加上一次项系数一半的平方，使整式的值不变．25．（8分）在△ABC中，∠BAC＝α°，BD、CE是△ABC的高，BD、CE所在直线交于点O（点O与A、B、C都不重合），根据题意画出图形，并求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．【分析】分三种情况讨论：当∠BAC是锐角时，当∠BAC是钝角时，当∠BAC是直角时，分别依据三角形内角和定理以及四边形内角和，即可得到∠DOE的度数．【解答】解：当∠BAC是锐角时，①如图①，若△ABC是锐角三角形，∵BD，CE是高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴四边形ADOE中，∠DOE＝360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠ADO＝360°﹣α°﹣90°﹣90°＝180°﹣α°②如图②，若△ABC是钝角三角形，∠ABC＞90°，∵BD，CE是高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴∠A+∠ACE＝∠DOE+∠OCD＝90°，∴∠DOE＝∠A＝α°；（当∠ACB是钝角时，同理可得∠DOE＝∠A＝α°）当∠BAC是钝角时，如图3，∵BD，CE是高，∴∠BDO＝∠CEO＝90°，又∵∠BAC＝∠DAE＝α°，∴四边形ADOE中，∠DOE＝360°﹣∠AEO﹣∠ADO﹣∠DAE＝360°﹣90°﹣90°﹣α°＝180°﹣α°；当∠BAC是直角时，不合题意，舍去；综上所述，∠DOE的度数为α或180°﹣α°．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是画出图形分类讨论，利用三角形内角和是180°进行推算．26．（10分）【阅读•领会】怎样判断两条直线否平行？如图①，很难看出直线a、b是否平行，可添加“第三条线”（截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【实践•体悟】（1）计算，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．（2）如图②，已知∠C+∠E＝∠EAB，求证AB∥CD，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．【创造•突破】（3）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为．（4）如图③，∠A1＝∠A5＝120°，∠A2＝∠A4＝70°，∠A6＝∠A8＝90°，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角∠A3＝270°，则优角∠A7＝250°．【分析】（1）设a＝，将式子进行变形，即可求解；（2）延长BA交CE于点F，利用平行线的判定定理可得出结论；（3）把代入方程组得到不含x，y的方程组，通过与方程组比较便可得到答案；（4）连接A3、A7，分成两个五边形，利用多边形的内角和进行求解即可得到答案．【解答】解：（1）设a＝，原式＝（2+a）（a+）﹣a（2+a+）＝；（2）延长BA交CE于点F，如图所示：∵∠EAB是∠EF A的外角，∴∠EAB＝∠E+∠EF A，又∵∠EAB＝∠E+∠C，∴∠EF A＝∠C，∴AB∥CD；（3）把代入方程组得：，与方程组比较得：，方程组的解为：；（4）连接A3、A7，分成两个五边形，如图所示：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，两个五边形的内角和为1080°，∠A7＝两个五边形的内角和﹣2∠A1﹣2∠A2﹣2∠A6﹣∠A3＝1080°﹣2×120°﹣2×70°﹣2×90°﹣270°＝250°，故答案为：250°．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，平行线的性质与判断，解二元一次方程组，多边形的内角和等知识，加入了“辅助”的思想解题的关键是正确找到“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”．。