第一章 高精度计算
高精度
• f(3)=2;
{
• f(4)=3;
f3=f1+f2;
• f(5)=5; • f(6)=8;
F(i)=f(i-2)+f(i-1)
f1=f2; f2=f3; }
printf("%ld\n",f3);
• 一、n数求和（problem.c）
• 【问题描述】
•
有n个数，计算这n个数的和。
• 【输入文件】
• 【问题描述】
• 学习程序我们都要从基础学起，在解决简单的数学问题中学会使用程序，学 会程序的基本的语法和基本的算法。今天我们练习一个简单数学运算——求两 个正整数的和。
• 【输入文件】
•
文件名：sum.in
•
文件中有两个正整数，已知这个数字不超过1000000000000000000。
• 【输出文件】
• 加法运算 • 减法运算 • 乘法运算 • 除法运算
高精度除以单精度 ★高精度除以高精度
高精度运算涉及到的主要操作： • 数据的输入和存储
• 数据的运算
加、减、乘、除运算 加法和乘法的进位 减法的借位和符号确定 除法商和余数的处理
• 数据的输出
加法
A+B problem
• 输入两个整数a和b • 计算a+b的值 • 样例输入： 10 20 • 样例输出： 30
1234567891011+17161514 13121110987654321=????
1237 __+____4__7_6____ ____1__6__10__13___
17 1 3
我们该怎么来表示一个几百位数的数呢？
一般变量表示
×
字符串表示
高精度计算
高精度计算由于计算机具有运算速度快，计算精度高的特点，许多过去由人来完成的烦琐、复杂的数学计算，现在都可以由计算机来代替。
计算机计算结果的精度，通常要受到计算机硬件环境的限制。
例如，pascal 要计算的数字超过19位，计算机将按浮点形式输出；另一方面，计算机又有数的表示范围的限制，在一般的微型计算机上，实数的表示范围为l0-38 -l038。
例如，在计算N!时，当N=21时计算结果就超过了这个范围，无法计算了。
这是由计算机的硬件性质决定的，但是，我们可以通过程序设计的方法进行高精度计算（多位数计算）。
学习重点1、掌握高精度加、减、乘、除法。
3、理解高精度除法运算中被除数、除数、商和余数之间的关系。
4、能编写相应的程序，解决生活中高精度问题。
学习过程一、高精度计算的基本方法用free pascal程序进行高精度计算，首先要处理好以下几个基本问题：【数据的输入与保存】（1）一般采用字符串变量存储数据，然后用length函数测量字符串长度确定其位数。
（2）分离各位数位上的数字分离各数位上的数通常采用正向存储的方法。
以“163848192”为例，见下表：A[9] A[8] A[7] A[6] A[5] A[4] A[3] A[2] A[1]1 6 3 8 4 8 1 9 2基本原理是A[1]存放个位上的数字，A[2]存放十位上的数字，……依此类推。
即下标小的元素存低位上的数字，下标大的元素存高位上的数字，这叫“下标与位权一致”原则。
【计算结果位数的确定】（1）高精度加法：和的位数为两个加数中较大数的位数+1。
（2）高精度减法：差的位数为被减数和减数中较大数的位数。
（3）高精度乘法：积的位数为两个相乘的数的位数之和。
（4）高精度除法：商的位数按题目的要求确定。
【计算顺序与结果的输出】高精度加、减、乘法，都是从低位到高位算起，而除法相反。
输出结果都是从高位到低位的顺序，注意：高位上的零不输出（整数部分是零除外）。
高精度计算
高精度运算所谓的高精度运算,是指参与运算的数(加数,减数,因子……）范围大大超出了标准数据类型（整型，实型）能表示的范围的运算。
例如，求两个200位的数的和。
这时，就要用到高精度算法了。
在这里，我们先讨论高精度加法。
高精度运算主要解决以下三个问题：一、加数、减数、运算结果的输入和存储运算因子超出了整型、实型能表示的范围，肯定不能直接用一个数的形式来表示。
在Pascal中，能表示多个数的数据类型有两种：数组和字符串。
数组：每个数组元素存储1位（在优化时，这里是一个重点！），有多少位就需要多少个数组元素；用数组表示数的优点：每一位都是数的形式，可以直接加减；运算时非常方便。
用数组表示数的缺点：数组不能直接输入；输入时每两位数之间必须有分隔符，不符合数值的输入习惯；字符串：字符串的最大长度是255，可以表示255位。
用字符串表示数的优点：能直接输入输出，输入时，每两位数之间不必分隔符，符合数值的输入习惯；用字符串表示数的缺点：字符串中的每一位是一个字符，不能直接进行运算，必须先将它转化为数值再进行运算；运算时非常不方便；综合以上所述，对上面两种数据结构取长补短：用字符串读入数据，用数组存储数据：var s1,s2:string;a,b,c:array [1..260] of integer;i,l,k1,k2:integer;beginwrite('input s1:');readln(s1);write('input s2:');readln(s2);{————读入两个数s1，s2，都是字符串类型}l:=length(s1);{求出s1的长度，也即s1的位数；有关字符串的知识。
}k1:=260;for i:=l downto 1 dobegina[k1]:=ord(s1[i])-48;{将字符转成数值}k1:=k1-1;end;k1:=k1+1;{————以上将s1中的字符一位一位地转成数值并存在数组a中；低位在后（从第260位开始），高位在前（每存完一位，k1减1），完后，k1指向最高位} 对s2的转化过程和上面一模一样。
高精度计算
数字一个一个输入，存入数组
一个正整数，把它的数字从最高位开始，一个 一个输入，直至最后一个数字，再输入一个任 意负数，表示输入结束。 每输入一个数字，就存入数组的一个元素之中。 具体操作如下：
1) 2)
3)
输入一个数字，如为负数，就结束输入； 判断此数字是否合法，合法就存入数组，不合法就显 示出错的停息，结束； 重复(1)、(2)操作。
四种基本的高精度计算
高精度加法 高精度减法 高精度乘法 高精度除法
高精度加法
高精度加法运算的算法，需要从输入、处 理和输出这三部分来分析
数据的输入与存储，估计结果的位数， 定义存储数组的大小
1)
设参与加法运算的两个数串为 a_str 和 b_str：
输入 a_str 与 b_str，计算两者的长度 La = LEN(a_str) : Lb = LEN(b_str) 比较 La 与 Lb 的大小，如 Lb 大，要交换 a_str 和b_str (同时交换La和Lb)，然后定义数组： DIM as integer a(La+1), b(La+1) 两数相加，其和存放在 a() 数组中，不再开辟新的 存储单元；
一位一位取出被除数； 在除法运算中，每次都要把上一次的余数*10， 再加上取出的本位被除数 ( 与 例9 不同 )， 临时组成被除数。
具体的算法是： Y = Y * 10 + A(K) ‘A(K)：被除数 D(K) = Y \ B ‘D(K)：商 Y = Y MOD B ‘ 余数
循环结束时，如除不尽，余数保存在 y 中。 第一次做除法运算前，先设 Y = 0。
高精度计算的主要步骤：
高精度计算
高精度计算由于计算机输入计算结果的精度通常受到计算机的限制，如：在双精度方式下，计算机最多只能输出16位有效数字，如果超过16位，则只能按浮点形式输出，另外，一般计算机实数表示的范围为1038，如果超过这个范围，计算机就无法表示了。
但是我们可以通过一些简单的办法来解决这个问题。
这就是我们要说的高精度计算机。
基本方法加法减法乘法精确值除法多精度除以单精度多精度除以多精度求e一、基本方法：在计算机上进行高精度计算，首先要处理好以下几个基本问题：1、数据的接收与存储；2、计算结果位数的确定；3、进位处理和借位处理；4、商和余数的求法；下面我们逐一介绍一下这几个问题的解决方法。
1、数据的接收与存储：要在计算机上进行高精度计算，首先就应该有精确的输入，即计算机要精确地接收和存储数据。
通常：①、当输入的数值在计算机允许的范围内时，可以用数值型变量来接收数据。
②、当输入的数据超过计算机允许显示的精度范围时，采用字符来接收数据。
③、分离各位数字。
接收数据子模块(字符型变量接收数据)：QBASICPASCALINPUT a$l = LEN(a$)DIM a(l)FOR i = 1 TO la(i) = VAL(MID$(a$, i, 1))NEXTprucedure readdata(var in:array[1..100] of integer);var ch:char;i,k:integer;beginread(ch);k:=0;while ch in['0'..'9'] do begininc(k);int[k]:=ord(ch)-48;read(ch);end;end;2、计算结果位数的确定①、两数之和的位数最大为较大的数的位数加1。
②、乘积的位数最大为两个因子的位数之和。
③、阶乘与乘方的位数可以采用对数运算来确定计算结果的位数。
3、进位处理和借位处理①、加法的进位处理进行加法处理时，先设置一个加法进位标志 T，并将 T 的初值设为 0。
第一讲：高精度运算_1
onst maxn=240; {c=a+b,先加，然后再处理进位} var s1,s2:string; a,b:array[1..maxn] of integer; c:array[1..maxn+1] of integer; len,len1,len2,k,j,i:integer; begin readln(s1); {输入} readln(s2); len1:=length(s1); {数据的保存} for i:= 1 to len1 do a[i]:=ord(s1[len1+1-i])-48; len2:=length(s2); for i:= 1 to len2 do b[i]:=ord(s2[len2+1-i])-48; if len1>len2 then len:=len1 else len:=len2; for i:=1 to len do c[i]:=a[i]+b[i]; for i:=1 to len do begin c[i+1]:=c[i+1]+c[i] div 10; c[i]:=c[i] mod 10; end; if c[len+1]>0 then len:=len+1; for i:=len downto 1 do write(c[i]); end.
将字符串转换为数组存储。
用a存s1，b存s2。 A[1]存个位，便于以后计算和进位处理
S1=’3 4 5 2 3 4 5’ ….a[3] a[2] a[1]
len1:=length(s1); for i:= 1 to len1 do a[i]:=ord(s1[len1+1-i])-48; len2:=length(s2); for i:= 1 to len2 do b[i]:=ord(s2[len2+1-i])-48;
高精度算法大全
高精度算法大全在一般的科学计算中,会经常算到小数点后几百位或者更多,当然也可能是几千亿几百亿的大数字.一般这类数字我们统称为高精度数,高精度算法是用计算机对于超大数据的一种模拟加,减,乘,除,乘方,阶乘,开放等运算.譬如一个很大的数字N >= 10^ 100, 很显然这样的数字无法在计算机中正常存储.于是, 我们想到了办法,将这个数字拆开,拆成一位一位的或者是四位四位的存储到一个数组中, 用一个数组去表示一个数字.这样这个数字就被称谓是高精度数.对于高精度数,也要像平常数一样做加减乘除以及乘方的运算,于是就有了高精度算法:由于计算机输入计算结果的精度通常受到计算机的限制，如：在双精度方式下，计算机最多只能输出16位有效数字，如果超过16位，则只能按浮点形式输出，另外，一般计算机实数表示的范围为1038，如果超过这个范围，计算机就无法表示了。
但是我们可以通过一些简单的办法来解决这个问题。
这就是我们要说的高精度计算机。
一、基本方法：在计算机上进行高精度计算，首先要处理好以下几个基本问题：1、数据的接收与存储；2、计算结果位数的确定；3、进位处理和借位处理；4、商和余数的求法；下面我们逐一介绍一下这几个问题的解决方法。
1、数据的接收与存储：要在计算机上进行高精度计算，首先就应该有精确的输入，即计算机要精确地接收和存储数据。
通常：①、当输入的数值在计算机允许的范围内时，可以用数值型变量来接收数据。
②、当输入的数据超过计算机允许显示的精度范围时，采用字符来接收数据。
③、分离各位数字。
接收数据子模块(字符型变量接收数据)：prucedure readdata(var in:array[1..100] of integer);var ch:char;i,k:integer;beginread(ch);k:=0;while ch in['0'..'9'] do begininc(k);int[k]:=ord(ch)-48;read(ch);end;end;2、计算结果位数的确定①、两数之和的位数最大为较大的数的位数加1。
《模拟与高精度计算》课件
有限元方法广泛应用于工程和科学领域，如结构分析 、流体动力学、热传导等。
有限差分法
有限差分法是一种离散化的数值计算方法，通过将微分转化为差分来求解 偏微分方程。
它将连续的时间和空间离散化为有限个点，用差分近似代替微分，将原问 题转化为求解差分方程的数值计算问题。
有限差分法在物理、工程等领域有广泛应用，如流体动力学、电磁场等。
医学研究
在药物研发、医学影像处理、生理过程模拟等方面，模拟与高精度计 算也发挥了重要作用。
模拟与高精度计算的发展历程
早期的模拟方法
早在计算机出现之前，人们就采 用各种物理设备和方法进行模拟 实验，如电路模拟器、流体动力 学风洞等。
数值计算方法的出
现
随着计算机技术的发展，人们开 始采用数值计算方法进行模拟， 如有限差分法、有限元法等。
稳定性分析
为了确保高精度数值微分的稳定性，需要对算法进行稳定性分析， 并采取适当的误差控制策略。
应用领域
高精度数值微分在科学计算、工程分析、经济建模等领域具有广泛 的应用。
高精度线性代数方程组求解
线性代数方程组
高精度线性代数方程组求解 方法包括迭代法、直接法等 ，这些方法能够提供高精度 的解，并处理大规模的线性
《模拟与高精度计算》PPT课件
目 录
• 模拟与高精度计算概述 • 模拟方法与技术 • 高精度计算方法与技术 • 模拟与高精度计算的软件工具 • 模拟与高精度计算的实际应用案例
01 模拟与高精度计算概述
定义与概念
模拟与高精度计算的定义
模拟与高精度计算是指利用计算机技术，通过建立数学模型和算法，对现实世 界中的物理、化学、生物等过程进行模拟和计算的方法。
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第一章 高精度计算
【上机练习】
1、求N！的值(ni)
【问题描述】
用高精度方法，求N！的精确值(N以一般整数输入)。
【输入样例】
10
【输出样例】
3628800
2、求A/B高精度值(ab)
【问题描述】
计算A/B的精确值，设A，B是以一般整数输入，计算结果精确到小数后20位（若不足20位，末尾不用补0）。
【输入样例1】
4 3
【输出样例1】
4/3=1.33333333333333333333
【输入样例2】
6 5
【输出样例2】
6/5=1.2
3、求n累加和(ja)
【问题描述】
用高精度方法，求s=1+2+3+……+n的精确值(n以一般整数输入)。
【输入样例】
10
【输出样例】
55
4、阶乘和(sum)
【问题描述】
已知正整数N（N<=100）,设S=1!+2!+3!+...N!。
其中"!"表示阶乘,即N!=1*2*3*……*(N-1)*N，如:3!=1*2*3=6。
请编程实现：输入正整数N,输出计算结果S的值。
【输入样例】
4
【输出样例】
33
5、高精度求积(multiply)
【问题描述】
输入两个高精度正整数M和N（M和N均小于100位）。
【问题求解】
求这两个高精度数的积。
【输入样例】
36
3
【输出样例】
108
6、天使的起誓（yubikili）
【问题描述】
TENSHI非常幸运地被选为掌管智慧之匙的天使。
在正式任职之前，她必须和其他新当选的天使一样，
要宣誓。
宣誓仪式是每位天使各自表述自己的使命，她们的发言稿被放在n个呈圆形排列的宝盒中。
这些宝盒按顺时针方向被编上号码1、2、3……、n-1、n。
一开始天使们站在编号为N的宝盒旁。
她们各自手上都有一个数字，代表她们自己的发言稿所在的盒子是从１号盒子开始按顺时针方向的第几个。
例如：有７个盒子，那么如果TENSHI手上的数字为9，那么她的发言稿所在盒子就是第2个。
现在天使们开始按照自己手上的数字来找发言稿，先找到的就可以先发言。
TENSHI一下子就找到了，于是她最先上台宣誓：“我将带领大家开启NOI之门……”TENSHI宣誓结束以后，陆续有天使上台宣誓。
可是有一位天使找了好久都找不到她的发言稿，原来她手上的数字M非常大，她转了好久都找不到她想找的宝盒。
【问题求解】
请帮助这位天使找到她想找的宝盒的编号。
【输入格式】
从文件yubikili.in的第一、二行分别读入正整数n和m，其中n、m满足
2 ≤ n≤ 108，2 ≤ m≤ 101000
【输出格式】
把所求宝盒的编号输出到文件yubikili.out，文件只有一行（包括换行符）。
【样例一】
yubikili.in yubikili.out
7
2
9
【样例二】
yubikili.in yubikili.out
9
11
108
7、Hanoi双塔问题(Noip2007)
【问题描述】
给定A、B、C三根足够长的细柱，在A柱上放有2n个中间有孔的圆盘，共有n个不同的尺寸，每个尺寸都有两个相同的圆盘，注意这两个圆盘是不加区分的（下图为n=3的情形）。
现要将这些圆盘移到C柱上，在移动过程中可放在B柱上暂存。
要求：
（1）每次只能移动一个圆盘；
（2）A、B、C三根细柱上的圆盘都要保持上小下大的顺序；
任务：设A n为2n个圆盘完成上述任务所需的最少移动次数，对于输入的n，输出A n。
【输入格式】
输入文件hanoi.in为一个正整数n，表示在A柱上放有2n个圆盘。
【输出格式】
输出文件hanoi.out仅一行，包含一个正整数, 为完成上述任务所需的最少移动次数A n。
【输入输出样例1】
hanoi.in hanoi.out
1 2
【输入输出样例2】
hanoi.in hanoi.out
2 6
【限制】
对于50%的数据，1<=n<=25
对于100%的数据，1<=n<=200
【提示】设法建立A n与A n-1的递推关系式。