3.6 图形的等分与整体
三年级数学下册【导学案】-7 认识一个整体的几分之几-苏教版
三年级数学下册导学案-7认识一个整体的几分之几-苏教版一、教学目标1.了解什么是一个整体的几分之几。
2.掌握如何将一个物品分成几份并把其中的几份表示为一个整体的几分之几。
3.通过练习，培养学生的思维能力，增强计算能力和逻辑思维能力。
二、教学内容1.认识一个整体的几分之几。
2.整体的分法。
3.几分之几的概念。
三、教学重点和难点1.重点：认识一个整体的几分之几，掌握整体的分法。
2.难点：几分之几的概念。
四、教学步骤第一步：引入老师可以用一些简单的图像或图片来引入今天的学习内容，在引导学生观察图片的时候，可以通过提问的方式引出今天的讲解内容。
比如，“同学们看看这幅图，它是什么？它又是由什么构成的？”，学生回答后老师可以引导：“如果我们有一个整体，我们想知道它的几分之几，该怎么办呢？”第二步：讲解老师在此环节中，可以具体介绍如何将一个整体分成几份，并且怎样将其中的几份表示为一个整体的几分之几。
既可以通过白板来进行，也可以通过拿教具来演示给学生看。
在形式上可以为学生提供图像引导来让学生跟上老师的思路。
比如，“同学们看到这个整体了吗，它可以分成几份？那么，我们就可以把其中一份表示为一个整体的几分之几，是不是很简单呢？”第三步：练习老师可以给学生分发一些练习题或游戏，让学生能主动将老师刚才讲解的知识点进行巩固。
老师也可以借助新的教学工具来扩充练习内容。
比如，老师可以同时使用工具“微课”，让学生在听讲时就可以利用该教具有针对性的进行实际的操作。
本步骤学生操作的困难度和难易度需要根据学生实际情况进行调整，否则将对学生的学习投入产生不好的影响。
第四步：总结老师在课程的最后，总结整节课对一些重点知识的阐述。
同时，老师需要引导学生将自己的收获进行提炼、梳理和总结。
这些通过特定问题的提出给出引导，让学生尝试将今天所学知识输出，并对于可能存在的问题进行提问，从而落实老师所讲述的内容，实现课程的成果。
五、作业1.用一个整体的1/3表示出其中的两份。
幼儿园数学核心经验图形
幼儿数学核心经验 --- 第六章图形数学系统包括数和形两个大的概念系统，而形指平面（二维）和立体（三维）两部分。
在幼儿早期的数学教育中，渗透几何经验是十分重要的，一方面可以与幼儿的生活世界建立联结，此外还有利于提升幼儿的空间意识。
空间能力涉及在心里将物体移位、旋转或翻转，空间能力也是学习几何概念的基础。
一、图形的核心经验1. 核心经验一：对图形特征的分析和比较可以帮助我们对图形进行定义和分类在图形认知的早期，让幼儿关注形状的属性特征要比知道形状的名称更为重要。
例如，在认知三角形时，如果我们只给幼儿展示等边三角形或等腰三角形，会让幼儿误认为其他的不规则三角形都不是三角形，有些幼儿甚至也会把那些底边在上，尖顶朝下的三角形称为“颠倒的三角形”，这就告诉我们需要给幼儿展示不同类型的三角形，以及摆放方位不同的三角形，并强调之所以这种图形称为三角形是因为它有3条边和3个顶点，让幼儿理解边的数目、边的长度、角的大小都是图形的关键特征，也是不同图形有不同轮廓的根本原因。
学前期的几何图形认知包括平面图形（圆形、正方形、三角形、长方形、椭圆形、梯形）；立体图形（球体、圆柱体、长方体、正方体）。
比如我们可以采用“神秘的口袋”（将不同的形状放入布袋中，幼儿通过触摸来猜测是什么图形，或者摸图形的幼儿描述图形的特征，由其他幼儿猜形状名称）。
这个游戏可以帮助幼儿将触觉和视觉联系起来，感知图形的特征，而不受其他因素，如形状、大小、颜色或图形旋转的干扰。
在认识三维图形的时候，还需要引导幼儿将三维图形和他们熟悉的二维图形对应起来，可以引导幼儿关注日常生活中的各种物体形状，把它们收集起来，进行归类，有助于增强幼儿对图形属性的感知。
也可以与幼儿一起围绕以下话题展开丰富的讨论：为什么有的物体要做成特定的形状，如饮料瓶多数是类似于圆柱体，大多数碗是圆口的而不是方口的，床多是长方形的等。
我们还可以让幼儿拆快递盒，将立体的盒子拆成展开的平面纸板，再尝试还原成立体的盒子，看看快递盒可以拆成几种不同的平面图形，这种操作和经验有利于幼儿对二维图形和三维图形建立关联，为日后更深入学习有关图形面积或体积的知识打下坚实的基础。
初中图形的等分教案
初中图形的等分教案教学目标：1. 让学生掌握图形的等分概念，理解等分的意义。
2. 培养学生运用分割、组合的方法，将图形等分的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 图形的等分概念及意义。
2. 等分图形的分割、组合方法。
3. 等分图形的应用。
教学重点：1. 图形的等分概念。
2. 等分图形的分割、组合方法。
教学难点：1. 等分图形的分割、组合方法的灵活运用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 各种图形卡片。
3. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的图形的对称、旋转等概念。
2. 提问：同学们，你们知道什么是图形的等分吗？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解图形的等分概念：将一个图形分成几个完全相同的部分，叫做图形的等分。
2. 讲解等分图形的意义：等分图形可以使图形更加规整，方便计算图形的面积、周长等属性。
3. 讲解等分图形的分割、组合方法：a) 线段等分：用一条线段将图形分成两个完全相同的部分。
b) 角度等分：用一条射线将图形的一个角分成两个相等的角。
c) 形状等分：用一个与原图形相似的图形将原图形等分。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固等分图形的概念和分割、组合方法。
2. 教师巡回指导，解答学生的疑问。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结图形的等分概念和分割、组合方法。
2. 强调等分图形在实际生活中的应用。
五、课后作业（课后自主完成）1. 完成练习题，进一步巩固图形的等分概念和分割、组合方法。
2. 寻找生活中的等分图形，拍摄照片或绘制图案，下节课分享。
教学反思：本节课通过讲解和练习，使学生掌握了图形的等分概念和分割、组合方法。
在教学过程中，要注意引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
同时，要关注学生的个体差异，给予不同程度的学生适当的指导和帮助，使他们在课堂上都能有所收获。
图形的等分教案初中
图形的等分教案初中教学目标：1. 理解等分的概念，掌握等分的意义和作用。
2. 学会使用直尺和圆规进行图形的等分。
3. 能够运用等分的方法解决实际问题。
教学重点：1. 等分的概念和意义。
2. 使用直尺和圆规进行图形的等分。
教学难点：1. 理解等分的原理和方法。
2. 运用等分解决实际问题。
教学准备：1. 直尺、圆规、剪刀、彩笔等绘图工具。
2. 教学PPT或黑板。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入话题：我们日常生活中经常会遇到需要将物品等分的情况，比如分蛋糕、分糖果等。
那么，如何准确地将图形等分呢？2. 学生分享：让学生分享一下他们平时是如何进行图形等分的。
二、新课导入（10分钟）1. 介绍等分的概念：等分是指将一个图形分成几个相等的部分。
2. 讲解等分的意义：等分可以帮助我们更好地利用图形，比如制作对称的图案、设计图案等。
3. 演示等分的应用：通过实例展示等分在实际问题中的应用，如制作电路板、设计建筑图纸等。
三、动手实践（10分钟）1. 学生分组进行实践，尝试使用直尺和圆规将矩形、三角形等常见图形进行等分。
2. 教师巡回指导，解答学生的疑问。
四、总结与展示（5分钟）1. 学生展示自己的等分成果，分享等分的方法和技巧。
2. 教师点评学生的表现，给予鼓励和指导。
五、拓展与思考（10分钟）1. 提出问题：如何将一个圆等分？2. 学生思考并尝试解答，教师给予引导和提示。
六、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结等分的概念、意义和应用。
2. 强调等分在实际生活中的重要性。
教学反思：本节课通过讲解和动手实践，让学生掌握了图形的等分方法，能够运用等分解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生思考和探索，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
同时，结合实际生活中的例子，让学生感受等分的作用和意义。
湘教版高中数学选修3-6三等分角与数域扩充：三等分角尺规作图问题的解决
这就证明了：用尺规作图不能三等分60°角。这说明了 不存在三等分任意角的尺规作图法。
谢谢
出发，经过有限次允许的作图作出 cosEk1 的情况，但在此情况下 Ek Ek1, 由 Ek1 到 Ek 并没有真正将范围扩大，当然
还是数域。
E0 Ek
k 0,1,2,,n
8x3 6x 1 0 cos 20 .
根据数学归纳法远离，可知上式方程在所有 Ek 的中都没 有根（k 0,1,2,,n ）。
已经知道这个方程在有理数集合Q中没有根。只用加、减、乘、 除也不可能把Q在扩大。要想用尺规作图把Q扩大使之包含无理
数 x cos 20 ，剩下的唯一希望是开平方。
定理6 不存在三等分任意角的尺规作图法.
证明
若不然，设存在一种尺规作图法，它能三等分任意角，
当然也能三等分60°角。这也就是说，能够从已知数1与 cos60 1
三等分角尺规作图问题的解决
将3.5定理和4和3.6定理5用于一元二次方程，得到一下 命题.
证明 如果 D F 或者b 0 ，则 x1 F, x1 就是方程在F中的根。 故设 D F 并且 b 0 ，从而 x1 F 。
现在将命题5应用于 cos 20 所满足的三次方程
8x3 6x 1 0
小学数学难题解法大全 第四部分 常用解题技巧(四~三)解几何题技巧
小学数学难题解法大全第四部分常用解题技巧（四之三）解几何题技巧（三）解几何题技巧1.等分图形【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为若干个小图形，就能找到问题的答案。
例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形（内接指四个顶点全在三角形的边上）。
已知左图（图4.11）中正方形面积为72平方厘米，求右图（4.12）中正方形的面积。
由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两个正方形分别与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。
等分后的情况见图4.13和图4.14。
积是图4.12的正方形面积是【均分局部】有些几何问题，整体的均分不太方便，或不能够办到，这时可以考虑把它的局部去均分，然后从整体上去观察，往往也能使问题获得解决。
例如图4.15，在正方形ABCD中，画有甲、乙、丙三个小正方形。
问：乙、丙面积之和与甲相比，哪一个大些？大家由前面的“均分整体”已经知道，像甲、乙这样的两个正方形，面积不是相等的。
如图4.16，经过等分，正方形甲的面积等于△ABC面积的一半；正方形丙的面积等于△EDF的一半，正方形乙的面积等于梯形ACFE面积的一半。
这样，一个大正方形ABCD，就划分成了三个局部：等腰直角△ABC；等腰梯形ACFE；等腰直角△EDF。
其中甲、乙、丙的面积分别为各自所在图形的一半，而△EDF的面积加梯形ACFE的面积等于△ADC的面积，即等于△ABC的面积。
所以，乙、丙面积之和等于甲的面积。
2.平移变换【平移线段】有些几何问题，通过线段的上、下、左、右平移以后，能使问题很快地得到正确的解答。
例如，下面的两个图形（图4.17和图4.18）的周长是否相等？单凭眼睛观察，似乎图4.18的周长比图4.17的要长一些。
但把有关线段平移以后，图4.18就变成了图4.19，其中的线段，有的上移，有的左移，有的右移，它可移成一个正方形。
于是，不难发现两图周长是相等的。
【平移空白或阴影部分】有些求阴影部分或空白部分面积的几何题，采用平移空白部分或平移阴影部分的办法，往往能化难为易，很快使问题求得解答。
图形等分教案初中数学
图形等分教案初中数学教学目标：1. 理解等分的概念，掌握图形等分的方法和技巧。
2. 能够运用等分的方法解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 等分的概念及其性质。
2. 图形等分的方法和技巧。
教学难点：1. 理解等分的性质和推导过程。
2. 掌握图形等分的方法和技巧。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 各种图形资料。
3. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入等分的概念，让学生回顾已学的等分知识。
2. 提问：我们已经学过哪些图形的等分方法？等分有什么实际应用？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解等分的性质和推导过程。
2. 讲解图形等分的方法和技巧。
3. 通过示例演示图形等分的过程，让学生理解和掌握。
三、练习巩固（10分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 对学生的答案进行讲解和指导，帮助学生巩固所学知识。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结等分的概念和方法。
2. 强调等分在实际问题中的应用。
五、课后作业（5分钟）1. 布置作业，让学生运用等分的方法解决实际问题。
2. 提醒学生在做作业时注意等分的性质和技巧。
教学反思：本节课通过讲解等分的概念和方法，让学生掌握图形等分的基本技巧。
在教学过程中，要注意引导学生理解等分的性质和推导过程，通过示例演示图形等分的过程，让学生理解和掌握。
同时，通过练习题的训练，让学生巩固所学知识，并能够运用等分的方法解决实际问题。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行讲解和指导，帮助学生理解和掌握所学知识。
大班数学《图形等分》教案
大班数学《图形等分》教案教学目标1.学生能够了解图形等分的基本概念和方法。
2.学生能够将一个图形等分为若干等份。
3.学生能够掌握基本的图形等分问题解决方法。
教学重点1.如何正确理解“图形等分”的概念。
2.如何进行图形等分。
教学难点1.如何应用图形等分的方法解决相关问题。
2.如何抽象思维，将现实问题转化为数学问题。
教学过程1. 前置知识在开始本次课程之前，需要对以下知识点有一定了解：•二维平面直角坐标系；•基本的几何图形：直线、线段、射线、角和多边形等。
2. 导入老师可以通过引入有关一幅图的故事，向学生介绍图形等分的一些基本概念。
例如：“小明有一张圆形的披萨，他想邀请4个好友来一起分享。
但是，他不知道该如何等分这张披萨让每个人都能平分其中。
这时，他想到了图形等分的方法，你们知道图形等分是什么吗？”3. 讲解3.1 图形等分的概念老师可以通过向学生展示若干图形等分的例子，并对其进行讲解，用以解决学生关于图形等分的一些基本疑惑。
例如：•“我们发现，图形等分可以将一个图形分成若干个等分，它可以是矩形、三角形、梯形等，只要是几何图形都可以被等分。
”•“我们通过等分可以让图形中的每个部分的大小都相等，从而方便我们对图形进行更加精确的测量。
”3.2 图形等分的方法接下来，老师可以向学生讲解图形等分的方法，以便他们了解如何进行图形等分。
具体包括：•图形的直接等分：将图形按照规定的等分数进行直接划分，如将一条线段等分为3段；•叠加等分法：将一个图形分成若干个形状相似的小图形，再对小图形进行等分；•分离等分法：将一个图形划分成若干个互不相交的部分，每个部分再进行等分。
3.3 图形等分的应用最后，老师可以帮助学生了解图形等分的应用领域。
例如：•在数学学习中，通过图形等分的方法可以帮助我们更好地理解和掌握各种数学概念；•在日常生活中，我们经常需要使用图形等分来解决实际问题，如平分一个蛋糕等。
4. 练习老师可以设计一些有关图形等分的练习题，供学生进行练习和巩固。
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6 图形的等分与整体
学习目标:
1、理解等分的含义，能按要求将图形等分。
2、通过探究的学习方法，探索物体等分的多种方法，激发学生对等分的兴趣。
3、理解等分含义后，了解整体与部分的关系。
4、培养学生自主探究的学习能力，激发学生学习的兴趣。
教学重点:
1、理解等分的含义，能按要求将图形等分。
2、了解整体与部分的关系。
教学难点：
1、探索物体等分的多种方法，激发学生对等分的兴趣。
2、训练学生动手操作的能力。
教学过程：
一、情景体验
师：同学们，大家喜欢过生日吗？（喜欢）为什么呢？
生：过生日可以得到礼物。
生：可以买新衣服。
生：可以邀请好朋友到家里来开PARTY。
生：可以吃生日蛋糕，吹蜡烛，许愿……
师：过生日的确是一件值得开心的事。
今天是博易大家庭中程程的生日，小伙伴们都围在一起给她送礼物送祝福。
数一数，这里有几个人呢？（课件展示图片）生：4个人。
师：大家都看到了些什么呢？
生：蛋糕。
生：还有一个正方形、三角形、长方形。
生：还有一叠盘子。
师：同学们观察得真仔细。
其实这三个图形是可口又好吃的饼干哦！他们唱完了生日歌，许完了愿望，现在程程要把这个蛋糕和每一块饼干都分给每一个人，而
且要分的均匀哦，同学们知道她应该如何等分吗？今天我们就一起来探究一下与图形有关的等分与整体的问题，通过这节课的学习，看同学们能否找到帮助程程的解决方案呢？（板书课题）
二、思维探索（建立知识模型）
展示例题：
例1：将下面的图形二等分。
师：同学们还记得上次课中我们将一个正方形对折成为两个一样的图形吗？生：记得。
师：这个问题是要求我们把这些图形二等分，那么什么叫做二等分呢？（学生发言，教师总结）
师：所谓二等分就是把图形分成两部分，两部分的形状和大小一样，二等分又叫平分。
今天我们将大家分为4个小组（结合学生人数分组，6人左右一组），我们一下组为单位，完成今天这节课程的学习，好吗？（好）
师：现在老师给每个小组一组图形，大家还记得这四个图形的名称吗？
生：圆、正方形、长方形、三角形。
师：很好，现在同学们自己尝试，把这四个图形进行等分。
（教师引导，学生可以通过画图，对折等方法进行等分，展示探索成果，教师课件展示结果）
师：观察这组图图片，同学们都是这样分的吗？（是的）大家真棒！
展示例题：
例2：四等分就是把图形分成四部分，每部分一样多。
你能用几种方法把下
面图形四等分。
师：这两个分别是什么图形呢？
生：正方形和平行四边形。
师：和前面问题不一样的是要将这个图形四等分，又该怎么分呢？动手试一试吧！（教师引导，学生可以通过画图，对折等方法进行等分，展示探索成果，教师课件展示结果）
小结：几等分就是把图形分成几个部分，而分成的这几个部分必需一样。
相对于这几个部分来说，原来的图形可以看作是一个整体，是由这几个部分组成的。
整体大于部分，而部分小于整体。
三、思维拓展（知识模型拓展）
展示例题：
例3：请将下面每个图形都三等分、八等份。
师：这两个分别是什么图形呢？
生：圆和平行四边形。
师：要将这两个图形三等分，又该怎么分呢？动手试一试吧！
师：八等份又该如何分呢？（教师引导，学生自主动手尝试，汇报完成情况，教
师课件展示结果）
展示例题：
例4：这是我将一个图形四等分后得到的四个部
分中的一份，你知道它们的整体原来是什么图形吗？
师：程程手中拿的是什么图形呢？
生：三角形。
师：在前面的探究活动中，我们探索了如何将一个几何图形等分为几个一样的图形，而在这个问题中，我们是知道了等分后的图形，反着推导是一个什么样的图形等分得到的，我们该如何操作呢？动手拼一拼，看一看4个这样的三角形可以拼组成一个什么图形呢？（学生自主探究，动手操作，汇报拼组结果，教师课件展示补充）
例如：
四、融汇贯通（知识模型的运用）
展示例题：
例5：有三个形状相同、大小相同的图形，分别经过二等分、四等分、八等分后所得的图形都是等腰直角三角形，那么原来的三个图形每一个的整体形状是怎样的？
师：分析问题，等分后的图形都是等腰直角三角形，和前面的问题一样，现在我们还是用2个、4个、8个一样的等腰直角三角形进行拼组，看一看都能拼组出什么图形呢？（学生自主探究，动手操作，汇报拼组结果）
生：两个等腰直角三角形可以拼组成一个大的等腰直角三角形。
生：可以拼组成一个正方形。
例如：
师：四个这样的三角形呢？
生：也可以拼组成一个大的直角三角形，还有正方形。
师：八个呢？
生：也可以拼组成一个大的直角三角形，还有正方形。
师：看来同学们动手拼组的能力大大加强了哦！大家表现的都很棒！（课件展示拼组结果）
五、总结
通过这节课的学习，你都学会了什么？。