波动率课件
随机波动率模型PPT课件
:
( 1
,
2 1
2
)=(h
,
2 h
)
则有以下：
但是，也正是因为SV 模型中包含着潜在变量，涉及的似然函 数和无条件矩要通过高维积分来计算，极大似然法不能直接求 解。
7
2.SV模型的矩条件
❖ 之所以要先介绍矩条件，是因为模型估计方法要用
❖ 原点矩
E[XP]= x p f (x)dx
性质1：GMM估计量是相合的，即ˆT P
性质2：1
T
T t i
ft ( ) d (0, S), S是N * N正定矩阵
则ˆT 渐进服从正态分布，渐进方差 — 协方差矩阵为：
A
var(ˆT
)
(GWG)
1GTWSWG(G
WG)1
,
其中G
E[
ft (
s 1 s2 2
e 2 ,s ¡
它们在计算SV模型的矩条件时使用。
9
SV模型（ =0 ）
对于 SV 模型（t =0， =0）
rhtt
eht
/2 zt , zt : iidN (0,1)
ht1 vt , 0
1, vt
:
iidN (0,1)
8)
11
❖ （3）其他矩条件（Jacquier、Polson、Rossi(1994)）：
E[rt2rt
2 i
]
exp(2h
2 h
(1
i ))
E[
rt rti
]
2
exp(h
2 h
1_波动率的计算
1_波动率的计算波动率是评估资产价格或市场波动性的一种方法，通常用来衡量资产的风险程度。
它是股票、债券、期货、外汇等金融资产价格日常波动的统计指标，并且是方差或标准差的一种度量。
波动率的计算有不同的方法，下面将介绍两种常用的计算方法：历史波动率和隐含波动率。
1.历史波动率计算：历史波动率是通过观察资产过去一段时间的价格变动，计算资产未来可能的价格波动的一种方法。
常见的历史波动率计算方法有简单波动率和对数收益率波动率。
1.1简单波动率计算：简单波动率又称为历史波动率，是指计算资产价格的每日变动的标准差，进而得出未来价格可能的波动幅度。
步骤：1.收集一段时间内的资产价格数据，通常是收盘价。
2.计算每日价格的变动，即当天价格与前一天价格之间的差值。
3.计算这些每日变动的平方，得到方差。
4.将方差求和，然后除以天数，得到波动率的平方，再开平方根，得到波动率。
计算公式：波动率=√(方差之和/天数)1.2对数收益率波动率计算：对数收益率波动率是对资产价格取对数之后计算的波动率，它是用来解决价格波动随时间变化而变动的问题，并更好地符合实际情况。
步骤：1.收集一段时间内的资产价格数据，通常是收盘价。
2.计算对数收益率，即每天收益率的对数，可以使用自然对数或对数收益率公式。
3.计算对数收益率的标准差，并进行年化处理，得到对数收益率波动率。
计算公式：波动率=对数收益率标准差×√天数×√(年度交易天数) 2.隐含波动率计算：隐含波动率是根据期权价格计算的，它反映了市场参与者对未来价格波动的预期。
步骤：1.收集目标资产的期权合约价格。
2.使用期权定价模型（如布莱克-斯科尔斯期权定价模型）来计算隐含波动率。
3.通过对期权价格的归一化，将价格转化为波动率。
隐含波动率是从事期权交易的投资者对未来波动率的预期，因此它反映了市场对资产未来可能波动的看法。
总结：波动率是评估资产价格或市场波动性的一种方法，对于投资者来说是非常重要的风险指标。
波动率
定义sn为第n-1天和第n天的日波动率，即在第 n-1天末进行估值 定义Si为市场变量在第i天的取值 定义 ui= ln(Si/Si-1)
m 1 2 n2 ( u u ) m 1 i 1 n i
1 m u un i m i 1
风险管理中的简化式
定义 ui 为 (Si−Si-1)/Si-1 假设 ui 的平均值为0(这种假设的前提是每 一天市场变化期望值远远小于市场变化的 标准差) 用m替换m-1(这种做法将我们的波动率从无 偏差估计转换为最大似然估计,具体做法将 在第九节指出)
金融风险管理，第九章，闫海峰，南京财经大学金融学院，2011
9.36
方差目标法
增加GARCH(1,1)模型稳定性的方法之一是 应用方差目标法 令长期平均波动等于相同的方差 仅有其余的两个参数需要估计
金融风险管理，第九章，闫海峰，南京财经大学金融学院，2011
9.37
最大似然估计法
在最大似然估计方法中，我们选择合适 的参数以使得观测值发生的概率最大。
金融风险管理，第九章，闫海峰，南京财经大学金融学院，2011
9.38
例1
观察一个实验，在进行的十次实验中假设 某个事件为随机事件，那么这个事件发生 一次的概率是多少呢？ 计算的结果是： p(1 p)9 使得表达式取得最大值的极大似然估计值: p=0.1
金融风险管理，第九章，闫海峰，南京财经大学金融学院，2011
令第i个区间的回报为xi= ㏑(Si/Si-1),
式中,i=1,2, …,n.
xi的标准差估计式s为
标准差估计式的推导
随机变量X的标准差定义为：
1_波动率的计算
1_波动率的计算波动率是用来衡量资产价格波动程度的指标，是金融市场中一个重要的风险指标。
在投资决策过程中，了解和计算波动率可以帮助投资者评估风险水平，从而更好地制定投资策略和风险管理策略。
波动率的计算方法主要有两种，即历史波动率和隐含波动率。
历史波动率是通过分析资产过去一段时间的价格数据来计算的。
该方法基于假设，认为未来的波动率将与过去的波动率相似。
历史波动率的计算方法有三种常见的形式：简单算术平均波动率、对数收益率波动率和加权平均波动率。
简单算术平均波动率方法是将每个观测期的价格波动幅度相加，然后除以观测期数。
公式如下：σ = √(Σ(Ri - Ravg)^2 / (N - 1))其中，σ代表波动率，Ri代表第i期的收益率，Ravg代表n期的收益率的平均值，N代表观测期数。
对数收益率波动率方法是将观测期收益率的对数进行计算，然后计算其标准差。
公式如下：σ = √(Σ(Rt - Ravg)^2 / (N - 1))其中，σ代表波动率，Rt代表对数收益率，Ravg代表n期的对数收益率的平均值，N代表观测期数。
加权平均波动率方法是将不同的观测期的价格波动幅度进行加权平均，然后计算标准差。
公式如下：σ = √(Σw_i(Ri - Ravg)^2)其中，σ代表波动率，Ri代表第i期的收益率，Ravg代表n期的收益率的加权平均值，wi代表第i期的权重。
除了历史波动率，投资者还可以使用隐含波动率来衡量未来价格的波动。
隐含波动率是反推出来的指标，是根据期权市场上的期权价格推测出来的预期波动率，代表了市场对未来波动率的预期。
使用隐含波动率的方法主要有两种：布莱克-修尔斯公式和季度化波动率。
布莱克-修尔斯公式是根据欧式期权的定价公式反向估算波动率的方法。
该方法假定市场上的期权价格合理，通过反推波动率来与市场价格进行匹配。
通过反复计算，可以得到合理的波动率估计。
季度化波动率方法是将年化的波动率值除以一个合适的季度因子，将波动率转化为季度水平的估计，以便进行更加准确的风险评估。
波动率
隐含波动率
期权公式中唯一不能直接观察到的一个参数就是股票价格的波 动率
隐含波动率是将市场上的期权价格代入BSM公式后反推计算出
的波动率
c S0N(d1) KerT N(d2 )
p KerT N(d2 ) S0N(d1)
d1
ln(S0
/
K
)
(r T
2
/
2)T
要避免由于简单移动平均导致的缺陷，最简单的方法是对近期的数据赋予 更高的权重。这是指数加权移动平均法（EWMA）背后的基本思想
在指数加权移动平均模型中， u2 的权重αi 随着回望时间加长而按指数速
度递减
2 n
2 n 1
(1 )un21
许多风险管理者在计算日收益波动率时使用λ=0.94，而在计算月波动率时 则使用λ=0.97。JP摩根在1996年公布的RiskMetricsTM技术文档中就是把这 两个λ值作为研究成果用于实证检验
(V (0) VL )
其中a ln 1 a
波动率期限结构
GARCH（1，1）模型允许我们预测波动率期限结构的改变 当σ(0)的变化量为Δσ(0)，GARCH（1，1）预测的σ(T)的相应
变化量为
1 eaT (0) (0) aT (T )
作业 10.9 11 21
2 n
1 m 1
m i 1
(uni
u)
u
1 m
m i 1
uni
这个公式其实就是一个样本方差的计算公式，那么为什么是样
本方差呢？（关于总体和样本的思辨）
简化形式
随机波动率ppt课件
另一种解释是Stock（1988）提出的时间 扭曲观，这种观点认为是因为经济事件 的发生时间与日历时间不一致。
.
波动性的特征
（3）波动非对称性：不同种类的信息对股价 波动的影响不对称，下跌引起的波动比上升引 起的波动大
一种解释是杠杆效应：指股价运动与波动呈现 出负相关的关系。即下降的股价将提高资产负 债比（财务杠杆），因此提高了公司的风险， 从而导致未来波动的上升。
dxadb t dz
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
.
Markov过程
Markov过程是一种重要的随机过程，它 有如下性质：
当随机过程在时刻ti所处的状态已知时， 过程在时刻t(t>ti)所处的状态仅与过程在 ti时刻的状态有关，而与过程在ti时刻以 前所处的状态无关。此特性称为随机过 程的无后效性或马尔可夫性。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情
形，我们可得：
N
z(T)z(0)i
t
i1
当 t0时，我们就可以得到极限的标准
布朗运动：
dz dt
.
普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值 为b2，就可得到变量x的普通布朗运动
另一种解释是如果投资者在趋势十分明 显前忽略了信息，然后以累积的方式对 所有以前被忽略的信息作出反应，就会 得到厚尾。
因此，许多文献提出把资产收益作为厚 尾分布抽取的独立同分布序列建模。假 定误差项服从t分布或广义误差分布等非 正态的厚尾分布，以较好刻画尖峰厚尾 的特征。
.
波动性的特征
《收益波动率计算》课件
意义
计算收益波动率有助于帮助投资者评估自己的风险 承受能力，从而更好地制定投资策略，获得预期的 回报。
收益波动率计算的步骤
1
1. 收集数据
收集投资组合历史收益数据，确保数据完整和可靠。
2
《收益波动率计算》PPT 课件
本课件旨在让您深入了解收益波动率的计算和分析，帮助您更好地把握投资 风险并做出明智的决策。
收益波动率的定义
收益波动率是表征证券或投资组合风险程度的指标。它是以历史数据为基础， 计算投资收益的标准差来衡量风险的，越大代表风险越高。
收益波动率计算的公式
公式
$\sig m a = \sqrt{\frac{\sum _{i= 1}^ n(r_i\bar{r})^ 2}{n - 1}}$
总结与提问环节
在本节课程中，我们深入了解了收益波动率的计算、意义和应用场景，并通 过案例分析加深理解。如果您有什么问题，欢迎提问。
2. 计算平均值
用数据求出平均收益率，即 $\bar{r}$。
3
3. 计算偏差
对每个期间的收益率与平均值之差进行计算。
4
4. 计算标准差
对各期间偏差平方和进行求和，再除以样本数然后开方，即可得到标准差。
收益波动率的解读与分析
解读
收益波动率较高的投资组合表明风险较高，但同时 可能具有更高的收益潜力。
黄金
收益波动率通常较低，但对于通货膨胀等外部 因素有一定的抵御能力。Βιβλιοθήκη 常见收益波动率的应用和意义
风险评估
收益波动率是评估投资风险的 重要指标，帮助投资者进行风 险管理。
波动率的估计(ARCH模型)ppt课件
ˆt2 t2 1(1)ˆt2 1
指数滑动平均
可以选择的范围是0.25~0.02之间。 如果使用EWMA模型进行短期预测选择较
大的，否则选择较小的 。
指数滑动平均计算结果
140
120
100
80
60
40
20
0 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850
实际波动率估计公式：
2 t
n
r2 t ,i
i 1
用计算出的实际波动率来建立AR模型对未
来波动率进行预测
自回归条件异方差
几个主要的自回归条件异方差模型
Engle(1982)ARCH Bollerslev(1986)GARCH Nelson(1991)EGARCH GJR模型 ARCH-M
Weighted Moving Averages 隐含波动率Implied Volatility 实现的波动率realized volatility 自回归条件异方差类模型
数据
以上证日收益率为例
r1 ,r2,r3,…,rT
实际波动率计算公式
2 t
rt2
波动率年度化
*2501/2*100%
历史波动率的估计
t ht vt
ht
0
2 1 t1
vt ~i.i.d (0,1) 正态分布，v t 与 t 1 相互独立
特点：P199
ARCH模型的性质总结：P201
ARCH过程缺点总结
不能反应波动率的非对称特点 约束强，要求系数非负，如果要求高阶
矩存在，还有更多的约束 不能解释为什么存在异方差，只是描述
金融时间序列模型
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正态分布和肥尾分布
幂律：正态分布的代替
• 在分析很多市场变量的收 益行为时，幂律似乎要比 正态分布更好（Prob(v > x) =
a Kx ）
对应于汇率增量的log-log图
估计波动率的标准方法
• 定义 n 为第n-1天所估计
1 的市场变量在第 n 天的波 (u u ) m 1 i 1 1 m u un i m i 1
可得
1 e aT (T ) 252 VL (V (0) VL ) aT
• 估计一个期限为T天的期权
1 a ln a
波动率期限结构
• GARCH（1，1）模型允许 我们预测波动率期限结构
1 e aT (0) (0) aT (T )
2 i
的正态分布的方差 or:
This gives: ui2 ln(v ) v i 1 1 n 2 v ui n i 1
GARCH（1，1）的应用
• 选择参数，最大化下式 u
ln(v ) v
i 1 n 2 i i
i
日元汇率数据的计算
a
i 1
m
i
1
ARCH（m）模型
• 在 ARCH （ m ）模型中，我 V a u
2 n L
i 1
m
2 i n i
们也给长期平均方差 VL一 a 1
m i 1 i
个权重γ
指数加权移动平均模型 （EWMA） • 要避免由于简单移动平均导 致的缺陷，最简单的方法是 (1 )u
型）族的核心思想。
• EWMA属于GARCH模型的一个特 例。GARCH模型族假设收益率
GARCH（1，1）模型
•在 1，1）中，我 GARCH V au （
2 n L 2 n1 2 n1
a 1 们赋予长期平均方差一定
的权重 au
2 n
2 n 1
的改变 • 当σ(0)的变化量为Δσ(0)，
最大似然估计法
• 选择合适的参数使得数据 发生的几率达到最大
例
• 随机抽取某一天10只股票 的价格，我们发现一只股 票价格在这一天价格下降 了，而其它9只股票的价格
例
• 估计一个变量服从均值为 0 1 u Maximize: exp
i 1 n n
2 v
2 v
GARCH（p，q）
2 2 n2 ai un j n j i i 1 j 型已 被提出 • 比如，我们可以设计一个 GARCH模型，使其赋予
2 ui
方差目标
• 一种估计GARCH（1，1） 参数的很好方法是所谓的 方差目标 • 将长期平均方差设定为由
2 n 2 n1 2 n1
对近期的数据赋予更高的权 重。这是指数加权移动平均 法（EWMA）背后的基本思
EWMA的诱人之处
• 需要的数据相对较少 • 仅需记忆对当前波动率的 估计以及市场变量的最新 观察值
CWMA与GARCH
• 运用EWMA估计的市场波动率
并不是常数，这正是广义自回 归条件异方差模型（GARCH模
2 n 1
VL 1a
例10.8
• 假设 0.000002 0.13u
2 n
2 n1
2 0.86 n 1
• 每天长期平均方差为
0.000002 0.13 0.0001 0.86 0.000256 0.00023336
0.0002，对应的波动率为
252
隐含波动率
• 期权公式中唯一不能直接 观察到的一个参数就是股
c S0N (d1 ) Ke rT N (d 2 )
票价格的波动率 ln(S / K ) (r / 2)T d
2 0 1
p Ke rT N ( d 2 ) S0N ( d1 )
• 隐含波动率是将市场上的
汇率的日变化量是否服从正态分 布
标准 现实世 正态模 差的 界 (%) 型 (%) 天数 >1 SD 25.04 31.73 >2SD 5.27 4.55 >3SD 1.34 0.27
肥尾分布
• 证券的收益率。 从图形上说，
较正态分布图的尾部要厚， 峰处要尖。是大概率的小规
模事件与小概率的大规模事 件并存的一种状态。
波动率的定义
• 某个变量的波动率σ定义 为这一变量在单位时间内
T 连续复利收益率的标准差
• 定义Si 为变量在时间 i 的值，
交易天数与日历天数
• 研究表明，交易所开盘交 易时的波动率比关闭时的
year day 252
day
year
波动率要大很多，因此， 当由历史数据估计波动率
2 n m n i
动率
• 定义 Si 为市场变量在第 i
简化形式
• 定义 ui = (Si−Si-1)/Si-1 • 假设 u 期望为0
1 m 2 uni m i 1 i
2 n
• 用 m 代替 m-1
加权权重的格式
• 对等权重进行改进 a u
2 n m i 1 2 i n i
T ln(S0 / K ) (r 2 / 2)T d2 d1 T T
VIX指数
• VIX指数是S&P500指数的波 动率指数
VIX指数
• VIX 是芝加哥期权期货交易所
使用的市场波动性指数。通过 该指数，可以了解到市场对未
来30天市场波动性的预期。
• VIX由CBOT（芝加哥期权期货交
第i 天
Si
ui
-ln v i vi =si2 2 ui /vi
0.0077 1 28 0.0077 0.006 2 79 599
1988~1997年日元日波动率
未来波动率的预测
• 经过一系列的代数过程， E V (a ) ( V )
2 n t t L 2 n L