抽屉原理练习(教师用) - 副本
(完整)抽屉原理讲义-教师
第一抽屉原理原理1：把多于n+k个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n×1,而不是题设的n+k（k≥1），故不可能。
原理2 ：把多于mn（m乘以n)+1(n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体，与题设不符，故不可能。
原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体.原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。
第二抽屉原理把（mn－1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体(例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中,则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2).运用抽屉原理的核心是分析清楚问题中,哪个是物件,哪个是抽屉。
例如，属相是有12个，那么任意37个人中，有几个人属相相同呢？这时将属相看成12个抽屉，则一个抽屉中有 37/12，即3余1，余数不考虑，而向上考虑取整数，所以这里是3+1=4个人，(但这里需要注意的是,前面的余数1和这里加上的1是不一样的.）比如:由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日.这相当于把367个东西放入 366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。
例1一个布袋中有40块相同的木块,其中编上号码1，2，3，4的各有10块。
问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？分析与解：将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。
要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件)物品。
所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块.例2在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除?分析与解：因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1,2三种情形。
20150411抽屉原理教师版
抽屉原理(一)抽屉原理又叫做重叠原则，在国外又叫做鸽舍原理或叫狄利克雷原则。
它的道理很简单，可它却很有用，在许多中小学竞赛中，常常用抽屉原理来分析和解答问题。
什么是抽屉原理呢？举例来说，将3支铅笔放入2个盒子里，想一想，有几种方法？稍加思索我们就会发现，有两种方法：一种方法是一个盒子里放1支铅笔，另一个盒子里放入2支铅笔；还有一种方法是一个盒子里放3支铅笔，另一个盒子里不放铅笔。
综合以上的情况可以得到这样一个结论：不论怎样把铅笔放到盒子里，总有一个盒子里至少有两支以上的铅笔……如果将100支铅笔放入99个盒子里，也总有一个盒子里至少有2只铅笔。
一般来说，如果铅笔的支数比盒子的个数多时，那么一定有一个盒子里有两支或更多的铅笔。
这就是我们要介绍的“抽屉”原理。
“抽屉原理”的第一类：把多于n支的铅笔（至少有n+1个）放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有2支或2支以上的铅笔。
一、填空题1.一个联欢会有100人参加,每个人在这个会上至少有一个朋友.那么这100人中至少有个人的朋友数目相同.2.在明年(即1999年)出生的1000个孩子中,请你预测:(1)同在某月某日生的孩子至少有个.(2)至少有个孩子将来不单独过生日.3.一个口袋里有四种不同颜色的小球.每次摸出2个,要保证有10次所摸的结果是一样的,至少要摸次.4.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取颗.如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出颗.5.从1,2,3…,12这十二个数字中,任意取出7个数,其中两个数之差是6的至少有对.6.某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有人的头发根数一样多.7.在一行九个方格的图中,把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种,那么涂色相同的小方格至少有个.8.一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取张牌,才能保证其中必有3种花色.9.五个同学在一起练习投蓝,共投进了41个球,那么至少有一个人投进了个球.10.某班有37名小学生,他们都订阅了《小朋友》、《儿童时代》、《少年报》中的一种或几种,那么其中至少有名学生订的报刊种类完全相同.二、解答题11.任给7个不同的整数,求证其中必有两个整数,它们的和或差是10的倍数.12.在边长为1的正方形内任取51个点,求证:一定可以从中找出3点,以它们为顶点的三角形的面积不大于1/50.13.某幼儿园有50个小朋友,现在拿出420本连环画分给他们,试证明:至少有4个小朋友分到连环画一样多(每个小朋友都要分到连环画).14.能否在8 8的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1,或2,或3,要使每行、每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同?请说明理由.———————————————答 案——————————————————————1. 2因为每个人至少有1个朋友,至多有99个朋友,将有1个朋友的人,2个朋友的人,…,99个朋友的人分成99类，在100个人中,总有两个人属于同一类,他们的朋友个数相同.2. (1)3;(2)636因为1999年有365天,故在1999年出生的孩子至少有313651000=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个)孩子的生日相同;又因为1000-(365-1)=363,即至少有363个孩子将来不单独过生日.3. 91当摸出的2个球颜色相同时,可以有4种不同的结果;当摸出的2个球颜色不同时,最多可以有3+2+1=6(种)不同结果.一共有10种不同结果.将这10种不同结果看作10个抽屉,因为要求10次摸出结果相同,故至少要摸9⨯10+1=91(次).4. 4;7将三种不同颜色看作3个抽屉,对于第一问中为保证一次取到2颗相同颜色的珠子,一次至少要取1⨯3+1=4(颗)珠子.对于第二问为了保证一次取到两种不同颜色珠子各2颗,一次至少要取4+(1⨯2+1)=7(颗)珠子.5. 1将1~12这十二个数组成{}{}{}{}{}{}12,6,11,5,10,4,9,3,8,2,7,1这六对两数差为6的数组.任取7个数,必定有两个数差在同一组中,这一对数的差为6.6. 267将4千万人按头发的根数进行分类:0根,1根,2根…,150000根共150001类. 因为40000000=(266⨯150001)+99743>266⨯150001,故至少有一类中的人数不少于266+1=267(个),即该省至少有267个人的头发根数一样多.7. 7将每10块颜色相同的木块算作一类,共3类.把这三类看作三个抽屉,而现在要保证至少有三块同色木块在同一抽屉中,那么至少要有2⨯3+1=7(块).8. 29将4种花色看作4个抽屉,为了保证取出3张同色花,那么应取尽2个抽屉由的2⨯13张牌及大、小王与一张另一种花色牌.计共取2⨯13+2+1=29(张)才行.9. 9将5个同学投进的球作为抽屉,将41个球放入抽屉中,至少有一个抽屉中放了9个球,(否则最多只能进5⨯8=40个球).10. 6订阅报刊的种类共有7种:单订一份3种,订二份3种,订三分1种.将37名学生依他们订的报刊分成7类,至少有6人属于同一类,否则最多只有6⨯6=36(人).11. 将整数的末位数字(0~9)分成6类:{}{}{}{}{}{}.6,4,7,3,8,2,9,1,5,0在所给的7个整数中,若存在两个数,其末位数字相同,则其差是10的倍数;若此7数末位数字不同,则它们中必有两个属于上述6类中的某一类,其和是10的倍数.12. 将边长为1的正方形分成25个边条为51的正方形,在51个点中,一定有312551=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个)点属于同一个小正方形.不妨设A 、B 、C 三点边长为51的小正方形EFGH 内,由于三角形ABC 的面积不大于小正方形面积EFGH 的21,又EFGH 的面积为251.故三角形ABC 的面积不大于501. 13. 考虑最极端的情况,有3个小朋友分到1本,有3个小朋友分到2本,…,有3个小朋友分到16本,最后两个小朋友分到17本,那么一共至少要3⨯(1+2+3+…+16)+2⨯17=442(本),而442>420,故一定有4个小朋友分了同样多的书.14. 注意到8行、8列及两对角线共有18条“线”,每条线上有8个数字,要使每条线上的数字和不同,也就是需要每条线上的数字和有18种以上的可能.但我们填入的数只有1、2、3三种,因此在每条线上的8个数字中,其和最小是8,最大是24,只有24-8+1=17(种).故不可能使得每行,每列及两条对角线上的各个数字之和互不相等.十八抽屉原理(二)抽屉原理还有另一种情况：如果把11个苹果放进5个抽屉，那么至少有1个抽屉要放3个或超过3个的苹果。
小学数学 抽屉原理.题完整版教案 例题+练习+作业+答案
抽屉问题（1）求结论【例题1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的．利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，6÷5=1......1 ，1+1=2（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子．【巩固】把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼．在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条，任意放在这8个鱼缸其中的任意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼．【例题2】数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样．属相共12个，把12个属相作为12个“抽屉”，13个同学按照自己的属相选择相应的“抽屉”，根据抽屉原理，一定有一个“抽屉”中有两个或两个以上同学，也就是说至少有两个同学属相一样．【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？一年最多有366天，把366天看作366个“抽屉”，将367名学生看作367个“苹果”．这样，把367 个苹果放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果．这就说明，至少有2名同学的生日相同．【例题3】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为730÷366=1......364，所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天．【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同.将一年中的366天或365天视为366个或365个抽屉，400个人看作400个苹果，从最极端的情况考虑，即每个抽屉都放一个苹果，还有35个或34个苹果必然要放到有一个苹果的抽屉里，所以至少有一个抽屉有至少两个苹果，即至少有两人的生日相同.【例题4】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．方法一：情况一：这三个小朋友，可能全部是男，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的；情况二：这三个小朋友，可能全部是女，那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的；情况三：这三个小朋友，可能其中1男2女那么必有两个小朋友都是女孩说法是正确的；情况四：这三个小朋友，可能其中2男1女，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的．所以，三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是正确的；方法二：三个小朋友只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同的，所以必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．【例题5】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0，1，2，……，n-1．其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见n-1个熟人，所以共有n个“抽屉”．下面分两种情况来讨论：⑴如果在这n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上n-2个熟人，这样熟人数目只有n-1种可能：0，1，2，……，n-2．这样，“苹果”数(n个小朋友)超过“抽屉”数(n-1种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．⑵如果在这n个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有n-1种可能：1，2，3，……，n-1．这时，“苹果”数(n个小朋友)仍然超过“抽屉”数(n-1种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等．【巩固】年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有1个朋友．因此，这20名同学中，每个同学的朋友数只有19种可能：1，2，3，……，19．把这20名同学看作20个“苹果”，又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学，他们的朋友人数一样多．【例题6】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”．一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）．这两个数的差必能被3整除．【巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由．想一想，不同的自然数3除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？把这四个连续的自然数分别除以3，其余数不外乎是0，1，2，把这3个不同的余数当作3个“抽屉”，把这4个连续的自然数按照被3除的余数，分别放入对应的3个“抽屉”中，根据抽屉原理，至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以3的余数相同．【例题7】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数．在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数．【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
小学奥数-抽屉原理(教师版)
抽屉原理如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。
如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。
如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。
这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。
抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。
这样n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件。
这与有多于n个物品的假设相矛盾。
说明抽屉原理1成立。
抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+l。
假定这n个抽屉中，每一个抽屉中的物品都不到（m+l）件，即每个抽屉里的物品不多于m件，这样n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。
这与多于m×n件物品的假设相矛盾。
说明原来的假设不成立。
所以抽屉原理2成立。
运用抽屉原理解题的关键是选好“抽屉”，而构造“抽屉”的方法多种多样，会因题而异。
运用原理1还是原理2要看题目的问题和哪一个更直观。
抽屉原理2实际上是抽屉原理1的变形。
【例1】★某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？【解析】平年一年有365天，闰年一年有366天。
把天数看做抽屉，共366个抽屉。
把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。
【小试牛刀】某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？【解析】1992年共有366天，把它看成是366个抽屉，把370个人放入366个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有2个学生的生日是同一天的。
【例2】★某班学生去买语文书、数学书、外语书。
买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？【解析】首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有7种类型，把7种类型看成7个抽屉，去的人数看成元素。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
抽屉原则练习题
1、试说明:
⑴我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同。
⑵从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套
⑶从数1，2，。。。，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
2、在2010年出生的1000个孩子中,请你预测:
（1）同在某月某日出生的孩子至少有个？
（2）至少有多少个孩子将来不单独过生日？
3、某班有37名小学生,他们都订阅了《小朋友》、《儿童时代》、《少年报》中的
一种或几种,那么其中至少有名学生订的报刊种类完全相同？
4、一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取张牌,才能保证其中必有3
种花色.
5、“六一”儿童节布置会场，学校把鲜花插在9个花瓶里，最少要有多少朵鲜花才
能保证至少有一个花瓶里有6朵或6朵以上的鲜花？
2
6、幼儿园大班的老师把61件玩具分给小朋友玩，要使其中至少有一个小朋友分到
了3个玩具或3个以上的玩具，那么最多应有几个小朋友？
7、口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：
⑴至少取多少根才能保证三种颜色都取到？
⑵至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？
⑶至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？
8、将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不超过11张，至少有多少
名同学得到的卡片相同。
9、木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的
球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？
10．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的
点数？
3
11、一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：
一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？
12、篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意
拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？
13．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每
个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？
14．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女
生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为__________
人。
15、 一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽
几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？
16. 某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，
并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有___46___人带苹果。
4
17. 一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论
怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个
数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了_______堆。
18. 有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出_____只（拿的时
候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。