全国卷高考全真模拟试题含答案

全国卷高考全真模拟试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，考试时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |lg(x －1)>0}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{x |1<x <2} B ．{x |1≤x <2} C ．{x |x <2} D ．{x |x ≤1}答案 C解析 B ＝{x |x >2}，∴∁U B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩(∁U B )＝{x |x <2}，故选C.2．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i －i 2i ＝0的复数z 的共轭复数z 在复平面对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 由题意得，2z i －[－i(1＋i)]＝0，则z ＝－i 1＋i 2i ＝－12－i 2，∴z ＝－12＋i2，其在复平面对应的点在第二象限，故选B.3．下列说法中，不正确的是( )A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题：“若am 2<bm 2，则a <b ”为真命题B ．命题：“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．“x >3”是“x >2”的充分不必要条件 答案 C解析 本题考查命题真假的判断．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 中至少有一个为真命题，C 错误，故选C.4．函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )答案 B解析 易判断函数为奇函数，由y ＝0得x ＝±1或x ＝0.且当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0，故选B.5．sin2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－15B.15 C ．－75D.75答案 D 解析2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos α＋22sin α＝sin α＋cos α，又∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝4925，0<α<π2，∴sin α＋cos α＝75，故选D.6. 执行如图所示的程序框图，若输入t 的值为5，则输出的s 的值为( )A.916 B.54 C.2116 D.118答案 D解析 依题意，当输入t 的值是5时，执行题中的程序框图，s ＝1，k ＝2<5，s ＝1＋12，k ＝3<5，s ＝1＋12－122，k ＝4<5，s ＝1＋12－122＋123，k ＝5≥5，此时结束循环，输出的s＝1＋12－122＋123＝118，选D.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．2π－23B ．2π－43C.5π3D ．2π－2答案 A解析 本题考查几何体的三视图和体积．由三视图得该几何体为底面半径为1，高为2的圆柱体挖去一个底面边长为2的正方形，高为1的正四棱锥后剩余的部分，则其体积为2×π×12－13×(2)2×1＝2π－23，故选A.8．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向右平移π12个单位后的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．0B ．－1C ．－12D ．－32答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π12个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋φ的图象，又g (x )的图象关于y 轴对称， ∴g (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝±1，∴－π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，∴φ＝2π3＋k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴f (x )min ＝－32. 9．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2y ≥0，所表示的区域为M ，函数y ＝1－x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 随机投一个点，则该点落在N 的概率为( )A.2πB.π4C.π8D.π16答案 B解析 本题考查不等式组表示的平面区域、几何概型．在平面直角坐标系画出题中的不等式组表示的平面区域为以(2，0)，(－2，0)，(0，2)为顶点的三角形区域，函数y ＝1－x 2的图象与x 轴围成的区域如图中的阴影部分所示，则所求概率为12π×1212×22×2＝π4，故选B.10．如图，在正六边形ABCDEF 中，点P 是△CDE (包括边界)的一个动点，设AP →＝λAF →＋μAB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 B ．[3,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2 答案 B解析 本题考查平面向量的运算、线性规划的应用．以A 为原点，分别以AB ，AE 所在的直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，设正六边形的边长为1，则A (0,0)，B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D (1，3)，E (0，3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设点P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，AB →＝(1,0)，则由AP →＝λAF →＋μAB →得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12λ＋μ，y ＝32λ解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝233y ，μ＝x ＋33y ，则λ＋μ＝x ＋3y ，又因为点P 在△CDE ，所以当点P 与点D 重合时，λ＋μ取得最大值1＋3×3＝4，当点P 在线段CE 上时，λ＋μ取得最小值3，所以λ＋μ的取值围为[3,4]，故选B.11．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的下顶点，M ，N在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，α∈⎝⎛⎦⎥⎤π6，π4，则椭圆C 的离心率的取值围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，63 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，223 答案 A解析 因为OP 在y 轴上，在平行四边形OPMN 中，MN ∥OP ，因此M ，N 的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M ，N 关于x 轴对称，|MN |＝|OP |＝a ，可设M (x ，－y 0)，N (x ，y 0)．由k ON ＝k PM 得y 0＝a 2.把点N 的坐标代入椭圆方程得|x |＝32b ，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32b ，a 2.因为α是直线ON的倾斜角，因此tanα＝a2÷32b＝a3b.又α∈⎝⎛⎦⎥⎤π6，π4，因此33<tanα≤1，33<a3b≤1，33≤ba<1，13≤b2a2<1，e＝1－⎝⎛⎭⎪⎫ba2∈⎝⎛⎦⎥⎤0，63，选A.12．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′(x)<2恒成立，则使x2f(x)－f(1)<x2－1成立的实数x的取值围为( ) A．{x|x≠±1} B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1)答案 B解析令g(x)＝x2f(x)－x2，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)－2x＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]，当x>0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．又f(x)是偶函数，则g(－x)＝x2f(－x)－x2＝x2f(x)－x2＝g(x)，即g(x)是偶函数．不等式x2f(x)－f(1)<x2－1可变形为x2f(x)－x2<f(1)－1，即g(x)<g(1)，g(|x|)<g(1)，|x|>1，解得x<－1或x>1，选项B正确．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．某单位有员工90人，其中女员工有36人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是________．答案 9解析 男员工应抽取的人数为90－3690×15＝9.14．已知三棱锥P －ABC 的顶点P 、A 、B 、C 在球O 的球面上，△ABC 是边长为3的等边三角形，如果球O 的表面积为36π，那么P 到平面ABC 距离的最大值为________．答案 3＋2 2解析 依题意，边长是3的等边△ABC 的外接圆半径r ＝12·3sin60°＝1，∵球O 的表面积为36π＝4πR 2，∴球O 的半径R ＝3，∴球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝22，∴球面上的点P 到平面ABC 距离的最大值为R ＋d ＝3＋2 2.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.答案 5654解析 △ABC 中，∵tan B ＝－43，∴sin B ＝45，cos B ＝－35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝2c＝8，∴c ＝4，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝65，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝5654.16．过直线l ：x ＋y ＝2上任意一点P 向圆C ：x 2＋y 2＝1作两条切线，切点分别为A ，B ，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2 解析 依题意，设点P (x 0,2－x 0)，则直线AB 的方程为x 0x ＋(2－x 0)y ＝1(注：由圆x 2＋y 2＝r 2外一点E (x 0，y 0)向该圆引两条切线，切点分别为F ，G ，则直线FG 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2)，直线OP 的方程是(2－x 0)x －x 0y ＝0，其中点Q 是直线AB 与OP 的交点，因此点Q (x ，y )的坐标是方程组⎩⎨⎧x 0x ＋2－x 0y ＝1，2－x 0x －x 0y ＝0的解．由⎩⎨⎧x 0x ＋2－x 0y ＝1，2－x 0x －x 0y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02－x 02＋x 20，y ＝2－x 02－x 02＋x 20，即点Q ⎝ ⎛x 02－x 02＋x 20，⎭⎪⎫2－x 02－x 02＋x 20，点Q 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－x02＋x 20－22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 20－2x 0＋2－22.注意到0<1x 20－2x 0＋2＝1x 0－12＋1≤1，－2<1x 20－2x 0＋2－2≤－1,1≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 20－2x 0＋2－2<2，所以22≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 20－2x 0＋2－22<2，即点Q 到直线l 的距离的取值围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2. 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 3＝39，且2a 2是3a 1与a 3的等差中项．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若数列{a n }为递增数列，b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋2，T n＝b 1＋b 2＋…＋b n ，问是否存在正整数n 使得T n >12成立？若存在，求出n 的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公比为q . 由S 3＝39得a 1(1＋q ＋q 2)＝39. ①因为2a 2是3a 1与a 3的等差中项，则3a 1＋a 3＝4a 2. 即q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或q ＝3.代入①式得：当q ＝1时，a 1＝13，{a n }的通项公式为a n ＝13； 当q ＝3时，a 1＝3，{a n }的通项公式为a n ＝3×3n －1＝3n .(2)因为数列{a n }为递增数列，所以a n ＝3n，b n ＝1log 33n ·log 33n ＋2＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.T n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2.由T n >12得n 2－n －4>0，即n >1＋172.又n ∈N *，所以存在最小正整数n ＝3，使得T n >12成立．18．(本小题满分12分)2016年1月19日，主席开启对沙特、埃及、伊朗为期5天的国事访问．某校高二文科一班主任为了解同学们对此事的关注情况，在该班进行了一次调查，发现在全班50名同学中，对此事关注的同学有30名．该班在本学期期末考试中政治成绩(满分100分)的茎叶图如下：(1)求“对此事不关注者”的政治期末考试成绩的中位数与平均数；(2)若成绩不低于60分记为“及格”，从“对此事不关注者”中随机抽取1人，该同学及格的概率为P 1，从“对此事关注者”中随机抽取1人，该同学及格的概率为P 2，求P 2－P 1的值；(3)若成绩不低于80分记为“优秀”，请以是否优秀为分类变量． ①补充下面的2×2列联表；者(单位：人) 对此事不关注 者(单位：人)合计②是否有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系？ 参考数据：P (K 2≥k )0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)“对此事不关注者”的20名同学，成绩从低到高依次为： 42,46,50,52,53,56,61,61,63,64,66,66,72,72,76,82,82,86,90,94， 中位数为64＋662＝65，平均数为 错误!＝66.7.(2)由条件可得P 1＝20－620＝710，P 2＝30－530＝56，所以P 2－P 1＝56－710＝215.(3)①补充的2×2列联表如下：政治成 绩优秀 政治成 绩不优秀 合计对此事关注 者(单位：人) 121830对此事不关注 者(单位：人)5 15 20 合计173350K 2＝5012×15－18×5230×20×17×33＝225187≈1.203<2.706， 所以，没有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系． 19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥A1－ABD的体积．解解法一：(1)证明：连接AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，∵D是AC的中点，∴DO为△ACB1的中位线，∴OD∥B1C.又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.(2)∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝3，∴AB＝3，且△ABC为直角三角形．取AB 的中点M ，连接A 1M ， ∵AB ＝BB 1＝AA 1，∠A 1AB ＝60°， ∴△ABA 1为等边三角形， ∴A 1M ⊥AB ，且A 1M ＝32.又∵平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，平面AA 1B 1B ∩平面ABC ＝AB ，A 1M ⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1M ⊥平面ABC . ∵S △ABD ＝12S △ABC ＝34，∴V 三棱锥A 1－ABD ＝13S △ABD ·A 1M ＝38.解法二：(1)证明：取A 1C 1的中点D 1，连接B 1D 1，CD 1，DD 1， ∵A 1D 1＝12A 1C 1，CD ＝12AC ，A 1C 1綊AC ，∴A 1D 1綊CD ，∴四边形A 1DCD 1为平行四边形， ∴CD 1∥A 1D .又A 1D ⊂平面A 1BD ，CD 1⊄平面A 1BD ， ∴CD 1∥平面A 1BD .∵BB 1綊AA 1綊DD 1，∴四边形D 1DBB 1为平行四边形， ∴B 1D 1∥BD .又BD ⊂平面A 1BD ，B 1D 1⊄平面A 1BD ， ∴B 1D 1∥平面A 1BD . 又CD 1∩B 1D 1＝D 1， ∴平面B 1CD 1∥平面A 1BD .又B 1C ⊂平面B 1CD 1，∴B 1C ∥平面A 1BD . (2)∵AC ＝2，BC ＝1，∠ACB ＝60°，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝3， ∴AB ＝ 3.∴AC 2＝AB 2＋BC 2，∴BC ⊥AB .又∵平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，平面AA 1B 1B ∩平面ABC ＝AB ， ∴BC ⊥平面AA 1B 1B .∵∠A 1AB ＝60°，AB ＝BB 1＝AA 1， ∴AA 1＝3，∴S △A 1AB ＝12AB ·AA 1·sin ∠A 1AB ＝334.∵D 是AC 的中点，∴V 三棱锥A 1－ABD ＝V 三棱锥D －A 1AB ＝12V 三棱锥C －A 1AB＝12×13S △A 1AB ·BC ＝38. 20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过点M (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，|MA |＝λ|MB |，且当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求弦长|AB |的取值围．解 (1)由已知e ＝22，得c a ＝22， 又当直线垂直于x 轴时，|AB |＝2，所以椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22，代入椭圆方程得1a 2＋12b2＝1，∵a 2＝b 2＋c 2，联立方程可得a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当过点M 的直线斜率为0时，点A ，B 分别为椭圆长轴的端点，λ＝|MA ||MB |＝2＋12－1＝3＋22>2或λ＝|MA ||MB |＝2－12＋1＝3－22<12，不符合题意． ∴直线的斜率不能为0.设直线方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，由根与系数的关系可得， ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2m m 2＋2， ①y 1y 2＝－1m 2＋2， ②将①式平方除以②式可得：y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－4m 2m 2＋2， 由已知|MA |＝λ|MB |可知，y 1y 2＝－λ，∴－λ－1λ＋2＝－4m 2m 2＋2，又知λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴－λ－1λ＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0，∴－12≤－4m 2m 2＋2≤0，解得m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27.|AB |2＝(1＋m 2)|y 1－y 2|2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2＋22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋22，∵m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27，∴1m 2＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12，∴|AB |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，928. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax－1，a ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为0，求a 的值； (2)证明：e x ＋(ln x －1)sin x >0.解 (1)f (x )＝ln x ＋ax－1的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2.若a ≤0，则f ′(x )>0，于是f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 故f (x )无最小值，不符合题意．若a >0，则当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． 于是当x ＝a 时，f (x )取得最小值ln a . 由已知得ln a ＝0，解得a ＝1. 综上，a ＝1.(2)证明：①下面先证当x ∈(0，π)时，e x ＋(ln x －1)sin x >0. 因为x ∈(0，π)，所以只要证e xsin x >1－ln x .由(1)可知1x≥1－ln x ，于是只要证e x sin x >1x ，即只要证x e x －sin x >0.令h (x )＝x e x －sin x ，则h ′(x )＝(x ＋1)e x －cos x . 当0<x <π时，h ′(x )＝(x ＋1)e x －cos x >1·e 0－1＝0， 所以h (x )在(0，π)上单调递增．所以当0<x <π时，h (x )>h (0)＝0，即x e x －sin x >0. 故当x ∈(0，π)时，不等式e x ＋(ln x －1)sin x >0成立． ②当x ∈[π，＋∞)时，由(1)知1x≥1－ln x ，于是有x ≥1－ln 1x，即x ≥1＋ln x .所以e x ≥e 1＋ln x ，即e x ≥e x ，又因为e x ≥e(1＋ln x )，所以e x ≥e(1＋ln x )， 所以e x ＋(ln x －1)sin x ≥e(ln x ＋1)＋(ln x －1)sin x ＝(e ＋sin x )ln x ＋(e －sin x )>0.综上，不等式e x ＋(ln x －1)sin x >0成立．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(3，5)，圆C 与直线l 交于A 、B 两点，求|PA |＋|PB |的值．解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t得直线l 的普通方程为x ＋y －3－5＝0.又由ρ＝25sin θ得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1、t 2是上述方程的两实数根， 所以t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4. 又直线l 过点P (3,5)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |(a ∈R )． (1)当a ＝4时，求不等式f (x )≥5的解集． (2)若f (x )≥4对a ∈R 恒成立，数a 的取值围． 解 (1)当a ＝4时，|x －1|＋|x －a |≥5等价于⎩⎨⎧ x <1，－2x ＋5≥5或⎩⎨⎧ 1≤x ≤4，3≥5或⎩⎨⎧x >4，2x －5≥5， 解得x ≤0或x ≥5.所以不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤0或x ≥5}．(2)因为f (x )＝|x －1|＋|x －a |≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|，所以f (x )min ＝|a －1|. 要使f (x )≥4对a ∈R 恒成立，则|a －1|≥4即可，所以a≤－3或a≥5，即实数a的取值围是{a|a≤－3或a≥5}．。