分式方程和无理方程
分式的基本特征范文
分式的基本特征范文分式是一种形式的数学表示，用来表示一个数与另一个数的比值。
分式通常由一个分子和一个分母组成，分子在分式的上面，分母在分式的下面，两者之间用一条横线分隔。
分式的基本特征包括有理数分式、无理数分式、分式的化简、分式的运算和分式方程。
有理数分式是指分子和分母都是有理数的分式，可以用整数的比值来表示。
例如，1/2、3/4、5/6等都是有理数分式。
无理数分式是指分母或分子中包含有无理数的分式，例如√2/3、3/√5等。
有理数分式和无理数分式都属于分式的范畴。
分式的化简是指将一个分式化简为最简形式，即将分子和分母的公因数约掉，以得到一个最简分式。
例如，将2/4化简为1/2，将6/9化简为2/3等。
分式的化简可以帮助我们更容易地进行运算和比较。
分式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
对于分式的加法和减法，需要找到一个公共分母，然后将分子相加或相减即可。
对于分式的乘法，将分子相乘、分母相乘即可。
对于分式的除法，将除数取倒数，然后进行乘法即可。
分式的运算可以通过化简的方式来简化复杂的计算过程。
分式方程是带有分式的方程，其中未知数出现在一个或多个分式中。
解分式方程的一般步骤是去分母，然后解得未知数的值。
解分式方程可以帮助我们求解一些复杂的实际问题，例如比例问题、速度问题等。
在分式的运算中，需要注意的是要避免出现分母为零的情况，因为分式中的分母不能为零。
另外，在化简和计算的过程中，需要注意运用各种数学运算定律和分式运算法则，以确保计算的准确性和有效性。
总之，分式是数学中常见的数学表示形式，具有一定的特征和规律。
掌握分式的基本特征和运算方法，可以帮助我们更好地理解分式的含义和运用，提高数学解题的能力和技巧。
数学初高中衔接之分式方程和无理方程
2.2 分式方程和无理方程初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握 (1) 不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用” 去分母” 或” 换元法” 求方程的根，并会验根； (2) 了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用” 平方” 或” 换元法” 求根，并会验根．一、可化为一元二次方程的分式方程1 ．去分母化分式方程为一元二次方程【例 1 】解方程．分析：去分母，转化为整式方程．解：原方程可化为：方程两边各项都乘以：即，整理得：解得：或．检验：把代入，不等于 0 ，所以是原方程的解；把代入，等于 0 ，所以是增根．所以，原方程的解是．说明：(1) 去分母解分式方程的步骤：① 把各分式的分母因式分解；② 在方程两边同乘以各分式的最简公分母；③ 去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；④ 解一元二次方程；⑤ 验根．26(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为 0 的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0 ．若为 0 ，即为增根；若不为 0 ，即为原方程的解．2 ．用换元法化分式方程为一元二次方程【例 2 】解方程分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设，即得到一个关于的一元二次方程．最后在已知的值的情况下，用去分母的方法解方程．解：设，则原方程可化为：解得或．(1) 当时，，去分母，得；(2) 当时，．检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 ．所以，，都是原方程的解．说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出的值，而没有求到原方程的解，即的值．【例 3 】解方程．分析：注意观察方程特点，可以看到分式与互为倒数．因此，可以设，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程．27解：设，则原方程可化为：．(1) 当时，；(2) 当时，．检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 ．所以，原方程的解是，，．说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想．二、可化为一元二次方程的无理方程根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．1 ．平方法解无理方程【例 4 】解方程分析：移项、平方，转化为有理方程求解．解：移项得：两边平方得：移项，合并同类项得：解得：或检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根．把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根．所以，原方程的解是．说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：28① 移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；② 两边同时平方，得到一个整式方程；③ 解整式方程；④ 验根．【例 5 】解方程分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例 4 的方法解方程．解：原方程可化为：两边平方得：整理得：两边平方得：整理得：，解得：或．检验：把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根．把代入原方程，左边右边，所以是增根．所以，原方程的解是．说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：① 移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；② 两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③ 一下步骤同例 4 的说明．2 ．换元法解无理方程【例 6 】解方程分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：．因此，可以设，这样就可将原方程先转化为关于的一元二次方程处理．解：设，则原方程可化为：，29即，解得：或．(1) 当时，；(2) 当时，因为，所以方程无解．检验：把分别代入原方程，都适合．所以，原方程的解是．说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想．练习：1 ．解下列方程：(1) (2)(3) (4)2 ．用换元法解方程：3 ．解下列方程：(1) (2) (3)4 ．解下列方程：(1) (2)5 ．用换元法解下列方程：(1) (2)30。
解无理或分式方程是否必须验根
OCCUPATION972011 7解无理或分式方程是否必须验根文/黄春山教材是教学的依据，应该是教师可以放心地教，学生可以放心地学，没有知识性错误。
但对于在全国各类成人高等学校招生考试教材理工农医类（中国社会出版社）第１０页中的解方程练习题目的答案解析，笔者不敢苟同。
原题目是：解方程１．2310x x −−= （无理方程） ２．271122x x x x x −=+−−− （分式方程）题１类题目是无理方程，解法很多，常用的方法是，在方程两边同时乘方，去根号或利用换元法转化为有理方程。
解无理方程的基本思想是将无理方程转化为有理方程。
此教材的参考答案的解法为换元法。
题２类题目是分式方程，常见解法有因式分解法、去分母法、换元法，解题思想是将原分式方程整式化。
此教材的参考答案的解法为去分母法。
教材中的标准答案：１．解：23560x x −+=令y 原方程化为260y y −−= （２）解得12,3y y =−=12y =−2−，不合理，舍去 （３）ｙ２3 （４）即ｘ２解得ｘ１＝－１， ｘ２ ＝ ４ ；经验证ｘ１＝－１， ｘ２ ＝ ４都是原方程的根。
２．解：原方程两边同乘以（ｘ＋１）（ｘ－２） （６）得ｘ（ｘ－２）－７＝－（ｘ＋１） （７）即ｘ２－ｘ－６＝０ 解得ｘ１＝－２ ， ｘ２＝ ３；经验证ｘ１＝－２ ，ｘ２＝３都是原方程的根 （８）注：此处两个方程分别为无理方程和分式方程，故需验根。
我们要谈的主要是答案的最后的“注：此处两个方程分别为无理方程和分式方程，故需验根。
”是否无理方程和分式方程的验根是必需的？笔者认为是并非必需的。
在初中教材中只是要求掌握会用平方或换元法求无理方程的根，并会验根，要求验根的原因在于方程两边同乘方若干次数，有可能产生的增根；对于分式方程，要求掌握用去分母或换元法求不超过三个分式构成的分式方程的根解法，并会验根，验根的原因是在于为去分母而两边同乘的式子可能导致增根产生；而验根的本质也就是将多余的增根去掉，显然也是必不可少的。
分式方程、无理方程及二元二次方程组
分式方程、无理方程及二元二次方程组一、知识梳理1、 叫做分式方程。
叫做无理方程。
2、解分式方程、无理方程、二元二次方程组的基本思想是将这些方程 。
具体地说：解分式方程的关键是去掉 ，将其转化为 方程； 解无理方程的关键是去掉 ，将其转化为 方程。
解二元二次方程组关键是 ，将 转化为 、将 转化为 。
3、 解分式方程的两种基本方法是 和 ；解无理方程的两种基本方法是 和 ；解二元二次方程组的两种基本方法是 和 。
4、解分式方程和无理方程， 都是必不可少的步骤。
二、检测练习1、当x= 时，分式325422-+-+x x x x 的值是0。
2、方程222-=-+x x x x 的解是 。
3、方程112=-x 的解是 。
4、方程kx x =-1，当k 时此方程无实数解。
5、把方程x 2-3xy+2y 2=0化为二个元一次方程为 、 。
6、方程 0)223()2(22=-++x y x 的解是 。
三、校正练习1、函数91--=x x y 中的x 的取值范围是 。
2、已知方程03=+-k x 有实数解，则k 的取值范围是 。
3、当分式13932的值大比分式++x x x 时，x= 。
4、方程011122=++++x x x x ，若用换元法设xx y 1+=，原方程可变形为 。
5、方程042322=+++-+x x x x 、若用换元法设y= ，则原方程可变形为 。
6、方程 ⎩⎨⎧-==+1010122xy y x 的解为 。
四、典型例题例1：12244212=-+-++xx x x例2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=--+628272112425yx y x x y y x例3：5325++=+x x例4：若方程)1(112+=+-+x x k x x x x 产生增根，求k 的值。
例5：当方程组⎩⎨⎧=--=+--0201422ky x y x x 有相等的实数解时，求实数k 及方程组的解。
五、小结（略）六、布置作业1、解方程 x x x x --=--1121322 2、解方程 33)2(42322=++-++x x x x 3、解方程 04322=-++-x x4、解方程 135322+=+--x x x x5、要完成一件工程，甲独做比三人合做需多用10天，乙独做比三人合做多用18天，丙在合做中完成全部任务的83，问三人合做几天完成。
分式方程和无理方程
方 法
1.在分式方程两边同乘以最简公分母， 在分式方程两边同乘以最简公分母， 在分式方程两边同乘以最简公分母 可把分式方程化为整式方程 2.换元可以使解方程的过程变得简便 换元可以使解方程的过程变得简便 换元 3. 解分式方程时应注意检验 解分式方程时应注意检验
提 炼
一化二解三检验
三、无理方程的解法
2
x +2 =1 2 2x − 1
2
典
即 7x −1 = 0 或 x − 3 = 0
2
型 例 题
2Байду номын сангаас
解得
7 7 x1 = − , x3 = − 3 , x 4 = 3 , x2 = 7 7
经检验 以上均为原方程的根 以上均为原方程的根. 换元可以使运算变得简便
典
例5 已知关于
x −1 x − 2 2x + a − = 的解为负数 x − 2 x + 1 ( x − 2)( x + 1)
x2 = 22 是增根 是增根.
方程一边出现两个根号时要先移项. 方程一边出现两个根号时要先移项
解无理方程的思路是： 解无理方程的思路是：
无理 方程 去根号
有理 方程
解无理方程的一般步骤
1、将方程的两边平方，化成有理方程.有时要先 将方程的两边平方，化成有理方程. 平方 有理方程 移项，再平方 移项， 2、解这个有理方程. 解这个有理方程. 3、把有理方程的解代入原方程检验 4、写出原方程的根. 写出原方程的根.
解分式方程的思路是： 解分式方程的思路是：
分式 方程 去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 最简公分母 化成整式方程. 化成整式方程. 整式方程 2、解这个整式方程. 解这个整式方程. 3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 把整式方程的解代入最简公分母， 最简公分母 不为0 则整式方程的解是原分式方程的解； 分母的值不为 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根. 写出原方程的根.
分式方程与无理方程
5分式方程与无理方程分母含有未知数的方程叫分式方程，解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有：直接去分母，换元法等.根号内含有未知数的方程叫无理方程，解无理方程的主要思路是去掉根号，把无理方程化为有理方程，常用的方法有：乘方法、换元法、配方法等.在解分式方程、无理方程中，有可能产生增根，尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根，挖掘隐含条件。
例1 若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是________.解题思路 化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约.例2 x =-有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（ ）A. P>－1B. P ≤0C. －1<P ≤0D. －1≤P<0解题思路 将无理方程转化为有理方程，要准确求出P 的范围，还应由二次根式的性质去发现隐含的根的特性.例3 解下列方程（1）5968419221;19968x x x x x x x x ----+=+----（2）22223411;2283912x x x x x x x x ++-+=+-+（3）22()31x x x +=+解题思路 由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母，需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解.例4 解下列方程（11=（2=解题思路 仔细观察被开方数、分子分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口。
在解无理方程时常用的换元法有： （1）局部代换；（2）整体代换；（3）利用倒数关系找换；（4）构造对偶式代换.例5 若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解.解题思路 化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题.练习一1. 若关于x 的方程11ax x +-－1＝0有增根，则a 的值为________. 2. 方程2x ＋21x－3（x+1x ）＋4＝0的解为________.3. ＝12x －a 有一个根是2，则a ＝_______.4. 方程2x ＋3x －2337x x +-＝9的全体实数根的积为_________.5.已知方程x ＋1x ＝a ＋1a 的两根分别为a ，1a ，则方程x ＋11x -＝a ＋11a -的根是（ ）A. a ，11a - B. 11a -，a －1 C. 1a ，a －1 D. a ，1a a -6. 给出下列四个结论，①2没有实数根；②解方2()1x x -－2（1xx -）－3＝0时，若设1xx -=y ，则原方程变形为y 2－2y －3＝0；③存在这样的两个实数a 、b＋a ≠0时，关于x 的方程ax ＝b 总有实数根，其中正确的有（ ）.A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④7. 若m 是方程2x 2＋7x ＋21的所有实数解之和，则m 的值是（ ）.A. 112-B. 72- C. －7 D. －118. 已知关于x x =有一个根为1，那么它的另一个根为（ ）.A. －1B. 0C. 2D. 39. 解下列方程（1103=；（2）2216104()933x x x x+=--10. 若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值.11. 已知关于x 的方程22212022m x x x x m-++=+-，其中m 为实数，当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根.练习二1. 方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是______.2. 方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为_________3. 方程｜x －1992＝1992的实数根是_______.4. 设m 为正数且关于x x m =+有实数解，则m 的取值范围是________.5. 方程33116()x x x x+=+的解的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 2 D. 36. 3的所有解的和为（ ）.A. 4B. 3C. 2D. 07. x =有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（ ）.A. P ≤0B. P<14 C. 0≤P<14 D. P ≥148. 设正整数a ，m ，n =a 、m 、n 的取值是（ ）A. 有一组B. 有二组C. 多于二组D. 不存在9. 解下列方程（1）222212219;116x x x x x x x +++++=+++（2=（a 为不等于0的常数）10. 已知关于x 的方程25()56a ax x x x+--=-有两个根相等.求a 的值.11. 已知关于x 的方程22(1)()(27)()1011x xa a x x --++---有实数根。
什么叫分式方程
什么叫分式方程代数方程分为有理方程和无理方程，而有理方程又分为整式方程与分式方程两大类，所以从方程的分类中可以看出，分式方程属于有理方程。
像在初中阶段研究的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程等都是整式方程，分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程，像方程2/x+1/(x-3)2=4就是分式方程，而像方程2√x=5是无理方程。
去分母，方程两边同乘各分母的最简公分母。
去括号，系数分别乘以括号里的数。
移项，含有未知数的式子移动到方程左边，常数移动到方程右边。
合并同类项。
系数化为1，方程的基本性质就是同时乘以或除以一个数，方程不变。
1怎么解分式方程第一步，去分母，方程两边同乘各分母的最简公分母，解3÷(x+1)=5÷(x+3)。
同乘(x+1)(x+3)就可以去掉分母了。
第二步，去括号，系数分别乘以括号里的数。
第三步，移项，含有未知数的式子移动到方程左边，常数移动到方程右边。
第四步，合并同类项第五步，系数化为1，方程的基本性质就是同时乘以或除以一个数，方程不变，和天平一样的。
这里除以-2。
第六步，检验，把方程的解代入分式方程，检验是否正确。
2解分式方程的方法分式方程的解题思想：基本思想是把分式方程化为整式方程，解出整式方程后，再把整式方程的解代入原方程检验，确定是否是原分式方程的解。
分式方程转化为整式方程的基本方法：一、将方程两边都乘各分母的最简公分母；二、换元法。
由于把分式方程转化为整式方程后，有时会产生不适合原方程的增根，所以解分式方程一定要检验，把不符合方程的根舍去。
对于含有字母系数的方程，要根据字母系数的限制条件，对字母的取值进行分类讨论，然后表示方程的解。
分母中含有未知数的方程叫分式方程。
使分母为0的未知数的值是增根。
3、整式方程、分式方程、无理方程 小班教案
整式方程、分式方程、无理方程复习知识点一、整式方程1字母系数在关于x 的方程20ax bx c ++=中，其中a 、b 、c 是表示已知数的字母，我们把字母a,b,c 叫做字母系数。
而这个方程就是含有字母系数的方程。
例1 解关于x 的方程：（1）ax=x+a; (2) 210bx +=说明：（1）对于含字母系数的一元一次方程，在“系数化为1”这步之前一般应分情况讨论；对于含字母系数的一元二次方程，在“两边开平方”这步前一般也要分情况讨论（2）对于解含字母系数的一元整式方程，用含字母系数的式子去乘、除方程的两边时，这个式子的值不能为零。
（3）在实数范围内对含字母系数的式子开平方时，由于负数没有平方根，因此，根号下面的式子不能小于零2一元整式方程如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程 例2判断下列哪些方程是一元整式方程： 211(1)21;(2)3;(3)212;(4)022x x x x x x y x -=+=--=+= 说明：整式方程并不意味着方程中不能含有根号，分母等，关键是在于含有未知数的项是否都是整式3 一元n 次方程一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），这个方程就叫做一元n 次方程。
一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。
特点：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.例3 关于x 的方程232210a x x +-=是一元几次方程？4二项方程概念：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.注 ：①n ax =0（a ≠0）是非常特殊的n 次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.一般形式：),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+（1）解的情况：当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根，n ab x -=；当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.（2）二项方程的基本方法是（开方）例4解方程：41(1)6404x --=说明：二项方程0(0,0)n ax b a b +=≠≠可变形为n b x a=-：当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；当n 为偶数时,如果ab<0,那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0,那么方程没有实数根。
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分式方程和无理方程
一. 解分式方程和无理方程必需检验
1. 方程01312=--+x x 的解是_________.
2.方程x x -=-2的解是 __________.
3. 方程x x =+2的解是 ___________.
4.方程
1415112-=--+-x x x x 的解是 __________. 5.方程 2x-332=+x 的解是 ( )
A. 21 和3
B. 21
C. -2
1 和3 D. 3 6. 关于x 的方程x k k x -=-的根为 ( )
A. x = k
B. x 1 = k+1 , x 2 = k – 1
C. x 1 = k , x 2 = k + 1
D. x = 2k
7. 方程 4
42144122-=+++-x x x x x 的解是 ( ) A. x 1 = -2 , x 2 = 4 B. x 1 = 2, x 2 = – 4 C. x = 4 D. x = - 4
8.方程3
12)3(42+-=++x x x 的根的个数是 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数多个
二. 与增根有关的填空与选择题.
1. 解分式方程
3
31+=--x m x x 时去分母一步产生了增根,那么m 的值是 ____________. 2. 当m = _____时 , 去分母解方程2
22-=--x m x x 时会产生增根. 3. 解关于x 的方程x m m x x -=--131得 x = 1
34-m m ,当m = ____时,此根是增根. 4. 使分式方程212-=-+x k x x 产生增根的k 的值是 ( ) A. k = 0 B. k = 0, k = 2 C. k = 1 D. k = 2
5. 解关于x 的方程1
3213+-=++x x ax x 有增根x = -1,则a 的值是 ( ) A. 0或1 B. 0 C. 3 D. –2
6. 方程011522=-⋅-+y y y 的解是 ( )
A. 3
B. 3或-5
C. –5或 –1
D. 3 , -5 ,1
7. 方程
0345=-⋅-x x 的解是 ( )
A. x = 34
B. x = 5
C. x = 4
9 D. 没有实数解 三. 运用换元法的题型.
1. 若 x 2 – 3x –1532=+-x x , 设532+-x x = y ,则原方程变为______________________.
2. 若 x 2 + 3x +7 + 03102=+x
x , 设x 2 + 3x = y ,则原方程化为 ___________________________. 3. 若用换元法解方程 x 2-2x + 6 + 627622=+-x x ,则最优方法为设 ( ) A. y = 622+-x x B. y = x x 22- C. y = x 2 – 2x D. y = 6622+-x x
4. 若用换元法解方程 2x 2 -332=-x ,若设y =
23x -, 则原方程可变为 ( ) A. 2y 2 +y+1= 0 B. 2y 2 - y+1= 0 C. 2y 2 +y - 5= 0 D. 2y 2 – y - 5= 0
5. 已知方程3( x 2 +21x ) + ( x + x 1) – 4 = 0, 若设x + x
1= y ,则原方程化为 ( ) A. 3y 2 +5y – 4 = 0 B. 3y 2 + y - 10= 0 C. 3y 2 – 5y +2 = 0 D. 3y 2 + 5y + 2= 0 6. 解方程: 2x 2 + 3x - 59322++x x + 3 = 0 7. 2( x 2 +
21x ) - 9( x + x 1) + 14 = 0。