6年级奥数-不定方程
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【实践】求方程 的正整数解.
【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.
【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.
【解答】设需要大客车x辆，小客车y辆，根据题意可列方程 ，即 .
又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解.易知 是一个特解，通解为
【分析】分析：用x,y,z来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：
如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.
【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.
(2)×3－(1)得：14x+8y=200，即7x+4y=100.
〈方法一〉
〈方法二〉
〈方法三〉
【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.
【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）
【例7】求方程 的整数解.
【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.
A.一切偶数B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、4
2.若正整数x,y满足2004a=15y，则x+y的最小值为.
3.如果三个既约真分数 的分子都加上b，这时得到的三个分数之和为6.求这三个既约真分数的和.
4.（重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？
综上， =2+4+6+…+2002=1003002.
【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题.
【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个C
A.20001999 B.19992000 C.2001000 D.2001999
【总结反思】
【分析】审清题中 的n与方程 是同一个非负整数， 的含义是方程 的非负整数解的（x,y,z）的组数.
【解答】（1）当n=3时，原方程为 ，由于
当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y）=(0,1),(1,0)有2组；
当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0)有4组.
不定方程讲义
讲义编号LTJYsxsrl005
学员编号：LTJY001年级：六年级课时数：
学员姓名:辅导科目：数学学科教师：
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课题
一次不定方程（组）的整数解问题
授课时间：
备课时间：
教学目标
1.理解不定方程（组）的含义
2.掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法
重点、难点
【例2】求方程 的所有正整数解.
【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y来表示x,再将含y的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y0，然后再求x0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.
【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.
以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用.解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握.在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.
【题海拾贝】
1.（2000年希望杯竞赛题）若a、b均为正整数，且2a>b，2a+b=10，则b的值为（）
【实践】求方程 的整数解.
【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？
【分析】设甲组同学a人，乙组同学b人，丙组同学c人，由题意得 .要求 ，可以运用放缩法从确定 的取值范围入手.
【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.
（1）小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？
（2）若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？
【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.
【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比Байду номын сангаас一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.
【例10】设非负整数n，满足方程 的非负整数（x,y,z）的组数记为 .
（1）求 的值；（2）求 的值.
（1）分离整系数法；（2）穷举法；（3）因式分解法；（4）配方法；
（5）整数的整除性；（6）奇偶分析；（7）不等式分析；（8）乘法公式.
【学法指导】
【例1】求下列不定方程的整数解（1） ；（2） .
【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.
【解答】（1）原方程变形为： ，观察得到 是 的一组整数解（特解），
【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的 ，求一切这样三位数的和.
【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n满足 ，则m的最大值为.
【分析】把m用含有n的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m的最大值.
【解答】∵ ，∴ ，
由题意可得，n≠8，∴ ，
【本讲重点】
求一次不定方程（组）的整数解
【知识梳理】
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.
重要定理：
设a、b、c、d为整数，则不定方程 有：
定理1若 且d不能整除c，则不定方程 没有整数解；
定理2若 是不定方程 且的一组整数解（称为特解），则 （t为整数）是方程的全部整数解（称为通解）.（其中 ,且d能整除c）.
【解答】（1）设小明摸的红球有x个，黄球有y个，蓝球有 个，则 ，
整理，得 ，因为x、y均为正整数，可知x的最大值为4.即红球最多不超过4个.
（2）由（1）知蓝球的个数是 ，
又∵ ∴
因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.
【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.
【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日.
【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].
【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y.根据题意可列方程31x+12y=347.
〈方法一〉〈方法二〉
特解：
答：此人的生日为5月16日.
【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解.其中方法二是利用了同余的知识.
【解答】设 ，则原方程可看作 对于方程（1）x=-t,y=t是一个特解，
从而（1）的整数解是
又t=2,z=3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是
将（6）代入（3）、（4）消去t得到原方程的所有整数解为：
【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式.
重点：不定方程定理的理解
难点：解不定方程方法与技巧的灵活运用
考点及考试要求
不定方程（组）是数论中的一个重要课题
教学内容
【写在前面】
不定方程（组）是数论中的一个重要课题.对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.
由原方程可得 ，
由此可观察出一组特解为x0=25，y0=2.
∴方程的通解为 .
其中 ∴ ∴ ∴
代入通解可得原方程的正整数解为
【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法.这样就容易找出一组整数解来.
综上， =6.
（2）当n=2001时，原方程为 ，由于
当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组；
当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…；
当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0)有2002组.
【解答】设甲组同学a人，乙组同学b人，丙组同学c人，则 .
∵ ，∴ .
∵ 是整数，∴ =12或13.但当 =13时，得 ，无正整数解.
六年级奥数第28讲：不定方程
简单的不定方程所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
解不定方程的方法是：（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。
（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。
（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。
（4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。
例1、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。
甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。
年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。
问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。
做一做：有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。
那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？例2、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？做一做：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？例3、某单位的职工到效外植树，其中的男职工，也有女职工，并有31的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中女职工有多少人？做一做：一群猴子采摘水蜜桃。
猴王不在的时候，一只大猴子1小时可采摘15千克，一只小猴子1小时可采摘11千克；猴王在场监督的时候，大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘，去伺候猴王，有一天采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共摘3 382千克水密桃。
问：在这个猴群中，共有大猴子多少只？例4、小明用5天时间看完一本200页的故事书。
已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一天、第二天看的页数之和，第四天看的页数是第五天至少看了多少页？做一做：有一堆围棋子，白子颗数是黑子颗数的3倍。
六年级奥数第23讲 - 不定方程
【例1】求3x+4y=23的自然数解。
解：先将原方程变形， 。可列表试验求解：
X
1
2
3
4
5
6
7
Y
5
×
×
×
2
×
×
所以方程3x+4y=23的自然数解为 或
【变式1-1】求3x+2y=25的自然数解。
【变式1-2】求4x+5y=37的自然数解。
【例2】求方程组的自然数解：
解：这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程：
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
【例5】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？
解：设一等奖有x人，二等奖有y人，三ห้องสมุดไป่ตู้奖有z人。则
由 ×2－ ，得12x+5y=22，可得
苹果
9
8
7
6
5
4
3
2
1
橘子
2
4
6
8
10
12
14
16
18
梨
19
六年级奥数不定方程
六年级奥数不定方程Prepared on 21 November 2021第六讲不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。
要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。
如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。
但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。
必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】例1：求下列方程的整数解（x＞0，y＞0）。
（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－3211x，11x－2能被3整除且x＜9。
模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。
（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =7757，求A+B 的值。
例2：某单位职工到郊外植树，其中31的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子3y x +人，这个条件说明3|x+y 。
模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。
每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。
问中、小宿舍共有多少间例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。
模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
六年级奥数专题培优讲义不定方程及解析全国通用
六年级奥数专题培优讲义——不定方程及解析知识点梳理：在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个方程。
当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 典型例题的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。
高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲 不定方程
练习2、点心店里卖大、小两种蛋糕．一个大蛋糕恰好够7个人吃，一个小蛋糕恰好够4个人吃，现在有100个人要吃蛋糕，应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费？如果每个大蛋糕10元，每个小蛋糕7元，那么至少要花多少钱？
前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可，但有的问题除了要求“解必须是自然数”外，还会有一些其它的约束．下面我们就来看几道这样例题．
例3．甲、乙两个小队去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人植树10棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？
「分析」不妨设甲小队有 人，乙小队有 人．由“两小队植树棵数相等”，你能列出一个关于 与 的不定方程吗？所列出来的不定方程又该如何求解？
5.甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书．已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余各捐9册．已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，且每个班捐赠的册数都在400与600之间．各班各有多少人？48，49，41
例题3.答案：76
详解：设甲、乙两小队分别有 人和 人．则两队植树棵数分别为 棵和 棵．由分析得： ．将 0、1、2、……代入方程验证 是否是自然数，可以求出方程的 值最小的一组自然数解 ，此时每队的植树棵数均为38棵．
方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“ 值增加13且同时 值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解是 ， ， ，……），每次“ 值增加13且同时 值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味着要增加3次，符合要求的自然数解是 ．所以甲队有33人，乙队有43人，两队共有 人．
六年级上册奥数第八讲不定方程
第八讲不定方程一个方程中有两个未知数，未知数的个数多于方程的个数，这样的方程叫做不定方程。
古希腊的数学家丢番图曾写过关于不定方程的书《算术》，所以不定方程又叫丢番图方程，不定方程往往有无数解，但如果有限制条件，例如求自然数解，往往会使解的个数变成有限。
例题精讲例1、一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10, 问这两种盒子各有多少?例2、甲级铅笔7块钱一支，乙级铅笔3块钱一支。
问张明用60元恰好买两种铅笔共多少支?例3、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1亳米铜管，那么，只有当锯得的38毫米的铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少?例4、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明其套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。
小明套10次共得了61分。
问:小鸡至多被套中多少次?例5、学校里共有12间宿舍，可以住80人，大宿舍住8人，中宿舍住7人，小宿舍住5人，问中宿舍和小宿舍共有多少间?例6、某地水费，不超过10度时，每度0. 45元;超过10度时，每度0.80元。
张家比李家多交水费3.30元，如果两家的用水量都是整数度，问张家、李家各交水费多少元?例7、将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计),问剩余部分铝管最少是多少厘米?例8、某种考试已举行24次，共出了426道题。
每次出的题目，有25题，或者16题，或者20题，那么，其中考25题的有多少次?同步训练1、一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21,问小明摸出的球中红球最多不超过多少个?2、篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，求其中排球的个数。
(完整版)小学奥数-不定方程(教师版)
不定方程如$知识梳理］在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个 方程。
当未知数的个数多于方程的个数时， 这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图,不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足 轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过， 我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而 且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种 情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中 以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整 数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确 求解。
特色讲解］【例1】★求方程5x 2y 27的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数x 1x 3 x 5 , ,y 11 y 6 y 1【小试牛刀】求方程 4x + 10y = 34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34，两边约去2后，得2x + 5y = 17, 5y 的个位是0 或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17, 5y 的个位只能是5, y 为奇数即可；2x 的个位为2,所以 x 的取值为1、6、11、16……x= 1 时，17-2x = 15, y = 3, x= 6 时，17-2x = 5 , y = 1 , x= 11 时，17 — 2x = 17 — 22,无解 所以方程有两组整数解为：dx 1 x y 3，y【例2】★ 设A , B 都是正整数，并且满足 A11［解析］3A 11B 17 33333A+11B=17,因为 A 、B 为正整数，所以 A=2, B=1, A+B=3【例3】★ ★（北大附中入学考试真题） 14个大、中、小号钢珠共重 100克，大号钢珠每个重 12克，中号每个重 8克，小号每个重 5克。
小学六年级奥数 第八章 不定方程
第八章不定方程知识要点如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数，此方程(组)称为不定方程(组)。
如x＋y＝10，1512x ay a-=⎧⎨+=⎩，。
不定方程(组)的解是不确定的。
一般地，如果没有给不定方程的制约条件，那么它就有无限多个解。
小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。
关于参数方程，就是有时题中给的条件过少，就设一个未知数参与运算，这个参数不影响结果。
例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原两位数的8倍小1，原来的两位数是。
点拨根据题意，可由原来的两位数和变化后的三位数之间的数量关系列出方程。
解设原来的两位数是ab＝10a＋b，则新数是0a b＝100a＋b。
依题意得 100a＋b＋1＝8(10a＋b)即 20a＋1＝7b所以 a＝71 20 b-因为a，b是整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，所以 a＝1，b＝3即原来的两位数是13。
说明如果方程存在的解不止一个，则要逐一解出，并检验，千万不要漏掉或出现与题意相矛盾的解。
例2 (“迎春杯”邀请赛试题)某工厂为优秀职工发奖金，一等奖每人1800元，二等奖每人1200元，三等奖每人800元。
每种奖都有人领，共有15名优秀职工领取奖金的总数为16000元，获一、二、三等奖的职工各有多少人？点拨根据题意，一、二、三等奖人数之和等于15这一等量关系显而易见，而15名职工领取奖金的总和为16000元这一等量关系也给出，可列出方程。
解设一、二、三等奖依次有x人、y人、z人，则有1800x＋1200y＋800z＝16000即 9x＋6y＋4z＝80又x＋y＋z＝15，将z＝15－x－y代入上式，得9x＋6y＋60－4x－4y＝80整理得 5x＋2y＝20又x，y，z是正整数，解得 x＝2，y＝5，z＝15－x－y＝8。
答：获一等奖的有2人，二等奖的有5人，三等奖的有8人。
例3 100头驴驮100袋物品，一头大驴驮3袋，一头中驴驮2袋，两头小驴驮1袋。
小学六年级奥数第40讲 不定方程(含答案分析)
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲不定方程
第七讲不定方程前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程 3x 4 19只有一个解x 5，方程组x 2y 5只有一组解 2x 3y 8什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程唯一，因为每当y 取定一个数值时，x 就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样一来就会有无穷多组解.通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时.，这个方程.(或 方程组).就会有无穷多个解.可是方程的解那么多， 究竟哪个才是正确的呢？应该说， 如果不加任何额外的限制条件， 这 无穷多个解都是正确的. 但在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数，这样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不对.x 2y 5的解就不対刖•所以这杆的方程才 囚平处方程啊 x+y=10陕。
一个右程龙么含右两个木 如数啊”这样的力稈论町好 多桦1方程个数小于未知数个数怖方 程如叫不罡方4T.不定方程，顾名思义就是“不确定”的方程，这里的不确定主要体现在方程的解上.之本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组）：它们所含未知数的个数往往求下列方程的自然数解:(1) x 2y 5 ;(2) 2x 3y 8 ;(4) 4x 5y 20 .本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组） ：它们所含未知数的个数往往大于方程的个数， 而未知数本身又有一定的取值范围， 这个范围通常都是自然数——这 类方程就是“不定方程” ．形如 ax by c （ a 、b 、c 为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式．解 这样的方程， 最基本的方法就是枚举． 那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们 下面结合例题来进行讲解．例1．甲级铅笔 7角一支，乙级铅笔 3角一支，张明用 5元钱买这两种铅笔， 钱恰好花完． 请 问：张明共买了多少支铅笔？「分析」设张明买了甲级铅笔 x 支，乙级铅笔y 支，可以列出不定方程：7x 3y 50, 其中x 和y 都是自然数.怎么求解呢？x 19 x 22 x 25、、y 4 y 2 y 0的不定方程的自然数解时,我们可以先找出一组解,之后其余的所有解都可由这一组解的次变化 a 得到（注意变化的方向相反, 一个增加, 另一个就得减少, 才能保证 ax by 的 大小不变）练习 1、（1）求 3x 5y 35的所有自然数解；（2）求11x 12y160 的所有自然数解.般地,如果m是ax nby xmax byc 的一组解,那么yn 这naam abbn abam bn c .另外,也是 ax by c 的一组解,理由相同.2x 这条性质有什么用呢？我们以求x 10一组自然数解x 10.应用上面的规律,y 10 然数）,所得结果仍然是x 25都是 2x 3y y0增加 2,所得结果也是 b（当n a 时）也是3y 50的自然数解为例, 2x 3y 50的一组解, 所以y 50的自然数解.另外x 每次减少2x 是2x 3y 50的自然数解. 而且这样就已经求出了2x 是：因 b . ,（当 m b 时） a我们容易看出它有13 x 16 x 19 x 228 、 y 、 6 y 、 4 y 2 、 3（只要 x 还是自然数） ,y 每次 x 7x 4 x 1、、也都y12 y 14 y163y 50的自然数解,所以50 的所有自然数解,它们3y x 每次增加3, y 每次减少2 （只要y 还是自x x 16 y6 ax by c （ a 、b 、c 为正整数）7 x 10 x 13 、、 12 y 10 y 8 x 值每次变化 b , y 值每例2．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23 个鸡蛋，每个小盒里有16 个鸡蛋．采购员要恰好买500 个鸡蛋，他一共要买多少盒？「分析」采购员要买多少个大盒，多少个小盒？大盒个数与小盒个数之间有什么联系？练习2、点心店里卖大、小两种蛋糕．一个大蛋糕恰好够7 个人吃，一个小蛋糕恰好够4 个人吃，现在有100 个人要吃蛋糕，应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费？如果每个大蛋糕10 元，每个小蛋糕7 元，那么至少要花多少钱？前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可，但有的问题除了要求“解必须是自然数”外，还会有一些其它的约束．下面我们就来看几道这样例题．例3．甲、乙两个小队去植树．甲小队有一人植树12 棵，其余每人植树13 棵；乙小队有一人植树8 棵，其余每人植树10 棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？「分析」不妨设甲小队有X人，乙小队有y人•由“两小队植树棵数相等”，你能列出一个关于x与y的不定方程吗？所列出来的不定方程又该如何求解？练习3、天气炎热，高思学校购置了大、小空调若干．每台大空调每天耗电38 度，每台小空调每天耗电13 度．已知所有大空调日耗电量之和恰好比所有小空调日耗电量之和少 1 度．请问：单位里最少购进了多少台空调？例4．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24 厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分最少是多少厘米？「分析」不妨设已经截出了x根长36厘米的管子和y根长24厘米的管子.合金铝管如果刚好能够被用完，方程应该怎么列？列出来的方程有自然数解吗？练习4、酒店里有500 升女儿红，李一白每次路过这里就打走35 升，杜二甫每次路过这里就打走21 升．那么若干天后，酒店剩余的女儿红最少是多少升？二元一次不定方程只要找到一组自然数解，就能利用方程系数有规律地写出所有自然数解•而含有更多未知数的不定方程又当如何求解呢?例5.我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱•要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？「分析」题中有几个未知量？由这些未知量你能列出几个方程？:；《张丘建算经》■- 张丘建，北魏清河（今山东邢台市清河县）人，中国古代数学家，著有《张丘建算.经》.该书的体例为问答式，条理精密、文辞古雅，是中国古代数学史上少有的杰作.；；《张丘建算经》现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，:各种等差数列问题的解决，某些不定方程问题的求解. 百鸡问题就是其中一个著名的不定方程问题.- 张丘建所处的年代是中国古代的南北朝时期•尽管当时的中国战火连年，朝代更迭::频繁，且一直处于分裂状态，但数学发展的脚步依然没有停下•与《张丘建算经》同时代的算经还有《孙子算经》和《夏侯阳算经》，而与张丘建本人同时代的数学家还有大＞名鼎鼎的祖冲之.例6.卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后她共花了360元，且每种糖都买了•请问：卡莉娅买了多少包奶糖？「分析」题目中出现了四种糖果，我们不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有x 包、y包、z包和w包，再由已知的单价、总价可以列出方程13x 17y 7.8z 10.4w 360 .这是一个四元一次方程，如果按通常的解法枚举出所有解，势必会有太多可能性需要讨论，过于繁琐•而且题目也没要我们求出所有解，只要我们求出奶糖的数量即可.那有没有办法不求其它糖果，只求奶糖的数量呢？练习6、求22x 26y 33z 65w 194的所有自然数解.气象学家Lorenz 提出一篇论文，名叫“一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在德克萨斯州引起 龙卷风？”论述某系统如果初期条件差一点点，结果会很不稳定，他把这种现象戏称做「蝴 蝶效应」•就像我们投掷骰子两次，无论我们如何刻意去投掷，两次的物理现象和投出的点 数也不一定是相同的.Lorenz 为何要写这篇论文呢?这故事发生在1961年的某个冬天，他如往常一般在办公室操作气象电脑.平时，他只 需要将温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微分方程式，计算出下 一刻可能的气象数据，因此模拟出气象变化图.这一天，Lorenz 想更进一步了解某段纪录的后续变化， 他把某时刻的气象数据重新输入电脑，让电脑计算出更多的后续结果•当时，电脑处理数据资料的数度不快，在结果出来之 前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵•在一小时后，结果出来了，不过令他目瞪口呆•结 果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到后期，数据差异就越大了，就像是不同的两 笔资讯.而问题并不出在电脑，问题是他输入的数据差了0.000127,而这些微的差异却造成天壤之别•所以长期的准确预测天气是不可能的.蝴蝶效应课 内 外 堂作业5x 2 y 4z 601. （1）求5x 7y 31的所有自然数解；（2）求5x 2y 4z 60的所有自然数解．x 2 y z 362. 在一次植树节的活动中，参加活动的男生每个人种11 棵树，女生每个人种7棵树，最后所有人一共种了100棵树，那么参加活动的一共有多少人？3. 一张纸上写有25个1.21 和25个1.3．现在要划去其中的一些数，使留下来的数的总和为20.08，那么应划去多少个 1.3？4. 樱木同学特别喜欢吃包子，每天早上都到学一食堂买包子吃．（1）第一天早上，樱木同学花了6元买了一些冬菜包和豆香包，两种包子他都买了．已知冬菜包每个7 角，豆香包每个 5 角，那么樱木同学一共买了多少个包子？（2）第二天早上，樱木同学去学一食堂的路上遇到了晴子．于是樱木邀请晴子一起去吃包子．到学一食堂后，两人除了吃冬菜包和豆香包以外还点了几串羊肉串．已知羊肉串每串1 .2元，最后一共花了18元，所点包子与羊肉串数量总和是25．那么两人最多吃了多少串羊肉串？5. 甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书．已知甲班有1 人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11 册；乙班有 1 人捐6册，3人各捐8册，其余各捐 1 0册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余各捐9册．已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101 册，且每个班捐赠的册数都在400与600之间．各班各有多少人？第七讲不定方程例题：例题1. 答案：14 或10详解：由于方程两边除以 3 的余数相同, 7x 3y x mod3 , 50 2 mod3 ,所以x除以3余2 .又因为7x 50，所以x是不超过7的自然数，只能取2或5.当x 2时，y 50 2 7 3 12 , x y 14；当x 5 时, y 50 5 7 3 5 , x y 10．所以张明共买了14支或10支铅笔．例题2. 答案：26详解：设买了大盒鸡蛋x盒，小盒鸡蛋y盒，则23x 16y 500 .考虑方程两边除以16 的余数，得：7x除以16的余数是4.首先要求7x是4的倍数，所以x是4的倍数，验证x 4、8、12、……发现满足7x除以16的余数是4的最小x值是12,相应的y的值是14,即x 12．由于12 16 且14 23,所以方程没有其它自然数解,采购员一共y 14买了12 14 26 盒鸡蛋．例题3. 答案：76详解：设甲、乙两小队分别有x人和y人.则两队植树棵数分别为13x 1棵和10y 2棵.由分析得：10y 13x 1 .将y 0、1、2、……代入方程验证x是否是自然数，可以求出方程的y值最小的一组自然数解y 4，此时每队的植树棵数均为38棵.x3方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“y值增加13且同时x值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解是y 17, y 30, y 43,……），每次“ yx 13 x 23 x 33值增加13且同时x值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味着要增加 3 次，符合要求的自然数解是y 43.所以甲队有33 人，乙队有x 3343 人，两队共有33 43 76 人.例题4. 答案：8详解：设已经截出了x根长36厘米的管子和y根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长36x 24y厘米.由36,24 12，得：36x 24y一定是12的倍数.而380不是12 的倍数，所以36x 24y 380是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？由于36x 24y —定是12的倍数，小于 380且能被12整除的最大自然数是372，而36x 24y 372的自然数解是存在的，如X 1，也就是截出1根长36厘米的管子和y 1414根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米•所以剩余部分最少是380372 8厘米.x y z 100详解：设公鸡、母鸡和小鸡分别买了 x 只、y 只和z 只•依题意，得： 1•要5x 3y - z 100 3求这个方程的自然数解， 我们用“消元”的想法把它转化成二元一次不定方程求自然 数解的问题.我们选择“消去” z :将第二个方程乘以3,然后减去第一个方程， 得:例题6.答案：12详解：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有x 包、y 包、z 包和w 包，则13x 17y 7.8z 10.4w 360 .把系数都化成整数，得：65x 85 y 39z 52w 1800 .由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数y 分为一组，其余未知数分为另一组：65x39z 52w85y1800 .也就是 13 5x 3z 4w 85y1800 .令 u 5x 3z 4w ，则13u 85y 1800 .它的自然数解只有U 60，所以阿奇共买了 12包奶糖.y 12x 0x 4x 8x 12有自然数解是： y 25、 y 18、 y 11和 y 4 .所以我们有四种符合要求的买z 75 z 78 z 81 z 84 x y 4z 值分别为75、78、81、84都是自然数，于是原不定方程的所鸡方案：公鸡 0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公例题5.答案：有四种符合要求的买鸡方案：公鸡 母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡 小鸡84只 0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只, 11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，14x 8y 200，即 7x 4y100，它的所有自然数解是x 0 x 4 x 8 、 、y25y 18y1112 .它们对应的鸡8只，母鸡 11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只.练习：1. 答案： ( 1 )有三组解： x 0 ； x 5；x 1010；(2)有一组解：x8y 7 y 4y1 y6简答： ( 1)考虑方程两边除以 3 的余数； ( 2) 考虑方程两边除以11 的余数2.答案：有四种购买方案： 1 2个大蛋糕， 4个小蛋糕； 8个大蛋糕， 11 个小蛋糕； 4个大 蛋糕， 18 个小蛋糕； 0 个大蛋糕， 25 个小蛋糕；第一个方案最省钱，只要花12 10 4 7 148 元 简答：求不定方程 7x 4y 100的自然数解即可.3. 答案： 4 台简答： 38x 13y 1 的最小自然数解为x 1， 最少需要大空调 1 台，小空调 3 台y34. 答案：3简答： 注意 35x 21y 是7的倍数.x7 x 6x 55. 答案：( 1) 有三组解： y 1 、 y3 、 y5； (2) 1； 2； 6z2 x 1x简答： ( 1) 消去 x 可解；( 2)求 x yz 9的正整数解即可.16x12y 1 0z 1006 x 015 ； y 140 z 83的余数；(2)消去未知数y ,转化成二元一次不定方程.2. 答案： 12x4x 4，所以参加活动的共有 4 8 12 人. y83. 答案： 17作业：x x2 1. 答案：( 1 )x 2；( 2) yy3z 简答：( 1 )考虑方程两边除以简答：由 11x 7y 100 ，得：简答：设留下来的数中有x 个 1.21 和y 个 1.3，则 1.21x 1.3y 20.08.由于总和的百分位是8，说明x 8或18.仅当x 8相应的y 是整数，求得y 8，所以应该划去25 8 17 个 1.3.4. 答案：( 1) 10；(2) 7x5简答：( 1)设买了冬菜包x 个，豆香包y 个.由7x 5y 60，得：x 5，所以樱木同y5x24x17x10学一共买了5 5 10个包子；( 2)由7x 5y 12z 180,得：y0、y5、y10 x y z 25135z z zx3或y 15 ，所以羊肉串最多有7 串. z75. 答案：甲51 ；乙53；丙49 简答：设甲、乙、丙三个班分别有x 人、y 人、z 人，则由已知可得：20 11(x 3) 30 10(y 4) 28 11x 31 10y，即，所以可知x 是除以10 余 1 的数，y30 10(y 4) 50 9(z 8) 101 10y 89 9z是除以9余8的数.又因为每班捐书册数在400与600之间，所以x只能取51,此时才同时满足y是除以9余8的数，即为53,则z为49.x 1 x 4 x、、y 16 y 14 y 这就告诉我们,在求形如。