七篇不等式讲二元一次不等式(组)与简单线性规划问题
七篇不等式讲二元一次不等式(组)与简单线性规划问题
50x＋40y≤2 000 答案 x∈ N＋
y∈ N＋
考向一 二元一次不等式 ( 组) 表示的平面区域
【例 1】?(2011 ·湖北 )直线 2x＋y－10＝0 与不等式组
x≥0 y≥0， x－y≥－ 2， 4x＋3y≤20
表示的平
面区域的公共点有 ( )． A． 0 个 B．1 个 C．2 个 D．无数个
解读 法一 特殊值验证：当 y＝ 1， x＝0 时， x＋2y＝2，排除 A ， C；当 y＝－
1，x＝0 时， x＋ 2y＝－ 2，排除 D，故选 B.
法二 直接求解：如图，先画出不等式 |x|＋|y|≤1 表示的平面区域，易知当直线
x＋2y＝ u 经过点 B，D 时分别对应 u 的最大值和最小值，所以 umax＝2，umin＝－ 2. 答案 B 5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成． 请木工需付工资每人 50 元，请 瓦工需付工资每人 40 元，现有工人工资预算 2 000 元，设木工 x 人，瓦工 y 人， 请工人的约束条件是 ________．
第 3 讲 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题
1．考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值 (或取值范围 )． 2．考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围． 【复习指导】 1．掌握确定平面区域的方法 (线定界、点定域 )． 2．理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法 (图解法 )，注意线 性规划问题与其他知识的综合．
线性目标函数
目标函数是关于变量的一次函数
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标
在线性约束条件下， 求线性目标函数的最大值或最小值 线性规划问题
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(优秀经典专题及答案详解)
专题7 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学习目标1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识点一二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分知识点二点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.知识点三简单的线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由变量x，y组成的一次不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【典例1】（山东烟台二中2019届模拟）(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞【答案】(1)B (2)D【解析】(1)作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2，2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A ⎝⎛⎭⎫23，23，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)． 若原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.【方法技巧】1．求平面区域面积的方法(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高．若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解．若为不规则四边形，可分割成几个规则图形分别求解再求和即可．2．平面区域的形状问题两种题型及解法(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．【变式1】（河南开封高级中学2019届模拟）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0所表示的平面区域被直线l ：mx －y ＋m ＋1＝0分为面积相等的两部分，则m ＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2【答案】A【解析】由题意可画出可行域为△ABC 及其内部所表示的平面区域，如图所示．联立可行域边界所在直线方程，可得A (－1,1)，B ⎝⎛⎭⎫23，－23，C (4,6)．因为直线l ：y ＝m (x ＋1)＋1过定点A (－1,1)，直线l 将△ABC 分为面积相等的两部分，所以直线l 过边BC 的中点D ，易得D ⎝⎛⎭⎫73，83，代入mx －y ＋m ＋1＝0，得m ＝12，故选A.考点二 求线性目标函数的最值【典例2】【2019年高考北京卷理数】若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C【解析】由题意1,11yy x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-，当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时，z 取最大值5，故选C ．【方法技巧】线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以直接解出可行域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值。
二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
第2讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题, [学生用书P111])1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组) 表示区域 Ax ＋By ＋C >0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax ＋By ＋C ≥0 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成的有序数对(x ，y )，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x ，y )构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称 意义 约束条件 由变量x ，y 组成的不等式(组) 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于变量x ，y 的函数解析式，如z ＝x ＋2y 线性目标函数 关于变量x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 1．辨明两个易误点(1)画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先将二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)的形式；(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．2．求z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；(2)当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．1.教材习题改编 不等式x －2y ＋6<0表示的区域在直线x －2y ＋6＝0的( ) A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方 D ．左下方C [解析] 画出x －2y ＋6<0的图象如图所示，可知该区域在直线x －2y ＋6＝0的左上方．故选C.2.教材习题改编 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．3B ．32C ．－32D ．－3A [解析] 画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，知y ＝－2x ＋z ，当目标函数过点(2，－1)时直线在y 轴上的截距最大，为3.3．(2016·高考北京卷)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8C [解析] 依题意得k AB ＝5－12－4＝－2，所以线段l AB ：y －1＝－2(x －4)，x ∈[2，4]，即y ＝－2x ＋9，x ∈[2，4]，故2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9，x ∈[2，4]．设h (x )＝4x －9，易知h (x )＝4x －9在[2，4]上单调递增，故当x ＝4时，h (x )max ＝4×4－9＝7.4．(2017·扬州模拟)点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________．[解析] 因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.[答案] ⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 5．约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2x －y ≥－2y ≥0表示的平面区域的面积为________．[解析]作出⎩⎨⎧x ＋y ≤2x －y ≥－2y ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示．则A (0，2)，B (－2，0)，C (2，0)，所以S 阴＝S △ABC ＝12×4×2＝4.[答案] 4二元一次不等式(组)表示的平面区域[学生用书P112][典例引领](1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0得A (8，－2)． 由x ＋y －2＝0得B (0，2)．又|CD |＝2，故S 阴影＝12×2×2＋12×2×2＝4.(2)不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝⎛⎭⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (1)4 (2)(0，1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞若本例(2)条件变为：若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．[解析] 如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件．[答案] [5，7)二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．[通关练习]1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )C [解析] (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C.2．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y －2≤0y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为________．[解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．[答案] －1求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)[学生用书P113]线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，属必考内容，题型多为选择题和填空题，属中档题．高考对线性目标函数最值(范围)问题的考查主要有以下两个命题角度： (1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)．[典例引领](1)(2016·高考全国卷丙)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．(2)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】 (1)作出不等式组表示的平面区域， 如图中阴影部分所示，由图知当z ＝2x ＋3y －5经过点A (－1，－1)时， z 取得最小值，z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝ax －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中， 解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B. 【答案】 (1)－10 (2)B利用线性规划求目标函数最值的步骤 (1)画出约束条件对应的可行域；(2)将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点； (3)将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值．[注意] 对于已知目标函数的最值，求参数问题，把参数当作已知数，找出最优解代入目标函数．[题点通关]角度一 求线性目标函数的最值(范围)1．(2016·高考全国卷甲)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．[解析] 法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 并平移，观察可知，当直线经过点A (3，4)时，z min ＝3－2×4＝－5.法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得z min ＝－5.[答案] －5角度二 已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)2．(2017·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________．[解析] 画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y 得，y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.[答案] 10线性规划的实际应用[学生用书P113][典例引领](2016·高考全国卷乙)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】 由题意，设产品A 生产x 件， 产品B 生产y 件， 利润z ＝2 100x ＋900y ， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)， 所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 【答案】 216 000(2016·高考天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料A B C甲 4 8 3 乙 5 5 10现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．, [学生用书P114])——数形结合思想求解非线性规划问题(2015·高考全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．【解析】 画出可行域如图阴影所示，因为 yx 表示过点(x ，y )与原点(0，0)的直线的斜率，所以点(x ，y )在点A 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 所以A (1，3)． 所以yx的最大值为3.【答案】 3(1)本题在求y x 的取值范围时，利用数形结合思想，把yx转化为动点(x ，y )与定点(0，0)连线的斜率．解决这类问题时，需充分把握目标函数的几何含义，在几何含义的基础上加以处理．(2)常见代数式的几何意义： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离；② （x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；③yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率值； ④y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率值．1.(2016·高考山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12C [解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P (x ，y )为平面区域内任意一点，则x 2＋y 2表示|OP |2.显然，当点P 与点A 重合时，|OP |2即x 2＋y 2取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故A (3，－1)．所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C.2．(2017·洛阳统考)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥m表示的平面区域的面积为2，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为( )A ．32B ．43C ．2D ．4B [解析] 画出不等式组所表示的区域，由区域面积为2，可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13，所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43., [学生用书P331(独立成册)])1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B [解析] 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0. 即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.2．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋2y ＋2≥0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1>0x －2y ＋2>0A [解析] 两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0，0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0，0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，3]B ．[－1，1]C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)D [解析] 直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1，2)时，k 最小，此时k CM ＝2－（－1）1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D.4．(2017·大连双基测试)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，3x ＋y －6≥0，y ≤3，则z ＝－2x ＋y 的最小值为( )A ．－7B ．－6C ．－1D ．2A [解析] 可行域如图，平移直线y ＝2x 至过点(5，3)时，z 取得最小值－7.5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1C ．43D ．3B [解析] 作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2，0)，B (1－m ，1＋m )，C ⎝⎛⎭⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m ，0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )(1＋m －2＋2m 3) ＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．6．(2017·河南省六市第一次联考)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y的最小值为－1，则实数m ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3B [解析] 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A (2，3)时符合题意，又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5，故选B.7．(2017·安徽安庆二模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≤0，z ＝x －2y ，则z 的取值范围是________．[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图，由图可知当z ＝x －2y 过点A 时，z 取得最大值； 当z ＝x －2y 过点B 时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0解得B (1，2)，则z min ＝1－2×2＝－3， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0解得A (2，0)，则z max ＝2－2×0＝2， 故z ＝x －2y 的取值范围是[－3，2]． [答案] [－3，2]8．(2017·贵州黔东南州模拟)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为________．[解析] 作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方， 由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)， 此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5. [答案] 5 9．(2016·高考浙江卷改编)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________．[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)，D (－1，1)，所以|AB |＝|CD |＝（2＋1）2＋（－2－1）2＝3 2.[答案] 3 210．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．[解析] 法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.[答案] －1或211．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围． [解] (1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．12．(2017·江西高安中学联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5)C ．[0，5]D ．⎣⎡⎭⎫53，5B [解析] 作出可行域如图所示：易求得A ⎝⎛⎭⎫2，32，B ⎝⎛⎭⎫13，23，C (2，－1)，令μ＝2x －2y －1，则y ＝x －μ＋12，当直线y ＝x －μ＋12过点C (2，－1)时，μ有最大值5，过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，μ有最小值－53，因为可行域不包括x ＝2的边界，所以z ＝|2x －2y －1|的取值范围是[0，5)．故选B.13．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．[解] (1)法一：因为P A →＋PB →＋PC →＝0， 又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2.法二：因为P A →＋PB →＋PC →＝0， 则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，所以OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，所以|OP →|＝2 2. (2)因为OP →＝mAB →＋nAC →， 所以(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.14．某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A ，B ，C 的数量和一周内可用资源数量如下表所示：原材料 甲(吨) 乙(吨) 资源数量(吨) A 1 1 50 B 4 0 160 C 2 5 200如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？[解] 设工厂一周内安排生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，所获周利润为z 元．依据题意，得目标函数为z ＝300x ＋200y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ≤160，2x ＋5y ≤200，y ≥0，x ≥0.欲求目标函数z ＝300x ＋200y ＝100(3x ＋2y )的最大值，先画出约束条件表示的可行域， 如图中阴影部分所示，则点A (40，0)，B (40，10)，C ⎝⎛⎭⎫503，1003，D (0，40)．作直线3x ＋2y ＝0，当移动该直线过点B (40，10)时，3x ＋2y 取得最大值，则z ＝300x ＋200y 取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得)． 故z max ＝300×40＋200×10＝14 000.所以工厂每周生产甲产品40吨，乙产品10吨时，才可获得最大周利润，为14 000元．。
高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明1二元一次不等式与简单的线性规划问题课件新人教A版22
标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得
最值.
-27考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)(2020 河北唐山二模)已知 x,y 满足约束条件
- + 2 ≥ 0,
-2 + 1 ≤ 0,则 z=x-y 的最大值为( B )
包括
标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应_____
实线
边界直线,则把边界直线画成
.
(2)因为对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)
代入Ax+By+C,所得的符号都 相同
,所以只需在此直线的同
一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的 符号 即
-1 ≤ 0,
- + 1 ≥ 0
为( D )
A.-5
B.1
C.2
D.3
(2)如图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示
+ -1 ≥ 0,
为 -2 + 2 ≥. 0
-17考点1
考点2
考点3
+ -1 ≥ 0,
解析: (1)不等式组 -1 ≤ 0,
所围成的平面区域如图所示.
3
3
7
A.1
B.
C.
D.
2
4
4
- ≥ 0,
2 + ≤ 2,
(2)若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则
≥ 0,
+ ≤
a 的取值范围是( D )
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件-2023届高三数学(文)一轮总复习
解析：在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2，
0)，(0，2)，(4，2)为顶点的三角形区(包含边界)(图略)，易得当目标函数z1＝2x
－y经过平面区域内的点(4，2)时，取得最大值2×4－2＝6.z2＝x2＋y2表示平面区
域内的点到原点的距离的平方，易得原点到直线x＋y＝2的距离的平方为所求最
z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3
，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，dmin＝1
－(－3)＝4，dmax＝ −3 − 5 2
所以z的取值范围为[16，64].
+ 2 − 2 2 ＝8.
y
2．(变问题)若例2中条件不变，将“z＝ ”改为“z＝|x＋y|”，如何
，B，设想培优小组A中，每1名学生需要配备2名理科教师和2名文科
教师做导师；设想培优小组B中，每1名学生需要配备3名理科教师和1
名文科教师做导师．若学校现有14名理科教师和9名文科教师积极支
5
持，则两培优小组能够成立的学生人数和最多是_____．
反思感悟
第三节 二元一次不等式(组)
与简单的线性规划问题
·考向预测·
考情分析：主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范
围、参数的取值(范围)以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔
也会出现斜率型和距离型的目标函数，此部分内容仍是高考的热点，
主要以选择题和填空题的形式出现．
学科素养：通过线性规划在求最值中的应用问题考查直观想象、数
最大值
最小值
最大值
在线性约束条件下求线性目标函数的________或
二元一次不等式(组)与简单的线性规划
社交网络分析
在线性规划中，人们可以利用线 性规划的解决方案来分析和优化 人际关系、以及大规模的社交和 商务场景。
单纯形法的应用举例
制造业
单纯性法可以用于制造企业的工 艺计划和订单管理，以实现最大 利润。
航空
在航空业中，单纯性法可以用于 口岸货物的管理，确保一切清晰 有序。
商业
将单纯性法应用于商业管理，如 超市商品的调配。
对偶理论的基本概念
可行解
对偶问题的可行解是原线性规划问题的解的上 界，它以原问题的所有约束条件为基础。
业务分析
在线性规划中，公司可以利用该 技术来优化商业活动，降低成本， 提高效率，并最大化利润和市场 份额。
线性规划在现代科学中的应用
能源管理
在线性规划中，可以对于能源的 分配和使用进行优化，例如太阳 能电池板的电力分配和十字路口 的智能交通管理。
图像处理
在线性规划中，它是一种用于编 码、吸引、提取和分配数字图像 的优化方法。
线性规划是将一种线性函数最大化或最小化的 数学方法。
约束条件
这是限制进程中的变量取值的一系列不等式。
目标函数
目标函数是一个线性函数，其最大值或最小值 即为所求的约束条件下的最优解。
最优解
最优解是可以以最简单、最优的方式达成目标 函数的点或区域。
线性规划的约束条件
1
等式约束条件
等式约束条件是受限的因素与目标函数之间形成等式。
3
解析法
解析法是一种比较简单的、用代数方法求解线性规划的方法。它应用于较小的问 题。
线性规划的图像分析
目标函数
目标函数即要优化的事项。在线 性规划中，它往往是模型的第一 或二等项。
限制条件
最优解
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0把直角坐标平面分成了三个部分： (1)直线l 上的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c ＝0；(2)直线l 一侧的平面区域内的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c >0； (3)直线l 另一侧的平面区域内的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c <0.所以，只需在直线l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x 0，y 0)，从ax 0＋by 0＋c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．选择题：已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52 C ．2 D ．2 2解析 ∵直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，∴如图所示的可行域为直角三角形， 易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故|AB |＝2，|AC |＝22，其面积为12×|AB |×|AC |＝2.若x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32 D ．2解析 如图所示，目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )解析 (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎨⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34解析 由题意得平面区域如图，A (0，43)，B (1，1)，C (0，4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43已知约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析 由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，∴只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与 kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求．变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析 画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)．由⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1) 当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n ， 当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，易知A (2，0)， 由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z . ∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选Bx ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1 解析如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5，0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5，0)．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．(0,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 解析不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( )A ．－209 B ．1 C ．2 D ．5 解析 作出可行域，如图所示的阴影部分化目标函数z ＝y －mx (m ＞0)为y ＝mx ＋z ，由图可知，当直线y ＝mx ＋z 过A 点时，直线在y 轴的截距最大，由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1函数y ＝2x 图像上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2解析 作出函数y ＝2x的图像及⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图像上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.若变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92 D ．5 解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎨⎧ y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x 的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1 解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x 的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图像可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1设实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是( ) A ．－5 B ．－12 C.12 D ．5 解析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，则w ＝y －1x －1的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (1,1)所在直线的斜率，由图像可知当P 位于点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43时，直线AP 的斜率最小，此时w ＝y －1x －1的最小值为43－113－1＝－12已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．[53，5]B ．[0，5]C ．[53，5)D ．[－53，5) 解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．填空题：不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是____解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，∴只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．∵A (1，1)，B (0，4)，∴AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，∴k ＝73.已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值， 由⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝______解析 显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1，1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1，不符合题意故必有m >2，此时不等式组⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A (1，1)，B (m －1，1)，C (m ＋13，2m －13)． 由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值，最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3 由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x上的一个动点，则OM →·ON→的最大值是_______ 解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (1，1)．设z ＝OM →·ON→＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时， z ＝2x ＋y 取得最大值3已知向量OA →＝(1,0)，OB →＝(1,1)，O 为坐标原点，动点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤OP →·OA →≤1，0≤OP →·OB →≤2，则点Q (x ＋y ，y )构成图形的面积为________解析 由题意知，OP →·OA →＝x ，OP →·OB →＝x ＋y ，即0≤x ≤1，0≤x ＋y ≤2，设x ＋y ＝a ，y ＝b ，则有0≤a －b ≤1，0≤a ≤2，点Q (a ，b )所在平面区域如图所示，则其面积为1×2＝2设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________解析 ∵a >0，b >0，∴由可行域得，如图，当目标函数过点(4，6)时z 取最大值，∴4a ＋6b ＝10，a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0，0)的距离的平方， 那么其最小值是点(0，0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，则a 2＋b 2的最小值是2513解答题：实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 解由⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，∴yx 的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)． 由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)． (2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方， ∴x 2＋y 2的值最小为|OA |2(取不到)，最大值为|OB |2由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)，∴|OA |2＝(02＋12)2＝1，|OB |2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是(1，5]专项能力提升已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．(－6，－2)B ．(－3，2)C ．(－103，－2)D ．(－103，－3) 解析 作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)>0，f (1)>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP→＋OQ →|的最小值为( )A.55B.23C.22 D ．1 解析 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA→|， 其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y＝0上的投影，如图．∵|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，∴|OP →＋OQ →|min＝55设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x )≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )A.3π4B.3π5C.4π7D.π2 解析 平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部， 作出它们表示的平面区域如图所示：图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形．由于圆和曲线y ＝1x 关于直线y ＝x 对称，∴阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1，显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6 ∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________． 解析 ∵x 2＋y 2≤1，∴2x ＋y －4＜0，6－x －3y ＞0， ∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y令z ＝10－3x －4y ，如图，设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直，∴直线OA 的方程为y ＝43x ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x ，x 2＋y 2＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，∴当z ＝10－3x －4y 过点A 时，z 取最大值，z max ＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝15已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12给定区域D ：⎩⎨⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析 作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0，1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题讲义
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题讲义一、知识梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念3．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．注意：1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．()(2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( )(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( )(5)线性目标函数的最优解是唯一的．( )(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( )(7)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )题组二 教材改编2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )3．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)题组三：易错自纠4．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( )A ．(0,0)B ．(－1,1)C ．(－1,3)D ．(2，－3)5．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为( ) A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．46．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．三、典型例题题型一：二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1：不含参数的平面区域问题典例在平面直角坐标系中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C.12D.14命题点2：含参数的平面区域问题 典例 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43思维升华：(1)求平面区域的面积对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解．跟踪训练 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )(2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2题型二：求目标函数的最值问题命题点1：求线性目标函数的最值典例 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0， 则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9命题点2：求非线性目标函数的最值典例 若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12命题点3：求参数值或取值范围典例 变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有 ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．跟踪训练 (1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3 题型三：线性规划的实际应用问题典例 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？思维升华：解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．(5)检验：根据结果，检验反馈．跟踪训练 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 四、反馈练习1．下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－1，2x －y ＋2≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－1，2x －y ＋4≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥－2，2x －y ＋2≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥－2，2x －y ＋4≤02．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3， 则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A.23 B ．1 C.32D ．3 3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A ．－3 B ．1 C.43D ．3 5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元6．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是( ) A ．－2B ．2C ．－1D ．17．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)8．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是________．9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．10．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x上的一个动点，则OM →·ON →的最大值是________．11．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为__________． 12．若点(1,1)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ mx ＋ny ≤2，ny －mx ≤2，ny ≥1表示的平面区域内，则m 2＋n 2的取值范围是__________．13．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( ) A ．－1B ．－52＋17 C.13D ．－75 14．设P 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ，y ≥0，x －y ≥－1，x ＋y ≤3表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，若OP →＝λm＋μn ，则2λ＋μ的最大值为________．15．已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y >x ，y <2x ＋1，则x ＋y x 2＋y 2的取值范围为______．。
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第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1 •考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值 (或取值范围).2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围.【复习指导】 1 .掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域).2.理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法 (图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合.KAOJIiZIZHUDAOXUE —B—01 考基自主导学基础梳理1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，直线I: ax+ by+ c= 0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线I上的点(x, y)的坐标满足ax+ by+ c= 0;②直线I 一侧的平面区域内的点(x, y)的坐标满足ax+ by+ c>0;③直线I另一侧的平面区域内的点(x, y)的坐标满足ax+ by+ cv0.所以，只需在直线I的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(X0, y°),从ax0 + by。
+ c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域.(2)由于对直线Ax+ By + C = 0同一侧的所有点(x, y),把它的坐标(x, y)代入Ax + By+ C所得到实数的符号都相同亠所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(X0, y0),由AX0+ By°+ C的符号即可判断 Ax+ By+ C>0表示直线 Ax+ By+ C =0哪一侧的平面区域.2.线性规划相关概念——助< 谭_ -----一种方法确定二元一次不等式表示的平面区域时,.……经常采用“直线定界，.特殊点定域…”的方法.•….(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线;...若不等式含有等号, .把直线画成实线：.….(2)特殊点定域，即在直线Ax土 By 士.C亍.0.的某一侧取一个.特殊点…(X., y o)作为测试点代入不等式检验,…若满足不等式，.则表示的就是包括该点的这一侧，……否则就表示直线的另一侧:…特别地，当….C^0时，.常把原点作为测试点;…当….一C. 0 .时，常选点.(1,0)或者(0,1)作为测试点，.…一个步骤利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：.……(1)在平面直角坐标.系内作出可行域;…一…(2)考虑目标函数的几何意义，.将目标函数进行变形; .(3)确定最优解：.在可行域内平行移动冃标函数变形后的直线，从而确定最优解；.⑷求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值, ....两个防范⑴画出平面区域,..避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化一. ..(2)求二元一次函数.-z. ax 土 b.y(ab.于.0).的最值，将函数..z. ax 土 by转化为直线的斜.. 截式：y三二bx 土b，通过求直线的截距b的最值间接求出…乙的最值一要注意;…当…b> 0 .时.，截距.b 取最大值时?…z 也取最大值；截距.b 取最小值时,…z 也取最小值；当 b<0时…截距.b 取最大值时……z 取最小值；截距.b 取最小值时……z 取最大值.：双基自测1.(人教A 版教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为().A. 2x — y — 3< 0B. 2x — y — 3>0C. 2x — y — 3<0D. 2x — y — 3>0 解析 将原点(0,0)代入2x — y — 3得2X 0— 0 — 3= — 3<0,所以不等式为2x — y —3> 0. 答案 B2 •下列各点中，不在x + y — 1<0表示的平面区域内的点是( ).A. (0,0) B . (— 1,1) C . (— 1,3) D . (2,— 3)解析 逐一代入得点(一1,3)不在x+ y — K 0表示的平面区域内. 答案 C3•如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是().x+y —1<0 B. ix — 2y+ 2< 0x+y —1 > 0 A.ix — 2y+ 2>\+y —1<0D.JA — 2y+ 2> 0解析 两条直线方程为：x+ y —1 = 0, x — 2y+ 2 = 0. 将原点(0,0)代入x+ y — 1得—1 v0, 代入 x — 2y+ 2得 2>0, 即点(0,0)在x — 2y+ 2>0的内部， 在x+ y — 1< 0的外部，x+ y — 1> 0,故所求二元一次不等式组为x — 2y+ 2> 0.答案 A4. (2011安徽)设变量x, y 满足|x|+ |y|< 1,则x+ 2y 的最大值和最小值分别为().A. 1,— 1B. 2,— 2C. 1,— 2D . 2,— 1解析 法一 特殊值验证：当y= 1, x= 0时，x+ 2y= 2,排除A , C;当y=— 1, x= 0 时，x+ 2y= — 2,排除 D,故选 B.法二 直接求解：如图，先画出不等式xi+|yS 1表示的平面区域，易知当直线 x+ 2y= u 经过点B , D 时分别对应u 的最大值和最小值，所以U max = 2 , U min =— 2. 答案 B5 •完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成. 请木工需付工资每人50元，请 瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人, 请工人的约束条件是 _____________ .x+y — 1 > 0C.JiX —2y+ 2<「50x+ 40yW 2 000 x€ N + y€ N +KAOXIANGTANJIUDAOXU9 考向探究导桁考向一二元一次不等式（组）表示的平面区域面区域的公共点有（）.A. 0个 B . 1个 C . 2个 D .无数个［审题视点］准确画出不等式组所表示的平面区域， 比较直线2x + y — 10 = 0与4x + 3y — 20= 0的斜率即可判断.解析 由不等式组画出平面区域如图（阴影部分）. 直线 2x+ y — 10= 0 恰过点 A （5,0）,4且斜率k= — 2vk AB = — 3,即直线2x+ y — 10= 0与平面区域仅有一个公共点 A （5,0）.答案 B方：；匚；请亠 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交 集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.0< x< 2,【训练1】 已知关于x, y 的不等式组x+y — 2>0,所表示的平面区域的面kx — y+ 2> 0答案02【例1】？（2011湖北）直线2x+ y —10= 0与不等式组x> 0y> 0,x — y> — 2,表示的平). B. — 3 D. 0解析 其中平面区域kx — y+ 2>0是含有坐标原点的半平面.直线kx — y+ 2= 0又过定点（0,2），这样就可以根据平面区域的面积为 4,确定一个封闭的区域，作 出平面区域即可求解.平面区域如图所示，根据区域面积为 4,得A （2,4），代入直线方程，得k= 1. 答案 A考向二求线性目标函数的最值【例2】？（2011广东）已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 0< x< .2，y<2， 给定.若M （x, y ）为D 上的动点，点A 的坐标为（2，1）则z=x< 2yOM O 只的最大值为（）.A. 3B. 4C. 3 2D. 4 2［审题视点］作出平行域D ，然后解出目标函数z 的表达式，用截距法求z 的最大 值.、丫V、尸______* -X"x JK*^0 '、, X=J2 ''J积为4,则k 的值为（ A. 1 C. 1 或一3解析画出区域D，如图中阴影部分所示，而z= OM O云=2x + y，/y=— 2x+ z,令I o： y=—• .2x,将I o平移到过点（.2, 2）时，截距z有最大值，故z max =.2X 2 + 2 = 4.答案 B-■- - >>求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0,将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解.-|-x+ 2y— 3< 0，【训练2］已知变量x，y满足条件x+ 3y— 3>0，若目标函数z= ax+ y（其y— 1 < 0，中a>0）仅在点（3,0）处取得最大值，则a的取值范围是（）.（n 1 i 「A—，- 2 B. — 2, 0L n （i ,C.o, I D・2，ZVs+3y-3=O0⑶矿吒工解析画出x、y满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z= ax+ y仅在点（3,0）处取得最大值，则直线y= — ax+ z的斜率应小于直线x+ 2y— 3= 0的斜率，即1 1—av — 2，「a> ^.答案 D考向三求非线性目标函数的最值x — 4y+ 3< 0,【例3］ ?变量x、y满足3x+ 5y — 25<0,x> 1.⑴设z= y■，求z的最小值；x⑵设z= x2 + y2,求z的取值范围.［审题视点］利用目标函数所表示的几何意义求解.j _x —4y+ 3< 0， 解 由约束条件 3x+ 5y — 25< 0，x> 1.作出(x ，y)的可行域如图所示. 由r—1，解得 c （1,1）.x — 4y+ 3— 0，(1)vz — x —算.二z 的值即是可行域中的点与原点 0连线的斜率.观察图形可知x x — 0(2)z = x 2 + y 2的几何意义是可行域上的点到原点 0的距离的平方.结合图形可知, 可行域上的点到原点的距离中，d min = |0牛返 ,d max — |OB|=^/29.二 2<zW29.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值.如果点P 在平面区域 x+ y — 2< 0，2y — 1> 0—1上，那么|PQ|的最小值为（ ）.3 4 A .2—5- 1 C. 2 .2— 1 D. 2— 1解析由广3x+ 5y — 25— 解得A 1，22 .x — 4y+ 3— 0，3x+ 5y — 25— 0，解得 B （5,2）.【训练3】 上，点Q 在曲线x 2 + (y+ 2)2（3如图，当P取点0, 2 , Q取点（0, -1）时，PQI有最小值为~2 答案A考向四线性规划的实际应用【例4】？某企业生产A, B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦, 试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？［审题视点］题目的设问是“该企业如何安排生产，才能获得最大利润”，这个利润是由两种产品的利润所决定的，因此A，B两种产品的生产数量决定着该企业的总利润，这里两种产品的生产数量是问题的主要变量，故可以设出A，B两种产品的生产数量，列不等式组和建立目标函数.解设生产A，B两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，依题意，得3x+ 10y< 300,9x+ 4y< 360，4x+ 5y< 200，x>0，y>0.目标函数为z= 7x+ 12y. 作出可行域，如图阴影所示.当直线7x+ 12y= 0向右上方平行移动时，经过 M(20,24)时z取最大值.•••该企业生产A，B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润.-■- 线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题.【训练4】(2011四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车•某天需运往 A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元•该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 z=( ).A. 4 650元B. 4 700元C. 4 900元 D . 5 000元解析设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为z元，z= 450x+ 350y，y x+ y< 12，2x + y< 19，由题意，x、y满足关系式 10x+ 6y>72，作出相应的平面区域，z= 450x0< x< 8，0< y< 7，x + y= 12，+ 350y= 50(9x+ 7y),在由确定的交点(7,5)处取得最大值4 900元.[2x+ y= 19答案 CKAOTIZHLJANKIANGTUPO ・・・—---冷考题专项突破难点突破16——高考中线性规划问题近几年新课标高考对线性规划问题的考查主要是以选择题或填空题的形式出现， 线性约束条件下的线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得， 所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代 入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值.了 x+ 2y — 5< 0，【示例11 ? （2011山东）设变量x ，y 满足约束条件 x — y —2<0，则目标函x> 0，数z= 2x+ 3y+ 1的最大值为（）.17A. 11B. 10C. 9 Dp1这种解医城少了作圉的时间，休现了特殊与 丄興削舉-学禺想…I x + 3y — 3》0，【示例21 ? （2010浙江）若实数x ，y 满足不等式组 2x — y — 3< 0， 且z= x+x — my+ 1 > 0，y 的最大值为9，则实数m 等于（ ）.A. — 2B. — 1C. 1D. 203 分别求出两期克线的交点.•代人目标函数战江 即可f.J ：+ 2^-5 = 0.得他门心=10； I .」：一— 2 = 0 *油「一 = 5得口_弟“ =_£ [.1 = 0*—*■丘扁_刚好是示例1的一个逆向问题•仍可以利用边 建啰—界点来处理 油目标函数益=飞+了的最大值是乳易知当目i 區©—［标函数取最大值时，即为直线=+ y= 9在£［轴上敢截距十 |处理线性规划问题的解题思路是由平面区域|到区域的边界线，再到边界线的交点，一步一］ 芒勢—［步从-般情况退化到特殊的情况，从而有r 【上述快速而巧妙的解法iIi:\ J ：一 Yny — 1 = 0•:.[2工一y — 3 =I:r+ $ = 9,:代人r — niy + 1 = 0得m = 1*敢选C的交点，山得（4小。