求圆的轨迹方程练习题汇总
圆的方程（交点，轨迹）难题
搞定圆的方程（交点，轨迹类难题）常见的隐藏圆已知动点P和两定点A，B。
�����⃗⋅PPPP�����⃗=λλ1.PPPP2.PPPP2+PPPP2=λλ3.PPPP PPPP=λλ（阿波罗尼斯圆）4.直径所对圆周角为9005.圆周角的相关性质6.关于阿波罗尼斯圆（阿氏圆）的相关性质：内分点（圆内点），外分点（圆外点），（即两定点），阿氏圆圆心在一条直线上当一个圆以及其内分点或外分点中一点确定，另外一点必然唯一确定小结论−DD=xx1+xx2−EE=yy1+yy2FF=xx1⋅xx2=yy1⋅yy2以找临界为通法的一类问题【链接】双动点类问题，其中一个在圆上的动点利用三角换元简化问题：消参数法：变式：若上述问题，两圆及定点不变，MA⊥MB，求AB的最值。
（取AB中点，利用RT三角形中，斜边中线等于斜边一半的结论，转为上述问题）（原问题）临界法：临界法：在平面直角坐标系x Oy 中，已知圆C 1：(x +1)2+(y -6)2=25，圆C 2：(x -17)2+(y -30)2=r 2.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A ，B ，且满足PA=2AB ，则半径r 的取值范围是 . [5,55]临界法：已知圆A：xx2+yy2=1，圆B：xx2+yy2−6xx−8yy+aa=0，若对于圆A上任意一点,，在圆B上总存在不������⃗=3PPMM������⃗，则实数aa的取值范围是________.（9,16]同的两点M，N，使得PPPP中华中学14临界法：角度类临界问题南京一中14易得，M点在轨迹圆xx2+yy2=1上。
对于每一个在轨迹圆上的点M，均做以OM为弦，所对圆周角为30°的外接圆，点P可以在每一个同样的外接圆的优弧上，这些外接圆优弧铺满了一个圆环面，即图中两个圆中间的区域。
我们需要知道最外层的圆的半径，易知，最外层圆的半径即为外接圆的直径2（最远距离）。
必修二 圆的方程(例+练)2019年
圆的方程1、已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，且被直线y=x 截得的弦长为72，求该圆的方程.2、动点P 在圆4:22=+y x C 上运动，求它与定点A （3，1）相连的线段的中点Q 的轨迹方程。
()对称的圆的方程。
关于、求圆0241:322=+-=+-y x y x C1、已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程.2、的方程。
求圆两点，且轴的正半轴交于与轴相切于点与圆C B A y T x C 2,|AB |,),0,1(=3、过原点O 作圆C:x 2+y 2-8x=0的弦OA 。
(1)求弦OA 中点M 的轨迹方程；(2)过圆C 上任意一点A 作x 轴的垂线到B ，求AB 中点N 点的轨迹方程.4、圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，求圆C 的方程。
5、求与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程.6、已知点P(0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程；(2)求圆C 内过点P 的弦的中点的轨迹方程.题型二 直线与圆的位置关系1、已知圆C 的方程为03222=--+y y x ，过点(1,2)P -的直线l 与圆C 交于,A B 两点，若使AB 最大，则直线l 的方程是________________；若使AB 最小，则直线l 的方程是________________。
2、过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________.3、若曲线21x y -=与直线b x y +=有一个交点，则b 的取值范围是 ；若有两个交点，则b 的取值范围是 .4、若实数x ，y 满足x 2＋y 2-6y+5＝0.求： (1)的取值范围；11y -+x (2)的取值范围；y x -3；(3)().422的取值范围y x +-.()()()()()理由。
与直线和圆有关的轨迹问题
（定义法）
例2.已知点A(1,0), B(1,0),C是圆x2 y2 1上的 动点, 连接BC并延长至D点,使 | CD || BC |,求直 线AC与 直 线OD的 交 点P的 轨 迹 方 程.
直线与圆方程的综合问题
例6.已知圆C : x2 y2 2x 4 y 3 0. (1)若圆C的切线在x轴和y轴上截距的绝对值相等, 求此切线方程； (2)从圆C外一点P( x1, y1 )向圆引一条切线,切点为 M , O为坐标原点,且有 | PM || PO |, 求使 | PM | 最小 时的P点坐标.
（转移法）
练 习:已 知 线 段AB的 端 点B的 坐 标 为(1,2),端 点A 在圆x2 y2 4上运动,求线段AB中点M的轨迹 方 程.
例3.过 点A(0,1)作 直 线 交圆M : ( x 2)2 y2 1于 点 B、C,在 线 段BC上 取 点P,使 | BP |:| PC || AB |:| AC |,求 点P的轨迹方程.
(a 2)(b 2) 2 (2)求线段AB中点的轨迹方程.
总结：
1.求轨迹方程的方法,主要有定义法、转移法、参数法、几 何法、交轨法.
2.(1)求两条直线、直线与曲线的交点的轨迹,首先选用 的是交轨法。
(2)K参数法是选取直线的斜率作为参数。 (3)由于圆的几何性质特别明显,几何法是众多方法中最 简单的.
(参数法)
例4.直 线 l1
:
y
2(x t
圆中轨迹问题
与圆有关的轨迹问题
例1：设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以 OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．
变式：已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当OP ＝OM 时，求l 的方程及△POM 的面积．
例2：已知BC ＝2，且AB ＝2AC ，求点A 的轨迹．
变式1：若在ABC ∆中，BC ＝2，且AB ＝2AC ，求ABC ∆面积的最大值。
变式2：已知点 (5,0)A - ，直线OA 上（O 为坐标原点）是否存在定点
B （不同于A ），对圆229x y +=上的任意一点P ，使得PB PA
为一常数．
变式3：已知点(2,0),(4,0)A B -，圆22:(4)()16C x y b +++=，P 为圆 上的动点，若
PA PB 为定值，求实数b 的值．
变式4：已知圆)0,1(,1)4(:221Q y x C =++,过点P 作圆C 1的切线，切点为M ， 若PQ PM 2=，求P 点的轨迹方程。
高中圆的方程基础练习题及讲解
高中圆的方程基础练习题及讲解### 高中圆的方程基础练习题及讲解#### 练习题一题目：已知圆心在原点的圆的方程为 \(x^2 + y^2 = r^2\)，求半径为3的圆的方程。
解答：将 \(r = 3\) 代入圆的标准方程，我们得到：\[ x^2 + y^2 = 3^2 \]\[ x^2 + y^2 = 9 \]这就是半径为3的圆的方程。
#### 练习题二题目：圆 \(x^2 + y^2 + 6x - 8y + 20 = 0\) 与直线 \(x + y - 1 = 0\) 相切。
求圆的半径。
解答：首先，将圆的方程化为标准形式：\[ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2 \]\[ x^2 + 6x + y^2 - 8y + 20 = r^2 \]\[ x^2 + y^2 + 6x - 8y = r^2 - 20 \]由于圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径。
圆心坐标为\((-3, 4)\)，直线方程可以写成 \(y = -x + 1\)。
使用点到直线距离公式：\[ \text{距离} = \frac{|-3 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} \]将距离等于半径代入：\[ r = \frac{|-3 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} \]\[ r = \frac{1}{\sqrt{2}} \]#### 练习题三题目：已知圆 \(x^2 + y^2 = 1\) 与直线 \(y = x + b\) 相切，求\(b\) 的值。
解答：由于圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，即1。
圆心坐标为 \((0, 0)\)，直线方程可以写成 \(x - y + b = 0\)。
使用点到直线距离公式：\[ 1 = \frac{|0 - 0 + b|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \]\[ 1 = \frac{|b|}{\sqrt{2}} \]解得：\[ b = \pm \sqrt{2} \]#### 练习题四题目：求圆 \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0\) 的圆心坐标和半径。
圆的一般方程(轨迹问题)
(P124,B3) 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的
比是 1 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线.
2
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，
也就是点M属于集合
{M
|
|
OM|
1 }
| AM| 2 由两点间的距离公式，得
y
M
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2
CO
Ax
化简得
x2+y2+2x3＝0
①
这就是所求的曲线方程．
直译法
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4．
所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆.
(P124,B2)长为2a的线段AB的两个端点分别在相互 垂直的两条直线上滑动，则线段AB的中点轨迹为?
x2 y2 a2
轨迹的常用求法:
1.直译法; 2.定义法;
y
B
M
Ｏ
A
x
【课堂练习】
1.已知Rt△ABC中，A(-1,0),B(3,0),
复习引入
【思考1】平面内到一定点A的距离等于定长的
点M的轨迹是什么？
M r
|MA|=r
A
【答】以定点A为圆心，定长r为半径的圆。
【思考2】平面内与两定点A、 B距离相等的点
M的轨迹是什么？
M
|MA|= |MB|
【答】线段AB的垂直平分线。 A
B
典型例题
【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
3.求轨迹方程的步骤：①建系设点（x,y）; ②列式代入； ③化简检验.
高三数学轨迹方程50题及答案
高(Gao)三数学轨迹方程50题及答案求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数(Shu)法、交轨法，待定(Ding)系数法。
(1)直(Zhi)接法(Fa)直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.（5）交轨法若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程.(6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、x 2+y 2=B 、x 2+y 2=C 、x 2+y 2=21(x<21)D 、x 2+y 2=41（x<41)11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A、(x－2)2+(y+4)2=16B、(x－2)2+4(y+2)2=16 (0)yC、(x－2)2－(y+4)2=16D、(x－2)2+4(y+4)2=1612、椭(Tuo)圆(Yuan)C与椭(Tuo)圆关于(Yu)直线x+y=0对(Dui)称，椭圆C的方程是（）A、 B、C、 D、13、设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为 ( )A. B.C. D.14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为 ( )15、已知⊙O：x2+y2=a2, A(－a, 0), B(a, 0), P1, P2为⊙O上关于x轴对称的两点，则直线AP1与直线BP2的交点P的轨迹方程为（）A、x2+y2=2a2B、x2+y2=4a2C、x2－y2=4a2D、x2－y2=a2二、填空题：16、动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为。
轨迹方程的求法及典型例题含答案
轨迹方程的求法及典型例题(含答案) 轨迹方程是描述一条曲线在平面上的运动轨迹的方程。
在二维平面上，轨迹方程通常由一元二次方程、三角函数方程等形式表示。
在三维空间中，轨迹方程可能会更加复杂，可以由参数方程或参数化表示。
一、轨迹方程的求解方法：1. 根据题目给出的条件，确定轨迹上的点的特点或特殊性质。
2. 将轨迹上的点的坐标表示为一般形式。
3. 将坐标表示代入到方程中，消去多余的变量，得到轨迹方程。
二、典型例题及其解答：【例题1】已知点P(x,y)到坐标原点O的距离为定值d，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，根据勾股定理，可以得到点P到原点O的距离公式：d = √(x^2 + y^2)3. 将坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：d^2 = x^2 + y^2【例题2】已知点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离为定值d，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d = |Ax+By+C| / √(A^2 + B^2)3. 将点P的坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：(Ax+By+C)^2 = d^2(A^2 + B^2)【例题3】已知点P(x,y)满足|x|+|y|=a，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，可以得到两种情况下的轨迹方程：当x≥0，y≥0时，有x+y=a，即y=a-x；当x≥0，y<0时，有x-y=a，即y=x-a；当x<0，y≥0时，有-x+y=a，即y=a+x；当x<0，y<0时，有-x-y=a，即y=-a-x。
3. 将上述四种情况合并，得到轨迹方程：|x|+|y|=a【例题4】已知点P(x,y)满足y = a(x^2 + b)，求点P的轨迹方程。
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求圆的轨迹方程练习
1、 点P 00(,)x y 是圆224x y +=上的动点，点M 为OP （O 为原点）中点，求
动点M 的轨迹方程。
2、 已知两定点A(-2,0)、B(1,0)，若动点P 满足｜PA ｜=2｜PB ｜，则点P
轨迹方程所包围的图形面积等于
3、 等腰三角形ABC 底边一个端点B(1,-3)，顶点A(0,6)，求另一个端点C
的轨迹方程。
4、设A 为圆22(1)1x y -+=上的动点，PA 是圆的切线且｜PA ｜=1，求P 的轨迹方程。
5、 已知BC 是圆2225x y +=的动弦，且｜BC ｜＝６，求BC 中点轨迹方程。
6、 长为2a 的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求线
段AB 的中点的轨迹方程。
7、 已知点M 与两个定点O （0，0），A(3，0)的距离的比为12
，求点M 的轨迹方程。
8、 已知半径为1的动圆与圆22(5)(7)16x y -++=相切，求动圆圆心轨迹方程。
9、 点A(0,2)是圆2216x y +=内定点，B,C 是这个圆上的两动点，若BA CA ⊥，
求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹。
10、 已知点M （x,y ）与两个定点A 、B 距离的比是一个正数m ，求点M 的
轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑 11m m =≠和两种情形）
1、22x y 1+=
2、4π
3、22(6)82x y +-=（除（-1，15）、（1，-3））
4、22(1)2x y -+=
5、2216x y +=
6、222x y a +=
7、
224x+1y +=（） 8、22(5)(7)x y 25-++=或22(5)(7)x y 9-++=
9、解法一：设BC 中点M （x,y)
|OM|²=R²-(BC/2)²，三角形ABC是直角三角形，BC/2=AM |OM|²=R²-(AM)²x²+y²=16-[x²+(y-2)²]
化简得x²+y²-2y-6=0
解法二：
12
121212 12
121212
2222
1122
2222
11121222
1212
22
12()40 24
16,16,
2,2
y y
x x y y y y
x x
y y y2x x y y=24y-
x y x y
x y+2x x y y+x y8y+24
x x x y y y
--
⋅=-⇒+-++=
+=+
+=+=
+++=
+=+=
又所以（）（）
上述三式相加，得到（）
,可得。