Lingo软件在求解数学优化问题的使用技巧

Lingo软件在求解数学优化问题的使用技巧LINGO是一种专门用于求解数学规划问题的软件包。

由于LINGO执行速度快，易于方便地输入、求解和分析数学规划问题，因此在教学、科研和工业界得到广泛应用。

LINGO 主要用于求解线性规划、非线性规划、二次规划和整数规划等问题，也可以用于求解一些线性和非线性方程组及代数方程求根等。

LINGO的最新版本为LINGO7.0，但解密版通常为4.0和5.0版本，本书就以LINGO5.0为参照而编写。

1．LINGO编写格式LINGO模型以MODEL开始，以END结束。

中间为语句，分为四大部分（SECTION）：（1）集合部分（SETS）：这部分以“SETS：”开始，以“ENDSETS”结束。

这部分的作用在于定义必要的变量，便于后面进行编程进行大规模计算，就象C语言在在程序的第一部分定义变量和数组一样。

在LINGO中称为集合（SET）及其元素（MEMBER或ELEMENT，类似于数组的下标）和属性（A TTRIBUTE，类似于数组）。

LINGO中的集合有两类：一类是原始集合（PRIMITIVE SETS），其定义的格式为：SETNAME/member list（or 1..n）/：attribute,attribute,etc。

另一类是是导出集合（DERIVED SETS），即引用其它集合定义的集合，其定义的格式为：SETNAME（set1，set2，etc。

）：attribute，attribute，etc。

如果要在程序中使用数组，就必须在该部分进行定义，否则可不需要该部分。

（2）目标与约束：这部分定义了目标函数、约束条件等。

一般要用到LINGO的内部函数，可在后面的具体应用中体会其功能与用法。

求解优化问题时，该部分是必须的。

（3）数据部分（DA TA）：这部分以“DA TA：”开始，以“END DA TA”结束。

其作用在于对集合的属性（数组）输入必要的数值。

格式为：attribut=value_list。

该部分主要是方便数据的输入。

（4）初始化部分（INIT）：这部分以“INIT：”开始，以“END INIT”结束。

作用在于对集合的属性（数组）定义初值。

格式为：attribute=value_list。

由于非线性规划求解时，通常得到的是局部最优解，而局部最优解受输入的初值影响。

通常可改变初值来得到不同的解，从而发现更好的解。

编写LINGO程序要注意的几点：1.所有的语句除SETS、ENDSETS、DA TA、ENDDA TA、INIT、ENDINIT和MODEL，END 之外必须以一个分号“；”结尾。

2.LINGO求解非线性规划时已约定各变量非负。

LINGO内部函数使用详解。

LINGO建立优化模型时可以引用大量的内部函数，这些函数以“@”符号打头。

（1）常用数学函数@ABS(X) 返回变量X的绝对数值。

@COS( X)返回X的余弦值，X的单位为弧度@EXP( X)返回x e 的值，其中e 为自然对数的底，即 71828.2@FLOOR( X)向0靠近返回X 的整数部分。

如@FLOOR(3.7)，则返回3；@FLOOR(-3.7)，则返回-3。

@LGM( X)返回Γ函数的自然对数值。

@LOG( X)返回变量X 的自然对数值。

@SIGN( X)返回变量X 的符号值，当X<0时为-1；当X>0时为1。

@SIN( X)返回X 的正弦值，X 的单位为弧度 @SMAX( X1, X2,..., XN)返回一列值X1, X2,..., XN 的最大值。

@SMIN( X1, X2,..., XN)返回一列值X1, X2,..., XN 的最小值。

@TAN( X)返回X 的正切值，X 的单位为弧度(2)集合函数集合函数的用法如下：set_operator (set_name|condition:expression) 其中set_oprator 部分是集合函数名（见下），set_name 是数据集合名，expression 部分是表达式，|condition 部分是条件，用逻辑表达式描述（无条件时可省略）。

逻辑表达式中可以三种逻辑算符（#AND#（与）,#OR#（或），#NOT#（非））和六种关系酸符（#EQ#（等于），#NE#（不等于），#GT#（大于），#GE#（大于等于），#LT#（小于），#LE#（小于等于））。

常见的集合函数如下： @FOR (set_name ：constraint_expressions)对集合(set_name)的每个元素独立地生成约束，约束由约束表达式（constraint_expressions ）描述。

@MAX （set_name ：expression ）返回集合上的表达式（expression ）的最大值。

@MIN （set_name ：expression ）返回集合上的表达式（expression ）的最小值。

@SUM （set_name ：expression ）返回集合上的表达式（expression ）的和。

@SIZE （set_name ）返回数据集set_name 中包含元素的个数。

@IN （set_name ，set_element ）如果数据集set_name 中包含元素set_element 则返回1，否则返回0。

（3）变量界定函数变量函数对变量的取值范围附加限制，共有四种。

@BND （L,X,U ）限制U X L ≤≤ @BIN （X ）限制X 为0或1。

@FREE （X ）取消对X 的符号限制（即可取任意实数值）。

@GIN （X ）限制X 为整数值。

（4）财务函数),(@N I FPA 返回如下情形下的净现值：单位时段利率为I ，连续N 个时段支付，每个时段支付费用，即：),(@N I FPA =I II NNn n/))11(1()1(11+-=+∑=),(@N I FPL 返回如下情形下的净现值：单位时段利率为I ，第N 个时段支付单位费用，即：),(@N I FPL =NI)11(+（5）概率函数@PSN(X)标准正态分布的分布函数。

@PSL(X)单位正态线性损失函数（即返回),0(X Z MAX -的期望值，其中Z 为标准正态随机变量）@PPS(A ，X)均值为A 的Possion 分布的分布函数（当X 不是整数时，采用线性插值进行计算）。

@PPL(X)Possion 分布的线性损失函数（即返回),0(X Z MAX -的期望值，其中Z 为Possion 分布随机变量）@PBN(P ，N ，X)二项分布的分布函数当N 或X 不是整数时，采用线性插值进行计算）。

@PHG(POP ，G ，N ，X)超几何分布的分布函数（当POP ，G ，N 或X 不是整数时，采用线性插值进行计算）。

@PFD(N,D,X)自由度为N 和D 的F 分布的分布函数。

@PCX(N,X) 自由度为N 的2χ分布的分布函数。

@PTD(N,X) 自由度为N 的t 分布的分布函数。

@RAND(X)返回0与1之间的伪随机数（X 为种子数，典型用法为U(I)=@RAND(U(I+1))）。

1．某昼夜服务的公交路线每天各时间区段内需司机和乘务人员如下：设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员？从第一班开始排，试建立线性模型。

分析与求解：注意在每一时间段里上班的司机和乘务人员中，既包括在该时间段内开始时报到的人员，还包括在上一时间段工作的人员。

因为每一时间段只有四个小时，而每个司乘人员却要连续工作八个小时。

因此每班的人员应理解为该班次相应时间段开始时报到的人员。

设i x 为第i 班应报到的人员（6,,2,1 =i ），则应配备人员总数为：∑==61i ixZ按所需人数最少的要求，可得到线性模型如下：==61min i i x Z⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+≥+≥+≥+0,,,60302050607060..6211655443322181x x x x x x x x x x x x x x x x t s LINGO 程序如下：MODEL:min=x1+x2+x3+x4+x5+x6; x1+x6>=60; x1+x2>=70; x2+x3>=60; x3+x4>=50; x4+x5>=20; x5+x6>=30; x1>=60; END得到的解为:x1=60,x2=10,x3=50,x4=0,x5=30,x6=0;配备的司机和乘务人员最少为150人。

2 某地区有三个农场共用一条灌渠，每个农场的可灌溉地及分配到的最大用水量如下表：各农场均可种植甜菜、棉花和高粱三种作物，各种作物的用水量、净收益及国家规定的该地区各种作物种植总面积最高限额如下表：三个农场达成协议，他们的播种面积与其可灌溉面积相等，而各种农场种何种作物并无限制。

问如何制定各农场种植计划才能在上述限制条件下，使本地区的三个农场的总净收益最大。

分析与求解：设农场1种植的甜菜、棉花和高粱分别为131211,,x x x 亩，农场2种植的甜菜、棉花和高粱分别为232221,,x x x 亩，农场3种植的甜菜、棉花和高粱分别为333231,,x x x 亩。

设农场可耕地为300,600,400321===a a a ，最大用水量为,6001=b ,8002=b3753=b ，甜菜、棉花和高粱的种植限额为325,500,600321===c c c ，耗水量为31=d ,22=d ,13=d ，净收益为100,300,400321===e e e ，根据题目条件，可建立如下线性模型：∑∑===3131)(max j i ijjxe Z⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤=≤=≤∑∑∑===3131313,2,13,2,13,2,1..j i ij j j i ij i j ij i b x d i a x j c x t sLINGO 编程如下： MODEL: SETS:place/1..3/:a,b; kind/1..3/:c,d,e; plan(place,kind):x; ENDSETS DATA:a=400,600,300; b=600,800,375; c=600,500,325; d=3,2,1;e=400,300,100; ENDDATAmax=@sum(kind(j):e(j)*@sum(place(i):x(i,j))); @for(kind(j):@sum(place(i):x(i,j))<=c(j)); @for(place(i):@sum(kind(j):x(i,j))<=a(i)); @for(place(i):@sum(kind(j):d(j)*x(i,j))<=b(i)); END得到结果如下：X(1,1)=0,X(1,2)=300,X(1,3)=0 X(2,1)=258.3333,X(2,2)=12.5,X(2,3)=0 X(3,1)=0,X(3,2)=187.5,X(3,3)=0 最大总净收益为253333.3元。