齿轮传动强度计算例题01
齿轮传动习题集+答案
齿轮传动例1 二级圆柱齿轮减速器，其中一级为直齿轮，另一级为斜齿轮。
试问斜齿轮传动应置于高速级还是低速级？为什么？若为直齿锥齿轮和圆柱齿轮组成减速器，锥齿轮传动应置于高速级还是低速级？为什么？答：在二级圆柱齿轮传动中，斜齿轮传动放在高速级，直齿轮传动放在低速级。
其原因有三点：1）斜齿轮传动工作平稳，在与直齿轮精度等级相同时允许更高的圆周速度，更适于高速。
2）将工作平稳的传动放在高速级，对下级的影响较小。
如将工作不很平稳的直齿轮传动放在高速级，则斜齿轮传动也不会平稳。
3）斜齿轮传动有轴向力，放在高速级轴向力较小，因为高速级的转矩较小。
由锥齿轮和斜齿轮组成的二级减速器，一般应将锥齿轮传动放在高速级。
其原因是：低速级的转矩较大，齿轮的尺寸和模数较大。
当锥齿轮的锥距R 和模数m 大时，加工困难，制造成本提高。
例3 一对闭式直齿圆柱齿轮传动，已知：z 1= 25，z 2 = 75，m = 3 mm ，d φ= 1，小齿轮的转速 n =970 r/min 。
主从动轮的][H σ 1 = 690 MPa ，][H σ 2 = 600 MPa ，载荷系数K = 1.6， 节点区域系数Z H = 2.5，材料弹性系数Z E = 189.8 MPa ，重合度系数εZ =0.9，是按接触疲劳强度，求该齿轮传动传递的功率。
提示：接触疲劳强度校核公式为][ )1(2211H H E H ubd u KT Z Z Z σσε≤+=解：由已知条件：u = z 2 / z 1 = 75/25 = 3d 1 = m z 1 = 3×25 = 75 mm b =φd d 1 = 1×75 = 75 mm因为大齿轮的许用接触应力较低，故按大齿轮计算承载能力：)1(2][21221+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=u K u bd ZZ Z T E H H εσ )13(6.12375759.08.1895.260022+⨯⨯⨯⨯⋅⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯== 195182 Nmm = 195.182 Nm 齿轮传动所能传递的功率为：=⨯⨯=⋅=30970182.1953011ππn T P 19826 W = 19.826 kW例4图示双级斜齿圆柱齿轮减速器，高速级：mn=2 mm ，z 1=22，z 2 =95，︒=20n α，a =120，齿轮1为右旋；低速级：mn= 3 mm ，z 3 =25，z 4=79，︒=20n α，a =160。
标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算一、轮齿的受力分析图6-6所示为齿轮啮合传动时主动齿轮的受力情况，不考虑摩擦力时，轮齿所受总作用力f n将沿着啮合线方向，f n称为法向力。
f n在分度圆上可分解为切于分度圆的切向力f t和沿半径方向并指向轮心的径向力f r 。
圆周力f t=n径向力 f r= f t tg n (6-1)法向力 f n=n式中:d1为主动轮分度圆直径,mm；为分度圆压力角，标准齿轮=20°。
设计时可根据主动轮传递的功率p1（kw）及转速n1(r/min)，由下式求主动轮力矩t1=9.55×106×（n mm）（6-2）根据作用力与反作用力原理，f t1=-f t2，f t1是主动轮上的工作阻力，故其方向与主动轮的转向相反，f t2是从动轮上的驱动力，其方向与从动轮的转向相同。
同理，f r1=-f r2，其方向指向各自的轮心。
二、载荷与载荷系数由上述求得的法向力f n 为理想状况下的名义载荷。
由于各种因素的影响，齿轮工作时实际所承受的载荷通常大于名义载荷，因此，在强度计算中，用载荷系数k 考虑各种影响载荷的因素，以计算载荷f nc 代替名义载荷f n 。
其计算公式为(6-3)式中：k 为载荷系数，见表6-3。
表6-3 载荷系数k二、齿根弯曲疲劳强度计算齿根处的弯曲强度最弱。
计算时设全部载荷由一对齿承担，且载荷作用于齿顶，将轮齿看作悬臂梁，其危险截面可用30o 切线法确定，即作与轮齿对称中心线成30o 夹角并与齿根过渡曲线相切的两条直线，连接两切点的截面即为齿根的危险截面，如图6-7所示。
运用材料力学的方法，可得轮齿弯曲强度校核的公式为= ≤或σf =≤（6-4）或由上式得计算模数m的设计公式m≥ (6-5)式中:=b/d1称齿宽系数（b为大齿轮宽度），由表6-4查取；称为齿形系数，由图6-8查取；[]为弯曲许用应力，由式6-8计算。
表6-4齿宽系数=b/d1三、齿面接触疲劳强度计算齿面接触疲劳强度计算是为了防止齿间发生疲劳点蚀的一种计算方法，它的实质是使齿面节线处所产生的最大接触应力小于齿轮的许用接触应力，齿面接触应力的计算公式是以弹性力学中的赫兹公式为依据的，对于渐开线标准直齿圆柱齿轮传动，其齿面接触疲劳强度的校核公式为≤或≤ (6-6)将上式变换得齿面接触疲劳强度的设计公式d1≥ (6-7)式中：“±”分别用于外啮合、内啮合齿轮；z e为齿轮材料弹性系数，见表6-5；z h为节点区域系数，标准直齿轮正确安装时z h =2.5；[σh]为两齿轮中较小的许用接触应力，由式6-9计算；u为齿数比，即大齿轮齿数与小齿轮齿数之比。
齿轮传动的受力分析例题
一、轮齿的受力分析
§10-5 标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算
圆周力
Ft
2T1 d1
O2
α d2 2 t N1 Fn c ω2 （从动） N2 αt t N1
O2 α Fn N2 Fr α t c Ft d1 2 ω1 O1 （主动） α
2T1 tan 径向力 Fr Ft tan d1
Fa
c
α t n
F β n b α Fn β F' Ft
ω1 T1
d1
主动轮轮齿左旋（或右旋）伸左手（或右手），四指沿着主动轮的转向握 住轴线，大拇指所指即为主动轮所受的Fa1的方向，Fa2与Fa1方向相反。
Fn
F' 2T1 cos n d1 cos n cos
2T1 d1 cos t cos b
n1
Ⅰ
1
4
Ⅲ
Ⅱ
2
3
§11-4 普通蜗杆传动的承载能力计算 二、蜗杆传动的受力分析
普通蜗杆传动的承载能力计算2
2T1 Ft1 Fa 2 d1
2T2 Fa1 Ft 2 d2
T2= T1 i η d1 Ft1 Fr1
αn
Fn1
α γ
Fa1
d2 n2 P Ft2 Fr1 Fr2 Fa2 Fa1
部分，应将中间轴上两齿轮设计为旋向相同。
§10-8 标准锥齿轮传动的强度计算 二、轮齿的受力分析
§10-8 标准锥齿轮传动的强度计算 二、轮齿的受力分析
Fa2 2 Fr2
Fn 直齿圆柱齿轮强度计算1 α F' F r1 Ft1 Fa1 P
Ft2 × ⊙ Ft1
齿轮传动例题
a0
F
F
F
F
F
•
•
4.齿轮受力方向的判别 圆周力 F ：主动轮 与转动方向相反 从动轮 与转动方向相同 径向力F ：各自指向轮心 轴向力F ：圆锥齿轮 从小端指向大端 圆柱齿轮：主动轮 应用左（右）手定则，拇指方向即为轴向力方向 从动轮 与 主动轮的轴向力相反 5.根据给定工况，正确设计齿轮传动 熟悉不同工况下可能产生的主要失效形式（轮齿的折断、齿面疲劳点蚀、齿面磨损、 齿面胶合、轮齿塑性变形等，参见表4.1 ) ，正确确定设计准则，结合工况需求选择材 料、热处理方式及加工精度，在强度计算中，合理地选择各相关参数，掌握参数选择 原则，正确解释设计过程。 6.载荷系数引人的目的及主要影响因素 载荷系数K（K = K K K K ）综合考虑了齿轮由于工作特性、制造及安装误差、 齿轮及其支承变形等因素引起的外部及内部附加动载荷、偏载及载荷分配不均等因素 对轮齿受力及应力的影响，利用计算载荷对齿轮进行强度计算，可以使所设计的齿轮 更安全、更符合实际工况需求。关于各系数引人的意义、主要影响因素及改进措施等 可参见表4.2。 7.熟练分析齿轮主要参数的选择原则 1 a m z z d m z (1）模数m和齿数 z 的选择。因为 ， 2 当d 1 或a一定时，齿轮的接触 应力与m 和z的组合无关，因此软齿面闭式传动时，在满足齿根弯曲强度条件的基础上， m 尽可能取小值，而z尽可能取大值，常取 18-30 -2 z （但要注意传递动力时m 1.5 mm) ，因为齿数z多，可增大重合度 ，使传动平稳， m 小，可减小滑动速度，增加 z z 与z 应互质为好。在硬齿面闭式传动中，按齿根弯曲 耐磨和抗胶合性能。 z 且 z 17-20 ，以免传动尺寸过大。在开式传动中，由弯曲强度求得m 后应再 强度条件, =
齿轮传动设计计算实例
解：
cos
mn 2a
z1
z2
4 30 60
2 190
0.9474
所以
1840
tan t
tan n cos
tan 20 cos1840
0.3640 0.9474
0.3842
d1
mn cos
z1
4 30 0.9474
mm 126.662mm
d2
mn cos
z2
4 60 0.9474
m d1 59.40 mm 1.98mm z1 30 m 2mm
（3）校核齿根弯曲疲劳强度
由式（8.29） 确定有关参数和系数
F
2 KT1 bm 2 z1
YFaYSa
F
1）分度圆直径
d1 mz1 2 30mm 60mm
d 2 mz2 2 62mm 124mm
2）齿宽
b d d1 0.9 60mm 54mm
（3）校核齿面接触疲劳强度
由式（8.45）
H 3.17Z E
KT u 1
bd 12 u
H
确定有关参数和系数：
1）分度圆直径
d1
mn z1 cos
3 24 cos1415
mm 74.29mm
d2
mn z2 cos
3 60 mm 185.72mm 0.9692
2）齿宽 b
b d d1 0.6 74.29mm 44.58mm
mm 253.325mm
d a1 d1 2mn 126.662 8mm 134.662mm d a2 d 2 2mn 253.325 8mm 261.325mm
db1 d1 cos t 126.662 0.9335mm 118.239mm
直齿轮传动设计计算实例
直齿轮传动设计计算实例直齿轮传动设计计算实例已知条件：斜齿圆柱齿轮传动，输入功率为PI =4.17kw，齿轮转速为nI=626r/min，传动比为i2=3.7，由电动机驱动，工作寿命为10年，每年工作300天，每天工作16小时，轻微冲击，转向不变。
1、齿轮基本参数选定（齿轮设计参照《机械设计》教材进行设计）（1）运输机为一般工作机器，速度不高，故选用8级精度。
（2）材料：参照表10-1高速级小齿轮选用45#钢调质处理，齿面硬度为250HBS。
高速级大齿轮选用45#钢调质，齿面硬度为220HBS。
（3）小齿轮齿数初选为，大齿轮齿数。
2、按齿面接触强度计算由设计计算公式（10-9a）进行计算，即（1）确定公式内的各计算数据①试选载荷系数②计算小齿轮传递的转矩③由表10-7选取齿宽系数④由表10-6查得材料的弹性影响系数⑤由图10-21d按齿面硬度查得小齿轮的接触疲劳强度极限，大齿轮的接触疲劳强度极限⑥由式10-13计算应力循环次数。
⑦由图10-19取接触疲劳寿命系数。
⑧计算接触疲劳许用应力取失效概率为1％，安全系数S=1，由式（10-12）得﹙2﹚计算①试算小齿轮分度圆直径,代入中最小值。
②计算圆周速度v③计算齿宽b④计算齿宽与齿高之比模数齿高⑤计算载荷系数根据，8级精度，由图10-8查得动载荷系数；直齿轮,；由表10-2查得使用系数；由表10-4用插值法查得8级精度、小齿轮相对支承非对称布置时，。
由，查图得；故载荷系数⑥按实际的载荷系数校正所算得的分度圆直径，由式（10-10a）得⑦计算模数m3、按齿根弯曲强度设计由式（10-5）得弯曲强度的设计公式为（1）确定公式内的各计算数值①由图10-20c查得小齿轮的弯曲疲劳强度极限，大齿轮的弯曲疲劳强度极限；②由图10-18取弯曲疲劳寿命系数,；③计算弯曲疲劳许用应力取弯曲疲劳安全系数S=1.3，由式(10-12)得④计算载荷系数K⑤查取齿形系数由表10-5查得⑥查取应力校正系数由表10-5查得⑦计算大、小齿轮的并加以比较故小齿轮的数值较大。
齿轮传动设计计算例题详解
齿轮传动设计计算的步骤(1)根据题目提供的工作情况等条件，确定传动形式，选定合适的齿轮材料和热处理方法，查表确定相应的许用应力。
(2)分析失效形式，根据设计准则，设计m或d1;(3)选择齿轮的主要参数；(4)计算主要集合尺寸，公式见表9-2.表9T0或表971;(5)根据设计准则校核接触强度或弯曲强度；(6)校核齿轮的圆周速度，选择齿轮传动的静的等级和润滑方式等；(7)绘制齿轮零件工作图。
以下为设计齿轮传动的例题：例题试设计一单级直齿圆柱齿轮减速器中得齿轮传动。
已知：用电动机驱动，传递功率P=10KW,小齿轮转速n1=950r/min,传动比i=4,单向运转，载荷平稳。
使用寿命10年，单班制工作。
解：(1)选择材料与精度等级小轮选用45钢，调质,硬度为229〜286HBs (表9-4)大轮选用45钢，正火，硬度为169〜217HBs(表9-4)。
因为是普通减速器，由表973 选IT8级精度。
因硬度小于350HBS,属软齿面，按接触疲劳强度设计，再校核弯曲疲劳强度。
(2)按接触疲劳强度设计①计算小轮传递的转矩为T. =9.55X106— =9.55X106 X —=105N • mmL 1nl 950查表9-5取③齿数Z 和齿宽系数〃. 取z1=25,则z2 = izl =4x25 = 100因单级齿轮传动为对称布置，而齿轮齿面又为软齿面，由表972选 取〃广1。
④许用接触应力【0〃】 由图979 (c)查得=57。
河&6nm 2 = 53OMP”由9-7表查得SH=1N| =60nJLh = 60x955乂 10x52x5x8)= 1.19xl09N,=M = 30= 3x1(/i 4查图 978 得Zw = l, Z N 2 = L08 由式(9-13)可得O H 1 = Z M P 〃皿=122Z2 = 570MPaS H 1= Z N 2 sM2 = 108x530 = 572 4”所S a查表9-6得Z/=189.8西西，故由式(9-14)得71.1X 1O 5X 5 f 3.52x189.8 Y\ 1x4 [ 570 J〃？=必=tLl = 2.296mm 乙25 由表97取标准模数m=2. 5mm"1.1=57.4mmd 1 = mzl = 2.5x25 = 62.5mmd2 = mz2 = 2.5x100 = 250mmb = y/ • d\X62.5 = 62.5〃〃〃圆整后取b2=65mm。
标准锥齿轮传动的强度计算
在综合考虑齿轮几何尺寸，毛坯，材料，加工方法，使用 要求及经济性等各方面因素的基础上，按齿轮的直径大小，选 定合适的结构形式，再根据推荐的经验数据进行结构尺寸计算 。
常见齿轮结构形式
⑴ 齿轮轴 ⑵ 实心式结构 ⑶ 腹板式结构 ⑷ 轮辐式结构
标准锥齿轮传动的强度计算
1 设计参数
直齿锥齿轮传动是以大端参数为标准值，强度计算时，是 以锥齿轮齿宽中点处的当量齿轮作为计算时的依据。
轴交角∑，齿数比u，齿 数z1、z2，锥距R，分 度圆锥角δ1、 δ2，分度 圆直径d1、d2，齿宽中点 处即平均分度圆的直径为
dm1、dm2，当量齿轮 齿数zv1、zv2，当量齿轮 的分度圆直径dv1、dv2，
很显然，当两齿轮平均齿宽处两当量齿轮在节点上的啮 合曲率半径为：
从而可得到 ：
若将上式（综合曲率表达式）及uv=u2、 等式代入赫兹公式，并令接触线长度L=b，得到：
若α=20°，则得到： 校核式 设计式
§10-10 齿轮的结构设计
通过强度计算确定出了齿轮的齿数z、模数m、齿宽B、螺
旋角b、分度圆直径d 等主要尺寸。
常见齿轮结构形式
⑴齿轮轴
直径较小的钢质齿轮，当齿根圆直径与轴径 接近时，可以将齿轮与轴做成一体，称为齿轮轴
圆柱齿轮轴
圆锥齿轮轴
圆柱齿轮轴
圆柱齿轮e<2mt
圆锥齿轮轴
＜ （对锥齿轮指小端）
圆锥齿轮轴பைடு நூலகம்
e
⑵实心式结构
＜ 160mm
实心式圆柱齿轮
但航空齿轮为减轻重量， 腹板式结构。
实心式圆锥齿轮 ＜ 160mm 时，有时也设计为
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同济大学《机械设计》
JXSJ
51
直齿圆柱齿轮传动例题：
如图设计带式输送机减速器的高速级齿轮传动。
已知输入功率P 1=40KW ，小齿轮转速n 1=960r/min,齿数比u=3.2,由电动机驱动，工作寿命15年(每年 工作300天)，两班制，带式运输机工作平稳，转向不变。
解：
1. 选择齿轮类型、材料、精度等级和齿数 1) 选用直齿轮。
2) 材料：考虑到功率较大，大小齿轮均用硬齿面.
3) 材料为40Cr ；调质后表面淬火，齿面硬度为48~55HRC.
4) 选取精度等级：初取7级精度 5) 齿数：Z1=24；Z2=uZ1=77 2. 按齿面接触疲劳强度设计 1)设计公式：
2)确定各参数值 （1） 初取K t =1.3 （2） 转矩
T 1=95.5×105P/n 1=95.5×105×40/960=3.98×105N·m
（3） 选取齿宽系数. ψd =0.9
（4） 弹性影响系数. ZE=189.8Mpa1/2 （5） 许用应力 a) 接触疲劳强度极限
σHlim = σHlim1= σHlim2=1170Mpa b)应力循环次数：
N 1=60n 1γL h =60⨯960⨯1⨯(2⨯8⨯300⨯15)=4.147⨯109
N 2=N 1/u=4.147⨯109/3.2=1.296⨯109 c)寿命系数：K N1=0.88 K N2=0.90 d)许用安全系数 [s]=1 e)许用应力：
[σHlim1]= K N1σHlim1/s=0.88⨯1170/1=1030Mpa [σHlim2]= K N2σHlim1/s=0.9⨯1170/1=1053Mpa [σHlim ]= [σHlim1]=1030Mpa （6） 初算直径
3)修正计算 （1） 速度：
v=πd 1n 1/60⨯1000=3.14⨯68.39⨯960/60⨯1000=3.44(m/s)
（2） 齿宽 b=ψd d 1t =0.9⨯68.39=61.55mm （3） 计算齿宽与齿高之比
模数：m t =d 1t/Z 1=68.39/24=2.85 齿高：h=2.25m t =2.25⨯2.85=6.413 b/h=61.55/6.413=9.6 （4） 计算载荷系数
a)动载系数 K v =1.12 b)使用系数 K A =1
b)
齿间载荷分配系数
设K A F t /b ≥100N/mm 则：K H α=K F α=1.1
c)
齿向载荷分布系数：K H β=1.43，K F β=1.37
载荷系数：
K H =K A K V K H β
K F β=1⨯1.12⨯1.1⨯1.43=1.72 K F = K A K V K H β
K F β=1⨯1.12⨯1.1⨯1.37=1.69
（5） 修正分度圆：
（6） 计算模数m m=d 1/Z 1=75.08/24=3.128mm 2.按齿面弯曲疲劳强度设计 1) 计算公式
2) 确定公式内的各参数值
(1) K F =1.69；T 1=3.98⨯105；ψd =0.9；Z 1=24 (2) 许用应力
a) 极限应力： σF1=σF2=680Mpa b) 寿命系数： K FN1=0.88；K FN2=0.90 c) 安全系数：S=1.4 d) 许用应力：
[σF1]=K FN1σF1/S=0.88⨯680/1.4=427.4Mpa [σF2]=K FN2σF2/S=0.90⨯680/1.4=437.14Mpa (3) 齿形系数：Y Fa1=2.65；Y Fa2=2.226
(4) 应力校正系数：Y Sa1=1.58；Y Sa2=1.764 (5) 计算Y Fa Y Sa/[σF ]
Y Fa1Y Sa1/[σF1]=2.65⨯1.58/427.4=0.0098
Y Fa2Y Sa2/[σF2]=2.226⨯1.764/437.14=0.00898 Y Fa Y Sa /[σF ]=0.0098
3) 计算
3. 几何计算
1) 分度圆直径：
d 1=75mm ；d 2=mZ 2=3⨯80=240
2) 模数：由接触疲劳强度和弯曲疲劳强度计算，取m=3mm
3) 齿数：Z 1=d 1/m=75/3=25
Z 2=uZ 1=3.2⨯25=80
4) 齿轮宽度：b=ψd d 1=0.9⨯75=67.5mm
取B 1=73mm ；B 2=68mm
5) 验算：
F t =2T 1/d 1=2⨯3.98⨯105=10613.33N
K A F t /b=1⨯10613.33/68=156.08N/mm>100N/mm
合适
4. 结构设计（略）
1
2 3 4 5 6 7
[]3
2
1112 32.2⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛±≥H E d Z u u KT d σψ[])(39.6810308.1892.312.39.0103983.12 32.212 32.2325
3
2
11mm Z u u T K d H E d t t =⎪
⎭⎫ ⎝⎛±⨯⨯⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛±≥σψ)
(08.753.1/72.139.683311mm K K d d t t =⨯==[]
32
11
2sa Fa F d Y Y z KT m σψ≥mm m 94.20098.0249.01098.369.1232
5
=⨯⨯⨯⨯⨯≥。