灰色理论

2.3灰色理论2.3.1灰关联分析灰色关联分析属于几何处理的范畴，其实质是对反映各因素变化特性的数据序列所进行的几何比较。

用于度量各影响因素之间关联程度的关联度，就是通过对因素之间的关联曲线的比较而得到的。

令)1(x ，)2(x ，…，)(n x 表示函数x 在指标集1，2，…，n 上的值，记论域u=R 为全体实数集，灰区间[a ，b]为R 的子集，记N 为1，2，…，n 各点的全体，则称：))(,),2(),1((n x x x x =， N i R b a b a i x ∈⊂∈,],[],,[)(为离散函数(灰序列)，或称x 为n 元有限幅值离散函数。

在不致引起混淆时，认为数列与离散函数等价，即有)}(,),2(),1({n x x x x =对于n 元离散函数x ，y 称=),(y x S ()()()21n1k 2k y k x ⎪⎭⎫⎝⎛-∑=, R d c y x S ⊂∈],[),(为x 与y 的距离。

称)()()(k y k x k -=∆为x 与y 在k 点的绝对差，))(,),2(),1((n ∆∆∆=∆为绝对差离散函数。

设给定n 个原始非负数据列:()()()[])(,),2(),1(000n x x x x iiii = ),,2,1(N i Λ=每个数列由N 个数据构成，)(k x i 为系统主数列：)](,),3(),2(),1([11111n x x x x x =其余各数列称为因子数列：)](,),3(),2(),1([22222n x x x x x =)](,),3(),2(),1([33333n x x x x x =……)](,),3(),2(),1([n x x x x x N N N N N =灰关联实质上是曲线间几何形状的差别，因此可以将这种差值的大小作为关联程度的衡量尺度。

因此，可以定义以下关联系数的计算公式：(max)(max)(min)))(),(()(1ζδδζδδγξ++==ik i i k x k x k （2.22）由上式知)(k i ξ为第k 个时刻比较曲线i x 对欲参考曲线1x 的相对差值，称之ix 对1x 的关联系数。

ζ为分辨系数，取值在0至1之间，一般取0.5。

其中：)()(min min (min)1k x k x i nk Ni -=∈∈δ)()(max max (max)1k x k x i nk Ni -=∈∈δ有了关联系数计算公式（2.31），根据灰关联空间所述，关联度的计算公式如下:],[*1),(1100ik nk k i i x x nx x ∑===γγγ（2.23）若将],[1ik k x x γ用)(k i ξ代替，i0γ用iγ代替，则有:i γ=*1n∑=nk ik 1)(ξ（2.24）式（2.23）和（2.24）着重从两条曲线之间的面积大小来度量两曲线的相似程度，从而忽略了曲线的变化趋势，而且没有考虑各因子的权重差异，即按等权重处理。

而实际中，各因素的权重有一定的差异。

需要说明的是，在关联分析时，关联度的大小往往不起决定性的作用，而更重要的是关联度之间的序。

因此在实际应用中，可以利用关联度的这一保序性，适当对因子集进行扩充，从而使关联序更加清晰明确。

2.3.2灰色理论模型灰色系统理论之所以能够建立近似微分方程描述的动态模型，是基于下列建模机理：①灰色系统理论将随机量当作是在一定范围内变化的灰色量，随机过程当作是在一定范围、一定时区内变化的灰色过程；②灰色系统理论将无规律（或规律性不强）的原始数据生成后，使其变为较有规律的生成数据后再建模，因此，GM模型实际上是生成数据模型，而一般建模得到的是原始数据模型；③通过GM模型得到的数据，必须经过逆生成还原后才能使用；④灰色系统理论是针对符合光滑离散函数的一类数列建模。

一般原始数据作累加生成后，都可以得到光滑离散函数；⑤灰色系统理论的模型选择是基于关联度的概念和关联度收敛的原理，关联度收敛是一种有限范围的近似收敛，是离散函数的收敛；⑥灰色GM模型一般采用三种方法检验和判断模型精度，即残差检验、关联度检验和后验差检验。

残差检验是按点检验，关联度检验是建立的模型和指定的函数之间的近似性的检验，后验差检验是残差分布统计特性的检验。

本项目研究的半刚性基层强度及其影响因素系统就符合上述建模机理。

首先它的值就是在一定范围内变化的量，可以看作是灰色量，各种因素对强度的影响也符合一定的规律但不明显，而且其值构成的数列经初值化和一次累加后符合灰指数律，这使得灰色建模理论应用于半刚性基层强度模型成为可能。

灰色系统理论建模一般是针对非负（数列中各数值均为正数）离散数列而言的，并且需要离散函数满足光滑性这一条件，要进行灰色建模还要对数据在灰关联分析生成的较规律数据的基础上进行再生成处理，这样才能使数列满足光滑离散性要求。

数据再生成的方法很多，如累加生成方法、灰指数律和累减生成方法等。

其中累加生成是灰色建模中最常用的数据生成方法，即对原始数据列中各时刻的数据依次累加，从而生成新的序列，记为AGO(Accumulated Generating Operator)。

它能使任意非负数列、摆动的与非摆动的随机数据转化成为极具规律性的数据，这样就可以看出某灰量累积过程的发展势态，使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律充分显露出来。

灰色响应模型就是根据一次累加生成的数列向量反求行为主数列一次累加生成的数据的数学模型，如果反求得的数据与原数据的误差满足要求，且经一次累减和初值化还原后，与原始数据的误差也能满足要求，则表明所建立的GM 模型是一个合理模型。

基本定理如下：考虑有N 个变量，每个变量有非负的n 个数据，并设)0(1X 为系统特征数据数列（系统主数列），其它N -1个变量为相关因素序列，即：()()()[])(,),2(),1(000)0(n x x x X iiii= ),,2,1(N i =对)0(i X 作一次累加生成1-AGO ：n k k xk x ki ii,,2,1,)()(1)0()1( ==∑=得到一次累加生成序列：[]n k k x X i i,,2,1)()1()1( ==并设)1(1Z 为)1(1X 的紧邻均值生成序列，B 为数据列矩阵，Y 为数据向量：[])()1(5.0)()1(1)1(1)1(1k x k x k z +--= （2.25）⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()3()3()3()2()2()2()1()1(2)1(1)1()1(2)1(1)1()1(2)1(1n x n x n z x x z x x z B N N N， ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()3()2()0(1)0(1)0(1n x x x Y （2.26）则称)()()()1(2)1(1)0(1k xb k az k x iNi i∑==+（2.27）为 GM(1，N )模型。

式（2.45）中，a 称为系统发展系数，)()1(k x b i i 称为驱动项，i b称为驱动系数，[]TN b b a a ,,,2 =∧称为参数列，而且参数列的最小二乘估计满足Y B B B a TT 1)(-∧=（2.28）并称)1()1(33)1(22)1(1)1(1NN x b x b x b ax dtdx +++=+ （2.29）为GM (1，N )模型的白化方程，也称影子方程。

式（2.29）是个一阶变量的微分方程，从该式可知，需要待求的系数Nb b a ,,,2 共n 个，或者说含有n 个灰色数列，故称（2.27）式为GM (l, N)模型。

当N-1 > n 时，式（2.28）为超定方程组，即方程个数多于待求系数的个数，反之，当N-1 < n 时，式（2.28）为欠定方程组，对于这两类方程组均不存在通常意义的解，仅可能存在最小二乘解。

当)1(i X 呈现缓慢变化，则GM(1，N)模型的近似时间响应式为：)1(1)1(1)0()1()1(2)1(2)1(1)1(1++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+∑∑=-=∧k x b a e k x b a x k x iNi i akiNi i（2.30）其中，当原始数列经过初值化和一次累加后，)0()1(1x 取为1。

得到主数列的响应式（2.30）后，就可把各个因子数列代入（2.30）式中既可求得各个主数列数据的响应值)()1(1k x ∧，再经过一次累减还原和初值化还原后得到原始数据响应值。

如果响应值经过精度检验，满足误差要求，就可用此模型进行预测。

灰色系统预测是对本特性灰色系统（没有物理原型的灰色系统）进行的预测，它利用过去和现在已有的数据资料，建立灰色系统模型，对系统未来的发展作趋势外推。

从响应式（2.48）可知，行为主数列的数据响应值是由因子数列的数据求得的，当给出GM(l ，N)模型的参数，则经过初值化和一次累加后代入式（2.30），便可求得新的响应值)1()1(1+∧k x 再经过一次累减还原和初值化还原，即分别作如下还原计算：)()1()1()1(1)1(1)0(1k x k x k x ∧∧∧-+=+（2.31）)1(*)1()1()0()0(1)0(xk x k x+=+∧∧ （2.32）这即可得到待求的预测值。

模型选定之后，一定要经过检验才能判定其是否合理，只有经过检验的模型才能用来作预测用。

灰色模型的精度检验一般有三种方法：残差大小检验法、关联度检验法和后验差检验法。

这里只介绍常用的残差大小检验法和后验差检验法。

① 残差大小检验法设原始序列)0(X=（x (0)(1)，x (0)(2)，…，x (0)(n )）相应的预测模型模拟序列)(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x X ∧∧∧∧=令)()()()0()0(k xk xk ∧-=ε ， k = 1,2,…,n （2.33）则)0(ε为残差序列))(,),2(),1(()0(n εεεε= （2.34）有相对误差序列{}n k n x n xx1)0()0()0()()(,,)2()2(,)1()1(∆=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∆εεε （2.35）则对于k ≤ n ，称)()()0(k xk k ε=∆为k 点模拟相对误差，称∑=∆=∆nk kn11为平均相对误差。

给定α，对于任意的k （k ≤ n ），当α<∆k 成立时，称模型为残差合格模型。

② 后验差检验法设)0(X为原始序列，)0(∧X为相应的模拟序列，)0(ε为残差序列，其中)()()()0()0(k xk x k ∧-=ε ， k = 1,2,…,N （2.36）记原始序列)0(X的均值、方差分别为)(11)0(k xnx nk ∑==， ()21)0(21)(1∑=-=nk xk x nS （2.37）残差序列)0(ε的均值、方差为)(11k nnk ∑==εε ，()2122)(1∑=-=nk k nS εε （2.38）① 12S SC =称为均方差比值，对于给定的C 0 > 0当C < C 0时称模型为均方差比合格模型；②()1ε称为小误差概率，对于给定的p0 > 0，当p > p0 P-=εp<k.06745)(S时，称模型为小误差概率合格模型。