深圳宝安区福永中学数学整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
八年级数学上册整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
1．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．
十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），如：将式子 和 分解因式，如图：
（2）先找出x=-1时，得出多项式的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论．
【详解】
解：（1）把 带入多项式 ，发现此多项式的值为0，
∴多项式 中有因式 ，
于是可设 ，
得出： ，
∴ ， ，
∴ ， ，
（2）把 代入 ，多项式的值为0，
∴多项式 中有因式 ，
于是可设 ，
∴ ， ，
；
．
请你仿照以上方法，探索解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）分解因式： ．
【答案】（1）（x﹣3）（x﹣4）；（2）（x﹣1）（3x+1）．
【解析】
【分析】
（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案；
（2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的结果.
解答：把 带入多项式 ，发现此多项式的值为0，由此确定多项式 中有因式 ，于是可设 ，分别求出 ， 的值.再代入 ，就容易分解多项式 ，这种分解因式的方法叫做“试根法”.
（1）求上述式子中 ， 的值；
（2）请你用“试根法”分解因式： .
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）先找出一个x的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；
人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解（提升篇）（Word版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．若()(1)x m x +-的计算结果中不含x 的一次项，则m 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2．【答案】A【解析】【分析】根据多项式相乘展开可计算出结果.【详解】 ()()1x m x +-=x 2+(m-1)x-m ，而计算结果不含x 项，则m-1=0，得m=1.【点睛】本题考查多项式相乘展开系数问题.2．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2＋2b 2＋c 2－2b(a ＋c)＝0，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．不能确定【答案】B【解析】【分析】运用因式分解，首先将所给的代数式恒等变形；借助非负数的性质得到a =b =c ，即可解决问题．【详解】∵a 2+2b 2+c 2﹣2b （a +c ）=0，∴（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2=0；∵（a ﹣b ）2≥0，（b ﹣c ）2≥0，∴a ﹣b =0，b ﹣c =0，∴a =b =c ，∴△ABC 为等边三角形． 故选B ．【点睛】本题考查了因式分解及其应用问题．解题的关键是牢固掌握因式分解的方法，灵活运用因式分解来分析、判断、推理活解答．3．已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边的长度，且满足a 2－b 2=c （a －b ），则△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 【答案】C【解析】【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b ，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b ）（a-b ）-c （a-b ）=0，即（a-b ）（a+b-c ）=0，∵a+b-c≠0，∴a-b=0，即a=b ，则△ABC 为等腰三角形．故选C ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．规定一种运算：a*b=ab+a+b ，则a*（﹣b ）+a*b 的计算结果为（ ）A ．0B ．2aC ．2bD ．2ab【答案】B【解析】【分析】【详解】解：∵a*b=ab+a+b∴a*（﹣b ）+a*b=a （﹣b ）+a -b+ab+a+b=﹣ab+a -b+ab+a+b=2a故选B ．考点：整式的混合运算．5．如图，从边长为(4a )cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（1a +）cm 的正方形（0a >），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )A ．22(25)a a cm +B ．2(315)a cm +C ．2(69)a cm +D ．2(615)a cm +【答案】D【解析】【分析】 利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．【详解】矩形的面积为：（a+4）2-（a+1）2=（a 2+8a+16）-（a 2+2a+1）=a 2+8a+16-a 2-2a-1=6a+15．故选D ．6．已知a ﹣b =2，则a 2﹣b 2﹣4b 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】【分析】原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】∵a ﹣b =2，∴原式=(a +b )(a ﹣b )﹣4b =2(a +b )﹣4b =2a +2b ﹣4b =2(a ﹣b )=4．故选：B ．【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．7．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）A ．(a ＋1)(a －1)＝a 2－1B ．a 2－6a ＋9＝(a －3)2C ．x 2＋2x ＋1＝x (x ＋2x )＋1D ．－18x 4y 3＝－6x 2y 2·3x 2y【答案】B【解析】【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【详解】A 、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B 、是因式分解，正确．C 、右边不是积的形式，错误；D 、左边是单项式，不是因式分解，错误．故选B ．【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．8．若2149x kx ++是完全平方式，则实数k 的值为（ ）A．43B．13C．43±D．13±【答案】C【解析】【分析】本题是已知平方项求乘积项，根据完全平方式的形式可得出k的值．【详解】由完全平方式的形式（a±b）2=a2±2ab+b2可得：kx=±2•2x•13，解得k=±43．故选：C【点睛】本题关键是有平方项求乘积项，掌握完全平方式的形式（a±b）2=a2±2ab+b2是关键．9．已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（）A．b>0，b2-ac≤0 B．b＜0，b2-ac≤0C．b>0，b2-ac≥0 D．b＜0，b2-ac≥0【答案】D【解析】【分析】根据题意得a+c=2b，然后将a+c替换掉可求得b＜0，将b2-ac变形为()24a c-，可根据平方的非负性求得b2-ac≥0.【详解】解：∵a-2b+c=0，∴a+c=2b，∴a+2b+c=4b＜0，∴b＜0，∴a2+2ac+c2=4b2，即22 224a ac c b++=∴b2-ac=()22222220 444a ca ac c a ac cac-++-+-==≥，故选：D.【点睛】本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键. 10．下列运算中正确的是( )A ．236a a a ⋅=B ．()325a a =C ．226235a a a +=D ．()()22224a b a b a b +--=【答案】D【解析】【分析】 根据同底数幂的乘法，可判断A 和B ，根据合并同类项，可判断C ，根据平方差公式，可判断D ．【详解】A. 底数不变指数相加，故A 错误；B. 底数不变指数相乘，故B 错误；C. 系数相加字母部分不变，故C 错误；D. 两数和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故D 正确；故选D.【点睛】本题考查了平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法的运算.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．“元旦”期间小明去永辉超市购物，恰逢永辉超市“满1400减99元”促销活动，小明准备提前购置一些年货A 和B ，已知A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，小明粗略测算了一下发现自己所购年货总价为1305元，不能达到超市的促销活动金额. 于是小明又购买了A 、B 各一件，这样就能参加超市的促销活动，最后刚好付款1305元. 小明经仔细计算发现前面粗略测算时把A 和B 的单价看反了，那么小明实际总共买了______件年货.【答案】22【解析】【分析】设A 单价为a 元，实际购买x 件，B 单价为b 元，实际购买y 元，根据题意列出方程组130599(1)(1)1305ax by a y b x +=+⎧⎨-+-=⎩，将两个方程相加得到(1)(1)2709a x y b x y +-++-=，分解因式得()(1)33743a b x y ++-=⨯⨯⨯，由A 和B 的单价总和是100到200之间的整数得到()(1)12921a b x y ++-=⨯，由此求得答案.【详解】设A 单价为a 元，实际购买x 件，B 单价为b 元，实际购买y 元，130599(1)(1)1305ax by a y b x +=+⎧⎨-+-=⎩， ∴(1)(1)2709a x y b x y +-++-=，∴()(1)33743a b x y ++-=⨯⨯⨯，∵A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，即100a b 200<+<，∴()(1)12921a b x y ++-=⨯，即129a b +=， 121x y +-=，∴x+y=22，故答案为：22.【点睛】此题考查因式分解，设未知数列出方程组后将两个方程相加再因式分解是关键的步骤，根据A 和B 的单价总和确定出x+y 的值.12．在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形()a b >，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，用等式表示是____________．【答案】a 2-b 2=(a+b)(a-b)【解析】【分析】根据正方形的面积公式和梯形的面积公式，即可求出答案.【详解】∵第一个图形的面积是a 2-b 2，第二个图形的面积是12（b ＋b ＋a ＋a ）（a －b ）＝（a ＋b ）（a －b ）， ∴根据两个图形的阴影部分的面积相等得：a 2-b 2=(a+b)(a-b).故答案为a 2-b 2=(a+b)(a-b).【点睛】 本题考查了平方差公式得几何背景，熟练掌握平方差公式的定义是本题解题的关键.13．在实数范围内因式分解：22967x y xy --=__________． 【答案】122122933xy xy ⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】将原多项式提取9，然后拆项分组为222189399x y xy ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，利用完全平方公式将前一组分解后，再利用平方差公式继续在实数范围内分解.【详解】解：22967x y xy -- 2227=939x y xy ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 222117=9+3999x y xy ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ 218=939xy ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦11=93333xy xy ⎛⎫⎛---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11=933xy xy ⎛+--- ⎝⎭⎝⎭故答案为：9xy xy ⎛⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查在实数范围内因式分解，利用分组分解法将原多项式“三一”分组后采用公式法因式分解，注意在实数范围内因式分解是指系数可以是根式.14．5(m －n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．【答案】 (m-n)4， （5+m-n ）【解析】把多项式5(m －n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可得5(m －n)4-(n-m)5=(m －n)4（5+m-n ）.故答案为：(m-n)4，（5+m-n ）.15．因式分解:214y y ++=______ 【答案】212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【解析】根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±进行因式分解为：2222111124222y y y y y ⎛⎫⎛⎫++=+⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ .16．4x(m －n)＋8y(n －m)2中各项的公因式是________.【答案】4(m －n)【解析】根据题意，先变形为4x(m －n)＋8y(m －n)2，把m-n 看做一个整体，即可找到公因式4（m-n ）.故答案为：4（m-n ）.点睛：此题主要考查了提公因式法因式分解，根据公因式的特点，利用整体法确定公因式即可，关键是要把n-m 与m-n 变形为统一的式子.17．若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式，则m =__________． 【答案】7或-1【解析】【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．详解：∵x 2+2（m-3）x+16是关于x 的完全平方式，∴2（m-3）=±8，解得：m=-1或7，故答案为-1或7．点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．18．若x ﹣1x=2，则x 2+21x 的值是______． 【答案】6【解析】 根据完全平方公式，可知（x ﹣1x ）2= x 2-2+21x =4，移项整理可得x 2+21x=6. 故答案为6.点睛：此题主要考查了整式的乘法，解题关键是利用完全平方公式进行变形，然后化简整理即可求解，注意整体思想的应用，比较简单，是常考题.19．因式分解：mn （n ﹣m ）﹣n （m ﹣n ）=_____．【答案】()()1n n m m -+【解析】mn(n-m)-n(m-n)= mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1)，故答案为n(n-m)(m+1).20．若2a b +=，3ab =-，则代数式32232a b a b ab ++的值为__________．【答案】-12【解析】分析：对所求代数式进行因式分解，把2a b +=，3ab =-，代入即可求解. 详解：2a b +=，3ab =-，()()23223222223212.a b a b ab ab a ab b ab a b ++=++=+=-⨯=- ， 故答案为：12.-点睛：考查代数式的求值，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.。
【精选】八年级数学整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
【答案】（1）8、29是完美数（2）S是完美数（3）mn是完美数
【解析】
【分析】
（1）利用“完美数”的定义可得；
（2）利用配方法，将S配成完美数，可求k的值
（3）根据完全平方公式，可证明mn是“完美数”；
【详解】
(1)
(2)
(3) ,则
即mn也是完美数.
(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2019，则需要应用上述方法________次，结果是________；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数).
【答案】(1)提取公因式法，2；(2)2019，(1＋x)2020；(3) (1＋x)n＋1.
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．（阅读材料）
因式分解： ．
解：将“ ”看成整体，令 ，则原式 ．
再将“ ”还原，原式 ．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
（问题解决）
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ；
（3）证明：若 为正整数，则代数式 的值一定是某个整数的平方．
【答案】（1） ．（2） ；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；
（2）把a+b看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为 ，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
深圳数学整式的乘法与因式分解易错题(Word版 含答案)
深圳数学整式的乘法与因式分解易错题（Word 版 含答案）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．将多项式24x +加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( ) A ．4-B ．±4xC ．4116xD ．2116x 【答案】D【解析】【分析】分x 2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.【详解】解：①当x 2是平方项时，4士4x+x ²=（2士x ）2，则可添加的项是4x 或一4x ； ②当x 2是乘积二倍项时，4+ x 2+4116x =（2+214x ）2，则可添加的项是4116x ； ③若为单项式，则可加上-4.故选：D.【点睛】本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.2．在矩形ABCD 中，AD =3，AB =2，现将两张边长分别为a 和b （a ＞b ）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2．则S 1﹣S 2的值为（ ）A ．-1B ．b ﹣aC ．-aD ．﹣b【答案】D【解析】【分析】 利用面积的和差分别表示出S 1、S 2，然后利用整式的混合运算计算它们的差.【详解】∵1()()()(2)(2)(3)S AB a a CD b AD a a a b a =-+--=-+--2()()()2(3)()(2)S AB AD a a b AB a a a b a =-+--=-+--∴21S S -=(2)(2)(3)a a b a -+--2(3)()(2)a a b a -----32b b b =-+=-故选D.【点睛】本题考查了整式的混合运算，计算量比较大，注意不要出错，熟练掌握整式运算法则是解题关键.3．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为( )A ．6B ．6-C ．6±D ．无法确定【答案】C【解析】【分析】 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．【详解】解：22x kxy 9y -+是一个完全平方式，k 6∴-=±，解得：k 6=±，故选：C ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．利用平方差公式计算(25)(25)x x ---的结果是A ．245x -B ．2425x -C ．2254x -D ．2425x + 【答案】C【解析】【分析】平方差公式是（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2.【详解】解：()()()()()2225252525425254x x x x x x ---=--+=--=-， 故选择C.【点睛】本题考查了平方差公式，应牢记公式的形式.5．已知实数a 、b 满足a+b=2，ab=34，则a ﹣b=（ ） A ．1B ．﹣52C ．±1D ．±52【答案】C【解析】分析：利用完全平方公式解答即可．详解：∵a+b=2，ab=34， ∴（a+b ）2=4=a 2+2ab+b 2，∴a 2+b 2=52， ∴（a-b ）2=a 2-2ab+b 2=1，∴a-b=±1，故选C ．点睛：本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．6．下面计算正确的是（ ）A ．33645x x x +=B ．236a a a ⋅=C ．()4312216x x -=D ．()()22222x y x y x y +-=- 【答案】C【解析】【分析】A.合并同类项得到结果；B.利用同底数幂的乘法法则计算得到结果；C.利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果；D.利用平方差公式计算得到结果，即可作出判断.【详解】A.原式=35x ，错误；B.原式=5a ，错误；C.原式=1216x ，正确；D.原式=224x y -，错误.故选C.【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，平方差公式运算，熟知其运算法则是解题的关键.7．下列变形，是因式分解的是（ ）A ．2(1)x x x x -=-B ．21(1)1x x x x -+=-+C ．2(1)x x x x -=-D ．2()22a b c ab ac +=+【答案】C【解析】分析：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 详解：A 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C 、是符合因式分解的定义，故本选项正确；D 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选：C ．点睛：本题考查了因式分解的知识，理解因式分解的定义是解题关键．8．下面四个代数式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）A ．()()322x x x ++-B ．25x x +C ．()232x x ++D ．()36x x ++【答案】B【解析】【分析】依题意可得S S S =-阴影大矩形小矩形、S S S =+阴影正方形小矩形、S S S =+阴影小矩形小矩形，分别可列式，列出可得答案.【详解】解：依图可得，阴影部分的面积可以有三种表示方式：()()322S S x x x -=++-大矩形小矩形；()232S S x x +=++正方形小矩形；()36S S x x +=++小矩形小矩形.故选：B.【点睛】本题考查多项式乘以多项式及整式的加减，关键是熟练掌握图形面积的求法，还有本题中利用割补法来求阴影部分的面积，这是一种在初中阶段求面积常用的方法，需要熟练掌握.9．若6a b +=，7ab =，则-a b =（ ）A ．±1B ．2±C ．2±D ．22±【答案】D【解析】【分析】由关系式（a-b ）2=（a+b ）2-4ab 可求出a-b 的值【详解】∵a+b=6，ab=7， （a-b ）2=（a+b ）2-4ab∴（a-b ）2=8，∴a-b=±．故选：D ．【点睛】考查了完全平方公式，解题关键是能灵活运用完全平方公式进行变形．10．已知a ＝96，b ＝314，c ＝275，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a【答案】C【解析】【分析】根据幂的乘方可得：a ＝69=312，c ＝527=315，易得答案. 【详解】因为a ＝69=312，b ＝143，c ＝527=315，所以，c>b>a故选C【点睛】本题考核知识点：幂的乘方. 解题关键点：熟记幂的乘方公式.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．已知3x y +=，3336x y +=，则xy =______．【答案】-1【解析】【分析】将3336x y +=利用立方和公式以及完全平方公式进行变形后再计算即可得出答案．【详解】解：∵3x y +=∴33222()()3()33(93)279x y x y x xy y x y xy xy xy ⎡⎤+=+-+=⨯+-=-=-⎣⎦ ∵3336x y +=∴27936xy -=∴1xy =-故答案为：-1．【点睛】本题考查的知识点是立方和公式以及完全平方公式，解此题的关键是记住立方和公式．12．如图，有一张边长为x 的正方形ABCD 纸板，在它的一个角上切去一个边长为y 的正方形AEFG ，剩下图形的面积是32，过点F 作FH ⊥DC ，垂足为H.将长方形GFHD 切下，与长方形EBCH 重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD 的面积是____.【答案】36.【解析】【分析】根据题意列出2232,8x y x y -=+=，求出x-y=4，解方程组得到x 的值即可得到答案.【详解】由题意得： 2232,8x y x y -=+= ∵22()()x y x y x y -=+-，∴x -y=4，解方程组48x y x y -=⎧⎨+=⎩，得62x y =⎧⎨=⎩， ∴正方形ABCD 面积为236x =，故填：36.【点睛】此题考查平方差公式的运用，根据题意求得x-y=4是解题的关键，由此解方程组即可.13．在实数范围内因式分解：231x x +-=____________【答案】3322x x ⎛⎫⎛++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】利用一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可.【详解】令2310x x +-=∴1x =2x =∴231x x +-=x x ⎛+ ⎝⎭⎝⎭故答案为：x x ⎛+ ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，利用一元二次方程的解法即可解答，熟练掌握相关知识点是解题关键.14．(m+n+p+q) (m-n-p-q)＝（__________） 2-（__________） 2．【答案】m n+p+q【解析】(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]=()22m n p q -++，故答案为(1)m ，(2)n+p+q. 点睛：本题主要考查了平方差公式，平方差公式是两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，多项式与多项相乘时，要注意观察能否将其中符号相同的项结合成为一项后，再运用平方差公式运算.15．已知a m =3，a n =2，则a 2m ﹣n 的值为_____．【答案】4.5【解析】分析：首先根据幂的乘方的运算方法，求出a 2m 的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出a 2m-n 的值为多少即可．详解：∵a m =3，∴a 2m =32=9，∴a 2m-n =292m n a a ==4.5．故答案为：4.5．点睛：此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．16．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）．【答案】ab【解析】【分析】【详解】设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，12122{2x x ax x b+=-=解得，122{4a bxa bx+=-=②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（2a b+）2-4×（4a b-）2=ab．故答案为ab.17．若x﹣1x=2，则x2+21x的值是______．【答案】6【解析】根据完全平方公式，可知（x﹣1x）2= x2-2+21x=4，移项整理可得x2+21x=6.故答案为6.点睛：此题主要考查了整式的乘法，解题关键是利用完全平方公式进行变形，然后化简整理即可求解，注意整体思想的应用，比较简单，是常考题.18．分解因式2242xy xy x ++=___________【答案】22(1)x y +【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】原式＝2x （y 2＋2y ＋1）＝2x （y ＋1）2，故答案为2x （y ＋1）2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．有两个正方形A ，B ，现将B 放在A 的内部得图甲，将A ，B 并列放置后构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A ，B 的面积之和为______．【答案】13【解析】【分析】设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，由图形得出关系式求解即可．【详解】解：设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，由图甲得a 2﹣b 2﹣2（a ﹣b ）b=1即a 2+b 2﹣2ab=1，由图乙得（a+b ）2﹣a 2﹣b 2=12，2ab=12，所以a 2+b 2=13，故答案为13．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．20．分解因式：x 2﹣1=____．【答案】（x+1）（x ﹣1）．【解析】试题解析：x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1）．考点：因式分解﹣运用公式法．。
深圳市福田区新洲中学数学整式的乘法与因式分解(培优篇)(Word版 含解析)
深圳市福田区新洲中学数学整式的乘法与因式分解（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．若A ＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A 的末位数字是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意可得A=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）+1=（28-1）（28+1）+1=216根据21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；···因此可由16÷4=4，所以216的末位为6故选C点睛：此题是应用平方差公式进行计算的规律探索题，解题的关键是通过添加式子，使原式变化为平方差公式的形式；再根据2的n 次幂的计算总结规律，从而可得到结果.2．（2017重庆市兼善中学八年级上学期联考）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =， 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=， ()18x y +=， ()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x， 10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ） A ．201030B ．201010C ．301020D ．203010【答案】B【解析】【分析】【详解】解：x 3-xy 2=x （x 2-y 2）=x （x+y ）（x-y ），当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x-y=10，组成密码的数字应包括20，30，10，所以组成的密码不可能是201010．故选B ．3．已知a 与b 互为相反数且都不为零，n 为正整数，则下列两数互为相反数的是( ) A ．a 2n －1与－b 2n －1 B ．a 2n －1与b 2n －1 C ．a 2n 与b 2n D ．a n 与b n【答案】B【解析】已知a 与b 互为相反数且都不为零，可得a 、b 的同奇次幂互为相反数，同偶次幂相等，由此可得选项A 、C 相等，选项B 互为相反数，选项D 可能相等，也可能互为相反数，故选B.4．若999999a =，990119b =，则下列结论正确是（ ） A ．a ＜bB ．a b =C ．a ＞bD ．1ab =【答案】B【解析】 ()9999999909990909119991111===99999a b +⨯⨯==⨯， 故选B.【点睛】本题考查了有关幂的运算、幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数.5．若3x y -=，则226x y y --=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】【分析】由3x y -=得x=3+y ，然后，代入所求代数式，即可完成解答.【详解】解：由3x y -=得x=3+y代入()2222369669y y y y y y y +--=++--=故答案为C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活对代数式进行变形是解答本题的关键.6．若(x +y )2=9，(x -y )2=5，则xy 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-4D ．4【答案】B【解析】试题分析：根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y ）2=x 2+2xy+y 2=9①，（x ﹣y ）2= x 2-2xy+y 2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1.故选B点睛：此题主要考查了完全平方公式的应用，解题关键是抓住公式的特点：两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，然后比较各式的特点，直接进行计算，再两式相减即可求解..7．在2014，2015，2016，2017这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（ ）．A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017 【答案】A【解析】由于22()()a b a b a b -=+-，所以22201510081007=-；222016505503=-；22201710091008=-；因+a b 与-a b 的奇偶性相同，21007⨯一奇一偶，故2014不能表示为两个整数的平方差． 故选A.8．下列多项式中，能运用公式法进行因式分解的是（ ）A ．a 2+b 2B ．x 2+9C ．m 2﹣n 2D ．x 2+2xy+4y 2【答案】C【解析】试题分析：直接利用公式法分解因式进而判断得出答案．解：A 、a 2+b 2，无法分解因式，故此选项错误；B 、x 2+9，无法分解因式，故此选项错误；C 、m 2﹣n 2=（m+n ）（m ﹣n ），故此选项正确；D 、x 2+2xy+4y 2，无法分解因式，故此选项错误；故选C ．9．下列各式中，不能运用平方差公式进行计算的是（ ）A ．(21)(12)x x --+B ．(1)(1)ab ab -+C ．(2)(2)x y x y ---D ．(5)(5)a a -+--【答案】A【解析】【分析】运用平方差公式（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．【详解】A. 中不存在互为相反数的项，B. C. D 中均存在相同和相反的项，故选A.【点睛】此题考查平方差公式，解题关键在于掌握平方差公式结构特征.10．已知31416181279a b c ===，，，则a b c 、、的大小关系是（ ）A ．a b c ＞＞B ．a c b ＞＞C ．a b c ＜＜D ．b c a ＞＞ 【答案】A【解析】【分析】先把a ，b ，c 化成以3为底数的幂的形式，再比较大小.【详解】解：3112412361122a 813b 3c 93a b c.，，，=====>>故选A.【点睛】此题重点考察学生对幂的大小比较，掌握同底数幂的大小比较方法是解题的关键.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．已知a 1•a 2•a 3•…•a 2007是彼此互不相等的负数，且M=（a 1+a 2+…+a 2006）（a 2+a 3+…+a 2007），N=（a 1+a 2+…+a 2007）（a 2+a 3+…+a 2006），那么M 与N 的大小关系是M N ．【答案】M ＞N【解析】解：M ﹣N=（a 1+a 2+…+a 2006）（a 2+a 3+…+a 2007）﹣（a 1+a 2+…+a 2007）（a 2+a 3+…+a 2006） =（a 1+a 2+…+a 2006）（a 2+a 3+…+a 2006）+（a 1+a 2+…+a 2006）a 2007﹣（a 1+a 2+…+a 2006）（a 2+a 3+…+a 2006）﹣a 2007（a 2+a 3+…+a 2006）=（a 1+a 2+…+a 2006）a 2007﹣a 2007（a 2+a 3+…+a 2006）=a 1a 2007＞0∴M ＞N【点评】本题主要考查了整式的混合运算．12．因式分解：a 3-9ab 2=__________．【答案】a （a -3b ）（a +3b ）【解析】【分析】首先提取公因式a ，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【详解】a 3-9ab 2=a （a 2-9b 2）=a （a-3b ）（a+3b ）．故答案为：a （a-3b ）（a+3b ）．【点睛】本题考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题的关键．13．已知222246140x y z x y z ++-+-+=， 则()2002x y z --=_______．【答案】0【解析】【分析】利用完全平方式的特点把原条件变形为222(1)(2)(3)0x y z -+++-=，再利用几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0的结论可得答案．【详解】解：因为：222246140x y z x y z ++-+-+=所以222(21)(44)(69)0x x y y z z -+++++-+=所以222(1)(2)(3)0x y z -+++-= 所以102030x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩ ，解得123x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以()2002x y z --=[]221(2)3(33)0---=-= 故答案为0．【点睛】本题考查完全平方式的特点，非负数之和为0的性质，掌握该知识点是关键．14．如果实数a ，b 满足a +b ＝6，ab ＝8，那么a 2+b 2＝_____．【答案】20【解析】【分析】【详解】∵6,a b +=∴222()236,a b a ab b +=++=∵ab=8，∴22a b +=36-2ab=36-2×8=20.【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，熟练进行完全平方公式的变形是解题的关键.15．－3x 2＋2x －1＝____________＝－3x 2＋_________.【答案】 －(3x 2－2x ＋1) (2x －1)【解析】根据提公因式的要求，先提取负号，可得－(3x 2－2x ＋1)，再把2x-1看做一个整体去括号即可得（2x-1）.故答案为：－(3x 2－2x ＋1) ，(2x －1).16．因式分解：2()4()a a b a b ---＝___.【答案】()()()22a b a a -+-【解析】分析：先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．详解：a 2（a-b ）-4（a-b ）=（a-b ）（a 2-4）=（a-b ）（a-2）（a+2），故答案为：（a-b ）（a-2）（a+2）．点睛：本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解是解题的关键．17．因式分解：223ax 12ay -=______．【答案】()()3a x 2y x 2y +-【解析】【分析】先提公因式3a ，然后再利用平方差公式进行分解即可得.【详解】原式()223a x 4y =-()()3a x 2y x 2y =+-，故答案为：()()3a x 2y x 2y +-．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．18．因式分解：mn （n ﹣m ）﹣n （m ﹣n ）=_____．【答案】()()1n n m m -+【解析】mn(n-m)-n(m-n)= mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1)，故答案为n(n-m)(m+1).19．已知16x x +=，则221x x +=______ 【答案】34【解析】 ∵16x x +=，∴221x x +=22126236234x x ⎛⎫+-=-=-= ⎪⎝⎭， 故答案为34.20．分解因式：3x2-6x+3=__．【答案】3(x-1)2【解析】【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】()()222-+=-+=-.x x x x x36332131故答案是：3(x-1)2.【点睛】考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．。
深圳宝安区福永中学小升初数学期末试卷（提升篇）（Word版 含解析） (2)
深圳宝安区福永中学小升初数学期末试卷（提升篇）（Word 版 含解析） 一、选择题1．用四个棱长为2厘米的正方体拼一个长方体，这个长方体的表面积最大是（ ）平方厘米。
A ．54B ．64C ．722．六年级同学参加兴趣小组，其中绘画小组有a 人，比书法小组的人数的2倍少4人。
书法小组有多少人？正确的算式是（ ）。
A ．2=4a B ．2=4a ÷C ．24a ÷+D ．()42a +÷ 3．一个三角形的三个角的度数比为2∶2∶5，这个三角形中最大的角是（ ）。
A ．直角B ．锐角C ．钝角4．把一根木头截成两段，第一段长米，第二段占全长的，那么这两段木头长度的比较结果是（ ）A ．第一段长B ．第二段长C ．无法确定 5．观察由小正方体组成的立体图形,从左面看到的是,从右面看到的一定是( )．A ．B ．C ．D ．6．如图，下列描述，错误的是（ ）。
A ．少年宫在学校的西偏北30°方向B ．超市在学校的东偏北45°方向C ．图书馆在学校的南偏西40°方向 7．下列说法中正确的是（ ）。
A ．差一定时，被减数和减数成正比例 B ．总价一定时，单价和数量成正比例 C ．圆柱体积一定时，它的底面积和高成反比例D ．房间面积一定时，方砖的边长和所需的方砖数量成反比例8．高速公路入口处收费站有1号2号3号4号共四个收费窗口，有A ，B ，C 三辆轿车要通过收费窗口购票入高速公路．那么，这三辆轿车共有（ ）种不同的购票次序． A ．24B ．48C ．72D ．1209．按下列规律摆下去，摆第n 个图形要（ ）根小棒。
A ．7nB ．5n ＋2C ．2n ＋4D ．4n ＋2二、填空题10．今年“五一”长假期间，某市旅游收入达一亿九千五百万八千元。
这个数写作（______）元，四舍五入到“亿”位约是（______）亿元。
11．34的分数单位是（________），再增加（________）个这样的分数单位就能得到最小的质数。
深圳市宝安中学数学整式的乘法与因式分解单元复习练习(Word版 含答案)
深圳市宝安中学数学整式的乘法与因式分解单元复习练习(Word版含答案)一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．已知48-可以被在0～10之间的两个整数整除，则这两个数是（）21A．1、3 B．3、5 C．6、8 D．7、9【答案】D【解析】248－1=(224+1)(224－1)= (224+1)(212+1)(212－1)= (224+1)(212+1)(26+1)(26－1)=(224+1)(212+1)(26+1)(23+1) (23－1) , 23+1=9, 23－1=7,所以这两个数是7、9.故选D.点睛：平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）.2．已知x2+4y2=13，xy=3，求x+2y的值，这个问题我们可以用边长分别为x和y的两种正方形组成一个图形来解决，其中x>y，能较为简单地解决这个问题的图形是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵222+=++，(2)44x y x y xy>），则这个图形∴若用边长分别为x和y的两种正方形组成一个图形来解决（其中x y应选A，其中图形A中，中间的正方形的边长是x，四个角上的小正方形边长是y，四周带虚线的每个矩形的面积是xy.故选A.3．下列多项式中，能运用公式法进行因式分解的是（）A．a2+b2B．x2+9 C．m2﹣n2D．x2+2xy+4y2【答案】C【解析】试题分析：直接利用公式法分解因式进而判断得出答案．解：A、a2+b2，无法分解因式，故此选项错误；B、x2+9，无法分解因式，故此选项错误；C、m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），故此选项正确；D、x2+2xy+4y2，无法分解因式，故此选项错误；故选C．4．若x2+2(m+1)x+25是一个完全平方式，那么m的值（）A．4 或-6B．4C．6 或4D．-6【答案】A【解析】【详解】解：∵x 2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴△=b 2-4ac=0，即：[2（m+1）]2-4×25=0整理得，m 2+2m-24=0，解得m 1=4，m 2=-6，所以m 的值为4或-6．故选A.5．下列各式不能用公式法分解因式的是（ ）A ．92-xB ．2269a ab b -+-C ．22x y --D ．21x -【答案】C【解析】【分析】根据公式法有平方差公式、完全平方公式，可得答案．【详解】A 、x 2-9，可用平方差公式，故A 能用公式法分解因式；B 、-a 2+6ab-9 b 2能用完全平方公式，故B 能用公式法分解因式；C 、-x 2-y 2不能用平方差公式分解因式，故C 正确；D 、x 2-1可用平方差公式，故D 能用公式法分解因式；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解，熟记平方差公式、完全平方公式是解题关键．6．下列运算正确的是（ ）A ．()2224a a -=-B ．()222a b a b +=+C ．()257a a =D ．()()2224a a a -+--=- 【答案】D【解析】【分析】按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择．【详解】22(2)4a a -=，故选项A 不合题意；222()2a b a ab b +=++，故选项B 不合题意；5210()a a =，故选项C 不合题意；22(24)()a a a -+--=-，故选项D 符合题意．故选D ．【点睛】此题考查整式的运算，掌握各运算法则是关键，还要注意符号的处理．7．若（x 2-x +m ）（x -8）中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）A ．8B ．-8C ．0D ．8或-8 【答案】B【解析】（x 2-x +m ）（x -8）=322328889(8)8x x mx x x m x x m x m -+-+-=-++- 由于不含一次项，m+8=0,得m=-8.8．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）A ．(a ＋1)(a －1)＝a 2－1B ．a 2－6a ＋9＝(a －3)2C ．x 2＋2x ＋1＝x (x ＋2x )＋1D ．－18x 4y 3＝－6x 2y 2·3x 2y【答案】B【解析】【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【详解】A 、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B 、是因式分解，正确．C 、右边不是积的形式，错误；D 、左边是单项式，不是因式分解，错误．故选B ．【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．9．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．2a 2﹣2a+1=2a （a ﹣1）+1B ．（x+y ）（x ﹣y ）=x 2﹣y 2C ．x 2﹣6x+5=（x ﹣5）（x ﹣1）D ．x 2+y 2=（x ﹣y ）2+2x 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可．【详解】A 、2a 2-2a+1=2a （a-1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B 、（x+y ）（x-y ）=x 2-y 2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C 、x 2-6x+5=（x-5）（x-1），是因式分解，故此选项符合题意；D 、x 2+y 2=（x-y ）2+2xy ，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意； 故选C ．【点睛】此题考查因式分解的意义，解题的关键是看是否是由一个多项式化为几个整式的乘积的形式．10．若6a b +=，7ab =，则-a b =（ ）A ．±1B ．C ．2±D ．±【答案】D【解析】【分析】由关系式（a-b ）2=（a+b ）2-4ab 可求出a-b 的值【详解】∵a+b=6，ab=7， （a-b ）2=（a+b ）2-4ab∴（a-b ）2=8，∴a-b=±．故选：D ．【点睛】考查了完全平方公式，解题关键是能灵活运用完全平方公式进行变形．二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．x+1x＝3，则x 2+21x ＝_____． 【答案】7【解析】【分析】 直接利用完全平方公式将已知变形，进而求出答案．【详解】解：∵x +1x ＝3， ∴（x +1x ）2＝9， ∴x 2+21x +2＝9，∴x 2+21x ＝7． 故答案为7．【点睛】 此题主要考查了分式的混合运算，正确应用完全平方公式是解题关键．12．已知a-b=4，ab=6，则22a b += _________．【答案】28【解析】【分析】对完全平方公式进行变形即可解答.【详解】解：∵222()216a b a ab b -=-+=∴22a b +=2()a b -+2ab=16+2×6=28故答案为28.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式并能够进行灵活变形是解答本题的关键.13．在实数范围内因式分解：22967x y xy --=__________．【答案】11933xy xy ⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】将原多项式提取9，然后拆项分组为222189399x y xy ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，利用完全平方公式将前一组分解后，再利用平方差公式继续在实数范围内分解.【详解】解：22967x y xy -- 2227=939x y xy ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 222117=9+3999x y xy ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ 218=939xy ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦11=933xy xy ⎛---+ ⎝⎭⎝⎭11=933xy xy ⎛+--- ⎝⎭⎝⎭故答案为：11933xy xy ⎛+--- ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查在实数范围内因式分解，利用分组分解法将原多项式“三一”分组后采用公式法因式分解，注意在实数范围内因式分解是指系数可以是根式.14．将22363ax axy ay -+分解因式是__________．【答案】()23a x y -【解析】根据题意，先提公因式，再根据平方差公式分解即可得：()()22222363323ax axy ay a x xy y a x y -+=-+=-. 故答案为()23a x y -.15．若m+1m =3，则m 2+21m =_____． 【答案】7【解析】分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．详解：把m+1m =3两边平方得：（m+1m ）2=m 2+21m +2=9， 则m 2+21m =7， 故答案为：7点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．16．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a 、b 的代数式表示）．【答案】ab【解析】【分析】【详解】设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，12122{2x x ax x b+=-=解得，122{4a bxa bx+=-=②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（2a b+）2-4×（4a b-）2=ab．故答案为ab.17．因式分解：x3﹣4x=_____．【答案】x（x+2）（x﹣2）【解析】试题分析：首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式．即x3﹣4x=x（x2﹣4）=x （x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．18．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b ）6= ．【答案】a 6+6a 5b+15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6．【解析】【分析】通过观察可以看出（a+b ）6的展开式为6次7项式，a 的次数按降幂排列，b 的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．【详解】通过观察可以看出（a+b ）6的展开式为6次7项式，a 的次数按降幂排列，b 的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．所以（a+b ）6=a 6+6a 5b+15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6．19．已知16x x +=，则221x x +=______ 【答案】34【解析】 ∵16x x +=，∴221x x +=22126236234x x ⎛⎫+-=-=-= ⎪⎝⎭， 故答案为34.20．分解因式：32363a a a -+=_____．【答案】()231a a -【解析】【分析】先提取公因式3a ，再根据完全平方公式进行二次分解即可．【详解】 ()()232236332131a a a a a a a a -+=-+=-． 故答案为：()231a a -【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．。
深圳市福田区岗厦中学数学整式的乘法与因式分解(篇)(Word版 含解析)
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）1．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）45；（3）20．【解析】【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD 的面积求解．【详解】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a2+b2+c2 =（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；（3）∵a+b=10，ab=20，∴S阴影=a2+b2﹣12（a+b）•b﹣12a2=12a2+12b2﹣12ab=12（a+b）2﹣32ab=12×102﹣32×20 =50﹣30=20．【点睛】 本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积.2．阅读下列解题过程，再解答后面的题目.例题：已知224250x y y x ++-+=，求x y +的值. 解：由已知得22(21)(44)0x x y y -++++=即22(1)(2)0x y -++=∵2(1)0x -≥，2(2)0y +≥ ∴有1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩∴1x y +=-.题目：已知22464100x y x y +-++=，求xy 的值. 【答案】-32【解析】【分析】 先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x 、y 的值，再代入求出xy 的值．【详解】解：将22464100x y x y +-++=，化简得22694410x x y y -++++=，即()()223210x y -++=．∵()230x -≥，()2210y +≥，且它们的和为0，∴3x = ，12y， ∴12233xy ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是将左边的式子写成两个完全平方的和的形式．3．（1）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法例如：()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++.22222221(21)(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--.试用上述方法分解因式222a ab ac bc b ++++=（2）利用分解因式说明：22(5)(1)n n +--能被12整除.【答案】（1）()()a b a b c +++；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）a 2+2ab+ac+bc+b 2可以进行分组变成（a 2+2ab+b 2）+（ac+bc ），则前边括号内的三项可以利用完全平方公式分解，后边的三项可以提公因式，然后再利用提公因式法即可分解．（2）先利用平方差公式将22(5)(1)n n +--进行因式分解，之后即可得出答案.【详解】（1）原式=()()222a ab bac bc ++++=()()2a b c a b +++=()()a b a b c +++（2）22(5)(1)n n +--=[][](5)+(1)(5)(1)n n n n +-+--=()624n +=()122n +∴ 22(5)(1)n n +--能被12整除.【点睛】本题考查分组分解的因式分解方法，做题时先分析题中给的例子是解题关键.4．观察以下等式：（x+1)(x 2-x+1)=x 3＋1（x+3）（x 2-3x+9）=x 3+27（x+6）（x 2-6x+36）=x 3+216．．．．．． ．．．．．．(1)按以上等式的规律，填空：（a+b ）（___________________）=a 3+b 3(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立.(3)利用（1）中的公式化简：（x+y ）（x 2-xy+y 2）-（x-y ）（x 2+xy+y 2）【答案】（1）a 2-ab+b 2；（2）详见解析；（3）2y 3．【解析】【分析】（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）结合题目本身的特征，利用（1）中的公式直接运用即可．【详解】（1）（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；（2）（a+b）（a2-ab+b2）=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3；（3）（x+y）（x2-xy+y2）-（x-y）（x2+xy+y2）=x3+y3-（x3-y3）=2y3．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式乘法法则，注意观察所给例题，找出其中的规律是解决本题的基本思路．5．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了________次；(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2019，则需要应用上述方法________次，结果是________；(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数).【答案】(1)提取公因式法，2；(2)2019，(1＋x)2020；(3) (1＋x)n＋1.【解析】【分析】（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．【详解】(1)提取公因式法，2（因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次）(2)2019，(1＋x)2020（分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019，则需应用上述方法2019次，结果是(1＋x)2020）(3)原式＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－1]＝(1＋x)2[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－2]＝(1＋x)3[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－3]＝(1＋x)n(1＋x)＝(1＋x)n＋1.【点睛】本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.6．一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m为“半期数”；把四位数m的各位上的数字依次轮换后得到新的四位数m′，设m′＝abcd，在m′的所有可能的情况中，当|b+2c﹣a ﹣d|最小时，称此时的m′是m的“伴随数”，并规定F（m′）＝a2+c2﹣2bd；例如：m＝2365，则m′为：3652，6523，5236，因为|6+10﹣3﹣2|＝11，|5+4﹣6﹣3|＝0，|2+6﹣5﹣6|＝3，0最小，所以6523叫做2365的“伴随数”，F（5236）＝52+32﹣2×2×6＝10．（1）最大的四位“半期数”为；“半期数”3247的“伴随数”是．（2）已知四位数P＝abcd是“半期数”，三位数Q＝2ab，且441Q﹣4P＝88991，求F（P'）的最大值．【答案】（1）4192，7324；（2）42.【解析】【分析】（1）根据“半期数”的定义分析最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192，分析3247的所有可能为，2473，4732，7324．根据题意|b+2c﹣a﹣d|最小的数是7324，所以3247的“伴随数”是：7324．（2）根据定义可知a+b=5，c+d=11．再根据441Q﹣4P=88991，可以算出P的值，从而求出F（P'）的最大值．【详解】解；（1）根据题意可得最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192．∵3247的所有可能为，2473，4732，7324．∵|4+14﹣2﹣3|=13，|7+6﹣4﹣2|=7，|3+4﹣7﹣4|=4， 4最小，所以7324为3247的“伴随数”．故答案为4192；7324．（2）∵P为“半期数”∴a+b=5，c+d=11，∴b=5﹣a，d=11﹣c，∴P=1000a+100（5﹣a）+10c+11﹣c=900a+9c+511．∵Q=200+10a+c，∴441Q﹣4P=88991，∴441（200+10a+c）﹣4（900a+9c+511）=88991化简得：2a+c=7①当a=1时，c=5，此时这个四位数为1456符合题意；②当a=2时，c=3，此时这个四位数为2338不符合题意，舍去；③当a=3时，c=1，不符合题意，舍去；综上所述：这个四位数只能是1456，则P'可能为4561，5614，6145．∵|5+12﹣4﹣1|=12，|6+2﹣5﹣4|=1，|1+8﹣6﹣5|=2，1最小，所以5614为P的“伴随数”，∴F（5614）=a2+c2﹣2bd=25+1﹣2×6×4=﹣22；F （4561）=a 2+c 2﹣2bd =16+36﹣2×5×1=42；F （6145）=a 2+c 2﹣2bd =36+16﹣2×1×5=42；∴F （P '）的最大值为42．【点睛】解决本道题的关键是理解好半期数的定义：一个四位正整数m 各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m 的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”，然后根据当|b +2c ﹣a ﹣d |最小时，称此时的m '是m 的“伴随数”来确定伴随数．7．阅读理解：把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．（1）请写出一个六位连接数 ，它 （填“能”或“不能”）被13整除．（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．（3）若一个四位连接数记为M ，它的各位数字之和的3倍记为N ，M ﹣N 的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？【答案】（1）证明见解析（2）abcabc 能被13整除（3）这样的四位连接数有1919，2525，3131，一共3个【解析】分析：（1）根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数，再将123123进行因数分解，判断得出它能被13整除；（2）设abcabc 为六位连接数，将abcabc 进行因数分解，判断得出它能被13整除； （3）设xyxy 为四位连接数，用含x 、y 的代数式表示M 与N ，再计算M ﹣N ，然后将13M N -表示为77x +7y +3413x y +，根据M ﹣N 的结果能被13整除以及M 与N 都是1～9之间的整数，求得x 与y 的值，即可求解．详解：（1）123123为六位连接数；∵123123=123×1001=123×13×77，∴123123能被13整除；（2）任意六位连接数都能被13整除，理由如下：设abcabc 为六位连接数．∵abcabc =abc ×1001=abc ×13×77，∴abcabc 能被13整除；（3）设xyxy 为四位连接数，则M =1000x +100y +10x +y =1010x +101y ，N =3（x +y +x +y ）=6x +6y ，∴M ﹣N =（1010x +101y ）﹣（6x +6y ）=1004x +95y ，∴13M N -=10049513x y +=77x +7y +3413x y +．∵M ﹣N 的结果能被13整除，∴3413x y +是整数．∵3x +4y 取值范围大于3小于63，所以能被13整除的数有13，26，39，52，∴x =1，y =9；x =2，y =5；x =3，y =1；x =8，y =7；x =9，y =3；x =5，y =6；x =6，y=2；满足条件的四位连接数的3131，2525，6262，9393，8787，5656，1919共7个．点睛：本题考查了因式分解的应用，整式的运算，理解“连接数”的定义是解题的关键．8．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）（x+1）4．【解析】【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．【详解】（1）故选C；（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x=y，则：原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+4）2=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4．故答案为：（x﹣2）4；（3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4．【点睛】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．9．阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（a+b）（m+n），这种因式分解的方法叫做分组分解法．（1）请用上述方法因式分解：x 2-y 2+x-y（2）已知四个实数a 、b 、c 、d 同时满足a 2+ac=12k ，b 2+bc=12k ．c 2+ac=24k ，d 2+ad=24k ，且a≠b ，c≠d ，k≠0①求a+b+c 的值；②请用含a 的代数式分别表示b 、c 、d【答案】（1）（x −y ）（x +y +1）；（2）①0a b c ++=；②3b a =-，2c a =，3d a =-【解析】【分析】（1）将x 2 - y 2分为一组，x-y 分为一组，前一组利用平方差公式化为(x+y)(x-y)，再提取公因式即可求解．（2）①已知22a ac b bc +=+=12k ，可得220a b ac bc -+-=，将等号左边参照（1）因式分解，即可求解．②由a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k 可得2(a 2+ac)= c 2+ac ，即可得出c=2a ，同理得出3b a =-，3d a =-【详解】（1）x 2-y 2+x-y = (x 2 -y 2)+(x-y)=(x+y)(x-y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)故答案为：(x-y)(x+y+1)（2）①22a ac b bc +=+=12k220a b ac bc -+-=()()0a b a b c -++=∵a b∴0a b c ++=②∵a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k2(a 2+ac)= c 2+ac∴2a 2+ac- c 2=0得(2a-c)(a+c)=0∵a 2+ac=12k ≠0即a(a+c)≠0∴c=2a ，a 2=4k∵b 2+bc=12k∴b 2+2ba=3a 2则（a −b ）（3a +b ）=0∵a ≠b∴3b a =-同理可得d 2+ad=24k ，c 2+ac=24kd 2+ad=c 2+ac（d −c ）（a +d +c ）=0∵c d ≠∴0a d c ++=∴3d a =-故答案为：0a b c ++=；3b a =-，2c a =，3d a =-【点睛】本题考查了用提取公因式法、运用公式法、分组分解法进行因式分解．10．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x 3+2x 2﹣x ﹣2因式分解的结果为（x ﹣1）（x +1）（x +2），当x ＝18时，x ﹣1＝17，x +1＝19，x +2＝20，此时可以得到数字密码171920．（1）根据上述方法，当x ＝21，y ＝7时，对于多项式x 3﹣xy 2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）（2）若多项式x 3+（m ﹣3n ）x 2﹣nx ﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x ＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m 、n 的值．【答案】（1）可以形成的数字密码是：212814、211428；（2）m 的值是56，n 的值是17．【解析】【分析】（1）先将多项式进行因式分解，然后再根据数字密码方法形成数字密码即可；（2）设x 3+（m ﹣3n ）x 2﹣nx ﹣21＝（x +p ）（x +q ）（x +r ），当x ＝27时可以得到其中一个密码为242834，得到方程解出p 、q 、r ，然后回代入原多项式即可求得m 、n【详解】（1）x 3﹣xy 2＝x （x 2﹣y 2）＝x （x +y ）（x ﹣y ），当x ＝21，y ＝7时，x +y ＝28，x ﹣y ＝14，∴可以形成的数字密码是：212814、211428；（2）设x 3+（m ﹣3n ）x 2﹣nx ﹣21＝（x +p ）（x +q ）（x +r ），∵当x ＝27时可以得到其中一个密码为242834，∴27+p ＝24，27+q ＝28，27+r ＝34，解得，p ＝﹣3，q ＝1，r ＝7，∴x 3+（m ﹣3n ）x 2﹣nx ﹣21＝（x ﹣3）（x +1）（x +7），∴x 3+（m ﹣3n ）x 2﹣nx ﹣21＝x 3+5x 2﹣17x ﹣21，∴ 3517m n n -=⎧⎨-=-⎩得，5617m n =⎧⎨=⎩即m 的值是56，n 的值是17．【点睛】本题属于阅读理解题型，考查知识点以因式分解为主，本题第一问关键在于理解题目中给到的数字密码的运算规则，第二问的关键在于能够将原多项式设成（x +p ）（x +q ）（x +r ），解出p 、q 、r。
八年级数学上册 整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)
八年级数学上册整式的乘法与因式分解（提升篇）（Word版含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可．【详解】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2＝3．故选D．【点睛】本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．2．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（）A．1 B．4 C．11 D．12【答案】C【解析】分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可.详解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12∴p+q=m，pq=-12.∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12∴m=-11或11或4或-4或1或-1.∴m的最大值为11.故选C.点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.3．当3x =-时，多项式33ax bx x ++=.那么当3x =时，它的值是（ ）A ．3-B ．5-C ．7D ．17-【答案】A【解析】【分析】首先根据3x =-时，多项式33ax bx x ++=，找到a 、b 之间的关系，再代入3x =求值即可.【详解】当3x =-时，33ax bx x ++=327333ax bx x a b ++=---= 2736a b ∴+=-当3x =时，原式=2733633a b ++=-+=-故选A.【点睛】本题考查代数式求值问题，难度较大，解题关键是找到a 、b 之间的关系.4．已知4821-可以被在0～10之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）A ．1、3B ．3、5C ．6、8D ．7、9【答案】D【解析】248－1=(224+1)(224－1)= (224+1)(212+1)(212－1)= (224+1)(212+1)(26+1)(26－1)=(224+1)(212+1)(26+1)(23+1) (23－1) , 23+1=9, 23－1=7,所以这两个数是7、9.故选D.点睛：平方差公式：a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）.5．下列运算正确的是（ ）A ．236•a a a =B ．()325a a =C ．23•a ab a b -=-D ．532a a ÷=【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法法则即可求出答案．【详解】A ．原式＝a 5，故A 错误；B ．原式＝a 6，故B 错误；C ．23•a ab a b -=-，正确；D ．原式＝a 2，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．6．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是( )A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b2【答案】B【解析】图（4）中，∵S正方形=a2-2b（a-b）-b2=a2-2ab+b2=（a-b）2，∴（a-b）2=a2-2ab+b2．故选B7．规定一种运算：a*b=ab+a+b，则a*（﹣b）+a*b的计算结果为（）A．0 B．2a C．2b D．2ab【答案】B【解析】【分析】【详解】解：∵a*b=ab+a+b∴a*（﹣b）+a*b=a（﹣b）+a -b+ab+a+b=﹣ab+a -b+ab+a+b=2a故选B．考点：整式的混合运算．8．如果是个完全平方式，那么的值是（）A．8 B．-4 C．±8 D．8或-4【答案】D【解析】试题解析：∵x2+（m-2）x+9是一个完全平方式，∴（x±3）2=x2±2(m-2)x+9，∴2(m-2)=±12，∴m=8或-4．故选D．9．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（）A．(a＋1)(a－1)＝a2－1 B．a2－6a＋9＝(a－3)2C．x2＋2x＋1＝x(x＋2x)＋1 D．－18x4y3＝－6x2y2·3x2y【答案】B【解析】【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【详解】A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B、是因式分解，正确．C、右边不是积的形式，错误；D、左边是单项式，不是因式分解，错误．故选B．【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．10．下列各运算中，计算正确的是（）A．a12÷a3=a4B．（3a2）3=9a6C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2D．2a•3a=6a2【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的法则逐项计算即可得.【详解】A、原式=a9，故A选项错误，不符合题意；B、原式=27a6，故B选项错误，不符合题意；C、原式=a2﹣2ab+b2，故C选项错误，不符合题意；D、原式=6a2，故D选项正确，符合题意，故选D．【点睛】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键．二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．已知222246140x y z x y z ++-+-+=， 则()2002x y z --=_______．【答案】0【解析】【分析】 利用完全平方式的特点把原条件变形为222(1)(2)(3)0x y z -+++-=，再利用几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0的结论可得答案．【详解】解：因为：222246140x y z x y z ++-+-+=所以222(21)(44)(69)0x x y y z z -+++++-+=所以222(1)(2)(3)0x y z -+++-= 所以102030x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩ ，解得123x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以()2002x y z --=[]221(2)3(33)0---=-= 故答案为0．【点睛】本题考查完全平方式的特点，非负数之和为0的性质，掌握该知识点是关键．12．在实数范围内因式分解：22967x y xy --=__________．【答案】11933xy xy ⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】将原多项式提取9，然后拆项分组为222189399x y xy ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，利用完全平方公式将前一组分解后，再利用平方差公式继续在实数范围内分解.【详解】解：22967x y xy -- 2227=939x y xy ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 222117=9+3999x y xy ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ 218=939xy ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦11=933xy xy ⎛---+ ⎝⎭⎝⎭11=933xy xy ⎛+--- ⎝⎭⎝⎭故答案为：11933xy xy ⎛+--- ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查在实数范围内因式分解，利用分组分解法将原多项式“三一”分组后采用公式法因式分解，注意在实数范围内因式分解是指系数可以是根式.13．把方程x 2+4xy ﹣5y 2＝0化为两个二元一次方程，它们是_____和_____．【答案】x +5y ＝0 x ﹣y ＝0【解析】【分析】通过十字相乘法,把方程左边因式分解,即可求解.【详解】∵x 2+4xy ﹣5y 2＝0，∴(x +5y )(x ﹣y )＝0，∴x +5y ＝0或x ﹣y ＝0，故答案为：x +5y ＝0和 x ﹣y ＝0．【点睛】该题重点考查了因式分解中的十字相乘法,能顺利的把方程左边因式分解是解题的关键所在.十字相乘法相关的知识点是:必须是二次三项式,并且符合拆解的原则,即可利用十字相乘分解因式.14．若26x x k -+是一个完全平方式，那么k =_______________【答案】9【解析】因为若26x k k -+是一个完全平方式，那么()222262333x k k x k x -+=-⨯+=-，那么答案是k=9.故答案为：9.15．计算(-3x 2y)•(13xy 2)=_____________． 【答案】33x y -【解析】【分析】根据单项式乘以单项式的法则计算即可．【详解】原式=(-3)×13x 2+1y 1+2= -x 3y 3 故答案为－x 3y 3【点睛】 本题主要考查单项式乘以单项式的法则.要准确把握法则是解答此题的关键.16．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．【答案】xy （x ﹣1）2【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式=xy （x 2-2x+1）=xy （x-1）2．故答案为：xy （x-1）2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．因式分解：x 3﹣4x=_____．【答案】x （x+2）（x ﹣2）【解析】试题分析：首先提取公因式x ，进而利用平方差公式分解因式．即x 3﹣4x=x （x 2﹣4）=x （x+2）（x ﹣2）．故答案为x （x+2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．18．分解因式：32363a a a -+=_____．【答案】()231a a -【解析】【分析】先提取公因式3a ，再根据完全平方公式进行二次分解即可．【详解】 ()()232236332131a a a a a a a a -+=-+=-． 故答案为：()231a a -【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．19．分解因式：3x 2-6x+3=__．【答案】3(x-1)2【解析】【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】 ()()22236332131x x x x x -+=-+=-.故答案是：3(x-1)2.【点睛】考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．20．已知8a b +=，224a b =，则222a b ab +-=_____________． 【答案】28或36．【解析】【分析】【详解】解：∵224a b =，∴ab=±2．①当a+b=8，ab=2时，222a b ab +-=2()22a b ab +-=642﹣2×2=28； ②当a+b=8，ab=﹣2时，222a b ab +-=2()22a b ab +-=642﹣2×（﹣2）=36； 故答案为28或36．【点睛】本题考查完全平方公式；分类讨论．。
深圳宝安区福永中学八年级数学上册第四单元《整式的乘法与因式分解》检测(包含答案解析)
一、选择题1．将4个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义ac b d=ad －bc ．上述记号就叫做2阶行列式，若11x x +-11x x -+=12，则x=( )．A ．2B ．3C ．4D ．62．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y-++，若取9x =，9y =，则各个因式的值是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取30x =，20y =，用上述方法产生的密码不可能是（ ） A ．301050 B ．103020C ．305010D ．5010303．多项式291x 加上一个单项式后﹐使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是（ ） A ．6x ±B ．-1或4814x C ．29x -D ．6x ±或1-或29x -4．已知3x y +=，1xy =，则23x xy y -+的值是（）A ．7B ．8C ．9D ．125．下列因式分解正确的是（ ） A ．24414(1)1m m m m -+=-+ B ．a 2+b 2=(a +b )2 C ．x 2-16y 2=(x +8y )(x -8y ) D ．-16x 2+1=(1+4x )(1-4x ) 6．如果x+y ＝6，x 2-y 2=24，那么y-x 的值为（ ）A ．﹣4B ．4C ．﹣6D ．67．按照如图所示的运算程序，能使输出y 的值为5的是（ ）A ．1,4m n ==B ．2,5m n ==C ．5,3m n ==D ．2,2m n == 8．2a =1，b 是2的相反数，则a+b 的值是（ ） A ．1 B ．-3 C ．-1或-3 D ．1或-3 9．已知3a b -=、4b c -=、5c d -=，则()()a c d b --的值为（ ） A ．7B ．9C ．-63D ．1210．数151025N =⨯是（ ）A ．10位数B ．11位数C ．12位数D ．13位数11．下列各式计算正确的是（ ） A ．224a a a +=B ．236a a a ⋅=C ．()22439a a -= D ．22(1)1a a +=+12．当2x =时，代数式31ax bx ++的值为6，则2x =-时，31ax bx ++的值为（ ） A ．6-B ．5-C ．4D ．4-二、填空题13．如图，是一个运算的流程图，输入正整数x 的值，按流程图进行操作并输出y 的值．例如，若输入x ＝10，则第一次输出y ＝5．若输入某数x 后，第二次输出y ＝3，则输入的x 的值为_________．14．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 是数轴上到原点的距离为1的点表示的数，则2021a bxcd cd+-+的值为_______． 15．已知18mx =，16n x =，则2m n x +的值为________． 16．从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）探究：上述操作能验证的等式是：__________；（请选择正确的一个） A ．2222()a ab b a b -+=- B ．22()()a b a b a b -=+-C ．2()a ab a a b +=+（2）应用：利用所选（1）中等式两边的等量关系，完成下面题目：若46x y +=，45x y -=，则221664x y -+的值为__________．17．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示．例如，对于多项式42()5f x mx nx x =+++，当2x =时，多项式的值为(2)1647f m n =++，若(2)10f =，则()2f -的值为_________．18．若231m n -=，则846m n -+=________．19．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x 是2，则经过2021次输出的结果是________．20．已知4222112x x +-⋅=，则x ＝________三、解答题21．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以 用来解释()2222a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小长方形，且m n >．（以上长度单位： cm ）（1）观察图形，可以发现代数式22252m mn n ++可以分解因式为_________（2）若每块小长方形的面积为210cm ，四个正方形的面积和为258,cm 试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．22．阅读材料：把形2ax bx c ++的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即()2222a ab b a b ±+=±．请根据阅读材料解决下列问题：（1）填空：244a a -+=__________．（2）先化简，再求值：()()()33242a b a b a b abab +-+-÷，其中a b 、满足2226100a a b b ++-+=．（3）若a b c 、、分别是ABC ∆的三边，且222426240a b c ab b c ++---+=，试判断ABC ∆的形状，并说明理由．23．图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于______； （2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________________； ②__________________．（3）观察图2你能写出2()m n +，2()m n -，mn 三个代数式之间的等量_____________．（4）运用你所得到的公式，计算若知8,7a b ab +==，求-a b 和22a b -的值．（5）用完全平方公式和非负数的性质求代数式222431832x x y y ++-+的最小值．24．观察下列关于自然数的等式： （1）217295⨯+⨯= ① （2）2282106⨯+⨯= ②（3）2392117⨯+⨯= ③ ……根据上述规律解决下列问题： （1）完成第四个等式__________．（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并验证其正确性． 25．计算： （1）2a (4a 2-2a +1) （2）(2x -1)(2x +2)-(-2x )2 （3）(-x -2y )(x -2y )-(2y -x )2 （4）119910022⨯（用简便方法计算） 26．把下列多项式因式分解（要写出必要的过程）： （1）﹣x 2y +6xy ﹣9y ； （2）9（x +2y ）2﹣4（x ﹣y ）2； （3）1﹣x 2﹣y 2+2xy ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x 的值． 【详解】解：根据题意化简1111x x x x +--+=12，得（x+1）2-（x-1）2=12， 整理得：x 2+2x+1-（1-2x+x 2）-12=0，即4x=12， 解得：x=3， 故选：B ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．2．B解析：B 【分析】对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码．【详解】x 3−xy 2＝x （x 2−y 2）＝x （x ＋y ）（x−y ）， 当x ＝30，y ＝20时，x ＝30，x ＋y ＝50，x−y ＝10， 组成密码的数字应包括30，50，10， 所以组成的密码不可能是103020． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，立意新颖，熟记公式结构是解题的关键．3．D解析：D 【分析】根据完全平方公式计算解答． 【详解】解：添加的方法有4种，分别是： 添加6x ，得9x 2+1+6x=（3x+1）2； 添加﹣6x ，得9x 2+1﹣6x=（3x ﹣1）2； 添加﹣9x 2，得9x 2+1﹣9x 2=12； 添加﹣1，得9x 2+1﹣1=（3x ）2， 故选：D ． 【点睛】此题考查添加一个整式得到完全平方式，熟记完全平方式的特点是解题的关键．4．A解析：A 【分析】先把3x y +=代入原式，可得23x xy y -+=22xy +，结合完全平方公式，即可求解．【详解】 ∵3x y +=，∴23x xy y -+=2()x xy x y y -++=22x xy xy y -++=22x y +，∵1xy =，∴23x xy y -+=22x y +=22()23217x y xy +-=-⨯=，故选A ． 【点睛】本题主要考查代数式求值，熟练掌握完全平方公式及其变形公式，是解题的关键．5．D解析：D 【分析】把各式分解得到结果，即可作出判断． 【详解】解： A 、()224412-1-+=m m m ，原选项错误，不符合题意； B 、a 2+b 2不能分解，不符合题意；C 、x 2-16y 2=(x +4y )(x -4y )，原选项错误，不符合题意；D 、-16x 2+1=(1+4x )(1-4x ) ，原选项正确，符合题意； 故选：D ． 【点睛】此题考查了运用公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．6．A解析：A 【分析】先变形为x 2-y 2=（x+y ）（x-y ），代入数值即可求解． 【详解】解：∵x 2-y 2=（x+y ）（x-y ）=24， ∴6（x-y ）=24， ∴x-y=4， ∴y-x=-4， 故选：A ． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握公式是解题关键．7．D解析：D 【分析】根据题意逐一计算即可判断． 【详解】A 、当m=1，n=4时，则m n <，∴2224210y n =+=⨯+=，不合题意；B 、当m=2，n=5时，则m n <，∴2225212y n =+=⨯+=，不合题意；C 、当m=5，n=3时，则m n >，∴3135114y m =-=⨯-=，不合题意；D 、当m=2，n=2时，则m n >，∴313215y m =-=⨯-=，符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．8．C解析：C 【分析】根据平方及相反数定义求出a 、b 的值，代入a+b 计算即可．【详解】∵2a =1，b 是2的相反数， ∴1a =±，b=-2， 当a=1时，a+b=1-2=-1， 当a=-1时，a+b=-1-2=-3， 故选：C ． 【点睛】此题考查求代数式的值，根据平方及相反数定义求出a 、b 的值是解题的关键．9．C解析：C 【分析】由3a b -=与4b c -=两式相加可得7a c -=，由4b c -=与5c d -=两式相加得9b d -=，即9d b -=-，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由3a b -=与4b c -=两式相加可得7a c -=，由4b c -=与5c d -=两式相加得9b d -=，即9d b -=-，∴()()()7963a c d b --=⨯-=-； 故选C ． 【点睛】本题主要考查求代数式的值，关键是根据题意利用整体思想进行求解．10．C解析：C 【分析】利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，将原数改写变形即可得出结论． 【详解】()1015105101051011252252253210 3.210N =⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯，∴N 是12位数， 故选：C ． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算的应用，灵活运用基本运算法则对原式变形是解题关键．11．C解析：C 【分析】根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方进行计算． 【详解】解：A. 2222a a a +=，故选项A 计算错误；B. 235a a a ⋅=，故选项B 计算错误；C. ()22439a a -=，故选项C 计算正确；D. 22(11)2a a a +=++，故选项D 计算错误； 故选：C 【点睛】本题考查了合并同类项、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，熟记计算法则即可解题．12．D解析：D 【分析】根据已知把x=2代入得：8a+2b+1=6，变形得：-8a-2b=-5，再将x=-2代入这个代数式中，最后整体代入即可． 【详解】解：当x=2时，代数式ax 3+bx+1的值为6， 则8a+2b+1=6，即8a+2b=5， ∴-8a-2b=-5，则当x=-2时，ax 3+bx+1=（-2）3a-2b+1=-8a-2b+1=-5+1=-4， 故选：D ． 【点睛】本题考查了求代数式的值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．二、填空题13．9或10或11或12【分析】由运算流程图先求出第一次输出的数分为偶数或者奇数；然后再分两种情况求出输入的x 的值即可【详解】解：根据题意∵第二次输出设第一次输出的数是奇数m 时则解得：；设第一次输出的数解析：9或10或11或12． 【分析】由运算流程图，先求出第一次输出的数，分为偶数或者奇数；然后再分两种情况求出输入的x 的值即可． 【详解】 解：根据题意， ∵第二次输出3y =，设第一次输出的数是奇数m 时，则132m +=，解得：5m =； 设第一次输出的数是偶数n 时，则32n=，解得：6n =． 当第一次输出为5时，又可以分为两种情况： 当x 为奇数时，则152x +=，解得：9x =； 当x 为偶数时，则52=x，解得：10x =； 当第一次输出为6时，又可以分为两种情况： 当x 为奇数时，则162x +=，解得：11x =； 当x 为偶数时，则62x=，解得：12x =； 故答案为：9或10或11或12． 【点睛】本题考查有理数的运算，结合编程的流程图出题，题目新颖，并且运用到了分类讨论这一重要数学思想．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．14．0或-2【分析】根据ab 互为相反数cd 互为倒数x 是数轴上到原点的距离为1的点表示的数可以得到a+b=0cd=1x=±1从而可以求得所求式子的值【详解】解：∵ab 互为相反数cd 互为倒数x 是数轴上到原点解析：0或-2 【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 是数轴上到原点的距离为1的点表示的数，可以得到a+b=0，cd=1，x=±1，从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 是数轴上到原点的距离为1的点表示的数， ∴a+b=0，cd=1，x=±1， ∴x 2021=±1， ∴2021a bxcd cd+-+=1-1+0 =0； 或2021a bxcd cd+-+=-1-1+0 =-2．故答案为：0或-2． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．15．【分析】根据同底数幂的乘法可得再根据幂的乘方可得然后再代入求值即可【详解】解：故答案为【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘底数不变指数相加；幂的乘 解析：14【分析】根据同底数幂的乘法可得22m n m n xx x +=⋅，再根据幂的乘方可得()22m m x x =，然后再代入18m x =，16n x =求值即可． 【详解】解：()2222111684m n m n m n x x x xx +⎛⎫=⋅=⋅=⨯= ⎪⎝⎭ ， 故答案为14． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． 16．B ；【分析】（1）先求出图1中剩余部分的面积为a2-b2再求出图2中图形的面积即可列得等式；（2）利用平方差公式分解因式后代入求值即可【详解】（1）图1中边长为a 的正方形的面积为：a2边长为b 的正方解析：B ； 94【分析】（1）先求出图1中剩余部分的面积为a 2-b 2，再求出图2中图形的面积即可列得等式； （2）利用平方差公式分解因式后代入求值即可．【详解】（1）图1中，边长为a 的正方形的面积为：a 2，边长为b 的正方形的面积为：b 2，∴图1中剩余部分面积为：a 2-b 2，图2中长方形的长为：a+b ，长方形的宽为：a-b ，∴图2长方形的面积为：（a+b ）（a-b ），故选：B ；（2）∵46x y +=，45x y -=，∴221664x y -+=(4)(4)64x y x y +-+=6564⨯+=94，故答案为：94．【点睛】此题考查几何图形中平方差公式的应用，利用平方差公式进行计算，掌握平方差计算公式是解题的关键．17．6【分析】由得把它整体代入求值【详解】解：∵∴即∴故答案是：6【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入的思想求值解析：6【分析】由(2)10f =得1643m n +=，把它整体代入()21643f m n -=++求值．【详解】解：∵(2)10f =，∴164710m n ++=，即1643m n +=，∴()216425336f m n -=+-+=+=．故答案是：6．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入的思想求值．18．6【分析】将原式化为再整体代入即可【详解】解：∵∴原式==8-2×1=6故答案为：6【点睛】本题考查了求代数式的值把某一部分看成一个整体是解题的关键解析：6【分析】将原式化为82(23)m n --，再整体代入即可．【详解】解：∵231m n -=，∴原式=82(23)m n --=8-2×1=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了求代数式的值，把某一部分看成一个整体是解题的关键．19．4【分析】根据第一次输出的结果是1第二次输出的结果是6…总结出每次输出的结果的规律求出2021次输出的结果是多少即可【详解】解：把x=2代入得：2÷2=1把x=1代入得：1+5=6把x=6代入得：6解析：4【分析】根据第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是6，…，总结出每次输出的结果的规律，求出2021次输出的结果是多少即可．【详解】解：把x=2代入得：2÷2=1，把x=1代入得：1+5=6，把x=6代入得：6÷2=3，把x=3代入得：3+5=8，把x=8代入得：8÷2=4，把x=4代入得：4÷2=2，把x=2代入得：2÷2=1，以此类推，∵2021÷6=336…5，∴经过2021次输出的结果是4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．20．3【分析】利用同底数幂乘法的逆运算求解即可【详解】∵∴即：∴∴故答案为：3【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆运算灵活运用同底数幂乘法法则是解题关键解析：3【分析】利用同底数幂乘法的逆运算求解即可．【详解】∵()4411312222222172x x x x x x +++++-⋅-=⋅=⋅-=，∴172112x +⋅=，即：142162x +==，∴14x +=，∴3x =，故答案为：3．【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆运算，灵活运用同底数幂乘法法则是解题关键．三、解答题21．（1）()()22m n m n ++；（2）42cm ．【分析】（1）根据图形的面积直接可以得到；（2）根据222258m n +=，10mn =，可得2229m n +=，可求得7m n +=，根据图形可知，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是66m n +，据此求解即可．【详解】（1）根据图形，依题意可得：2225222m mn n m n m n（2）依题意得222258m n +=，10mn =2229m n ∴+=2222m n m mn n2292049m n0m n +>7m n ∴+=，根据图形可知，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是：6666742m n m n ∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm ．【点睛】本题考查完全平方公式和因式分解的应用，理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由图形的特点求解是解题的关键．22．（1）()22a -；（2）25-；（3）△ABC 为等边三角形，理由见解析．【分析】（1）根据完全平方公式即可因式分解；（2）先将原式化成最简式，然后将2226100a a b b ++-+=，分成两个完全平方公式的形式，根据非负数的性质求出a 、b 的值，代入最简式中计算即可；（3）将已知等式化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质求解即可．【详解】解：（1）∵()22442a a a -+=-，故答案为：()22a -；（2）()()()33242a b a b a b ab ab +-+-÷=()2222222a b ab a b ab -+-÷=222222223a b a b a b -+-=-∵2226100a a b b ++-+=，∴()()22130a b ++-=， ∴13a b =-=，，把13a b =-=，代入上式得：()222223213322725a b -=⨯--⨯=-=-； （3）△ABC 为等边三角形，理由如下：∵222426240a b c ab b c ++---+=，∴()()()2221310a b c b -+-+-=， ∴01010a b c b -=-=-=，，，∴1a b c ===，∴△ABC 为等边三角形．【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的特点与非负数的应用．23．（1）m-n ；（2）①（m-n ）2；②（m+n ）2-4mn ；（3）（m-n ）2=（m+n ）2-4mn ；（4）6a b -=±，22a b -=±48；（5）3【分析】（1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答；（2）从整体与局部两个思路考虑解答；（3）根据大正方形的面积减去阴影部分小正方形的面积等于四个长方形的面积解答； （4）根据()()224a b a b ab -=+-，可得a-b 的值，再根据22a b -=()()a b a b +-求出22a b -的值；（5）利用完全平方公式将原式变形为()()2221333x y ++-+，再根据非负数的性质可求出最小值为3．【详解】解：（1）由图可知，阴影部分小正方形的边长为：m-n ；（2）根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为（m-n ）2，还可以表示为（m+n ）2-4mn ；（3）根据阴影部分的面积相等，（m-n ）2=（m+n ）2-4mn ；（4）∵8,7a b ab +==，∴()()224a b a b ab -=+-=2847-⨯=36， ∴6a b -=±，若6a b -=，则22a b -=()()a b a b +-=86⨯=48，若6a b -=-，则22a b -=()()a b a b +-=()86⨯-=-48；（5）222431832x x y y ++-+=22242318273x x y y +++-++=()()2221333x y ++-+∵()2210x +≥，()2330y -≥， ∴()()2221333x y ++-+≥3，即最小值为3． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．24．（1）4×10+2×12=82；（2）n （n+6）+2（n+8）=（n+4）2，验证见解析·【分析】（1）由①②③三个等式得出规律，即可得出结果；（2）由规律得出答案，再验证即可．【详解】解：（1）根据题意得：第四个等式为：4×10+2×12=82；（2）猜想的第n个等式为：n（n+6）+2（n+8）=（n+4）2，验证：左边=n（n+6）+2（n+8）=n2+6n+2n+16=n2+8n+42=（n+4）2=右边，∴n（n+6）+2（n+8）=（n+4）2．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律、完全平方公式、归纳推理等知识；根据题意得出规律是解决问题的关键．25．（1）8a3-4a2+2a；（2）2x-2；（3）-2x2+4xy；（4）3 99994.【分析】（1）利用单项式乘多项式法则计算即可；（2）根据多项式乘多项式和积的乘方展开，再合并同类项即可；（3）根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可；（4）原式先变形，再利用平方差公式计算即可.【详解】（1）2a(4a2-2a+1)= 2a⋅4a2-2a⋅2a +2a⋅1=8a3-4a2+2a；（2）(2x -1)(2x+2)-(-2x)2=4x2+4x-2x-2-4x2=2x-2；（3）(-x-2y)(x-2y)-(2y-x)2= (-2y-x)( -2y+x) -(2y-x)2=4y2-x2-4y2-x2+4xy=-2x2+4xy；（4）119910022⨯=2211113 (100)(100)100()10000999922244-⨯+=-=-=.【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解答此题的关键.26．（1）﹣y（x﹣3）2；（2）（5x+4y）（x+8y）；（3）（1+x﹣y）（1﹣x+y）【分析】（1）先提取公因式，再按照完全平方公式分解；（2）分别把前后两项看成某项的平方并根据平方差分解因式，然后对每个因式去括号及合并同类项进行化简；（3）首先把后面三项看成一组并化成完全平方式，然后与第一项组合并利用平方差公式分解后对每个因式去括号化简即可．【详解】解：（1）﹣x2y+6xy﹣9y＝﹣y（x2﹣6x+9）＝﹣y（x﹣3）2；（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]＝（5x+4y）（x+8y）；（3）1﹣x2﹣y2+2xy＝1﹣（x2+y2﹣2xy）＝1﹣（x﹣y）2＝[1+（x﹣y）][1﹣（x﹣y）]＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键．。
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深圳宝安区福永中学数学整式的乘法与因式分解（提升篇）（Word版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ，另一个因式是（ ） A ．x +2y +1B ．x +2y ﹣1C ．x ﹣2y +1D ．x ﹣2y ﹣1【答案】C【解析】【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【详解】解：x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2＝（x 2﹣4xy +4y 2）+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x ﹣2y +1）．故选：C ．【点睛】此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y ），将其当成整体提出，进而得到答案.2．已知243m -m-10m -m -m 2=+，则计算：的结果为（ ）.A ．3B ．-3C ．5D ．-5【答案】A【解析】【分析】观察已知m 2-m-1=0可转化为m 2-m=1，再对m 4-m 3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m 2-m 作为一个整体代入，逐次降低m 的次数，使问题得以解决．【详解】∵m 2-m-1=0，∴m 2-m=1，∴m 4-m 3-m+2=m 2 (m 2-m)-m+2=m 2-m+2=1+2=3，故选A ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m 2-m 作为一个整体出现，逐次降低m 的次数.3．下列各式不能用公式法分解因式的是（ ）A ．92-xB ．2269a ab b -+-C ．22x y --D ．21x -【答案】C【解析】【分析】根据公式法有平方差公式、完全平方公式，可得答案．【详解】A、x2-9，可用平方差公式，故A能用公式法分解因式；B、-a2+6ab-9 b2能用完全平方公式，故B能用公式法分解因式；C、-x2-y2不能用平方差公式分解因式，故C正确；D、x2-1可用平方差公式，故D能用公式法分解因式；故选C．【点睛】本题考查了因式分解，熟记平方差公式、完全平方公式是解题关键．4．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是( )A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b2【答案】B【解析】图（4）中，∵S正方形=a2-2b（a-b）-b2=a2-2ab+b2=（a-b）2，∴（a-b）2=a2-2ab+b2．故选B5．规定一种运算：a*b=ab+a+b，则a*（﹣b）+a*b的计算结果为（）A．0 B．2a C．2b D．2ab【答案】B【解析】【分析】【详解】解：∵a*b=ab+a+b∴a*（﹣b）+a*b=a（﹣b）+a -b+ab+a+b=﹣ab+a -b+ab+a+b=2a故选B ．考点：整式的混合运算．6．把多项式x 2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x-3)，则a 、b 的值分别是（ ）A ．a=2，b=3B ．a=-2，b=-3C ．a=-2，b=3D ．a=2，b=-3【答案】B【解析】分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a 、b 即可.详解：（x+1）（x-3）=x 2-3x+x-3=x 2-2x-3所以a=2，b=-3，故选B ．点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键.7．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a-2D ．(a+2)2-2(a+2)+1【答案】C【解析】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a 2﹣1=（a+1）（a ﹣1），a 2+a=a （a+1），a 2+a ﹣2=（a+2）（a ﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C ；故答案选C ．考点：因式分解.8．下面计算正确的是（ ）A ．33645x x x +=B ．236a a a ⋅=C ．()4312216x x -=D ．()()22222x y x y x y +-=- 【答案】C【解析】【分析】A.合并同类项得到结果；B.利用同底数幂的乘法法则计算得到结果；C.利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果；D.利用平方差公式计算得到结果，即可作出判断.【详解】A.原式=35x ，错误；B.原式=5a ，错误；C.原式=1216x ，正确；D.原式=224x y -，错误.故选C.【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，平方差公式运算，熟知其运算法则是解题的关键.9．若33×9m =311 ，则m 的值为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案.【详解】∵33×9m =311 ，∴33×(32)m =311，∴33+2m =311，∴3+2m=11，∴2m=8，解得m=4，故选C ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键．10．不论x ，y 为何有理数，x 2+y 2﹣10x+8y+45的值均为（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．非负数【答案】A【解析】【详解】因为x 2+y 2－10x +8y +45=()()225440x y -+++>, 所以x 2+y 2－10x +8y +45的值为正数,故选A.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．因式分解：a 3-9ab 2=__________．【答案】a （a -3b ）（a +3b ）【解析】【分析】首先提取公因式a ，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【详解】a 3-9ab 2=a （a 2-9b 2）=a （a-3b ）（a+3b ）．故答案为：a （a-3b ）（a+3b ）．【点睛】本题考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题的关键．12．设123,,a a a 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，n a 表示第n 个数(n 是正整数)，已知11a =，2214(1)(1)nn n a a a ，则2018a =___________.【答案】4035【解析】 【分析】()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---整理得()()22n n 1a 1a 1++=-，从而可得a n+1-a n =2或a n =-a n+1，再根据题意进行取舍后即可求得a n 的表达式，继而可得a 2018.【详解】∵()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---，∴()()22n n n 14a a 1a 1++-=-，∴()()22n n 1a 1a 1++=-，∴a n +1=a n+1-1或a n +1=-a n+1+1，∴a n+1-a n =2或a n =-a n+1，又∵123a ,a ,a ⋯⋯是一列正整数，∴a n =-a n+1不符合题意，舍去，∴a n+1-a n =2，又∵a 1=1，∴a 2=3，a 3=5，……，a n =2n-1，∴a 2018=2×2018-1=4035，故答案为4035.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出a n+1-a n =2.13．（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2＝（a-b ）（x-y ）×________.【答案】（a-b+x-y ）【解析】运用公因式的概念，把多项式（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2运用提取公因式法因式分解（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2＝（a-b ）（x-y ）×（a-b+x-y ）. 故答案为：（a-b+x-y ）.点睛：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是根据找公因式的方法，确定公因式，注意符号的变化.14．（1）已知32m a =，33n b =，则()()332243mn m n m a b a b a +-⋅⋅=______． （2）对于一切实数x ，等式()()212x px q x x -+=+-均成立，则24p q -的值为______．（3）已知多项式2223286x xy y x y +--+-可以分解为()()22x y m x y n ++-+的形式，则3211m n +-的值是______． （4）如果2310x x x +++=，则232016x x x x +++⋅⋅⋅+=______．【答案】（1）5-; （2）9; （3）78-; （4）0. 【解析】【分析】（1）根据积的乘方和幂的乘方，将32m a =整体代入即可；（2）将等式后面部分展开，即可求出p 、q 的值，代入即可；（3）根据多项式乘法法则求出()()22x y m x y n ++-+，即可得到关于m 、n 的方程组，解之即可求得m 、n 、的值，代入计算即可；（4）4个一组提取公因式，整体代入即可.【详解】（1）32m a =，33n a =，()()()()332222343333m n m n m m n m n a b a b a a b a b ∴+-⋅⋅=+-22232343125=+-⨯=+-=-（2）222x px q x x -+=--对一切实数x 均成立，1p ∴=，2q =-249p q ∴-=（3）()()222223286x y m x y n x xy y x y ++-+=+--+-，()()22222322223286x xy y m n x n m y mn x xy y x y ∴+-+++-+=+--+- 21,28,6,m n n m mn +=-⎧⎪∴-=⎨⎪=-⎩解得2,3.m n =-⎧⎨=⎩ 321718m n +∴=--（4）2310x x x +++=，232016x x x x ∴+++⋅⋅⋅+()()2320132311x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅++++000=+⋅⋅⋅+=故答案为： −5；9；78-；0. 【点睛】本题主要考察幂的运算及整式的乘法，掌握其运算法则是关键.15．若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式，则m =__________． 【答案】7或-1【解析】【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．详解：∵x 2+2（m-3）x+16是关于x 的完全平方式，∴2（m-3）=±8，解得：m=-1或7，故答案为-1或7．点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．16．对于实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※b=a 2﹣ab ，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x ﹣2）=6，则x 的值为_____．【答案】1【解析】【分析】根据新定义运算对式子进行变形得到关于x 的方程，解方程即可得解.【详解】由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x ﹣2）=6，整理得，3x+3=6，解得，x=1，故答案为1．【点睛】本题考查了解方程，涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键．17．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b ）6= ．【答案】a 6+6a 5b+15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6．【解析】【分析】通过观察可以看出（a+b ）6的展开式为6次7项式，a 的次数按降幂排列，b 的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．【详解】通过观察可以看出（a+b ）6的展开式为6次7项式，a 的次数按降幂排列，b 的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．所以（a+b ）6=a 6+6a 5b+15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6．18．计算：))201820195-252的结果是_____. 52【解析】【分析】逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.【详解】))201820195-252 =)))201820185-25252⨯⨯ =()))20185-25252⎡⎤⎣⎦⨯⨯=(5-4)2018×)52 =5， 5【点睛】本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.19．分解因式：a 3－a =【答案】(1)(1)a a a -+【解析】a 3－a =a(a 2-1)=(1)(1)a a a -+20．分解因式：32231827m m n mn -+=____________________【答案】23(3)m m n -【解析】【分析】先提公因式3m ，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.【详解】3322m 18m n 27mn -+=3m(m 2-6mn+9n 2)=3m(m-3n)2，故答案为：3m(m-3n)2.【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．。