第三章 3.2 空间向量与空间角 (共107张PPT)

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高中数学选修2-1课件:3.2 第3课时 空间向量与空间角

高中数学选修2-1课件:3.2 第3课时 空间向量与空间角

反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中
点,在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分
别交于点G,H. (1)求证:AB∥FG;
证明 在正方形AMDE中,因为B是AM的中点,
所以AB∥DE.
又因为AB⊄平面PDE,DE⊂平面PDE,
-1),C→E=(1,t-2,0),
根据数量积的定义及已知得:1+0×(t-2)+0= 2× 1+t-22·cos 60°,
所以t=1,所以点E的位置是AB的中点.
解析答案
题型二 直线与平面所成角的向量求法 例2 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a ,侧棱长为 2a ,M为 A1B1的中点,求BC1与平面AMC1所成角的正弦值.
D.90°
解析 ∵cos〈m,n〉= 12= 22,
∴二面角的大小为45°或135°.
解析答案
12345
3.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,若AB= 2BB1,则AB1与C1B所成角的大 小为( )
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
解析答案
12345
4.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
232Fra bibliotekA. 3
B. 3
C.3
6 D. 3
解析答案
12345
5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,则异面直 9
线A1B与B1C所成角的余弦值为_2_5__. 解析 如图,建立空间直角坐标系. 由已知得A1(4,0,0),B(4,4,3),B1(4,4,0),C(0,4,3). ∴A→1B=(0,4,3),B→1C=(-4,0,3), ∴cos〈A—1→B,B—1→C〉=295.

高中数学 3.2.3空间向量与空间角课件 新人教A版选修2-1

高中数学 3.2.3空间向量与空间角课件 新人教A版选修2-1

的中点,求直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值.
解析:方法一 ∵A→M=A→A1+A→1M,C→N=C→B+B→N,

∴A→M·C→N=(A→A1+A→1M)·(C→B+B→N)=A→A1·B→N=21.
目 链
|A→M|= (A→A1+A→1M )2= |A→A1|2+|A→1M|2=

1+14= 25.同理,|C→N|= 25.设直线 AM 与 CN 所成的角为 α.

cos
α=|AA→→MM|··C|→C→NN|=
1 2
25×
5=25. 2
栏 目

∴直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值为52.

规律方法:用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向
向量的夹角来求解的,而两条异面直线所成角 θ 的取值范围是 0,π2 ,两向量的夹角 α 的取值范围是[0,π],所以 cos θ=|cos α
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7
►变式训练
1.如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥底面
ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别
是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成角的大小
是__________.




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8
.解析:分别以 BA,BC,BB1 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 如图所示.
ABC 内的射影为△ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值
等于( )

1
2

A.3
B. 3


3
2
C. 3
D.3
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用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则,即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积,满足分 配律,即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$,其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律,即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量,记作a×b,其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ,其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣,其中a、 b和c分别是三个平面的法向量,θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一:利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣, 其中a和b是两条直线的方向向量,

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第二课时空间向量与空间角距离课件新人教A版选修2_120180602125

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第二课时空间向量与空间角距离课件新人教A版选修2_120180602125

设平面 α 的法向量为 n,B∉α,A∈α,则 B 点到
点面距
平面
α
的距离
d=
|
BA·n| |n|
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等( )
(2)直线 l 与平面 α 的法向量的夹角的余角就是直线 l 与平面 α 所
B.60°
C.120° 答案:A
D.150°
3.已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面
所成的二面角的大小为
()
A.45°
B.135°
C.45°或 135° 答案:C
D.90°
求两异面直线所成的角
[典例] 如图,在三棱锥 V-ABC 中,顶点 C 在空间直角坐标系的原点处,顶点 A,B,V 分别 在 x,y,z 轴上,D 是线段 AB 的中点,且 AC= BC=2,∠VDC=π3,求异面直线 AC 与 VD 所成 角的余弦值.
所成的角 a,b,则 cos θ= |cos〈a,b〉|=_|_a_||_b_|
_0_,__π_2__
直线与平 面所成的

设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ,l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,则 sin θ=_|c_o_s_〈__a_,__n_〉__|
|a·n|
=_|a_|_|n_|_
(1)求证:PB⊥DM; (2)求 BD 与平面 ADMN 所成的角.
[解] 如图,以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系, 设 BC=1,则 A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0), D(0,2,0),C(2,1,0),M1,12,1. (1)证明: PB·DM = (2,0,-2)·1,-32,1=0, ∴ PB⊥ DM ,即 PB⊥DM. (2)∵ PB·AD=(2,0,-2)·(0,2,0)=0, ∴PB⊥AD.

空间向量与空间角 完整PPT课件

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【导学号:37792175】
=90°.
课堂检测
如图 3-2-23,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP
(1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC,∠APD=90°, 求二面角 A-PB-C 的余弦值.
【导学号:37792176】
作业:课本112页第6,8题。
2
4cos a,b a • b
ab
探究点1:异面直线所成的角
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b
若两直线 l, m 所成的角为 (0 ≤ ) .
2
提示:
ab
l cos
l
ab
m
m
例1 四棱锥PABCD中,PD⊥平面ABCD,PA 与平面ABCD所成的角为60°.在四边形ABCD中 ,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD =2. (1)建立适当的坐标系,并写出点B、P的坐标; (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.
求直线与平面所成的角
利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为:
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求直线的方向向量A→B;
(3)求平面的法向量 n;

(4)计算:设线面角为
θ,则
sinθ=
|n·AB| →
.
|n|·|AB|
探究点3:二面角
1 方向向量法: 将二面角转化为二面角的两个面
的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱) 的夹角.如图,设二面角α- l -β的大小为θ, 其中AB ⊥ l,AB ⊂ α,CD ⊥ l,CD⊂ β.
课堂检测
2.已知向量 m,n 分别是直线 l 与平面 α 的方向向量、法向量,若 cos

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向

2.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=4,CC1=2,则直线 BC1 和平
面 DBB1D1 所成角的正弦值为
(C )
A.
3 2
B.
5 2
C.
10 5
D.
10 10
[解析] 解法一:连接 A1C1 交 B1D1 于 O 点,由已知条件得 C1O⊥B1D1,且平
面 BDD1B1⊥平面 A1B1C1D1,所以 C1O⊥平面 BDD1B1,连接 BO,则 BO 为 BC1 在
1异.面异直面线直所线成所的成角角取值范围是___(_0_,__π2_]______,两向量夹角的取值范围是 _所__成[_0_的,__角π_]_为__θ,__由_,向设量l1夹与角l2是的两定异义面及直求线法,知a〈、ab,分b别〉为与lθ1、__l_2的_相_方_等_向_或向_量__,__l_1_、_,l2
新课标导学
数学
选修2-1 ·人教A版
第三章
空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法
第3课时 空间向量与空间角、距离
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
同学们可能经常谈论**同学是白羊座的,**同学是双子座的.可是你知道十 二星座的由来吗?
我们知道,地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”.黄 道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为 23°27′,它与天球 相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽 8°以内的区域 称为黄道带.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”.从 春分(节气)点起,每 30°便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、 金牛座、双子座等等,这便是星座的由来.今天我们研究的问 题之一就是二面角的平面角问题.

空间向量与空间角PPT课件

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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
∴P→C=(0,2 2,-2 2),C→D=(- 2,0,0),
P→B=(2 2,0,-2 2).
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
由nn··PC→→CD ==00
得2-
2y-2 2x=0
2z=0

令z=1得平面PCD的一个法向量为n0=(0,1,1). 设PB与平面PCD所成的角为θ,
水平地面与山坡斜面所成二面角的 余弦值是多少?
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
2.空间角
角的分类
定义
范围
异面直线 所成的角
设a,b是两条异面直线,过空间 任一点O作a′∥a,b′∥b,则 a′与b′所夹的锐角或直角叫做a 与b所成的角.
(0°,90°]
直线与平面 直线与它在这个平面内的射影所 所成的角 成的角.
第3课时 空间向量与空间角(1)
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1.山体滑坡是一种常见的自然灾害.甲、乙两名科技人员为 了测量一个山体的倾斜程度,甲站在水平地面上的A处,乙站在 山坡斜面上的B处,从A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线) 的距离AC和BD分别为30 m和40 m,CD的长为60 m,AB的长为 80 m.
[0°,90°]
二面角的 平面角
以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两 条射线,这两条射线所成的角叫 [0°,180°] 做二面角的平面角.
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
空间角的向量求法
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ, 异面直线 它们的方向向量为a,b,

高中数学 3.2.3 空间向量与空间角课件 新人教版选修21

高中数学 3.2.3 空间向量与空间角课件 新人教版选修21

学法方面,自主探索、观察发现、类比猜想、合作 交流.建构主义学习理论认为,学习是学生积极主动的 建构知识的过程,学习应该与学生熟悉的背景相联 系.在教学中,让学生在问题情境中,经历知识的形成 和发展,通过观察、归纳、思考、探索、交流、反思、 参与学习,认识和理解数学知识、学会学习,发展能力.
●教学流程设计
即可. 2.由于两异面直线夹角 θ 的范围是(0,π2],而两向量 夹角 α 的范围是[0,π],故应有 cos θ=|cos α|,求解时 要特别注意.
在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 DA=DC=4, DD1=3,求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值.
【解】 以 D 为坐标原点,分别以 DA, DC,DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建 立空间直角坐标系,如图,则 A1(4,0,3),B(4,4,0), B1(4,4,3),C(0,4,0),
演示结束
1.理解直线与平面所成角的概念.(重 课 点) 标 2.会用向量法求线线、线面、面面夹 解 角.(重点、难点) 读 3.正确区分向量夹角与所求线线角、
面面角的关系.(易错点)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
空间角的向量求法
【问题导思】 1.空间中两条异面直线所成角的范围是多少? 【提示】 (0,π2]. 2.直线与平面的夹角是怎样定义的?夹角的范围 是多少? 【提示】 平面外一条斜线与它在该平面内的射影 所成的角叫斜线与平面所成的角,其取值范围为[0,π2].
与 l2 所成的角
b,则 cos |a·b|
θ=_|c_o_s_<_a_,__b_>_|_
(0,π2]
θ
=___|a_|_|b_|_________
设 l 的方向向量为 a,平面
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当一个人用工作去迎接光明,光明很快就会来照耀着他。人在身处逆境时,适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸,也可以战胜不幸,因为人有着惊人的 挥它,就一定能渡过难关。倘若你想达成目标,便得在心中描绘出目标达成后的景象;那么,梦想必会成真。心等待,就可以每一个人都具有特殊能力的电路, 知道,所以无法充分利用,就好像怀重宝而不知其在;只要能发掘出这项秘藏的能力,人类的能力将会完全大改观,也能展现出超乎常人的能力我这一生不曾 和伟大的著作都来自于求助潜意识心智无穷尽的宝藏。那些最能干的人,往往是那些即使在最绝望的环境里,仍不断传送成功意念的人。他们不但鼓舞自己, 成功,誓不休止。灵感并不是在逻辑思考的延长线上产生,而是在破除逻辑或常识的地方才有灵感。真正的强者,善于从顺境中找到阴影,从逆境中找到光亮 进的目标。每一种挫折或不利的突变,是带着同样或较大的有利的种子。什么叫做失败?失败是到达较佳境地的第一步。失败是坚忍的最后考验。对于不屈不 失败这回事。一次失败,只是证明我们成功的决心还够坚强。失败也是我需要的,它和成功对我一样有价值。我们关心的,不是你是否失败了,而是你对失败 失败?失败是到达较佳境地的第一步。没有人事先了解自己到底有多大的力量,直到他试过以后才知道。对于不屈不挠的人来说,没有失败这回事。要成功不 能,只要把你能做的小事做得好就行了。成功的唯一秘诀——坚持最后一分钟。只有胜利才能生存,只有成功才有代价,只有耕耘才有收获。只有把抱怨环境 的力量,才是成功的保证。不要为已消尽之年华叹息,必须正视匆匆溜走的时光。 当许多人在一条路上徘徊不前时,他们不得不让开一条大路,让那珍惜时间 面去。 敢于浪费哪怕一个钟头时间的人,说明他还不懂得珍惜生命的全部价值。成功=艰苦劳动+正确的方法+少说空话。合理安排时间,就等于节约时间。
为我敲已过去了的钟点。人的全部本领无非是耐心和时间的混合物。任何节约归根到底是时间的节约。时间就是能力等等发展的地盘。时间是世界上一切成就 想者痛苦,给创造者幸福。时间是伟大的导师。时间是一个伟大的作者,它会给每个人写出完美的结局来。时间最不偏私,给任何人都是二十四小时;时间也 都不是二十四小时。忘掉今天的人将被明天忘掉。辛勤的蜜蜂永没有时间的悲哀。在所有的批评中,最伟大、最正确、最天才的是时间。从不浪费时间的人, 不够。时间是我的财产,我的田亩是时间。集腋成裘,聚沙成塔。几秒钟虽然不长,却构成永恒长河中的伟大时代。春光不,是相信能。任何的限制,都是从自己的内心开始的不为失败找理由,只为成功找方法。一个人几乎可以 忱的事情上成功。一切失败都源于执行力太差!从你每天一睁眼开始起,你就要对自己说今天是美好的一天每一个成功者都有一个开始。勇于开始,才能找到 人想要改造这个世界,但却罕有人想改造自己。积极的人在每一次忧患中都看到一个机会,而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。世上没有绝望的处境, 人。性格决定命运,气度决定格局,细节决定成败,态度决定一切,思路决定出路,高度决定深度。未曾见过一个早起勤奋谨慎诚实的人抱怨命运不好。伟人 为他与别人共处逆境时,别人失去了信心,他却下决心实现自己的目标。一个有信念者所开发出的力量,大于99个只有兴趣者。只要有信心,人永远不会挫败 毅力以磨平高山。再长的路,一步步也能走完,再短的路,不迈开双脚也无法到达。行动是治愈恐惧的良药,而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。一个人最大的破 资产是希望。喜欢追梦的人,切记不要被梦想主宰;善于谋划的人,切记空想达不到目标;拥有实干精神的人,切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为 再升起;月亮不会因为你的抱怨,今晚不再降落。蒙住自己的眼睛,不等于世界就漆黑一团;蒙住别人的眼睛,不等于光明就属于自己!路再长也会有终点, 不管雨下得有多大,总会有停止的时候。乌云永远遮不住微笑的太阳!鱼搅不浑大海,雾压不倒高山,雷声叫不倒山岗,扇子驱不散大雾。鹿的脖子再长,总 人的脚指头再长,也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想!以前认为水不可能倒流,那是还没有找到发明抽水机的方法;现在认为太阳不可能从西边 到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的,没有做不到的!不是井里没有水,而是挖的不够深;不是成功来的慢,而是放弃速度快。得到一件东西 样东西则需要勇气!终而复始,日月是也。死而复生,四时是也。奇正相生,循环无端,涨跌相生,循环无端,涨跌相生,循环无穷。机遇孕育着挑战,挑战 是千古验证了的定律!种子放在水泥地板上会被晒死,种子放在水里会被淹死,种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选择决定命运,环境造就人生!懂得 胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上,不知道怎么办的时候,就选择学习,也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念!得之物而失之本,此乃大 要的,他和成功对我一样有价值。我的那些最重要的发现是受到失败的启发而获得的。不会从失败中找寻教训的人,他们的成功之路是遥远的。没有多次失败 5、这世界除了心理上的失败,实际上并不存在什么失败,只要不是一败涂地,你一定会取得胜利的。明智的人决不坐下来为失败而哀号,他们一定乐观地寻找 谬误有多种多样,而正确却只有一种,这就是为什么失败容易成功难脱靶容易中靶难缘故。什么叫做失败,失败是到达较佳境地的第一步。一个人失败的最大 己的能力永远不敢充分的信任;甚至自己认为必将失败无疑败莫败于不自知失败是成功之母,高不过脚底板。凡百事之成也在敬之,其败也必在慢之。成功者 口。因为害怕失败而不敢放手一搏,永远不会成功。为伟大的事业捐躯,从来就不能算做失败。错误经不起失败,但是真理却不怕失败。一个志在有大成就的 所说,知道限制自己。之,什么事都想做的人,其实什么事都不能做,而终归于失败。许多赛跑的人失败,都是失败在最后几步无数人的失败,都是失败于做 做到离成功只差一步就停下来。一经打击就灰心泄气的人,永远是个失败者。人的聪明和自己的明智及道路的选择,往往在失败以后一个人的希望越大,他的 许就越多,就跟一个人走的路越长,踢着的石子会越多一样。失败是坚忍的最后考验。十九次失败,到第二十次获得成功,这叫坚持。在意志力个和斗争性方 往是导致他们成功或失败的重要原因之一。不论成功或失败,都系于自己。
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