2016-2017学年广东省湛江市高二(上)期末数学试卷(理科)含解析
2016-2017学年广东省湛江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填入下面的表格内．1．命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∀x＞0，x2+x≤0 B．∀x≤0，x2+x＞0C．∃x0＞0，x02+x0≤0 D．∃x0≤0，x02+x0＞02．已知△ABC中，a=1，，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°3．已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为23°的直线l交椭圆于A，B两点，则的△AF1B的周长是（）A．20 B．16 C．8 D．64．已知定点F1（﹣2，0）与F2（2，0），动点M满足|MF1|﹣|MF2|=4，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．y=0（|x|≥2）D．y=0（x≥2）5．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．6．抛物线的准线方程是，则其标准方程是（）A．y2=2x B．x2=﹣2y C．y2=﹣x D．x2=﹣y7．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件8．设S n是等差数列{a n}的前项和，若S4≠0，且S8=3S4，设S12=λS8，则λ=（）A．B．C．2 D．39．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若2（a2+c2）﹣ac=2b2，则sinB=（）A．B．C．D．10．方程表示的曲线是（）A．一条直线和一个圆B．一条直线和半个圆C．两条射线和一个圆D．一条线段和半个圆11．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，∞）D．（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）12．已知点M是抛物线x2=4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：（x ﹣1）2+（y﹣4）2=1上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知空间三点A（1，1，1）、B（﹣1，0，4）、C（2，﹣2，3），则与的夹角θ的大小是．14．函数f（x）=1+lgx+（0＜x＜1）的最大值是．15．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，且AB=AD=AA1=1，∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长是．16．已知点P是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且=0，若PF2的中点N在第一象限，且N在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且c•cosA+a•cosC=2b•cosA．（Ⅰ）求cosA；（Ⅱ）若，b+c=4，求△ABC的面积．=3a n+2．18．（12分）已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1（Ⅰ）证明：{a n+1}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n=，求S n．19．（12分）如图边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，（Ⅰ）证明：A1N∥平面AMD1；（Ⅱ）求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为F（，0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）已知斜率为2的直线l与抛物线C相交于与原点不重合的两点A，B，且OA⊥OB，求l的方程．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．22．（12分）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x﹣2y+3=0相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足=，设动点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．2016-2017学年广东省湛江市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填入下面的表格内．1．命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∀x＞0，x2+x≤0 B．∀x≤0，x2+x＞0C．∃x0＞0，x02+x0≤0 D．∃x0≤0，x02+x0＞0【考点】命题的否定．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x＞0“的否定是：∃x0＞0，x02+x0≤0，故选：C【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．2．已知△ABC中，a=1，，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【考点】正弦定理．【分析】根据题意和正弦定理求出sinB的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B．【解答】解：由题意得，△ABC中，a=1，，A=30°，由得，sinB===，又b＞a，0°＜B＜180°，则B=60°或B=120°，故选：D．【点评】本题考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题．3．已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为23°的直线l交椭圆于A，B两点，则的△AF1B的周长是（）A．20 B．16 C．8 D．6【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义及其标准方程即可得出．【解答】解：∵椭圆，可得a=4．过右焦点F2作倾斜角为23°的直线l交椭圆于A，B两点，则的△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知定点F1（﹣2，0）与F2（2，0），动点M满足|MF1|﹣|MF2|=4，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．y=0（|x|≥2）D．y=0（x≥2）【考点】轨迹方程．【分析】设出M的坐标，利用两点间的距离公式和题设等式建立方程，平方后化简整理求得y=0，同时|MF1|＞|MF2|，可推断出动点M的轨迹，是一条射线，起点是（2，0），方向同x轴正方向．【解答】解：假设M（x，y），根据|MF1|﹣|MF2|=2，可以得到：﹣=2，两边平方，化简可以得到y=0，又因为|F1F2|=2，且|MF1|＞|MF2|，所以：动点M的轨迹，是一条射线，起点是（2，0），方向同x轴正方向．故选D【点评】本题主要考查了轨迹方程．考查了学生分析问题和解决问题的能力．5．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据题意，易得k+，2﹣的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k﹣1）+2k﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．∵两向量垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣2×2=0．∴k=，故选D．【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．6．抛物线的准线方程是，则其标准方程是（）A．y2=2x B．x2=﹣2y C．y2=﹣x D．x2=﹣y【考点】抛物线的标准方程．【分析】根据准线方程，可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，再设抛物线的标准形式为x2=﹣2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案．【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，设抛物线标准方程为：x2=﹣2py（p＞0），∵抛物线的准线方程为y=，∴=，∴p=1，∴抛物线的标准方程为：x2=﹣2y．故选B．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质．属基础题．7．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．8．设S n是等差数列{a n}的前项和，若S4≠0，且S8=3S4，设S12=λS8，则λ=（）A．B．C．2 D．3【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质得：S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列，由此能求出λ的值．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前项和，若S4≠0，且S8=3S4，S12=λS8，∴由等差数列的性质得：S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列，∴2（S8﹣S4）=S4+（S12﹣S8），∴2（3S4﹣S4）=S4+（λ•3S4﹣3S4），解得λ=2．故选：C．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若2（a2+c2）﹣ac=2b2，则sinB=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理，结合条件，两边除以ac，求出cosB，即可求出sinB的值．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得：a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2accosB=ac，即cosB=，∴sinB==，故选：C．【点评】此题考查了余弦定理，考查学生的计算能力，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．方程表示的曲线是（）A．一条直线和一个圆B．一条直线和半个圆C．两条射线和一个圆D．一条线段和半个圆【考点】曲线与方程．【分析】将方程等价变形，即可得出结论．【解答】解：由题意方程可化为=0或x+y﹣2=0（x2+y2﹣9≥0）∴方程表示的曲线是两条射线和一个圆．故选：C．【点评】本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．11．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，∞）D．（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）【考点】椭圆的简单性质．【分析】方程表示焦点在x轴上的椭圆，可得m2＞m+2＞0，解出即可得出．【解答】解：∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴m2＞m+2＞0，解得m＞2或﹣2＜m＜﹣1．∴m的取值范围是（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知点M是抛物线x2=4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：（x ﹣1）2+（y﹣4）2=1上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】抛物线的简单性质．【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求出最小值．【解答】解：如图所示，利用抛物线的定义知：MP=MF当M、A、P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小即：CM⊥x轴CM所在的直线方程为：x=1与x2=4y建立方程组解得：M（1，）|CM|=4﹣，点M到圆C的最小距离为：|CM|﹣|AC|=3抛物线的准线方程：y=﹣1则|MA|+|MF|的值最小值为3+1=4．故选B．【点评】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知空间三点A（1，1，1）、B（﹣1，0，4）、C（2，﹣2，3），则与的夹角θ的大小是120°．【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离．【分析】先分别求出与的坐标，再根据空间两向量夹角的坐标公式求出它们的夹角的余弦值，从而求出与的夹角θ．【解答】解：=（﹣2，﹣1，3），=（﹣1，3，﹣2），cos＜，＞===﹣，∴θ=＜，＞=120°．故答案为120°【点评】本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角、距离，考查空间想象能力，属于基础题．14．函数f（x）=1+lgx+（0＜x＜1）的最大值是﹣5．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由0＜x＜1，可得lgx＜0，即﹣lgx＞0，则f（x）=1+lgx+=1﹣[（﹣lgx）+]，由基本不等式即可得到所求最大值．【解答】解：由0＜x＜1，可得lgx＜0，即﹣lgx＞0，则f（x）=1+lgx+=1﹣[（﹣lgx）+]≤1﹣2=1﹣6=﹣5，当且仅当lgx=﹣3即x=10﹣3，取得等号，即有f（x）的最大值为﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．15．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，且AB=AD=AA1=1，∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长是．【考点】棱柱的结构特征．【分析】根据=++，求模长即可．【解答】解：∵=++，∴||2=12+12+12+2×1×1cos60°+2×1×1cos60°+2×1×1cos90°=5，∴||=，即A1C的长是．故答案为：．【点评】本题考查了线段长度的求法，解题时应利用空间向量的知识求模长，是基础题目．16．已知点P是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且=0，若PF2的中点N在第一象限，且N在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义可得n﹣m=2a，再由向量垂直的条件，结合勾股定理和直角三角形的正切函数定义，可得m，n的方程，解方程可得m，n，再代入勾股定理，可得a，b，c的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义可得n﹣m=2a，①设F1（﹣c，0），F2（c，0），由=0，可得三角形F1PF2是以P为直角顶点的三角形，即有m2+n2=4c2，②直线ON的方程为y=x，由题意可得在直角三角形ONF2中，|ON|=m，|NF2|=n，即有=，③由①③可得m=，n=，代入②可得+=4c2，由c2=a2+b2，可化为a2=（b﹣a）2，可得b=2a，c==a，则e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义和性质的运用，注意运用中位线定理和勾股定理，以及定义法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2016秋•湛江期末）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且c•cosA+a•cosC=2b•cosA．（Ⅰ）求cosA；（Ⅱ）若，b+c=4，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理、和差公式与诱导公式即可得出．（Ⅱ）利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：c=2rsinC，a=2rsinA，b=2rsinB（其中r为外接圆半径）．…（1分）代入c•cosA+a•cosC=2b•cosA得：sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA即：sin（A+C）=2sinBcosA⇒sin（π﹣B）=2sinBcosA．…（3分）∴sinB=2sinBcosA，…（4分）∵B∈（0，π）∴sinB≠0．∴．…（Ⅱ）由余弦定理，即（b+c）2﹣3bc=7…（7分）上式代入b+c=4得bc=3．…（8分）∴．所以△ABC的面积是．…（10分）【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式及其诱导公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•湛江期末）已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=3a n+2．（Ⅰ）证明：{a n+1}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n=，求S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由a n+1=3a n+2，变形为a n+1+1=3（a n+1），利用等比数列的定义及其通项公式即可得出．（Ⅱ）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（Ⅰ）证明：由a n+1=3a n+2⇒a n+1+1=3（a n+1）．…（1分）∵a1=2，∴a1+1=3≠0且a n+1≠0．…（2分）∴．…（3分）所以{a n+1}是首项为3公比为3的等比数列．…（4分），得．即{a n}的通项公式是．…（6分）（Ⅱ）解：=…（9分）=．…（11分）∴．…（12分）【点评】本题考查了“裂项求和方法”、等比数列的通项公式的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016秋•湛江期末）如图边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，（Ⅰ）证明：A1N∥平面AMD1；（Ⅱ）求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1N∥平面AMD1．（Ⅱ）求出平面ADD1的一个法向量和平面AMD1的法向量，利用向量法能求出二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1为轴建立如图直角坐标系．…（1分）则A1（2，0，2），N（1，2，2），M（0，2，1），A（2，0，0），D1（0，0，2）．．…（2分）设平面AMD1的法向量是．则．…（3分）取x=1，得．…（4分）所以，即．…又A1N⊄平面AMD1．∴A1N∥平面AMD1．…（6分）解：（Ⅱ）平面ADD1的一个法向量为，…（8分）平面AMD1的法向量是．由（Ⅰ）得．…（11分）由图形得二面角M﹣AD1﹣D的平面角是锐角，所以二面角M﹣AD1﹣D的余弦值是．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2016秋•湛江期末）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为F（，0）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）已知斜率为2的直线l与抛物线C相交于与原点不重合的两点A，B，且OA⊥OB，求l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线的几何性质求p的值；（Ⅱ）设直线的方程为y=2x+t，联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的几何性质知．…（3分）（Ⅱ）设直线的方程为y=2x+t．…（4分）由得4x2+（4t﹣2）x+t2=0，由题（4t﹣2）2﹣4•4t2＞0．解得．…设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…（6分）∵．…（8分）∴，解得t=0或﹣4，4．…（9分）由题意直线l不过原点且得t=﹣4符合题意．…（11分）所以所求直线方程为y=2x﹣4．…（12分）【点评】本题主要考查抛物线的应用和抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力．属于综合题．21．（12分）（2014•长葛市三模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥BD，PD⊥BC，从而得到BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，从而得到∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵CD2=BC2+BD2．∴BC⊥BD．又∵PD⊥底面ABCD．∴PD⊥BC．又∵PD∩BD=D．∴BC⊥平面PBD．而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=．而，所以．∵底面ABCD为平行四边形，∴DA⊥DB，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），，，，所以，，，，设平面PBC的法向量为，则即令b=1则，∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：．…（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．22．（12分）（2016秋•湛江期末）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x﹣2y+3=0相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足=，设动点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）A（x0，y0），先求出圆C1的方程，再根据动点N满足=，得到关于x0，y0的方程组，解得即可．（Ⅱ）设直线l与椭圆交于B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程组求出x1，x2，再根据点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，利用基本不等式解得即可．【解答】解：（Ⅰ）设动点N（x，y），A（x0，y0），因为AM⊥x轴于M，所以M（x0，0），设圆C1的方程为x2+y2=r2．…（1分）由题意得．…（2分）所以圆C1的程为x2+y2=9．…（3分）由题意，=（0，y0），=（x﹣x0，y）），=．…（4分）所以…将A（x0，y0），代入圆x2+y2=9，得动点N的轨迹方程为．…（6分）（Ⅱ）由题意可设直线l：2x+y+m=0，设直线l与椭圆交于B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程．得13x2+12mx+3m2﹣9=0．…（7分）△=144m2﹣13×4（3m2﹣9）＞0，解得m2＜39．…（8分）．…（9分）又因为点O到直线l的距离，，…（10分）．（当且仅当m2=39﹣m2即时取到最大值）∴△OBD面积的最大值为．…（12分）【点评】本题考查了向量，圆的方程，椭圆的方程，点到直线的距离，基本不等式，是一道综合题，需要认真仔细．。
广东省湛江一中1617学年度高二上学期第二次大考——数
湛江一中2016-2017学年度第一学期高二级第二次考试理科数学试题时间：120分钟 总分：150分 命题人：WHY 班级 姓名 试室号 座位号一．选择题（每小题5分，共12小题）1.下列命题是真命题的为( )A ．若,则B ．若,则C ．若,则D ．若,则2．已知向量=（1，2，-y ），=（x ，1，2），若() (2-)，则（ ）A. B C. D.3．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q 中，真命题是（ ）A ．①③ B．①④ C ．②③ D．②④4．若满足约束条件03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则的最大值是（ ）A ．1B ．C ．4D ．25.设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x±2y ＝0，则a 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．16.已知是实数，则“且”是“且”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知等比数列的公比，且成等差数列，则的前8项和为（ ）A ．127B ．255C ．511D ．10238．若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．9.下列各组向量互相垂直的是（ ）A. =（1，2，-2）， =（-2，-4，1）B. =（2，4，5）， =（0，0，0）C. =（1，2，）， =（，，1）D. =（2，4，5）， =（-2，-4，-5）10．点分别是椭圆的左顶点和右焦点, 点在椭圆上, 且,则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题（每小题5分，共4小题）13．命题：“或”的否定是________．14．不等式的解集为 ．15．已知F 1，F 2是椭圆C ： +=1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，则△F 2MN 的周长为 ．16．在直三棱柱中，底面ABC 为直角三角形，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的最小值为 。
广东省湛江第一中学高二数学上学期第一次大考试题 理
湛江一中2016-2017学年度第一学期“第一次大考”高二级数学理科试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. ,a b 是任意实数，a b >，且0a ≠，则下列结论正确的是（ ） A. 33a b --< B.1b a< C. 1lg()lga b a b ->- D. 22a b > 2. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若389a a =，则31310log log a a +=（ ） A. 1 B. 4 C. 2 D. 3log 53. 下列函数中，最小值为4的是( ) A.4()f x x x =+B.4()cos cos f x x x=+ C.()343x xf x -=+⨯ D.()lg 4log 10x f x x =+4．ABC ∆中，1b =，6B π∠=，则ABC ∆的形状一定为（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n⎝⎛⎭⎪⎫0≤a n<12，2a n－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2014的值为( )A ．57B ． 67C ．37D ．176．某船开始看见灯塔在南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60o的方向航行45km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（ ）A B.30km C ．15km D.7.数列{}n a 满足1a ，21a a -，32a a -，，1n n a a --是首项为1，公比为2的等比数列，那么na 等于( )A ．41n- B ．121n -- C ．21n + D ．21n-8.设n s 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95ss 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．129．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列四个命题：①0d <；②110S >；③ 使0n S >的最大n 值为12；④数列{}n S 中的最大项为11s ，其中正确命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 10.已知ABC ∆是锐角三角形，若B A 2=，则ba的取值范围是( ) A. )3,2( B. )2,2( C. )3,1( D. )2,1(11. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033my x y x y x ，且y x +的最大值等于9，则实数m 等于( )A ．2-B ．1C ．1-D ．212.己知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则21445n n S a ++的最小值为（ ）A ．4 B ．272 C ．1219D ．675 第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知实数,x y 满足1000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最大值为 .14．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,2,A b =︒=ABC S ∆=，则a = .15．已知数列1,111,,,,,12123123n++++++则其前n 项的和等于 .16．给出下列命题：① ,A B 是ABC ∆的内角，且A B >，则sin sin A B >; ② {}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++也为等比数列；③ 在数列{}n a 中,如果n 前项和22n S n n =++，则此数列是一个公差为2的等差数列；④ O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足：sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则直线AP 一定通过ABC ∆的内心；则上述命题中正确的有 （填上所有正确命题的序号）三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17（本小题满分10分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （I ）求{}n a 的通项公式n a ；(II)若数列{}n b 满足：3n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．18（本小题满分12分）已知函数23()cos()cos()2f x x x x ππ=+--. （I ）求()f x 的最小正周期和最大值； (II) 求()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间．19（本小题满分12分） 已知不等式的解集为或（I ）求a ,b 的值；(II)解不等式2()0ax am b x bm -++<.20.(本小题满分12分)假设我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用H （万元）与隔热层厚度x (厘米)满足关系式：)100(53)(≤≤+=x x kx H （当0=x 时表示无隔热层），若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元.设)(x f 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （I ）求k 的值和)(x f 的表达式；(II)当隔热层修建多少厘米厚时，总费用)(x f 最小，并求出最小值.21（本小题满分12分）在ABC ∆中,内角,,A B C 对应的边长分别为,,a b c ,已知(,)m c a b =+, (,n a b a =-//m n（I ）求角A ；(II)若a =求b c +的取值范围．22（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,12-=n n a S ()*n N ∈. （I ）求数列{}n a 的通项公式；(II)若数列{}n b 满足n n a n b ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(III)若数列{}n c 满足()n n nn a c λ1123--+=（λ为非零常数），确定λ的取值范围,使*n N∈时，都有n n c c >+1.湛江一中2016-2017学年度第一学期“第一次大考”高二级数学理科试卷答案 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.1214. 15. 21n n + 16. ①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分10分)解：（I ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得1193690,15105240a d a d +=+=， ——————— 1分解得12a d ==————————3分2n a n = ————————5分(II) 323n nn b a ==⋅ —— ——————7分 由13n nb b +=，{b n }是首项为6，公比为2的等比数列 ———————8分 则13(13)23313n n n T +-==-- ————————10分18（本小题满分12分）解：1cos 2()-cos )(sin )2x f x x x +=⋅-+（1sin 2cos 2sin(2)223x x x π=-=- ——————4分 （I ）()f x 的最小正周期为π，最大值为1； —————— 8分(II) 当()f x 递增时，222 ()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即51212k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈, ——————10分 所以，()f x 在5[,]612ππ上递增即()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间是5[,]612ππ —— ———12分 19（本小题满分12分） 解：（I ）因为不等式的解集为或所以，是方程的两个解 —————1分所以， ———————3分解得———————5分(II) 由（I ）知原不等式为，即， —————— 6分当时，不等式解集为 ————————8分当时，不等式解集为; ———————10分当时，不等式解集为; ———————12分20.(本小题满分12分)解：（I ）当0=x 时，8=H ，即85=k，解得40=k ————2分故5340)(+=x x H ——————3分5380065340206)(++=+⨯+=∴x x x x x f )100(≤≤x ————6分 (II) 由（I ）知35535≤+≤x ————7分7010160021053800)53(25340206)(=-≥-+++=+⨯+=∴x x x x x f —————10分当且仅当53800106+=+x x ，即5=x 时)(x f 取得最小值 ————11分即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元. —12分 21（本小题满分12分） （I ）∵//m n 221cos 2c a B b a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, —————1分 由余弦定理得2222222a c b bc a b +--=-,222a b c bc =+- ——————3分 ∵2222cos a b c bc A =+-,∴1cos 2A =————————4分∵()0,πA ∈,∴π3A =————————5分(II)由余弦定理得2sin sin sin a b cA B C===,∴2sin b B =,2sin c C =—————6分∴()2sin 2sin 2sin 2sin b c B C B A B +=+=++ ———————7分2sin 2sin cos 2cos sin B A B A B =++12sin 2cos 2sin 22B B B =+⨯+⨯ π3sin 6B B B ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭； ————————9分∵2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴ππ5π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦． ————————11分所以b c +∈————————12分22（本小题满分12分）解：（I ）当n =1时，11121a s a ==-，11a ∴= ————— 1分当1n >时，21n n s a =-，1121n n s a --∴=-112n n n n s s a a --∴-=-122n n n a a a -∴=-12n n a a -∴={}n a 是首项为1，公比为2的等比数列1*2,n n a n N -∴=∈ —————3分(II) 22nn n b n a n =⋅=⋅212222n n T n =⋅+⋅+⋅ ① 23121222(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+-⋅+⋅ ②①-②得23122222n n n T n +-=+++-⋅1(1)22n n +=-⋅-1(1)22n n T n +∴=-⋅+ ———————7分(III) ∵11-2)1(23--⋅+=n n n n C λn n n 2)1(31λ--+=∴n n C C >+1即 >-+++112)1(3n n n λn n n 2)1(31λ--+即02)1(2)1(33111>---+--++n n n n n n λλ即0)22()1(321>+-+⋅+n n nnλ即023)1(32>⋅-+⋅nnnλ∴>-λn)1(nn 2332⋅⋅- 即>-λn)1(1)23(--n ——————8分 当n 为偶数时≤--1)23(n 23-∴23->λ ————— 10分当n 为奇数时≤--1)23(n 1- ∴1->-λ即 1<λ 又∵0λ≠∴ 123<<-λ且0λ≠ ——————12分。
广东省湛江市第一中学高二上学期期末考试数学(理)试卷
湛江市2017—2018学年度第一学期期末调研考试高中数学(必修⑤、选修2-1)试卷说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“若2017x >，则0x >”的否命题是A ．若2017x >，则0x ≤B ．若0x ≤，则2017x ≤C ．若2017x ≤，则0x ≤D ．若0x >，则2017x > 2．抛物线212y x =的焦点坐标是 A ．()0,1 B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知等比数列{}n a ，11a =，313a =，则5a =A ．19±B ．．19- D ．194．在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，b =45A =，60B =，则a =A ．．4 D ．6 5．若a ，b 为实数，则“ab 1<”是“1<ab ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．椭圆221(0)x y m n m n+=>>的一个焦点为()1,0，且=12mn ，则椭圆的离心率为 A ．32 B ．32 C ．12 D ．41 7．在空间四边形CD AB 中，,,DA a DB b DC c ===，P 在线段D A 上，且DP=2PA ，Q为C B 的中点，则PQ = A ．211322a b c -++ B ．112223a b c +- C ．121232a b c -+ D ．221332a b c +- 8．设0a >，0b >5a 与5b 的等比中项，则11a b+的最小值为 A ．8 B ．4 C ．1 D ．149．已知等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，1100810090,0a a a >+=，则当n S 取最大值时，n = A ．1008 B ．1009 C ．2016 D ．201710．不等式组0002x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域的面积为A ．2B ．3C ．4D ．511．已知直线2+=kx y 与椭圆1922=+my x 总有公共点，则m 的取值范围是 A ．4≥m B ．90<<mC ．94<≤mD ．4≥m 且9≠m12．在三棱柱111ABC A B C -中，点E 、F 、H 、K 分别为1AC 、1CB 、1A B 、11B C 的中点，G 为ΔABC 的重心，有一动点P 在三棱柱的面上移动，使得该棱柱恰有5条棱与平面PEF 平行，则以下各点中，在点P 的轨迹上的点是 A ．H B ．K C ．G D ．1B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()2,1,1a =-，(),2,1b t =-，R t ∈，若a b ⊥，则t = ． 14．等差数列{}n a 中, 74a =，1992a a =，则{}n a 的通项公式为 ．15．已知命题:p R x ∃∈，220x x a --<，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 ．（用区间表示）16．已知2z y x =-，式中变量x ，y 满足下列条件： 213201x y x y k y -≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，若z 的最大值为11，则k 的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知命题p ：指数函数(2)xy a =- 是R 上的增函数，命题q ：方程22122x y a a +=-+表示双曲线．（Ⅰ）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，60B =︒．（Ⅰ）若2b ac =，请判断三角形ABC 的形状；（Ⅱ）若54cos =A ，3c =+，求ABC ∆的边b 的大小．19．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且53-=a ，244-=S ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列|}{|n a 的前20项和20T ．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，左顶点为A ，上、下顶点分别为,BC ．（Ⅰ）若直线1BF 经过AC 中点M ，求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线1BF 的斜率为1，1BF 与椭圆的另一交点为D ，椭圆的右焦点为2F ，求三角形2BDF 的面积．21．（本小题满分12分）某农场计划种植甲、乙两个品种的水果，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元．甲、乙两种水果的成本分别是每亩600元和每亩200元．假设种植这两个品种的水果，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元．问该农场如何分配甲、乙两种水果的种植面积，可使农场的总收益最大？最大收益是多少万元？22．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，平面PDC ⊥平面ABCD ，32==PD AD ，6==AB PB .（Ⅰ）证明：PA BD ⊥；（Ⅱ）求直线AP 与平面PBC所成角的正弦值.湛江市2017—2018学年度第一学期期末调研考试 高中数学必修5及选修2-1试题 参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3214．12n n a += 15． (],1-∞- 16．23三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．CD17．(本小题满分10分)解：（Ⅰ）命题p 为真命题时，2－a ＞1，即a ＜1.……………………2分（Ⅱ）若命题q 为真命题，则(2)(2)0a a -+<，所以22a -<<， ……………………4分因为命题“p q ∨”为真命题，则,p q 至少有一个真命题，“p q ∧”为假命题，则,p q 至少有一个假命题，所以,p q 一个为真命题，一个为假命题 ……………………6分当命题p 为真命题，命题q 为假命题时，122a a a <⎧⎨≤-≥⎩或，则2a ≤-；当命题p 为假命题，命题q 为真命题时，122a a ≥⎧⎨-<<⎩，则12a ≤<． (9)分综上，实数a 的取值范围为(][),21,2-∞-． (10)分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2222cos b a c ac B ac =+-⋅=，1cos cos 602B =︒=，……………………3分 得2()0a c -=，=a c ，…………………………………………………5分又60B =︒，∴ 三角形ABC 是等边三角形. ……………………………………………………6分（Ⅱ）由4cos 5A =，得3sin 5A =，……………………………………………………7分 又60B =︒，∴ sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=⋅+⋅……………………………………………8分314525=⨯+10分由正弦定理得(3sin sin c B b C+⋅=== (12)分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ，则由条件得11254624a d a d +=-⎧⎨+=-⎩ ，…………………………………2分 解得⎩⎨⎧=-=291d a ，……………………………………3分所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。
广东省湛江市数学高二上学期理数期末考试试卷
广东省湛江市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）命题“，”的否定是（）A . ，B . ，C . ，D . ，2. （2分） (2018高三上·南阳期末) 已知双曲线的一条渐近线的方程是：，且该双曲线经过点，则双曲线的方程是（）A .B .C .D .3. （2分）某工厂甲、乙、丙、丁四个车间生产了同一种产品共计2800件，现要用分层抽样的方法从中抽取140件进行质量检测，且甲、丙两个车间共抽取的产品数量为60，则乙、丁两车间生产的产品总共有（）A . 1000件B . 1200件C . 1400件D . 1600件4. （2分） (2015高三上·滨州期末) “m=1”是“直线mx﹣y=0和直线x+m2y=0互相垂直”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2017高二下·广州期中) 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 =1的右焦点重合，则p的值为（）A . 2B . ﹣2C . ﹣4D . 46. （2分）下列说法错误的是（）A . 命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”B . 若命题p：∃x0∈R，＋x0＋1<0，则：∀x∈R，x2＋x＋1≥0C . 若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥ ”的充要条件D . 已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必有一真一假7. （2分）经过坐标原点，且与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为（）A . y=-xB . y=xC . y=-xD . y=x8. （2分）(2014·四川理) 执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A . 0B . 1C . 2D . 39. （2分） (2017高二上·牡丹江月考) 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到直线的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分）记集合和集合表示的平面区域分别为若在区域内任取一点，则点M落在区域的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）已知两点，点是圆上任意一点，则面积的最小值是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·绵阳期中) 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C 的渐近线方程为（）A . y=B . y=C . y=±xD . y=二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·红桥期末) 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为________．14. （1分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为________15. （1分）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则等于________.16. （1分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长相等，点D是棱CC1的中点，则AA1与面ABD所成角的大小是________三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分）(2013·新课标Ⅱ卷理) 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（1）将T表示为x的函数；（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．18. （5分）(2017·嘉兴模拟) 如图，已知抛物线，过直线上任一点作抛物线的两条切线，切点分别为 .（I）求证：；（II）求面积的最小值.19. （10分） (2016高二上·沙坪坝期中) 已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+4=0．（1）求圆C的圆心坐标和半径；（2）直线l过点A（4，0）、B（0，2），求直线l被圆C截得的弦长．20. （10分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y（千567810亿元）（1）求y关于t的回归方程（2）用所求回归方程预测该地区2015年（）的人民币储蓄存款.附：回归方程中21. （10分）(2016·大连模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AB，AD⊥DC，∠DAC=60°，PA=AC=2，AB=1．（1）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．（2）在线段CP上是否存在一点E，使得DE⊥PB，若存在，求线段CE的长度，不存在，说明理由．22. （10分）(2017·孝义模拟) 设椭圆的左顶点为（﹣2，0），且椭圆C与直线相切，（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，1）的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得？请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
【全国百强校】广东省湛江第一中学2016-2017学年高二上学期第一次大考理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.,a b 是任意实数，a b >，且0a ≠，则下列结论正确的是（ ） A. 33a b --< B. 1b a< C. 1lg()lga b a b ->- D. 22a b > 【答案】A 【解析】考点：不等式的性质．2.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若389a a =，则31310log log a a +=（ ）A. 1B. 4C. 2D. 3log 5【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，根据等比数列的性质可知381109a a a a ==，又因为31310log log a a +=110933log log 2a a ==，故选C ．考点：等比数列的性质．3.下列函数中，最小值为4的是（ ） A.4()f x x x =+B.4()cos cos f x x x=+ C.()343xxf x -=+⨯ D. ()lg 4log 10x f x x =+ 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，()4343343xxx x f x -=+⨯=+≥=，当且仅当433xx =，即3log 2x =时等号是成立的，故选C ． 考点：基本不等式的应用． 4．ABC ∆中，1b =，6B π∠=，则ABC ∆的形状一定为（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】考点：正弦定理．5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n⎝⎛⎭⎪⎫0≤a n<12，2a n－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2014的值为（ ）A ．57B ． 67C ．37D ．17 【答案】B 【解析】试题分析：因为1112,052,1721,12n n n n n a a a a a a +⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩，所以21314336521,2,21777a a a a a a =-====-=，所以此数列的周期为3，所以201436711157a a a ⨯+===，故选B ． 考点：数列的递推式的应用．【方法点晴】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中解答中涉及到数列的周期性、数列的递推关系式的化简，分段数列的求值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用数列的递推关系式，得到数列的周期性是解答的关键，属于基础题． 6．某船开始看见灯塔在南偏东30o方向，后来船沿南偏东60o的方向航行45km 后，看见灯塔在正 西方向，则这时船与灯塔的距离是（ ）A B.30km C ．15km D.【答案】A 【解析】考点：解三角形的实际应用．7.数列{}n a 满足1a ，21a a -，32a a -， ，1n n a a --是首项为1，公比为2的等比数列，那么na等于（ ）A ．41n- B ．121n -- C ．21n+D ．21n-【答案】D 【解析】试题分析：由数列{}n a 满足1a ，21a a -， ，1n n a a --是首项为1，公比为2的等比数列，所以111122n n n n a a ----=⨯=，所以21121321()()()1(1222)n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++1(22)21n n =+-=-，故选D ．考点：数列的通项公式．8.设n s 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95ss 等于（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．12【答案】A【解析】试题分析：根据等差数列的前n 项和公式，可得199515539()995215()5592a a S a a a S a +===⨯=+，故选A ． 考点：等差数列的前n 项和的应用．9．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列四个命题：①0d <；②110S >；③使0n S >的最大n 值为12；④数列{}n a 中的最大项为11s ，其中正确命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B 【解析】考点：等差数列的性质．10.已知ABC ∆是锐角三角形，若B A 2=，则ba的取值范围是（ ） A. )3,2( B. )2,2( C. )3,1( D. )2,1( 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin a Ab B=，又因为B A 2=，所以 sin sin 22cos sin sin a A B B b B B ===，又因为锐角三角形，所以2(0,)2A B π=∈且 (2)3(0,)2A B B πππ-+=-∈，所以64B ππ<<，所以2cos B ∈，所以ba的取值范围是)3,2(，故选A ．考点：正弦定理及三角形的性质．11.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033my x y x y x ，且y x +的最大值等于9，则实数m 等于（ ）A ．2-B ．1C ．1-D ．2 【答案】B 【解析】考点：简单的线性规划问题．【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中涉及到利用一元二次不等式组表示的平面区域、以及简单的转化思想和数形结合思想的考查，属于中档试题，对于目标函数的唯一最优解是线性规划的常见问题，这类问题一般要分三步：画出约束条件坐标的平面区域、平移目标函数、定出最优解． 12.己知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则21445n n S a ++的最小值为（ ）A．4- B ．272 C ．1219D ．675 【答案】C 【解析】试题分析：因为1313,,a a a 成等比数列且11a =，可得23113a a a =，即2(12)112d d +=+，解得2d =，所以2(1)1(21)22122n n n n a n S n n -=+-⨯=-⇒=+⨯=，所以2214421447212n n S n n a n n ++==++，利用函数()72f x x x =+在区间上单调递减，在)+∞单调递增，所以当6n =时，21441n n S a ++有最小值1219，故选C ． 考点：等差数列的通项公式与前n 项和．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式与前n 项和，其中解答中涉及到等比中项公式的应用，数列的单调性、基本不等式和函数的单调性等知识点的综合考查，试题综合性强，有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，同时掌握函数()72f x x x=+的性质是解答一个难点． 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知实数,x y 满足1000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最大值为 .【答案】12【解析】考点：简单的线性规划求最值．14．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,2,A b =︒=ABC S ∆=，则a = .【答案】【解析】考点：正弦定理；余弦定理． 15．已知数列1,111,,,,,12123123n ++++++ 则其前n 项的和等于 . 【答案】21n n + 【解析】试题分析：由题意得，112112()(1)123(1)12n n n n n n n ===-++++++ ，所以数列1，112+，1123++，1,,,123n +++ 则其前n 项的和为111111122[(1)()()()]22233411n n n -+-+-++-=-++ 21nn =+． 考点：数列的求和问题．【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等差数列的前n 和公式、数列的列求和的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，利用等差数列的求和公式，化简1112()1231n n n =-++++ 是解答的关键，同时注意数列裂项求和的应用． 16．给出下列命题：①,A B 是ABC ∆的内角，且A B >，则sin sin A B >; ②{}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++也为等比数列；③在数列{}n a 中,如果n 前项和22n S n n =++，则此数列是一个公差为2的等差数列；④O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足：sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则直线AP 一定通过ABC ∆的内心；则上述命题中正确的有 （填上所有正确命题的序号）． 【答案】①④ 【解析】考点：命题的真假判定．【方法点晴】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中涉及到平面向量的运算、三角形的正弦定理、等比数列的定义、以及等差数列的判定及前n 项和公式，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，其中熟记数列的概念和向量的基本运算是解答的关键．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （I ）求{}n a 的通项公式n a ；(II)若数列{}n b 满足：3n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（I ）2n a n =；（II ）133n n T +=-． 【解析】试题分析：（I ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，列出方程，求得12a d ==，即可得到通项公式n a ；（II ）由（I ）可知323n nn b a ==⋅，得到数列{}n b 是首项为6，公比为2等比数列，即可求解{}n b 的前n项和n T ．试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得1193690,15105240a d a d +=+=， ——————— 1分解得12a d ==————————3分2n a n = ————————5分(II) 323n nn b a ==⋅ —— ——————7分 由13n nb b +=，{b n }是首项为6，公比为2的等比数列 ———————8分 则13(13)23313n n n T +-==-- ————————10分考点：等差、等比数列的通项公式；等比数列的求和公式． 18．（本小题满分12分）已知函数23()cos()cos()2f x x x x ππ=+--. （I ）求()f x 的最小正周期和最大值； (II) 求()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间． 【答案】（I ）()f x 的最小正周期为π，最大值为1；（II ）5[,]612ππ．【解析】(II) 当()f x 递增时，222 ()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即51212k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈, ——————10分所以，()f x 在5[,]612ππ上递增即()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间是5[,]612ππ —————12分 考点：三角函数的图象与性质． 19．（本小题满分12分）已知不等式2320ax x -+>的解集为{}1x x x b <>或． （I ）求a ,b 的值；(II)解不等式2()0ax am b x bm -++<.【答案】（I ）1,2a b ==；（II ）当2m >时，不等式解集为{}2x x m <<，当2m =时，不等式解集为∅，当2m <时，不等式解集为{}2x m x <<． 【解析】所以3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩， ——————— 3分解得12a b =⎧⎨=⎩ ——————— 5分(II) 由（I ）知原不等式为()2220x m x m -++<，即()()20x m x --<， ——————6分当2m >时，不等式解集为{}2x x m << ———————— 8分 当2m =时，不等式解集为∅ ———————10分当2m <时，不等式解集为{}2x m x << ———————12分考点：一元二次不等式．20.(本小题满分12分)假设我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚 的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用H （万元）与隔热层厚度x (厘米)满足关系式： )100(53)(≤≤+=x x k x H （当0=x 时表示无隔热层），若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元. 设)(x f 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（I ）求k 的值和)(x f 的表达式；(II)当隔热层修建多少厘米厚时，总费用)(x f 最小，并求出最小值.【答案】（I ）2040800()663535f x x x x x ⨯=+=+++)100(≤≤x ；（II ）隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元．【解析】即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元. —12分考点：函数的实际应用；基本不等式求最值．21．（本小题满分12分）在ABC ∆中,内角,,A B C 对应的边长分别为,,a b c ,已知(,)m c a b =+ ,//m n ．（I ）求角A ；（II ）若a =求b c +的取值范围．【答案】（I ）π3A =；（II ）b c +∈．【解析】∵2222cos a b c bc A =+-,∴1cos 2A =————————4分 ∵()0,πA ∈,∴π3A =————————5分 (II)由余弦定理得2sin sin sin a b c A B C===, ∴2sin b B =,2sin c C =—————6分∴()2sin 2sin 2sin 2sin b c B C B A B +=+=++ ———————7分2sin 2sin cos 2cos sin B A B A B =++12sin 22sin 2B B B =++⨯ π3sin 6B B B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭； ————————9分 ∵2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴ππ5π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦． ————————11分所以b c +∈ ————————12分考点：解三角形的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了解三角形的综合问题，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、数形结合思想的应用，以及学生的推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题，本题的解得中转化为三角函数问题，利用三角函数的图象与性质求解是解答的一个难点．22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,12-=n n a S ()*n N ∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式；(II)若数列{}n b 满足n n a n b ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(III)若数列{}n c 满足()n n n n a c λ1123--+=（λ为非零常数），确定λ的取值范围,使*n N ∈时，都 有n n c c >+1.【答案】（I ）1*2,n n a n N -=∈；（II ）1(1)22n n T n +=-⋅+；（III ）123<<-λ且0λ≠． 【解析】当1n >时，21n n s a =-，1121n n s a --∴=-112n n n n s s a a --∴-=-122n n n a a a -∴=-12n n a a -∴={}n a 是首项为1，公比为2的等比数列1*2,n n a n N -∴=∈ —————3分(II) 22n n n b n a n =⋅=⋅212222n n T n =⋅+⋅+⋅ ①23121222(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+-⋅+⋅ ②当n 为偶数时≤--1)23(n 23-∴23->λ —————10分 当n 为奇数时≤--1)23(n 1- ∴1->-λ 即 1<λ 又∵0λ≠∴ 123<<-λ且0λ≠ —————— 12分 考点：数列求和；数列与不等式的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了数列的求和及数列与不等式的综合问题，其中解答中涉及到数列的通项n a 和n S 的关系，乘公比错位相减法求和及基本不等式的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把不等式的恒成立问题，利用分离参数法是解答的一个难点，此类问题平时注意总结和积累．：。
广东省湛江第一中学16—17学年上学期高二第一次大考数学(理)试题(附答案)
湛江一中2016-2017学年度第一学期“第一次大考”高二级数学理科试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. ,a b 是任意实数，a b >，且0a ≠，则下列结论正确的是（ ）A. 33a b --<B. 1b a< C. 1lg()lg a b a b ->- D. 22a b > 2. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若389a a =，则31310log log a a +=（ ）A. 1B. 4C. 2D. 3log 53. 下列函数中，最小值为4的是( )A.4()f x x x =+B.4()cos cos f x x x=+ C.()343x x f x -=+⨯ D.()lg 4log 10x f x x =+ 4．ABC ∆中，1b =，6B π∠=，则ABC ∆的形状一定为（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2014的值为( ) A ．57 B ． 67 C ．37 D ．176．某船开始看见灯塔在南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60o 的方向航行45km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（ ）A B.30km C ．15km 7.数列{}n a 满足1a ，21a a -，32a a -，，1n n a a --是首项为1，公比为2的等比数列，那么n a 等于( )A ．41n -B ．121n --C ．21n +D ．21n-8.设n s 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 5359a a =，则95s s 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．129．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列四个命题：①0d <；②110S >；③ 使0n S >的最大n 值为12；④数列{}n S 中的最大项为11s ，其中正确命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110.已知ABC ∆是锐角三角形，若B A 2=，则ba 的取值范围是( ) A. )3,2( B. )2,2( C. )3,1( D. )2,1(11. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033m y x y x y x ，且y x +的最大值等于9，则实数m 等于( )A ．2-B ．1C ．1-D ．212.己知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则21445n n S a ++的最小值为（ ） A ．4 B ．272 C ．1219D ．675 第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知实数,x y 满足1000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最大值为 .14．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,2,A b =︒=ABC S ∆=a = .15．已知数列1, 111,,,,,12123123n ++++++则其前n 项的和等于 .16．给出下列命题：① ,A B 是ABC ∆的内角，且A B >，则sin sin A B >;② {}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++也为等比数列；③ 在数列{}n a 中,如果n 前项和22n S n n =++，则此数列是一个公差为2的等差数列； ④ O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足：sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则直线AP 一定通过ABC ∆的内心；则上述命题中正确的有 （填上所有正确命题的序号）三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17（本小题满分10分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =．（I ）求{}n a 的通项公式n a ；(II)若数列{}n b 满足：3n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．18（本小题满分12分）已知函数23()cos()cos()2f x x x x ππ=+-+. （I ）求()f x 的最小正周期和最大值；(II) 求()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间．19（本小题满分12分） 已知不等式的解集为或 （I ）求a ,b 的值；(II)解不等式2()0ax am b x bm -++<.20.(本小题满分12分)假设我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用H （万元）与隔热层厚度x (厘米)满足关系式：)100(53)(≤≤+=x x k x H （当0=x 时表示无隔热层），若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元.设)(x f 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （I ）求k 的值和)(x f 的表达式；(II)当隔热层修建多少厘米厚时，总费用)(x f 最小，并求出最小值.21（本小题满分12分）在ABC ∆中,内角,,A B C 对应的边长分别为,,a b c ,已知(,)m c a b =+,(,n a b a =-//m n（I ）求角A ；(II)若a =求b c +的取值范围．22（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,12-=n n a S ()*n N ∈. （I ）求数列{}n a 的通项公式；(II)若数列{}n b 满足n n a n b ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(III)若数列{}n c 满足()n n n n a c λ1123--+=（λ为非零常数），确定λ的取值范围,使*n N ∈时，都有n n c c >+1.湛江一中2016-2017学年度第一学期“第一次大考”高二级数学理科试卷答案第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 12 14.15. 21n n + 16. ①④ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. （本小题满分10分)解：（I ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得1193690,15105240a d a d +=+=， ———————1分解得12a d == ————————3分 2n a n = ————————5分(II) 323n n n b a ==⋅ —— ——————7分 由13n nb b +=，{b n }是首项为6，公比为2的等比数列 ———————8分 则13(13)23313n n n T +-==-- ————————10分18（本小题满分12分）解：1cos 2()-cos )(sin )2x f x x x +=⋅-+（1sin 22sin(2)223x x x π=-=- ——————4分 （I ）()f x 的最小正周期为π，最大值为1； ——————8分(II) 当()f x 递增时，222 ()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈， 即51212k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈, —————— 10分 所以，()f x 在5[,]612ππ上递增 即()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间是5[,]612ππ —— ———12分 19（本小题满分12分）解：（I ）因为不等式的解集为或 所以，是方程的两个解 —————1分 所以， ———————3分 解得 ———————5分 (II) 由（I ）知原不等式为，即， —————— 6分 当时，不等式解集为 ———————— 8分 当时，不等式解集为; ——————— 10分 当时，不等式解集为; ———————12分20.(本小题满分12分)解：（I ）当0=x 时，8=H ，即85=k ，解得40=k ————2分 故5340)(+=x x H ——————3分 5380065340206)(++=+⨯+=∴x x x x x f )100(≤≤x ————6分 (II) 由（I ）知35535≤+≤x ————7分 7010160021053800)53(25340206)(=-≥-+++=+⨯+=∴x x x x x f —————10分 当且仅当53800106+=+x x ，即5=x 时)(x f 取得最小值 ————11分 即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元. —12分 21（本小题满分12分）（I ）∵//m n 221cos 2c a B b a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, —————1分 由余弦定理得2222222a c b bc a b +--=-,222a b c bc =+- ——————3分∵2222cos a b c bc A =+-,∴1cos 2A =————————4分 ∵()0,πA ∈,∴π3A =————————5分 (II)由余弦定理得2sin sin sin a b c A B C ===, ∴2sin b B =,2sin c C =—————6分 ∴()2sin 2sin 2sin 2sin b c B C B A B +=+=++ ———————7分 2sin 2sin cos 2cos sin B A B A B =++12sin 22sin 22B B B =+⨯+⨯ π3sin 6B B B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭； ————————9分 ∵2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴ππ5π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦． ————————11分所以b c +∈ ————————12分 22（本小题满分12分）解：（I ）当n =1时，11121a s a ==-，11a ∴= ————— 1分 当1n >时，21n n s a =-，1121n n s a --∴=-112n n n n s s a a --∴-=-122n n n a a a -∴=-12n n a a -∴= {}n a 是首项为1，公比为2的等比数列1*2,n n a n N -∴=∈ —————3分(II) 22n n n b n a n =⋅=⋅212222n n T n =⋅+⋅+⋅ ① 23121222(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+-⋅+⋅ ②①-②得23122222n n n T n +-=+++-⋅1(1)22n n +=-⋅-1(1)22n n T n +∴=-⋅+ ——————— 7分 (III) ∵11-2)1(23--⋅+=n n n n C λn n n 2)1(31λ--+= ∴n n C C >+1即 >-+++112)1(3n n n λn n n 2)1(31λ--+ 即02)1(2)1(33111>---+--++n n n n n n λλ即0)22()1(321>+-+⋅+n n n n λ 即023)1(32>⋅-+⋅nn n λ ∴>-λn )1(n n 2332⋅⋅- 即>-λn )1(1)23(--n —————— 8分 当n 为偶数时≤--1)23(n 23- ∴23->λ ————— 10分 当n 为奇数时≤--1)23(n 1- ∴1->-λ 即 1<λ 又∵0λ≠∴ 123<<-λ且0λ≠ —————— 12分。
最新广东省湛江一中高二数学上学期期末考试试题 理 (含答案解析)
广东省湛江一中 高二上学期期末考试（数学理）考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地.1.命题“若3a b +≠，则12a b ≠≠或”地逆否命题为（ ）A. 若3a b +=，则12a b ==且B. 若12a b ==或，则3a b +=C. 若12a b ≠≠或，则3a b +≠D. 若12a b ==且，则3a b +=2.抛物线y =42x 地焦点坐标是（ ）A. （1，0）B. (0，1)C. (0，161) D. ()0,1613.已知)5,2,3(-=，)1,,1(-=x ，2=•，则x 地值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 64.“13-<<-m ”是方程11222=+++m y m x 表示双曲线地（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5. 以下四个命题中正确地是 ( ) A ．若1123OP OA OB=+u u u r u u u r u u u r，则P 、A 、B 三点共线;B ．若{,,}a b c r r r 为空间地一个基底，则{,,}a b b c c a +++r r r r r r 构成空间地另一个基底; C ．|()|||||||a b c a b c •=⋅⋅r r r r r r ; D ．ABC ∆为直角三角形地充要条件是AB AC ⋅=u u u r u u u r ．6. 在棱长为1地正方体1111D C B A ABCD -中，M 和N 分别为11B A 和1BB 地中点，那么直线AM 与CN 所成角地余弦值是 （ ）A ．1010B ． 52-C ．53D ．527.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 地一条渐近线与抛物线12+=x y 有公共点，则双曲线地离心率e 地取值范围是（ ） A. [)+∞,5 B. [)+∞,5 C. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,25D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,45 8.若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点地距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线为“倍分曲线”，则下列曲线中是“倍分曲线”地是（ ） A.1151622=+y x B.1242522=+y x C.11522=-y x D. 122=-y x二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.抛物线xy82=上与焦点地距离等于6地点地坐标是 . 10.已知向量),215,,3(),5,3,2(λ=-=b a 且∥，则λ= .11.点)1,4(P 平分双曲线4422=-y x地一条弦，则这条弦所在地直线方程是12.过椭圆22154x y +=地右焦点作一条斜率为2地直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 地面积为______________ 13.已知=(3cos ,3sin ,1)αα，(2cos ,2sin ,1)b ββ=r，则b a-r r 地取值范围是 . 14.给出下列命题：①椭圆12322=+y x 地离心率35=e ，长轴长为32；②抛物线22y x =地准线方程为;81-=x ③双曲线1254922-=-x y 地渐近线方程为xy 75±=；④方程2522=+-x x 地两根可分别作为椭圆和双曲线地离心率.其中所有正确命题地序号是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案
2016-2017高二年级第一学期期末考试数 学 （理科）本试卷共100分．考试时间90分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线01=+-y x 的斜率是 （ ）A ．1B ．1-C ．4π D ．43π 2．方程2240x y x +-=表示的圆的圆心和半径分别为（ ）A ．(2,0)-，2B ．(2,0)-，4C ．(2,0)，2D ．(2,0)，43．若两条直线210ax y +-=与3610x y --=垂直，则a 的值为 （ ）A ．4B ．4-C ．1D ．1-4．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P -关于坐标平面xOy 的对称点为 （ ）A ．(1,2,3)--B ．(1,2,3)---C ．(1,2,3)--D ．(1,2,3)5．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下面说法正确的是（ ）A ．//αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．//m l m n n l ⊥⎫⇒⎬⊥⎭C ．////m l l m ββ⎫⇒⎬⊥⎭D ．//m n m n γγ⎫⇒⊥⎬⊥⎭6．“直线l 的方程为)2(-=x k y ”是“直线l 经过点)0,2(”的 （ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（ ）A ．53B ．103C ．203D ．2538．实数x ，y 满足10,1,x y x y a -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，若2u x y =-的最小值为4-，则实数a 等于（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．6二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．双曲线2214y x -=的渐近线方程为_________．10．点P 是椭圆22143x y +=上的一点，1F 、2F 分别是椭圆的左右焦点，则∆21F PF 的周长是_________． 11．已知命题p ：1x ∀>，2210x x -+>，则p ⌝是_________．12．在空间直角坐标系中，已知点)1,,0(),0,1,2(),2,0,1(a C B A ，若AC AB ⊥，则实数a 的值为_________． 13．已知点P 是圆221x y +=上的动点，Q 是直线:34100l x y +-=上的动点，则||PQ 的最小值为_________．14．如图，在棱长均为2的正三棱柱111C B A ABC -中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底面ABC 内的动点，且//1P A 平面BCM ，⊥PQ 平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为_________．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）已知圆M 过点A ，(1,0)B ，(3,0)C -． （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)的直线l 与圆M 相交于D 、E 两点，且32=DE ，求直线l 的方程．16. （本小题满分10分）已知抛物线2:4C y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，定点(5,0)M . （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求△ABM 的面积；（Ⅱ）若AMB ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，求直线l 的方程．17. （本小题满分12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P ABC -中，D 为PC 的中点，1PA AB ==，PB PC ==．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求BD 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角D AB C --的余弦值．18．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，△12BF F 是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点2F 的直线l ，交椭圆于两点P 、Q ，使得1//PA QF ，如果存在，试求直线l 的方程，如果不存在，请说明理由．高二年级第一学期期末练习参考答案数 学 (理科)阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 2y x =±10. 6 11. 1x ∃>，2210x x -+≤ 12. 1- 13. 114.43三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解：（Ⅰ）设圆M ：220x y Dx Ey F ++++=，则3021009303F D D F E D F F ⎧+==⎧⎪⎪++=⇒=⎨⎨⎪⎪-+==-⎩⎩………………………………………………………………（3分）故圆M ：22230x y x ++-=，即22(1)4x y ++= …………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，(1,0)M -.设N 为DE 中点，则MN l ⊥，1||||2DN EN ==⋅=5分） 此时||1MN ==. …………………………………（6分）当l 的斜率不存在时，:0l x =，此时||1MN =，符合题意 …………（7分）当l 的斜率存在时，设:2l y kx =+，由题意1= ……………………………（8分）解得：34k =， ……………………………（9分） 故直线l 的方程为324y x =+，即3480x y -+=………………………………（10分）综上直线l 的方程为0x =或3480x y -+=16. 解：（Ⅰ）解法1：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =- ……………（1分）2244401y xy y y x ⎧=⇒--=⎨=-⎩………………………………………………（2分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由244(4)0∆=-⨯->故121244y y y y +=⎧⎨⋅=-⎩ ……………………………………………………………（3分）有12||y y -==………………………………………（4分）有121211||4||42||22AMB AMF BMF S S S y y y y ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅-=…………………………（5分）解法2：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =- ……………（1分）2246101y xx x y x ⎧=⇒-+=⎨=-⎩……………………………………………（2分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由244(4)0∆=-⨯->126x x +=，1228AB x x =++= ……………………………………（3分） 点M 到直线AB的距离d ==4分）182ABM S ∆=⨯⨯…………………………………（5分）（Ⅱ）解法1：易得，直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+2244401y xy my x my ⎧=⇒--=⎨=+⎩ ………………………………………………………（6分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由216160m ∆=+>，得121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩………………………………………………………………（7分） 由0MA MB ⋅=，得1212(5)(5)0x x y y --+=， ………………（8分）即1212(4)(4)0my my y y --+=整理得：21212(1)4()160m y y m y y +-++=此时有：2(1)(4)4(4)160m m m +⋅--⋅+=，解得m =9分） 故l 的方程为15x y =+或15x y =-+即550x -=或550x -=………………………………………（10分）解法2：易知直线l x ⊥时不符合题意.可设直线l 的方程为)1(-=x k y .⎩⎨⎧=-=x y x k y 4),1(2，消去y ，可得0)42(2222=++-k x k x k . …………………………（6分） 则0)1(162>+=∆k .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22142k x x +=+，121=x x . …………………………………………（7分）由0MA MB ⋅=，得1212(5)(5)0x x y y --+=，………………………（8分）即：0425)(5212121=-++-x x x x x x ， 即：0425)42(512=-++-k ，解得315±=k . …………（9分） 故l 的方程为0535=--y x 或0535=-+y x .………………………………………（10分）17.解：（Ⅰ）∵ 1PA AB ==，PB =∴ PA AB ⊥ ……………………………………………（1分） ∵ 底面是正三角形 ∴ 1AC AB ==∵ PC =∴ PA AC ⊥ ……………………………………（2分） ∵ AB AC A = ,AB AC ⊂平面ABC ∴ PA ⊥平面ABC ．………………………………………（3分）（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AP 为z 轴，平面ABC 中垂直于AB 的直线为y 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，1(,22C ，(0,0,1)P …………………………………………………………………………………………（4分）所以11()42D ，31()42BD =- ． ………………………………（5分）平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，…………………………………（6分）记BD 与平面ABC 所成的角为θ，则1sin cos ,BD θ=<> n =12……………………………（7分） ∴ 6πθ=．…………………………（8分）（Ⅲ）设平面ABD 的法向量为2(,,)n x y z =，由2n AD ⊥ 得：11042x y z ++=， ……………………………（9分） 由2n AB ⊥得：0x =代入上式得，z y =． ………………………（10分）令2y =，则z =2(0,2,n =． …………………………………（11分）记二面角D AB C --的大小为α，则12cos |cos ,|n n α=<>= ．………（12分）18. 解：（Ⅰ）由题意可得2,1a b c === ……………………………………（2分）所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=，……………………………………（3分）椭圆的离心率12c e a ==.……………………………………………（4分）（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，1(1,0)F -，2(1,0)F ，(2,0)A ，设11(,)P x y ，22(,)Q x y显然直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+，则 ……………………………（5分）222213(1)412431x y my y x my ⎧+=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩………………（6分）整理得：22(34)690m y my ++-=，此时21441440m ∆=+>，故122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩……………………………………（7分） 注意到1111(2,)(1,)AP x y my y =-=- ，12222(1,)(2,)FQ x y my y =+=+…………………………（8分）若1//PA QF ，则1221(1)(2)my y my y -⋅=+⋅，即212y y =- ……………（9分）此时由21212122212222627234612(34)3434m y y y m m y y m m m y y y m m ⎧=-=⎧⎪⎪⎪+⇒⇒=-⎨⎨++=-⎪⎪=-+⎩⎪+⎩， ………………………（10分）故2222729(34)34m m m -=-++，解得254m =，即m =……………（11分）故l的方程为1x y =+或1x y =+，20y -=20y += …………………………………（12分）解法2： 由（Ⅰ）得1(1,0)F -，2(1,0)F ，(2,0)A . 直线l x ⊥时，212221F F AF QF PF ≠=，则1//PA QF 不成立，不符合题意..………………………………（5分）可设直线l 的方程为)1(-=x k y . .……………………………（6分）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134),1(22y x x k y ，消去y ，可得()01248342222=-+-+k x k x k ………………（7分） 则0)1(1442>+=∆k .设11(,)P x y ，22(,)Q x y则3482221+=+k k x x ①，341242221+-=k k x x ② .…………………（8分）),2(11y x -=，),1(221y x F +=. 若1//PA QF ，则F 1//，则0)1)(1()1)(2(1221=-+---x x k x x k .化简得03221=-+x x ③. ………………………（9分）联立①③可得3494221++=k k x ，3494222+-=k k x ， ………………………（10分） 代入②可以解得25±=k . …………………………（11分） 故l20y -=20y +=. ……………（12分）。
广东省湛江市数学高二上学期理数期末考试试卷
广东省湛江市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·定州期末) “ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要必要条件D . 即不充分也不必要条件2. （2分）若在处取得最小值，则（）A .B . 3C .D . 43. （2分） (2015高二上·安徽期末) 曲线+=1.(m<6) 与+=1.(5<m<9)的（）A . 准线相同B . 离心率相同C . 焦点相同D . 焦距相同4. （2分） (2019高三上·北京月考) 在中，，，，则的面积为（）A .B . 4C .D .5. （2分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A . =yB . =yC . =8yD . =16y6. （2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=8，则点P的轨迹是（）A . 椭圆B . 双曲线C . 双曲线的左支D . 双曲线的右支7. （2分）(2017·菏泽模拟) 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2sinC=4sinA，cosB=，则△ABC的面积为（）A . 1B .C . 2D .8. （2分）(2017·上高模拟) 若正实数x，y满足（2xy﹣1）2=（5y+2）•（y﹣2），则的最大值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二下·肇庆期末) 下列四个结论正确的是（）①若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；②命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”；③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；④当α＜0时，幂函数y=xα在区间（0，+∞）上单调递减．A . ①④B . ②③C . ①③D . ②④10. （2分）设是由正数组成的等比数列，公比q=2且则等于（）A .B .C .D .11. （2分）已知点A（0，1，2），B（2，3，4），|AB|=（）A . 2B . 3C .D . 1212. （2分） (2019高二上·浙江期中) 如图，已知矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角的平面角为锐角，记二面角的平面角为，直线EC与平面ABFE所成角为，直线EC与直线FB所成角为，则（）A . ，B . ，C . ，D . ，二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2015高二下·伊宁期中) 若 =（1，1，0）， =（﹣1，0，2），则与 + 同方向的单位向量是________．14. （1分）(2017·赣州模拟) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为________．15. （1分）下列结论中：①若（x，y）在映射f的作用下的象是（x+2y，2x﹣y），则在映射f下，（3，1）的原象为（1，1）；②若函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），则f（x）的图象关于直线x=1对称；③函数y=|3﹣x2|﹣a（a∈R）的零点个数为m，则m的值不可能为1；④函数f（x）=log2（3x2﹣ax+5）在（﹣1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是[﹣8，﹣6]．其中正确结论的序号是________ （请将所有正确结论的序号都填上）16. （2分） (2016高二上·河北期中) 设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积等于________三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2017·晋中模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 = ．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2 ，求△ABC面积的最大值．18. （5分）△ABC的三个内角为A，B，C及其三边a，b，c，且A，B，C成等差数列，（1）若a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形；（2）用分析法证明：．19. （5分） (2018高一下·六安期末) 某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品甲，乙，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品甲（件）产品乙（件）研制成本与搭载费用之和（万元/件）200300计划最大资金额3000元产品重量（千克/件）105最大搭载重量110千克预计收益（万元/件）160120试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？20. （10分） (2016高二下·揭阳期中) 已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26，数列{an}的前n项和Sn ．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn= （n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn ．21. （10分） (2019高三上·上海月考) 如图，在所有棱长都等于2的正三棱柱中，点是的中点，求：（1）异面直线与所成角的大小；（2）直线与平面所成角的大小.22. （10分） (2016高二下·南城期末) 已知椭圆C的左右顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），椭圆上除A、B外的任一点C满足kAC•kBC=﹣．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（4，0）任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM+∠PQN=180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明现由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2016-2017学年广东省高二上学期期末质量检测数学(理)试题Word版含答案
2016-2017学年广东省高二上学期期末质量检测数学（理）试题一、选择题1．命题“”的否定是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】命题“”的否定是“”.故选B.2．若直线经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为（）A. 同号B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】因为直线经过第一、二、三象限，所以，将化成，则，即，.故选B.3．已知直线平面，直线平面，下面有三个命题：①；②；③.则真命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】若直线平面，，则直线平面，又因为直线平面，所以，故①正确；若直线平面，，则或直线平面，则可能平行、相交或异面，故②错误；若直线平面，，则直线平面，又因为直线平面，所以，故③正确；故选C.4．“”是“表示的曲线是双曲线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“表示的曲线是双曲线”的充要条件是“”，即“或”，则“”是“表示的曲线是双曲线”的充分不必要条件.故选A.点睛：处理四种条件（充分条件、必要条件、必要条件、既不充分也不必要条件）的判定时，往往转化为数集间的包含关系，利用“小范围是大范围的充分不必要条件”进行判定.5．若圆关于直线对称，则直线的斜率是（）A. 6B.C.D.【答案】A【解析】将化为，因为圆关于直线对称，所以直线过圆心，则，解得，则直线的斜率是.故选D.6．如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题解析：根据向量的减法可知，因为点在上，且是的中点，所以，,所以，故选B.【考点】向量的线性运算．【方法点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查了共线向量定理与平面向量基本定理及向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，属于中档题.题目给出了空间的一个基底，要求用基向量表示向量，先根据向量减法的三角形法则表示为，再根据共线向量定理和三角形的中线向量表达式表示出,最后用基向量表示出式中各向量即可.7．下列命题中正确的是（）A. 若为真命题，则为真命题；B. 若直线与直线平行，则C. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是或D. 命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”【答案】C【解析】若为真命题，则至少有一个为真命题，则不一定真命题，即选项A错误；若直线与直线平行，则，即，即选项B错误；若命题“”是真命题，则,解得或，即选项C正确；命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，即选项D错误；故选C.8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是由半个圆锥与一个四棱锥组合而成（如图所示），其中圆锥的底面半径为1，高为，母线长为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，取的中点，连接，则该几何体的表面积为 .故选B.9．圆上到直线的距离等于1的点有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】圆的圆心到直线的距离，且圆的半径为3，所以圆上到直线的距离等于1的点有3个.故选C.点睛：处理圆上的点与某条直线间的位置关系或直线与圆的位置关系时，一般先研究该圆的圆心到该直线的距离问题.10．如图，三棱锥中，，，点分别是中点，则异面直线，所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：连结ND，取ND的中点E，连结ME，则ME∥AN，∴∠EMC是异面直线AN，CM所成的角，∵AN=，∴ME==EN，MC=，又∵EN⊥NC，∴，∴cos∠EMC=，∴异面直线AN，CM所成的角的余弦值为．【考点】异面直线所成角11．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，则，又因为以为直径的圆的方程为，所以，解得.故选B.点睛：涉及过抛物线的焦点的弦的长度问题，往往要借助抛物线的定义转化为抛物线上的点到准线的距离，比联立方程利用弦长公式进行求解减少了计算量.12．在棱长为6的正方体中，是中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（）A. 36B.C. 24D.【答案】B【解析】试题分析：因平面，则，同理平面，则，，则，，则，下面研究点在面的轨迹（立体几何平面化），在平面直角坐标系内设，设，因为，所以，化简得：，该圆与的交点纵坐标最大，交点为，三棱锥的底面的面积为18，要使三棱锥体积最大，只需高最大，当在上切时，棱锥的高最大，，.，本题应选,与原答案有出入.【考点】1.直线与平面垂直的性质定理；2.三棱锥的体积；二、填空题13．一个长方体的各顶点均在同一球面上，且同一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为__________．【答案】【解析】设该球的半径为，则，所以此球的表面积为.14．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是__________．【答案】【解析】将化为，两圆方程相减得，即，即直线的方程是.15．是经过双曲线焦点且与实轴垂直的直线，是双曲线的两个顶点，若在上存在一点，使，则双曲线离心率的最大值为__________．【答案】【解析】由题意，设，则，因为在上存在一点，使，所以关于的方程有实数根，即关于的方程有实数根，则，解得，即，即双曲线离心率的最大值为.16．已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题：①；②；③；④与的交点在轴上；⑤与交于原点.其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号）【答案】①②③④⑤【解析】因为在抛物线上，由抛物线的定义，得，又分别为在上的射影，所以，即①正确；取的中点，则，所以，即②正确；由②得平分，所以，又因为，所以，即③正确；取轴，则四边形为矩形，则与的交点在轴上，且与交于原点，即④⑤正确；故填①②③④⑤.点睛：要注意填空题的一些特殊解法的利用，可减少思维量和运算量，如本题中的特殊位置法（取轴）.三、解答题17．设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.（1）若且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）命题是一元二次不等式，解得，即.命题是分数不等式，解得，为真，也就是这两个都是真命题，故取它们的交集得；（2）是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件，即是的真子集，故，即.试题解析：（1）由得,又,所以,当时,1<,即为真时实数的取值范围是1<.为真时等价于,得,即为真时实数的取值范围是.若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件,即,且, 等价于,且,设A=, B=, 则B A;则0<,且所以实数的取值范围是.【考点】一元二次不等式、含有逻辑连接词命题真假性的判断．18．已知圆，直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于两点.（1）当与垂直时，求出点的坐标；（2）当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）先利用与垂直得出直线的斜率和方程，再联立直线与的方程进行求解；（2）设出直线方程，利用直线和圆的弦长公式和圆心到直线的距离公式进行求解.试题解析：（1）由题意，直线的方程为，联立得，所以.（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由，得，解得.故直线的方程为或.点睛：在解决平面解析几何问题时，合理设出直线方程往往是关键的第一步，在设直线方程时要注意该直线是否存在斜率，如本题中斜率不存在时也符合题意.19．如图，直三棱柱中，，为中点，.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先利用平面几何知识证得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；（2）利用线面平行合理转化点到直线的距离，再利用几何体的体积公式进行求解.试题解析：（1）证明：在矩形中，为的中点，且，∴，，∴，∴.又，，∴平面.（2）∵，面，面，∴面，∴.由（1）知面，∴，又，且，∴平面，又，∴，，∴.点睛：在求三棱锥的体积，往往可以合理转化顶点和底面，再作出顶点到底面的垂线，如本题中的.20．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，直线过点，且与交于两点.（1）求曲线的方程；（2）若为中点，求三角形的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义进行求解；（2）利用点差法求出直线的的斜率和直线方程，再联立直线和抛物线方程，利用弦长公式、点到直线的距离公式和三角形的面积公式进行求解.试题解析：（1）设曲线上任意一点，由抛物线定义可知，曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）设，，则，，所以，因为为中点，所以，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，此时直线与抛物线相交于两点.设为与轴交点，则，由消去得，所以，，所以三角形的面积为.21．如图，已知四棱锥中，平面，，且，是边的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值大小．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先利用三角形的中位线和平行四边形及平行公理证明线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，利用空间向量进行求解.试题解析：（1）证明：取中点，连接，，∵是边的中点，∴，且，又∵，∴，又∵，即，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，又面，面，∴面.（2）解：在底面内过点作直线，则，又平面，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，则，，，，设面的一个法向量为，则，即，令，则，∴.同理可求面的一个法向量为，，由图可知，二面角是钝二面角，所以其平面角的余弦值为.22．如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于，.（1）若点在第一象限，且直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，求的值；（3）试问是否为定值？若是，求出该值.【答案】（1）；（2）；（3）36.【解析】试题分析：（1）圆的半径,直线，互相垂直，且和圆相切, 所以，即，又点在椭圆上，适合椭圆的方程，联立方程组，解之求出圆心坐标即可；（2）写出直线的方程，由圆心到直线的距离等于半径，,化简、整理得，又点适合椭圆的方程，代入化简即可;（3）由（2）知,从而可得，将，代入椭圆方程求得，，代入得，并可求得，即可求得.（1）由圆的方程知圆的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，试题解析：即①又点在椭圆上，所以②联立①②，解得，所以，所求圆的方程为．（2）因为直线和都与圆相切，所以，，化简得，因为点在椭圆上，所以，即，所以．（3）方法一（1）当直线、不落在坐标轴上时，设，，由（2）知，所以，故，因为，，在椭圆上，所以，，即，，所以，整理得，所以，所以.方法（二）（1）当直线，不落在坐标轴上时，设，，联立，解得，所以.同理，得，由（2），得.所以.（2）当直线、落在坐标轴上时，显然有.综上：.【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.圆的标准方程；3.直线与圆的位置关系.。