一元二次方程与函数的关系
初中数学一元二次方程与二次函数的关系
一元二次方程与二次函数的关系方程与函数有着密切的联系，我们可以利用方程（组）解决函数问题，也可以利用函数解决方程（组）问题.我们知道，二次函数的一般形式是，而一元二次方程的一般形式是.显然当二次函数中时就能得到一元二次方程，所以一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系.一、知识链接透彻理解数学概念，提升你的数学内涵！1.利用一元二次方程解决二次函数问题：（1）对于二次函数来说，当时，就得一元二次方程，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程的取值与二次函数图像与轴的交点坐标的情况之间的关系：①当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有两个交点；②当时，一元二次方程有两个相等的实数根，抛物线与轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；③当时，一元二次方程没有实数根，抛物线与轴没有交点（抛物线要不全部在轴上方，要不全部在轴下方）.c bx ax y ++=2)0(≠a 02=++c bx ax )0(≠a c bx ax y ++=2)0(≠a 0=y 02=++c bx ax )0(≠a c bx ax y ++=2)0(≠a 0=y 02=++c bx ax )0(≠a x ac b 42-=∆x 042>-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x 042=-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x 042<-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x x x(2)我们还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程有两个不相等的实数根、时，抛物线与轴交于两点A(,0)、B(,0)，此时有，·.此时抛物线与轴两交点的距离为： AB==（公式①）. （3）推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与与直线（当时为一次函数的图像，当时为平行于轴或与轴重合的一条直线）的交点情况.2.利用二次函数解决一元二次方程问题一方面，反过来，我们可以根据抛物线与x 轴的交点情况去判断一元二次方程的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.二、典例精讲参与数学解题过程，品味数学内在魅力！ 例1（福州市中考题）已知二次函数的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是()A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞0 x 02=++c bx ax 1x 2x c bx ax y ++=2x 1x 2x a bx x -=+211x ac x =2x 21x x -221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆=c bx ax y ++=2b kx y +=0≠k 0=k x x b y =c bx ax y ++=202=++c bx ax c bx ax y ++=2分析：a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点情况，抛物线的对称轴由a、b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．本题中，由于抛物线开口方向向下，因此a＜0；抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方，因此c＞0；由于抛物线对称轴在y轴右侧，所以x=－b2a＞0，所以b＞0；由于抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0．a＋b＋c是x＝1时的函数值，而图像上点（1，a＋b＋c）在x轴上方，所以a＋b＋c＞0．答案：D．技巧提升：本题是二次函数图像信息探究问题．解决这类问题就应熟练掌握a、b、c、x＝－b2a、a＋b＋c、b2－4ac等与抛物线的位置特征之间的关系．例2（徐州市中考题）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（）A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位分析：因为二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象与x轴交于点（2008，0）和（2009，0），这两点间的距离为1，而二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象可由二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象向下平移4个单位得到． 答案：B ．技巧提升：本题也可以倒过来想，容易知道抛物线y=(x-2009)(x-2008)+4经过点（2009，4）、（2008，4），这两点的距离围为1，要将这两点平移到x 轴上，应将图像向下平移4个单位．研究抛物线平移问题，一般我们要抓住特征对应点来分析．例3（镇江市中考题）已知实数x ，y 满足x 2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为.分析：可以利用二次函数最值方法来求，由x 2＋3x ＋y －3＝0得，x ＋y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，所以当x ＝－1时，x ＋y 最大值为4；也可以尝试用换元法解决，设，则原方程可化为，因为这个关于必有实数根，所以，解得，所以（即x ＋y ）的最大值为4.答案：4.技巧提升：第一种分析方法，由等式是一个关于x 的二次方程，也是关于y 的一次方程，所以可以联想到把式子转化为“x ＋y ”关于x 的二次函数，利用函数知识求解；第二种分析方法将问题转化为求关于x 的一元二次方程的参数的取k y x =+0322=-++k x x x 0)3(44≥--=∆k 4≤k k k值范围问题来解决，有异曲同工之效．例4（日照市中考题）如图10-2，是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx＋c ＜0的解集是.分析：由于已知了抛物线与x 轴的一交点为A （3，0），且与对称轴x ＝1的距离为2，所以根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的另一交点应在对称轴左侧，且与直线x ＝1的距离也为2，其坐标应为（－1，0）.观察图像可知，当－1＜x ＜3时，抛物线在x 轴下方，所以不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是－1＜x ＜3答案:－1＜x ＜3.技巧提升：不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（或＜0）的解集就是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象在x 轴上（下）方的点所对应的x 的取值范围，因此不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（或＜0）的解集与抛物线与x 轴的交点的横坐标有关，所以解决一般这类问题要先利用一元二次方程求出抛物线与x 轴的交点坐标． 例5（咸宁市中考题）已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．（1）证明；（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值． 分析：本题是二次函数问题，可借助一元二次方程与二次函2y x bx c =+-x m 3m -0m ≠243c b =1x =数的关系来解决．解：（1）证明：法一：依题意，，是一元二次方程的两根． 根据一元二次方程根与系数的关系，得，． ∴，，∴．法二：由题意得，①—②得，因为，所以．代入①得，所以，所以，，所以．法三：由抛物线的轴对称性可知其对称轴为，可得（下同法二）．（2）解：法一：依题意，，∴． 由（1）得． ∴．∴二次函数的最小值为．法二：因为函数图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0），所以由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线， 所以，所以，故抛物线与x 轴的两交点为、，所以抛物线的解析式为，当时，，∴二次函数的最小值为．技巧提升：本题两小题都给出了不同的解法，应注意体会不同解法的异同．一题多解，多中选优，平时解题的思考会带来解题能力的提升．例6（杭州市中考题）定义[]为函数的特征数,m 3m -20x bx c +-=(3)m m b +-=-(3)m m c ⨯-=-2b m =23c m =224312c b m ==⎩⎨⎧=--=-+039022c bm m c bm m 0482=+-bm m 0m ≠m b 2=0222=-+c m m 23m c =2124m c =22123m b =243b c =2)3(2m m b x -+=-=m b 2=12b -=2b =-2233(2)344c b ==⨯-=2223(1)4y x x x =--=--4-x m 3m -m x -=1=-m 1-=m )0,1(-)0,3(32)3)(1(2--=-+=x x x x y 1=x 4321-=--=最小y 4-,,a b c 2y ax bx c =++下面给出特征数为[2m,1-m,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(，)；②当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于；③当m<0时，函数在x>时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④分析：把m ＝－3代入[2m ，1–m,–1–m]，得a ＝－6，b ＝4，c ＝2，函数解析式为y ＝－6x 2+4x+2，易求出其图像顶点为(，)，故①正确；当a=2m 、b=1-m 、c=-1-m 时，△=b 2－4ac ＝(1－m)2－4×2m ×(－1－m)＝(3m+1)2，根据公式①可知函数图象截x 轴所得的线段长度为=，当m ＞0时，=＞，故②正确；∵m ＜0，∴抛物线开口向下.∵抛物线对称轴为x ＝－＝＝，∴在对称轴左侧，即当时，y 随x 的增大而增大，对称轴右侧，即当时，y 随x 的增大而减小.在∵<,所以当x>时，图像有可能一部分在对称轴左侧，一部分在对称轴右侧，故③不正确；对于抛物线31382341313821x x -a ∆=m m 2)13(2+=m m 213+21x x -m m m 2123213+=+322b a 122m m--⨯1144m -m x 4141-<m x 4141->141144m -41y=2mx 2+(1-m)x-1-m 时，当x=1时，y=2m+1－m+(－1－m)＝0，∴当m ≠0时，抛物线一定经过(1，0)这个点，故④正确． 答案：B.技巧提升：本题综合考查了二次函数的各个方面的知识，比如二次函数图像顶点公式、二次函数的增减性、函数图像上的顶点问题、抛物线与x 轴交点之间的距离等.其中第③个问题体现了一元二次方程与二次函数关系的核心知识，应引起重视.例7（2008年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是．分析：这是一个一元二次方程问题，如果直接用一元二次方程的根来列不等式组，需要列5个不等式，也就是：、、、 、，这样将会很麻烦．那么如何解才能比较简单呢？如果我们利用二次函数图像来帮助分析，0522=++ax x 0402>-=∆a 04402>-+-a a 14402<-+-a a 04402>---a a 14402<---a a解法将简单得多．令，如图10-3我们可以画出这个函数的大致图像．根据图像对称轴在y 轴右侧，可知，解得．再根据可得．根据图像特征可知图像上横坐标为1和2的两个点的纵坐标都是正数，所以可得，可解得．这样就能得到a 的取值范围是．答案：．技巧提升：利用一元二次方程解决二次函数问题，这种题型比较多，也容易想到.而反过来，利用二次函数解决一元二次方程问题，这种题型就比较少了，遇到的时候也不容易想到.以后遇到一元二次方程问题，用方程知识不好解决时，可以尝试用用二次函数．例8（潍坊市中考题）已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12x ＋3的图象大致如图10-4，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（）A ．－12 ＜x ＜2B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ．x ＜－2或x ＞32分析：当y 1＜y 2时，在图象中反映的是直线在抛物线的上方，522++=ax x y 04>-a 0<a 0402>-=∆a 102-<a ⎩⎨⎧>+⋅+⨯>+⋅+⨯052220511222a a 213->a 102213-<<-a 102213-<<-a也就是两函数图像两个交点之间的部分，所以我们要求出这两个函数图像的交点．由解得、，因此满足要求的自变量x 的取值范围应该是－2＜x ＜32． 答案：C ．技巧提升：作为选择题，解答本题时，也可以不解方程组．先根据直线在抛物线的上方排除答案B 、D ，再根据两函数图像的右交点更靠近对称轴（y 轴）可排除答案A ．例9（2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数的图象与线段AB 恰有一个交点，则的取值范围是．分析：要注意抛物线与线段AB 恰有一个交点应包含两种情况：⑴抛物线与x 轴只有一个交点，这个交点恰好在线段AB 上．由判别式解得．当时，，不合题意；当时，，符合题意．⑵抛物线与x 轴有两个交点，其中只有一个在线段AB上．设抛物线与x 轴的两个交点为C （）、D （），则．若只有点D 在线段AB 上，则，，显然，不合题意；若只有点C 在线段AB 上，则⎪⎩⎪⎨⎧+-==3212x y x y ⎩⎨⎧=-=4211y x ⎪⎩⎪⎨⎧==492322y x ()233y x a x =+-+a ()233y x a x =+-+()233y x a x =+-+012)3(2=--=∆a 0∆=323a =±323a =+123x x ==-323a =-123x x ==()233y x a x =+-+0,1x )0,(2x 21x x <321=x x 101<<x 212≤≤x 321<x x，．当点D 与点A 、B 都不重合时，函数如图10-5所示，从图像可以看出，图像上横坐标为1的点在x 轴上方，横坐标为2的点在x 轴下方，所以，解得．当当点D 与点A 重合时，由，得，此时，，符合题意；当点D 与点B 都重合时，由，得，此时，，不符合题意．综上所述，的取值范围是≤，或者．答案：≤，或者技巧提升：本题中要注意对不同情况进行分类讨论，既要考虑到一般情况，还要考虑到特殊情况．例10（全国初中数学联合竞赛试题）设是大于2的质数，k 为正整数．若函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．分析：函数图象与x 轴两交点的横坐标就是方程的两根，可考虑利用一元二次方程根与系数的关系来解决．解：由题意知，方程的两根中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得，从而有①211≤≤x 22>x ⎩⎨⎧<+-+>+-+03)3(2403)3(1a a 112a -<<-031)3(12=+⨯-+a 1a =-11=x 32=x 032)3(22=+⨯-+a 12a =-21=x 232=x a 1-12a <-3a =-1-12a <-3a =-p 4)1(2-+++=p k px x y 04)1(2=-+++p k px x 04)1(2=-+++p k px x 21,x x 4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++（1）若，则方程为，它有两个整数根和．（2）若，则.因为为整数，如果中至少有一个为整数，则都是整数.又因为为质数，由①式知或．不妨设，则可设（其中m 为非零整数），则由①式可得，故，即．又，所以，即② 如果m 为正整数，则，，从而，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则，，从而，与②式矛盾.因此，时，方程不可能有整数根． 综上所述，．技巧提升：由于方程两根之和为质数，所以只要有一个根是整数，则另一个根也必然是整数.我们也可以从方程根的1k =0)2(22=-++p px x 2-2p -1k >01>-k 12x x p +=-21,x x 21,x x p 2|1+x p 2|2+x p 2|1+x p 12x mp +=212k x m-+=121(2)(2)k x x mp m-+++=+1214k x x mp m-++=+12x x p +=-14k p mp m--+=+41)1(=-++mk p m (1)(11)36m p +≥+⨯=10k m->1(1)6k m p m-++>(1)0m p +<10k m-<1(1)0k m p m-++<1>k 04)1(2=-+++p k px x 1=k p特征来分析．根据一元二次方程求根公式可知方程的根应为，要使得其根为整数，根的判别式的值必须是完全平方数．由于是质数，因此当的值是完全平方数时，关于的二次三项式必然等于（为非负整数），也就是说应成为关于的一个完全平方式，因此可得其，可解得，（舍去）．三．学力训练检测自己能力，体验成功乐趣！ 1．选择题：（1）（天津市中考题）已知二次函数()的图象如图10-6所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4（图10-6）（图10-7）（图10-8）（2）(百色市中考题)二次函数ｙ＝－ｘ2＋bx ＋ｃ的图象如图10-7所示，下列几个结论：①对称轴为ｘ＝2；②当ｙ≤0时，x ＜0或x ＞4；③函数解析式为y ＝－ｘ(x －４)；④当04)1(2=-+++p k pxx216)1(42++-±-=p k p p x 16)1(42++-p k p p 16)1(42++-p k p p 16)1(42++-p k p 2)(n p ±n 16)1(42++-p k p p 064)1(162=-+=∆k 11=k 32-=k 2y ax bx c =++0a ≠240bac ->0abc >80a c +>930a b c ++<x ≤0时，y 随x 的增大而增大.其中正确的结论有（） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①③④ D ．①③（3）（“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）A ．B ．C ．D ．（4）(2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y ＝－x2＋6x －274的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ） A ．5B ．6 C ．7 D ．82．填空题：（1）（新疆维吾尔自治区中考题）抛物线y ＝-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_______．（2）（玉溪市中考题）如图10-9是二次函数在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①＞0；②++＜0；③2-＜0；④2+8＞4中正确的是（填写序号）．（3）（2006年全国初中数学联合竞赛辽宁卷）函数y =x 2-2006|x |+2008的图象与x 轴交点的横坐标之和等于2y x mx n =++51249173612)0(2≠++=a c bx ax y c a b c a b b a a c__________．(4)（全国初中数学联合竞赛题）二次函数的图象与轴正方向交于A ，B 两点，与轴正方向交于点C ．已知，，则．3.（佛山市中考题）（1）请在坐标系中画出二次函数的大致图象；（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程的根在图上近似的表示出来（描点）； （3）观察图象，直接写出方程的根．（精确到0.1）（图10-10）4.（长沙市中考题）已知：二次函数的图象过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中a>b>0且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点； （3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为、，求的范围．c bx x y ++=2x y AC AB 3=︒=∠30CAO c =xx y 22-=122=-x x 122=-x x22y ax bx =+-1x 2x 12||x x -5.（肇庆市中考题）已知二次函数的图象过点（2，1）．（1）求证：； （2）求的最大值；（3）若二次函数的图象与轴交于点，，，，的面积是，求．6．(2007年全国初中数学联合竞赛试题)设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.7.（2009年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知抛物线与动直线有公共点，，且.（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值. 8．（全国初中数学联合竞赛试题）已知二次函数的图象经过两点P ，Q .（1）如果都是整数，且，求的值. （2）设二次函数的图象与轴的交点为A 、B ，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整12+++=c bx x y P 42--=b c bc x 1(x A )02(x B )0ABP ∆43b n m ,2≠m mt x mt x y 3)3(2--+=x 1d nt x n t x y 2)2(2+-+-=x 2d 21d d ≥t n m ,2y x =c x t y --=)12(),(11y x ),(22y x 3222221-+=+t t x x 2y x bx c =+-(1,)a (2,10)a ,,a b c 8c b a <<,,a b c 2y x bx c =+-x y x 20x bx c +-=数，求△ABC 的面积.第10讲．一元二次方程与二次函数的关系参考答案 1．选择题：（1）D ；（2）C ；（3）C ；（4）C ；2．填空题：（1）－3＜x ＜1；(2)②、④；（3）0；(4)．3.解：（1）如图所示；（2）如图所示，抛物线与直线y=1的两个交点的横坐标就是方程的两根，也就是x 轴上点C 、点D 所表示的数； （3）方程的根为-0.4、 2.4.4.解：（1）设一次函数的表达式为y ＝kx(k 为常数，k ≠0)．∵一次函数图象经过原点和点（1，－b ），∴把点（1，－b ），代入y ＝kx ，得－b ＝k,即k ＝－b ． ∴一次函数的表达式为y ＝－bx ． （2）∵y=ax 2+bx －2过（1，0）即a+b=2 由得①∵△＝19x x y 22-=122=-x x 122=-x x≈1x ≈2x 2(2)2y bxy b x bx =-⎧⎨=-+-⎩22(2)20ax a x +--=224(2)84(1)120a a a -+=-+>∴方程①有两个不相等的实数根，∴方程组有两组不同的解， ∴两函数有两个不同的交点．（3）∵两交点的横坐标x 1、x 2分别是方程①的解 ∴ ∴或由求根公式得出∵a>b>0，a+b=2，∴2>a>1 令函数，∵在1<a<2时y 随a 增大而减小， ∴，∴． 5.解：（1）∵的图象过点（2，1） ∴ ∴（2） 当时，此时， ∴当时，有最大值，最大值为2。
二次函数与一元二次方程的关系
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。 当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y值决定。 当x=-1，y>0,则a-b+c>0 当x=-1，y<0,则a-b+c<0 当x=-1，y=0,则a-b+c=0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＞0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
b 2、＝0 2a
x
3、△=b² -4ac＝0 4、C＝0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个 1 相等的实数根,则m=＿＿＿＿ ,此时抛物线 y=x21 2x+m与x轴有 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=＿＿＿＿ .
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
浅谈二次函数与一元二次方程的联系
浅谈二次函数与一元二次方程的联系摘要：二次函数与一元二次方程的解答方法都需要学生进行独立的分析和总结，才能有效地加深学生对方程的学习和理解。
函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，形式虽然不同，但它们之间有着密切的关系。
探索二次函数的图象的作法和性质的过程，能够利用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数的性质。
通过学生之间的交流互动，进行图象与图象之间的比较，表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系。
一元二次方程与二次函数之间的密切关系还有很多巧妙的用处，更多的地方需要在实践中去慢慢体会，并理解函数的意义,记住函数的几个表达形式，注意区分。
关于一元二次方程的学习任务，并要求学生们独立完成，从而让学生有针对性地进行课程学习，最终提高学生的学习效率和质量。
完善初中数学课程评价标准，从而提高数学课堂的教学质量，老师要根据每一位学生的心理特点、学习能力以及成果进行综合评价，并根据最终的评价结果给予学生适当的鼓励和支持，以增强学生的学习自信心。
关键词：动手实践自主探索合作交流自身思维营造高效一元二次方程与二次函数它们在形式上几乎相同，差别只是一元二次方程的表达式等于0，而二次函数的表达式等于y。
这种形式上的类似使得它们之间的关系格外密切，方程中的很多知识点可以运用在函数中。
函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，形式虽然不同，但它们之间有着密切的关系。
它们在形式上几乎相同，二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
二次函数与一元二次方程的解答方法都需要学生进行独立的分析和总结，才能有效地加深学生对方程的学习和理解。
初中数学课程标准指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。
内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程是高中数学的重要内容之一。
本文将从概念解释、性质讨论以及实际应用等方面来探讨二次函数与一元二次方程的相关知识。
一、二次函数的定义和性质二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中，a决定了抛物线的开口方向及大小，a>0时抛物线开口向上，a<0时抛物线开口向下；b决定了抛物线在x轴的位置，负责平移抛物线；c决定了抛物线与y轴的截距，负责上下平移。
二次函数的图象一定是一个抛物线，还可以根据抛物线的顶点、焦点等性质进行分类和推导。
例如，顶点坐标为（h，k），则对称轴方程为x = h；当a>0时，抛物线的最小值为k，焦点坐标为（h，k+p）；当a<0时，抛物线的最大值为k，焦点坐标为（h，k-p）。
二、一元二次方程的定义和性质一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数且a≠0。
一元二次方程在数学中具有广泛的应用，解一元二次方程的过程就是求解方程的根，即方程等式两边相等的值。
一元二次方程的解可以分为三种情况：①当b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数根；②当b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；③当b^2 - 4ac < 0时，方程无实数根，但有复数根。
三、二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程有着密切的联系。
对于任意给定的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以用x代入函数中，得到一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，即将二次函数转化为一元二次方程。
反之，对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过求解方程的根，得到二次函数的图象的相关信息。
例如，根据二次函数的顶点和焦点的性质，可以通过一元二次方程的解来确定抛物线的开口方向、抛物线与x轴的交点等。
四、二次函数与一元二次方程的应用二次函数与一元二次方程在实际问题中有着广泛的应用。
用函数观点看一元二次方程—知识讲解(基础)
用函数观点看一元二次方程—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；3.经历探索验证二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题． 【要点梳理】要点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y ＝0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式24b ac=-△二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠图象与x 轴的交点坐标根的情况△＞0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于1(,0)x ，2(,0)x 12()x x <两点，且21,242b b acx a-±-=，此时称抛物线与x 轴相交一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=a <△＝0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交切于,02b a ⎛⎫-⎪⎝⎭这一点，此时称抛物线与x 轴相切 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-a <△＜0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴无交点，此时称抛物线与x 轴相离 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在实数范围内无解（或称无实数根）a <要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，，方程没有实根.2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c)．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的个数决定．当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点诠释：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤：1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x 轴交点的横坐标的大致范围；3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y 值．4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y 值所对应的x 值即是一元二次方的近似根．要点诠释： 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.要点三、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式当△＞0时，设抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，则1x 、2x 是一元二次方程2=0ax bx c ++的两个根．由根与系数的关系得12b x x a +=-，12c x x a=． ∴ 22121||||()AB x x x x =-=-21212()4x x x x =+-24⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭b c a a 224b ac a -=24||b ac a -= 即 ||||AB a =△（△＞0）要点四、抛物线与不等式的关系二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)与一元二次不等式20ax bx c ++>(a ≠0)及20ax bx c ++<(a ≠0)之间的关系如下12()x x <：判别式 0a >抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点不等式20ax bx c ++>的解集不等式20ax bx c ++<的解集△＞01x x <或2x x >12x x x <<△＝01x x ≠（或2x x ≠）无解△＜0全体实数 无解注：a ＜0的情况请同学们自己完成． 要点诠释：抛物线2y ax bx c =++在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++>的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++<的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．【典型例题】类型一、二次函数图象与坐标轴交点1．已知二次函数y=(m-2)x 2+2mx+m+1，其中m 为常数，且满足-1<m<2，试判断此抛物线的开口方向，与x 轴有无交点，与y 轴的交点在x 轴上方还是在x 轴下方. 【答案与解析】∵-1<m<2.∴m-2<0，抛物线开口向下，又m+1>0，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方.Δ=4m 2-4(m-2)(m+1)=4m 2-4(m 2-m-2) =4m+8=4(m+1)+4>0.∴抛物线与x 轴有两个不同的交点.【总结升华】此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x 轴有两个不同交点(用抛物线与y 轴的交点C在x 轴上方，开口向下，必与x 轴有两个不同交点).举一反三：【高清课程名称：用函数观点看一元二次方程高清ID 号： 356568 关联的位置名称（播放点名称）：例3-4】【变式】二次函数y=mx 2+(2m-1)x+m+1的图象总在x 轴的上方，求m 的取值范围。
一元二次函数与一元二次方程间的关系
前 言一元二次函数是初中数学的重要内容，是初中过渡到高中的衔接点，则它在高中数学中也具有一定地位。
那如何将知识之间的联系与认识上的转变结合起来呢？在学生理解一元二次函数与一元二次方程的联系基础上，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际生活中的一些问题，进一步培养学生综合解题的能力;初步了解运用二分法求一元二次函数与x 轴交点的近似值思想；认识一个新的自变量取值范围,复数域;培养读者自主学习能力和创新能力。
一 一元二次函数与一元二次方程一元二次函数是初中数学的重要内容 ,是初中、高中数学知识的衔接点,是中考中数学的重点考察内容之一,要全面掌握一元二次函数的基础知识和基本性质,并能分析和解决有关一元二次函数的综合问题,合理利用一元二次函数与一元二次方程的联系是十分必要的[1]。
首先，从其形式上来看：一元二次函数()02≠++=a c bx ax y 与一元二次方程()002≠++=a c bx ax (其中a 、b 、c 为常数):① 它们都是关于x 的二次式，从上面我们可以看出，0=y 时，便是一个一元二次方 程。
所以，我们可以认为一元二次方程是一元二次函数的特殊形式,这是用函数的观点看一元二次方程。
② 条件上，都是在保证0≠a 的情况下，去认识一元二次函数和一元二次方程。
如果 0=a 时,再谈便无意义。
③ 从其表达式上可知道，无论是一元二次函数y 的值，还是一元二次方程的解x 应该都与系数a 、b 、c 有关。
其次，我们还可以从其内涵上来看：① 一元二次方程是求02=++c bx ax 时x 的某确定值，即方程的根。
实质是用a 、b 、 c 来表示x ,如将x 反代入表达式，则c bx ax ++2值为0.② 一元二次函数c bx ax y ++=2是研究变量y 随自变量x 的变化情况，反应的是y 的变化规律。
当x 变化时，y 也随着x 以c bx ax ++2变化。
而当0=y 时，求出方程02=++c bx ax 的两根1x 、2x 。
课件：二次函数与一元二次方程之间的关系
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
知1－讲
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t －5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得 到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解， 则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则， 说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 抛物线与x轴的交点个数之间的关系
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
知2－练
1 抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0
＝0的解是( )
A．无解
B．x＝1
C．x＝－4
一元二次不等式、方程和函数的关系
一元二次函数、方程和不等式一、定义1、等式的定义等式是数学中表示两个量或两个表达式之间相等关系的式子。
它由等号（=）连接，等号两边的数值或表达式在特定条件下是相等的。
换句话说，如果两个量或两个表达式用等号连接，那么这两个量或表达式就构成了等式。
2、不等式的定义不等式是数学中表示两个量或两个表达式之间大小关系的式子。
它不使用等号（=）连接，而是使用大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）或不等号（≠）这样的关系符号来连接两边的数值或表达式。
二、性质1、等式的性质：性质1：如果a=b ，那么b=a性质2：如果a=b ，b=c ，那么a=c性质3：如果a=b ，那么a±c=b±c性质4：如果a=b ，那么ac=bc 。
性质5：如果a=b ，c ≠0，那么c b c a =2、不等式的性质：性质1：如果a ＞b ，那么b ＜a;如果b ＜a ，那么a ＞b ．即：a ＞b ⇔b ＜a 。
性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c 。
即：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．性质3：如果a ＞b ，那么cb c a ++＞性质4：如果a ＞b ，c>0，那么ac ＞bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc性质5：如果d c b a ＞，＞，那么db c a ++＞性质6：如果0d c 0b a ＞＞，＞＞，那么bdac >性质7：如果a ＞b ＞0，那么），（＞2n n b a nn ≥∈N三、基本不等式对于∀a ＞0，b ＞0，ab 2b a ≥+变形为2b a ab +≤①当且仅当a=b 时，等号成立．通常我们称不等式①为基本不等式。
其中2b a +叫做正数a ，b 的算术平方根，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、用分析法证明基本不等式分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止要证明2b a ab +≤，只要证明b a ab 2+≤，要证明b a ab 2+≤，只要证明0b a ab 2≤--，要证明0b a ab 2≤--，只要证明0b a 2≤--）（，要证明0b a 2≤--）（，只要证明0b a 2≥-）（，很显然，平方恒大于等于0，0b a 2≥-）（成立，当且仅当a=b 时，0b a 2≥-）（中的等号成立。
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由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
2.理解了二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解了何时方程有两个不等的实根.两个相等的实根和没有实根.
Ⅴ.课后作业
习题2.9
板书设计
§2.8.1二次函数与一元二次方程(一)
一、1.例题讲解(投影片§2.8.1A)
2.议一议(投影片§2.8.1B)
3.想一想
二、课堂练习
随堂练习
(二)能力训练要求
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.
2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.
3.通过学生共同观察和讨论,培养大家的合作交流意识.
(三)情感与价值观要求
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
2.具有初步的创新精神和实践能力.
教学重点
1.体会方程与函数之间的联系.
2.理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.
教学难点
1.探索方程与函数之间的联系的过程.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
(1)h与t的关系式是什么?
(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
[师]请大家先发表自己的看法,然后再解答.
[生](1)h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40m/s,小球从地面被抛起,所以h0=0.把v0,h0代入上式即可求出h与t的关系式.
(2)小球落地时h为0,所以只要令h=-5t2+v0t+h.中的h为0,求出t即可.
还可以观察图象得到.
[师]很好.能写出步骤吗?
[生]解:(1)∵h=-5t2+v0t+h0,
当v0=40,h0=0时,
h=-5t2+40t.
(2)从图象上看可知t=8时,小球落地或者令h=0,得:
-5t2+40t=0,
即t2-8t=0.
∴t(t-8)=0.
∴t=0或t=8.
t=0时是小球没抛时的时间,t=8是小球落地时的时间.
三、课时小结
四、课后作业
思考、探索、交流
把4根长度均为100m的铁丝分别围成正方形、长方形、正三角形和圆,哪个的面积最大?为什么?
解:(1)设长方形的一边长为x m,另一边长为(50-x)m,则
S长方形=x(50-x)=-x2+50x=-(x2-50x+625)+625=-(x-25)2+625.
[师]还请大家先讨论后解答.
[生](1)二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.
(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.
(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根0,-2;
[师]大家总结得非常棒.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
三、想一想
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道的?
教学方法
讨论探索法.
教具准备
投影片二张
第一张:(记作§2.8.1A)
第二张:(记作§2.8.1B)
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.
次函数与一元二次历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.
二、议一议
投影片:(§2.8.1B)
二次函数①y=x2+2x,
②y=x2-2x+1,
③y=x2-2x+2的图象如下图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点?
(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
[师]请大家讨论解决.
[生]在式子h=-5t2+v0t+h0中,当h0=0,v0=40m/s,h=60m时,有
-5t2+40t=60,
t2-8t+12=0,
∴t=2或t=6.
因此当小球离开地面2秒和6秒时,高度都是60m.
Ⅲ.课堂练习
随堂练习(P67)
Ⅳ.课时小结
本节课学了如下内容:
1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系.
现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.
Ⅱ.讲授新课
一、例题讲解
投影片:(§2.8.1A)
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示,那么