关系代数
关系代数
第二章关系代数教学目的：本章实际上研究的是关系的运算。
学习目的：关系运算是设计关系数据库操作语言的基础，因为其中的每一个询问往往表示成一个关系运算表达式，在我们的课程中，数据及联系都是用关系表示的，所以实现数据间的联系也可以用关系运算来完成。
通过本章学习，应重点掌握：(1)关系数据库的基本概念；(2)如何用关系代数表达式来表达实际查询问题；(3)如何用元组演算表达式来表达实际查询问题；(4)如何用域演算表达式来表达实际查询问题；(5)如何将关系代数表达式转换为元组演算表达式或转换为域演算表达式。
了解和掌握关系数据结构中涉及到的域、笛卡儿积、关系模式等有关内容的含义；掌握关系的实体完整性和参照完整性的定义；掌握关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学重点：关系的实体完整性和参照完整性的定义；关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学难点：关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学方法：实例法教学内容：如下：关系模型关系模型是一种简单的二维表格结构，每个二维表称做一个关系，一个二维表的表头，即所有列的标题称为一个元组，每一列数据称为一个属性，列标题称估属性名。
同一个关系中不允许出现重复元组和相同属性名的属性。
1．关系模型组成关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关系完整性约束三部分组成。
关系操作分为两大部分如图所示。
2．关系操作的特点关系操作的特点是操作对象和操作结果都是集合。
而非关系数据模型的数据操作方式则为一次一个记录的方式。
关系数据语言分为三类： (1)关系代数语言：如ISBL ；(2)关系演算语言：分为元组关系演算语言(如Alpha ，Quel)、域关系演算语言(如QBE)； (3)具有关系代数和关系演算双重特点的语言：如SQL 。
3．关系数据结构及其形式化定义 （1）域定义 域是一组具有相同数据类型的值的集合。
关系代数分类
关系代数分类引言：关系代数是一种用于描述和操作关系数据库中数据的形式化语言。
它主要包括关系的基本运算、集合运算和关系的扩展运算。
本文将对关系代数的分类进行详细介绍。
一、关系的基本运算1. 选择运算：选择运算是根据给定的条件从关系中选取满足条件的元组。
它使用谓词逻辑来描述选择条件，常用的符号是σ。
例如，从一个学生关系中选择年龄大于20岁的学生，可以表示为σ(年龄>20)(学生)。
2. 投影运算：投影运算是从给定关系中选择指定的属性形成一个新的关系。
它使用集合运算来描述投影条件，常用的符号是π。
例如，从一个学生关系中选择仅包含学生姓名和年龄的新关系，可以表示为π(姓名, 年龄)(学生)。
3. 连接运算：连接运算是将两个关系按照指定的条件进行连接形成一个新的关系。
它使用集合运算和谓词逻辑来描述连接条件，常用的符号是⨝。
例如，从一个学生关系和一个课程关系中连接出选修了某门课程的学生信息，可以表示为学生⨝(学生ID=选课表中的学生ID)选课表。
4. 除运算：除运算是从一个关系中删除满足指定条件的元组，形成一个新的关系。
它使用谓词逻辑来描述除条件，常用的符号是÷。
示为学生÷(学生ID=选课表中的学生ID)选课表。
二、集合运算1. 并运算：并运算是将两个关系的元组合并在一起形成一个新的关系。
它使用集合运算来描述合并条件，常用的符号是∪。
例如，将一个学生关系和一个教师关系合并在一起，可以表示为学生∪教师。
2. 交运算：交运算是从两个关系中选取共有的元组形成一个新的关系。
它使用集合运算来描述共有条件，常用的符号是∩。
例如，从一个学生关系和一个选课表关系中选取同时存在的学生信息，可以表示为学生∩选课表。
3. 差运算：差运算是从一个关系中删除与另一个关系共有的元组，形成一个新的关系。
它使用集合运算来描述差条件，常用的符号是－。
例如，从一个学生关系中删除已经选修了某门课程的学生信息，可以表示为学生－选课表。
数据库关系代数运算例题
数据库关系代数运算例题摘要：1.关系代数简介2.数据库关系代数运算例题详解a.并运算b.交运算c.差运算d.笛卡尔积运算e.投影运算f.选择运算g.连接运算3.总结与展望正文：一、关系代数简介关系代数是一种对关系数据库进行操作的数学理论。
它利用基本的集合运算和关系运算对关系数据库中的数据进行查询、插入、更新和删除等操作。
关系代数的基本运算包括并、交、差、笛卡尔积、投影、选择和连接等。
二、数据库关系代数运算例题详解1.并运算例题1：给定关系R和S，求R并S的结果。
解：设R={1, 2, 3, 4}, S={3, 4, 5, 6}，则R并S={1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2.交运算例题2：给定关系R和S，求R交S的结果。
解：设R={1, 2, 3, 4}, S={3, 4, 5, 6}，则R交S={3, 4}。
3.差运算例题3：给定关系R和S，求R差S的结果。
解：设R={1, 2, 3, 4}, S={3, 4, 5, 6}，则R差S={1, 2}。
4.笛卡尔积运算例题4：给定关系R和S，求R与S的笛卡尔积。
解：设R={1, 2}, S={a, b}，则R与S的笛卡尔积为{（1, a），（1, b），（2, a），（2, b）}。
5.投影运算例题5：给定关系T，求T中属性A的投影。
解：设T={（1, 2, 3），（2, 3, 4），（3, 4, 5）}，则T中属性A的投影为{（1，3），（2，3），（3，5）}。
6.选择运算例题6：给定关系T，求满足条件“属性B大于2”的选择结果。
解：设T={（1, 2, 3），（2, 3, 4），（3, 4, 5）}，则满足条件“属性B大于2”的选择结果为{（2，3，4），（3，4，5）}。
7.连接运算例题7：给定关系R和S，求R与S的连接结果。
解：设R={（1, 2），（3, 4）}，S={（2, 3），（4, 5）}，则R与S的连接结果为{（1，2，3），（3，4，5）}。
第三章-关系代数与关系运算
第三章关系代数与关系运算关系数据语言有三类：1．关系代数语言2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言）3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言如SQL一．关系代数关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。
用对关系的运算来表达查询。
运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果运算三要素：运算符、运算对象、运算结果关系代数的运算对象和结果都是：关系关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩）传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠逻辑运算符：￢∧∨用来辅助专门的关系运算符二．传统的集合运算符传统集合运算符是二目运算符设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域1．并（Union）记作：RUS={t|t∈R∨t∈S}结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。
例：（a）（b）2.差关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。
如图E3.交关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }结果仍是n目，由即属于R又属于S的所有元组组成。
如图D 可以用差来表示R∩S=R-(R-S)4．广义笛卡尔积两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。
元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。
若R有k1个元组，S有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作R×S = { t r t s | t r∈R∧t s∈S } 结果是m+n目如图例总结：集合运算符主要研究的是元组，即对表中的行进行研究、操作。
第3章 关系代数
关系代数
第3章 关系代数 章
2.1 关系代数概述 2.2 传统的集合运算 2.3 专门的关系运算
第2章
关系代数
2.1 关系代数概述
关系操作采用集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合。 这种操作方式也称为一次一集合的方式 。 关系模型中常用的关系操作 关系操作包括： 关系操作 选择、投影、连接、 增加、 选择、投影、连接、除、并、交、差等查询操作和增加、删除、 增加 删除、 修改等。 修改 关系数据语言可以分为三类： 关系数据语言可以分为三类：
第2章
关系代数
三、连接（Join） 连接（ ） 连接也称为θ连接。 连接也称为 连接。它是从两个关系的笛卡尔积中 连接 选取属性间满足一定条件的元组。记作： 选取属性间满足一定条件的元组。记作：
其中A和 分别为 分别为R和 上度数相等且可比的属性组 上度数相等且可比的属性组。 其中 和B分别为 和S上度数相等且可比的属性组。 θ是比较运算符。连接运算从 和S的笛卡尔积 ×S中选 是比较运算符。 的笛卡尔积R× 中选 是比较运算符 连接运算从R和 的笛卡尔积 关系） 属性组上的值与（ 关系 关系） 取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组 关系 属性组上的值与 属性组 上值满足比较关系θ的元组 的元组。 上值满足比较关系 的元组。 连接运算中有两种最为重要也最为常用的连接，一 种是等值连接（equi-join）， 等值连接（ ），另一种是自然连接 自然连接 等值连接 ）， （Natural join）。 ）。
tr ts表示由两元组tr和ts前后有序连接而成的一个元 组。 任取元组tr和ts,当且仅当tr属于R且ts属于S时,tr和ts的 有序连接即为R×S的一个元组。
第2章
关系代数
《关系代数》课件
数据整合
03
关系代数可以用于处理多表之间的数据整合，通过连接操作将
不同表中的相关数据进行整合。
关系数据库查询语言SQL与关系代数
SQL与关系代数的关联
关系代数是SQL查询语句的底层运算模型，许多SQL查询语句可以 通过关系代数进行解释和优化。
SQL查询的转换
将复杂的SQL查询语句转换为关系代数形式有助于分析和优化查询 性能。
吸收律
关系代数中的两个运算满足吸收 律，即一个运算与另一个运算的 结合结果等于它们与第三个运算 的结合结果的组合。
单位元
关系代数中存在一个特殊的元素 ，称为单位元，它与任何元素的 运算结果都等于该元素本身。
关系代数的等价关系
等价关系
在关系代数中，如果两个元素经过一 系列的有限次变换可以相互转换，则 它们是等价的。
数据整合与集成
关系代数在大数据处理中可以发挥重要作用，通过整合不同来源的 数据，实现数据的集成和统一管理。
高效查询处理
关系代数能够提供高效的查询处理能力，支持大规模数据的快速查 询和分析。
数据挖掘与知识发现
关系代数可以用于数据挖掘和知识发现，通过关联规则挖掘、聚类分 析等手段，发现数据之间的潜在联系和规律。
关联规则学习
通过关系代数的投影和选择操作，可以快速发现数据集中的关联规则，用于市场篮子分 析、推荐系统等。
聚类分析
关系代数中的分组和除法操作有助于对数据进行聚类分析，将相似的数据点归为一组， 用于分类和识别。
关系代数在信息检索中的应用
信息筛选与提取
关系代数能够快速提取出满足特定条件的信 息，如关键词匹配、时间序列分析等，提高 信息检索的效率和准确性。
关系代数
目录
24 关系代数
2.4 关系代数--------------------------------------------------------------------- 关系代数是一组施加于关系上的高级运算，每个运算都以一个或多个关系作为它的运算对象，并生成另一个关系作为该运算的结果。
由于它的运算直接施加于关系之上而且其运算结果也是关系，所以也可以说它是对关系的操作；从数据操作的观点来看，也可以说关系代数是一种查询语言。
---------------------------------------------------------------------关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式，它是用对关系的运算来表达查询的。
任何一种运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。
所以运算对象、运算符、运算结果是运算的三大要素。
关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。
关系代数用到的运算符包括四类:集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符，如表2·4所示。
关系代数的运算按运算符的不同可分为传统的集合运算和专门的关系运算两类。
其中传统的集合运算将关系看成元组的集合，其运算是从关系的"水平"方向即行的角度来进行。
而专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列。
比较运算符和逻辑运算符是用来辅助专门的关系运算符进行操作的。
2.4.1 传统的集合运算传统的集合运算是二目运算，包括并、差、交、广义笛卡尔积四种运算。
设关系R和关系S具有相同的目n(即两个关系都有n个属性)，且相应的属性取自同一个域，则可以定义并、差、交运算如下:1.并 (Union)关系R与关系S的并记作:R ∪ S = {t|t∈R ∨ t∈S}其结果仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成。
(注:等式右边大括号中的t是一个元组变量,表示结果集合由元组t构成。
竖线“|”右边是对t约束条件,或者说是对t的解释。
数据库关系代数表达式学习
数据库关系代数表达式学习关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础一、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。
五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列) 注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列二、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。
这种表达式的运算结果仍然是一个关系。
可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。
三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE CNO='C2'------------------------------------π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND O='C2'------------------------------------π SNO,SNAME (σ CNO='C2' (S SC))此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。
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[( ] X1θY1 [ )][φ [( ] X2θY2 [ )]]…
θ：比较运算符（＞，≥，＜，≤，＝或<>） X的1序，号Y1等来代：替属；性名、常量、简单函数；属性名也可以用它 φ：逻辑运算符（∧或∨） [ ]：表示任选项 …：表示上述格式可以重复下去
| tr R∧ts S∧tr[A]θts[B] }
A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组
θ：比较运算符
连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选 取（R关系）在A属性组上的值与（S关系） 在B属性组上值满足比较关系的元组。
连接(续)
3）两类常用连接运算
等值连接（equijoin）
π σ Sno,Sname（ Cno='2'（SC））
＝｛ 95001，95002｝
综合举例(续)
[例 3] 查询至少选修了一门其直接先行课为5号课程 的课程的学生姓名。
πSname(σCpno='5'(Course
或
SC Student))
πSname(σCpno='5'(Course)
或
SC πSno，Sname(Student))
具有相同的目n
相应的属性取自同一个域
R∩S
仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组
成
R∩S = { t|t R∧t S } R∩S = R –(R-S）
ABC R a1 b1 c1
a1 b2 c2 a2 b2 c1
ABC S a1 b2 c2
a1 b3 c2 a2 b2 c1
运算符 含义
运算符 含义
专门的 关系
运算符
σ 选择 逻辑运 π 投影 算符
连接
÷除
非 ∧与 ∨或
4．关系代数运算的分类
传统的集合运算
并、差、交、广义笛卡尔积
专门的关系运算
选择、投影、连接、除
5．表示记号
R，tR，t[Ai]
设关系模式为R(A1，A2，…，An) 它的一个关系设为R。tR表示t是R的一个元组 t [Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量
关系数据库简介
系统而严格地提出关系模型的是美国IBM 公司的E.F.Codd
1970年提出关系数据模型
E.F.Codd, “A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks”, 《Communication of the ACM》,1970
b1
5
a1
b2
6
a2
b3
8
a2
b4
12
R
BE
b1
3
b2
7
b3 10
b3
2
b5
2
S
连接(续)
R C＜E S
A R.B C S.B E
a1
b1
5
b2
7
a1
b1
5
b3 10
a1
b2
6
b2
7
a1
b2
6
b3 10
a2
b3
8
b3 10
连接(续)
等值连接 R S R.B=S.B
A R.B C S.B E
a1
b1
π
但投影之后不仅取消了原关系中的某些列， 而且还可能取消某些元组（避免重复行）
投影（续）
3) 举例 [例3] 查询学生的姓名和所在系
即求Student关系上学生姓名和所在系两个 属性上的投影 πSname，Sdept(Student) 或 π2，5(Student)
结果：
投影（续）
Sname Sdept
IS MA IS
2. 投影（Projection）
1）投影运算符的含义
从R中选择出若干属性列组成新的关系 πA(R) = { t[A] | t R }
A：R中的属性列
π3,1(R)=[t|t=<t3,t1>∧<t1,t2,t3>∈R]
2. 投影（Projection）
2）投影操作主要是从列的角度进行运算源自李勇CS刘晨
IS
王敏 MA
张立
IS
投影（续）
[例4] 查询学生关系Student中都有哪些系 πSdept(Student)
结果：
Sdept CS IS MA
3. 连接（Join）
1）连接也称为θ连接
2）连接运算的含义
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一 定条件的元组
R AθB S = {tr ts
仓库号
WH2 WH1 WH2 WH3 WH1
职工号
E1 E3 E4 E6 E7
工资
1220 1210 1250 1230 1250
仓库号
WH2 WH1 WH2 WH3 WH1
城市
上海 北京 上海 广州 北京
面积
500 370 500 200 370
职工号
E1 E3 E4 E6 E7
工资
1220 1210 1250 1230 1250
5
b1
3
a1
b2
6
b2
7
a2
b3
8
b3
10
a2
b3
8
b3
2
连接(续)
自然连接 R S
ABCE
a1
b1
5
3
a1
b2
6
7
a2
b3
8
10
a2
b3
8
2
4.综合举例
[例 1] 查询选修了2号课程的学生的学号。
πSno（σCno='2'（SC））
＝｛ 95001，95002｝
[例 2] 查询选修了2号课程的学生的学号和姓名。
c
bdba f
b
af jk l
c
bd b g a
c
bdba f
c
bdgh i
c
bd j k l
1.5.3 专门的关系运算
选择 投影 连接 除
1. 选择（Selection）
1) 选择又称为限制（Restriction） 2) 选择运算符的含义
在关系R中选择满足给定条件的诸元组 σF(R) = {t|tR∧F(t)= '真'}
什么是等值连接
θ为“＝”的连接运算称为等值连接
等值连接的含义
从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性
值相等的那些元组，即等值连接为：
R A=BS = { tr ts ts[B] }
| tr R∧ts S∧tr[A] =
连接(续)
自然连接（Natural join）
什么是自然连接 自然连接是一种特殊的等值连接 两个关系中进行比较的分量必须是相同 的属性组 在结果中把重复的属性列去掉
πSname (πSno (σCpno='5' (Course) SC)
πSno，Sname (Student))
投影运算举例：
订购单关系
选取职工号和供应商 号两列构成新的关系
π职工号，供应商号(订购单)
选择和投影运算举例：
从订购单关系中， 选取出职工号为E3的 所经手的订购单号和 与之相关的供应商号。
19
所在系 Sdept
CS Student
IS
MA
IS
(a)
选择（续）
课程号 Cno 1 2 3 4 5 6 7
课程名 Cname 数据库
数学 信息系统 操作系统 数据结构 数据处理 PASCAL语言
先行课 Cpno
5
1 6 7
6
学分 Ccredit
4 2 4 3 4 2 4
Course
(b)
选择（续）
Sdept
95002 95004
刘晨 张立
女
19
IS
男
19
IS
选择（续）
[例2] 查询年龄小于20岁的学生
σSage < 20(Student) 或 σ4 < 20(Student)
结果：
Sno Sname Ssex
Sage
95002 刘晨
女
19
95003 王敏
女
18
95004 张立
男
19
Sdept
关系代数语句为： R2 = R1 （职工）
R3 工资 （R2）
查询过程示意
自然连接运算
选择运算
投影 运算
注意
自然连接和等值连接很相象，但它 们不同，自然连接要去掉重复的属性， 而等值连接却不需要去掉重复的属性。
等值连接特征 ① 两个关系，不一定有公共属性 ② 为‘=’时，称为等值连接 ③ 不去掉重复属性
ABC a1 b2 c2
R ∩ S a2 b2 c1
4. 广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）
R
n目关系，k1个元组
S
m目关系，k2个元组
R×S
列：（n+m）列的元组的集合
元组的前n列是关系R的一个元组 后m列是关系S的一个元组
行：k1×k2个元组
综合运算实例 仓库
仓库号 城市 面积
WH1
北京
370
WH2
上海
500
WH3
广州
200
WH5
合肥
130
仓库号
WH2 WH1 WH2 WH3 WH1