关系运算理论
数据库关系运算理论(1)
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基本表
查询表
视图
10
(4)关系的规范化性质
列是同质的， ①列是同质的，即每一列中的分量是同一类型的数 来自同一个域。 据，来自同一个域。 不同的列可出自同一个域， ②不同的列可出自同一个域，称其中的每一列为一 个属性， 个属性，不同的属性要给予不同的属性名 ③列的顺序无所谓，即列的顺序可以任意交换。 列的顺序无所谓，即列的顺序可以任意交换。 任意两个元组不能完全相同。 ④任意两个元组不能完全相同。 行的顺序无所谓，即行的顺序可以任意交换。 ⑤行的顺序无所谓，即行的顺序可以任意交换。 分量必须取原子值， ⑥分量必须取原子值，即每个分量必须是不可再分 的数据项。 的数据项。
2)笛卡尔积：给定一组域D 2)笛卡尔积：给定一组域D1，D2，…Dn，这些域中 笛卡尔积 D 可以有相同的。笛卡尔积表示为： 可以有相同的。笛卡尔积表示为： D1╳D2 ╳ … Dn={(d1,d2,…dn)|di∈Di,i=1,2 …n} d n} 其中每一个元素(d 其中每一个元素(d1,d2,…dn)叫做一个n元组， 元素 d 叫做一个n元组， 简称为元组 元素中的每一个值d 叫做一个分量 元组。 分量。 简称为元组。元素中的每一个值di叫做一个分量。
一张二维表。 （1）数据结构：一张二维表。现实世界的实体 以及实体间的联系均用关系（二维表）表示。 以及实体间的联系均用关系（二维表）表示。 关系操作包括 操作。 （2）关系操作包括：查询和更新操作。 关系操作包括：查询和更新操作 查询操作包括：选择、投影、连接、 查询操作包括：选择、投影、连接、 操作。 除、并、交、差等操作。 更新操作包括：增加、删除、修改操作。 更新操作包括：增加、删除、修改操作。 操作 特点： 对象和 都是集合 关系操作的特点 操作对象 结果都是 关系操作的特点：操作对象和结果都是集合
数据库原理总结
第一章数据库概论1.人工管理阶段,文件系统阶段,数据库阶段,高级数据库阶段(对象数据库技术,分布式数据库系统,开放数据库互连技术,xml数据库技术,现代信息集成技术)2.数据描述:概念设计中:实体,实体集,属性,实体标识符;逻辑设计中:字段,记录,文件,关键码;物理设计中:位,字节,字,块,桶,卷;3.概念模型,逻辑模型(层次,网状,关系,对象),外部模型,内部模型;4.三层模式(外模式,逻辑模式,内模式),两级映像(外模式/逻辑模式映像，逻辑模式/内模式映像)5.数据库系统：数据库，硬件，软件，数据库管理员第二章关系模型和关系运算理论1.超键：能唯一标识元组的属性或属性集。
候选键：不含有多余属性的超键主键：用户选作元祖标识的候选键。
外键：是其他模式的主键。
实体完整性规则，参照完整性规则，用户定义的完整性规则关系模式的三层体系结构：关系模式，子模式，存储模式2.关系代数的5个基本操作：并，差，笛卡尔积，投影，选择；关系代数的4个组合操作：交，连接，自然连接，除法。
关系代数的7个扩充操作：改名，广义投影，赋值，外连接，外部并，半连接，聚集操作3.关系代数表达式的启发式优化算法：尽可能早的执行选择操作；尽可能早的执行投影操作；避免直接做笛卡尔积第三章关系数据库语言SQL1.SQL的组成：数据定义语言，数据操纵语言，嵌入式，数据控制语言2.数据定义：数据类型ok，数据库，数据表，索引的创建等ok。
3.数据查询，数据更新ok。
4，视图，嵌入式，动态SQL语句，存储过程。
第四章关系数据库的规范化设计1.定义1：函数依赖：设有关系模式R（U），U为属性集，x、y为U的子集，函数依赖（FD）是形为X→Y的一个命题，只要r是R的当前关系，对r中任意两个元组t和s,都有t[X]=s[X]蕴涵t[Y]=s[Y],那么称FDX→Y在关系模式R(U)中成立。
定义2：如果X→Y和Y→X同时成立，则可记为X←→Y。
定义3：设F是在关系模式R上成立的函数依赖的集合，X→Y 是一个函数依赖。
三大关系运算
三大关系运算三大关系运算是指集合论中的交、并、差三种基本操作。
这三种关系运算在数学中广泛应用，并在实际生活中也有很多应用场景。
我们来讨论交运算。
交运算是指将两个集合中共有的元素取出来，形成一个新的集合。
例如，假设集合A代表男生，集合B代表女生，那么A交B就代表了男女生共同的特点或共同的兴趣爱好。
在现实生活中，男女生之间的交集往往是人们关注的焦点。
比如，男生和女生共同喜欢的电影、音乐、运动等，都是男女交集的具体体现。
通过交运算，我们可以找到共同点，促进交流和沟通。
我们来讨论并运算。
并运算是指将两个集合中的所有元素都取出来，形成一个新的集合。
例如，假设集合A代表篮球队员，集合B代表足球队员，那么A并B就代表了所有参加球类运动的运动员。
在实际生活中，无论是篮球赛还是足球赛，都需要有各个领域的人才共同参与。
通过并运算，我们可以将不同领域的人才集结在一起，形成强大的团队。
我们来讨论差运算。
差运算是指将一个集合中的元素从另一个集合中剔除出去，形成一个新的集合。
例如，假设集合A代表所有喜欢音乐的人，集合B代表喜欢摇滚音乐的人，那么A差B就代表了不喜欢摇滚音乐的人。
在实际生活中，人们对音乐的喜好各不相同，有人喜欢摇滚音乐，有人喜欢流行音乐，有人喜欢古典音乐，通过差运算，我们可以将不同喜好的人群进行区分和分类。
总结起来，三大关系运算在数学中有着重要的地位，同时也在实际生活中有着广泛的应用。
通过交运算，我们可以找到共同点，促进交流和沟通；通过并运算，我们可以将不同领域的人才集结在一起，形成强大的团队；通过差运算，我们可以将不同喜好的人群进行区分和分类。
这三种关系运算都有助于人们更好地理解和处理集合中的元素关系，提高思维能力和逻辑思维能力。
因此，在学习数学的过程中，我们应该重视三大关系运算的学习和应用，以提升自己的数学素养和解决实际问题的能力。
4.1 笛卡尔积与二元关系4.2 关系的运算
.
17
包含关系: R={<x,y>| x,y∈A∧={,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是
R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>,
<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 除此以外,还可以构成其他关系:
1
26
A上的关系数目为 ,这个数目往往是很大的, 而我们通常关注的是其中少量的有特殊含义的关 系. 如EA,IA,整除,小于等于,包含等 3 关系的表示方法. 1)集合表达式 2)关系矩阵 3)关系图 2 接下来的课程,我们将学习关系的运算,关系的性质等.
27
作业（清华版）
28
7.3 关系的运算
关系矩阵表示从A到B的关系
关系矩阵：若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}，R 是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中 rij = 1 < xi, yj> R. 注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的 关系或者A上的关系
3)R的域fidR: R的定义域和值域的并集
fldR=domR∪ranR
例1 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则
domR={1, 2, 4}
ranR={2, 3, 4}
fldR={1, 2, 3, 4}
30
关系的基本运算定义（续）
1)关系的逆 R的记作 R1 = {<y,x> | <x,y>R} R 求关系的逆就是把其中的有序对颠倒过来 .
第4章 关系运算
自学考试《数据库原理》
连接（Join） 1）连接也称为θ连接 2）连接运算的含义 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的 元组 R S = { | tr R∧ts S∧tr[A]θts[B] } A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组 θ：比较运算符 连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取（R关 系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比 较关系的元组。
自学考试《数据库原理》
3）两类常用连接运算 等值连接（equijoin） 什么是等值连接 θ为“＝”的连接运算称为等值连接 等值连接的含义 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等 的那些元组，即等值连接为： R S = { | tr R∧ts S∧tr[A] = ts[B] } 自然连接（Natural join）
自学考试《数据库原理》
自学考试《数据库原理》
外连接 为避免自然连接时因失配而发生的信息丢失，可以假 定往参与连接的一方表中附加一个取值全为空值的行，它 和参与连接的另一方表中的任何一个未匹配上的元组都能 匹配，称之为外连接 外连接 = 自然连接 + 失配的元组 外连接的形式：左外连接、右外连接、全外连接
自学考试《数据库原理》
专门的关系运算符 不仅涉及行而且涉及列 算术比较符 辅助专门的关系运算符进行操作 逻辑运算符 辅助专门的关系运算符进行操作 广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product） R n目关系，k1个元组 S m目关系，k2个元组 R×S 列：（n+m）列的元组的集合
自学考试《数据库原理》
自学考试《数据库原理》
示例： 找出工资在800元以上的老师 {t | tPROF t[SAL] > 800} 找出工资在800元以上的老师的姓名 {t | sPROF ( t[PNAME] s[PNAME] s[SAL] > 800 )} 给出计算机系老师的姓名 {t | uDEPT ( u[DNAME] = “计算机系” sPROF ( s[DNO] = u[DNO] t[PNAME] s[PNAME] ))} 求选修了全部课程的学生号 {t | uC ( sSC ( s[CNO] = u[CNO] t[SNO] s[SNO] ))} 求选修了张军同学所选修的全部课程的学生姓名 课程，张军选之 所求同学选之 {t | uC ( sSC wS ( s[CNO] = u[CNO] w[SNO] s[SNO] w[SNAME] = “张军” )) 元组关系演算与关系代数的等价性
关系运算关系演算
2.4 关系运算(二)——关系演算关系代数是将整个关系看作变元，并以其作为基本运算单位，同时以集合方法为关系运算的理论基础。
如果将组成关系的基本成分例如元组或者属性域看作变量，以其作为基本运算单位，同时以数理逻辑中谓词演算为相应关系演算的理论基础，就得到了另外一种形式的关系数据语言——关系演算。
关系演算基于谓词演算。
在谓词演算中，如果谓词中的变元是关系中的元组，则得到所谓元组关系演算；如果谓词中的变元是关系中的属性域，则得到所谓域关系演算。
这样，关系演算就分为元组关系演算和域关系演算两类。
在 2.4节和2.5节，均以本章 2.3.4节中的关系数据库{S,C,SC}为背景举例。
这里S (S#,Sn,Sex,Sa,Sd)；C (C#,Cn,P#,Tn)；SC (S#,C#,G)，其中各个属性的含义见2.3.4节。
2.4.1 元组关系演算如果在一阶谓词演算表达式中，变量是以元组为演算单位，就称其为元组关系演算(Tuple Relation Calculus)，其中元组变量表示关系中的元组，变量取值范围是整个关系。
1. 关系的元组演算表示(1) 关系与谓词的对应为了得到关系操作的元组关系演算表达式，需要考虑关系与谓词的联系。
z由关系R确定的谓词P在数理逻辑中我们知道，关系可用谓词表示，n元关系可以由n元谓词表示。
设有关系R，它有元组(r1,r2,…,r m)，定义关系R对应如下一个谓词P (x1,x2, …,x n)。
当t =(r1,r2, …,r m)属于R时，t为P的成真的真值指派，而其他不在R中的任意元组t则是P 的成假指派。
即是说，由关系R定义一个谓词P具有如下性质：P(t) = T (当t在R中)；P(t) = F (当t不在R中)。
z由谓词P表示关系R由于关系代数中R是元组集合，一般而言，集合是可以用满足它的某种特殊性质来刻画与表示。
如果谓词P表述了关系R中元组的本质特性，就可以将关系R写为：R={t | P(t)}这个公式就建立了关系(元组集合)的谓词表示，称之为关系演算表达式。
关系模型和关系运算理论
元组就是一个记录。由于关系模式有键，因此存储一个
关系可用散列方法或索引方法实现。如果关系的元组数
目较少（100个以内），那么也可以用“堆文件”方式
实现（即没有特定的次序）。此外，还可对任意的属性
集建立辅助索引。
关系SC
关系STUDENT S# SNAME AGE SEX PTR S1 WANG 20 M · S2 HU 17 M · S3 XIA 19 F · S4 LIU 18 F ·
学号 姓名 年龄 性别 籍贯
S1 WANG 20
M 北京
S4 LIU 18
F 山东
S2 HU 17
M 上海
S3 XIA 19
F 四川
图2.1 学生登记表
7
2.1.1 基本术语(2)
在关系模型中，字段称为属性，字段值称为属 性值，记录类型称为关系模式。在图2.1中，关 系模式名是R。记录称为元组（tuple），元组的 集合称为关系（relation）或实例（instance）。 一般用大写字母A、B、C、… 表示单个属性， 用大写字母 …、X、Y、Z表示属性集，用小写 字母表示属性值，有时也习惯称呼关系为表或 表格，元组为行(row)，属性为列(column)。
例 下面各种情况说明了参照完整性规则在关系中如何 实现的。
① 在关系数据库中有下列两个关系模式： S（S#，SNAME，AGE，SEX） SC（S#，C#，SCORE）
这里带 线者为主键，带 线者为外键。据规则要求关 系SC中的S#值应该在关系S中出现。如果关系SC中有一 个元组（S7,C4,80），而学号S7却在关系S中找不到，那 么我们就认为在关系SC中引用了一个不存在的学生实体， 这就违反了参照完整性规则。 另外，在关系SC中S# 不仅是外键，也是主键的一部分， 因此这里S# 值不允许空。
集合的关系与运算规律
集合的关系与运算规律介绍：集合是数学中一个重要的概念，用来表示一组具有共同属性的对象。
在集合理论中，集合之间有不同的关系和运算规律。
本文将介绍集合的关系（包括子集、超集、相等等）以及集合的运算规律（包括交集、并集、补集和差集等）。
一、集合的关系1. 子集关系：若集合A的所有元素都是集合B的元素，则称集合A 是集合B的子集。
用符号“A⊆B”表示。
例如，若A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}，则A是B的子集。
2. 超集关系：若集合B的所有元素都是集合A的元素，则称集合A 是集合B的超集。
用符号“A⊇B”表示。
例如，若A={1,2,3,4,5}，B={1,2,3}，则A是B的超集。
3. 真子集关系：若集合A是集合B的子集，并且集合A和集合B不相等，则称集合A是集合B的真子集。
用符号“A⊂B”表示。
例如，若A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}，则A是B的真子集。
4. 真超集关系：若集合A是集合B的超集，并且集合A和集合B不相等，则称集合A是集合B的真超集。
用符号“A⊃B”表示。
例如，若A={1,2,3,4,5}，B={1,2,3}，则A是B的真超集。
5. 相等关系：若集合A的所有元素都是集合B的元素，并且集合B的所有元素都是集合A的元素，则称集合A和集合B相等。
用符号“A=B”表示。
例如，若A={1,2,3}，B={3,2,1}，则A和B相等。
二、集合的运算规律1. 交集：集合A与集合B的交集，表示为A∩B，是同时属于集合A和集合B的元素组成的集合。
例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。
2. 并集：集合A与集合B的并集，表示为A∪B，是属于集合A或集合B的元素组成的集合。
例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
3. 补集：给定全集U和集合A，集合A的补集，表示为A'或A^c，是所有不属于集合A的元素组成的集合。
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–普通的集合运算
• 并、交、差
–删除部分关系的运算
• 选择、投影
–合并两个关系元组的运算
• 连接、积
–改名运算
3.1.1 并Union (∪)
• R和S的并，R∪S，是在R或S或两者中的元 素的集合
• 一个元素在并集中只出现一次 • R和S必须同类型（属性集相同、次序相同，
但属性名可以不同）
• 关系R、S的笛卡儿积是两个关系的元组对 的集合所组成的新关系
• R×S： – 属性是R和S的组合（有重复） – 元组是R和S所有元组的可能组合 – 是R、S的无条件连接，使任意两个关系 的信息能组合在一起
• 例：student ×sc
3.1.6 选择Selection(σ)
• 从关系R中选择符合条件的元组构成新的关系 • σC(R),表示从R中选择满足条件(使逻辑表达式
（1）检索学习课程号为C2的学生学号和成绩
Πs#, grade(S) (σc#=‘c2’ (SC) )
（2）检索学习课程号为C2的学生学号和姓名
Πs#, sname(σc#=‘c2’ (S SC) )
（3）检索学习课程名为MATHS的学生学号和姓名
Πs#, sname(σcname=‘MATHS’ (S SC
ABC abc Rd b c bb f cad
BCD bcd
S
bce adb
ABCD
abcd abc e dbcd dbc e c adb
3.1.8 θ连接
从 R×S 的结果集中，选取在指定的属性 集上满足θ条件的元组，组成新的关系。
θ是一个关于属性集的逻辑表达式。
RS
iθj
RS
2<1
ABC 123
3.1.2 交Intersect (∩)
• R和S的交，R∩S，是在R和S中都存在 的元素的集合
• 一个元素在交集中只出现一次 • R和S必须同类型（属性集相同、次序
相同，但属性名可以不同）
3.1.3 差Minus (-)
• R和S的差，R-S，是在R中而不在S 中的元素的集合
• R和S必须同类型（属性集相同、次 序相同，但属性名可以不同）
3.1.7 自然连接( )
从R×S的结果集中，选取在某些公 共属性上具有相同值的元组，组成新的 关系，其计算步骤如下：
（1）计算 R ×S （2）设 R 和 S 的公共属性是 A1、 A2….Ak ,
挑选 R.A1=S.A1、 R.A2=S.A2 ….. R.Ak=S.Ak的那些元组。 （3）删除 S.A1、S.A2 ….. S.Ak RS
R÷S
SNO SNAME CNO CNAME S1 BAO C1 DB S1 BAO C2 OS S1 BAO C3 DS S1 BAO C4 MIS
R
S2 GU C1 DB S2 GU C2 OS S3 AN C2 OS S4 LI C2 OS S4 LI C4 MIS
CNO CNAME
S1
C2 OS
本章目标
本章以关系数据模型的数学基础——关 系代数，主要内容是基本的关系代数运算理 论，要求熟练掌握关系代数的运算方法是， 能够完成简单的关系运算。
数据库的核心应用是数据库的查询， 查询语言是用户用来从数据库中请求获取 信息的语言。
关系代数是过程化的查询语言，关系 代数是一种抽象的查询语言。
3.1 关系代数初步
ABC abc cbd
πC,A (R)
ABC abc
R
da f cbd
CA ca fd dc
σ B=‘b’ (R)
ABC abc
R
da f cbd
ABC abc cbd
R×S
ABC abc
R
da f cbd
ABC Sb g aS.C a b c bga a b c da f d a f bga d a f da f c b dbga c b dda f
3.1.4 投影Projection(π)
• 从关系R中选择若干属性组成新的关系
• πA1,A2,…,An(R),表示从R中选择属性集
A1,A2,…,An组成新的关系 • 列的运算 • 投影运算的结果中,也要去除可能的重复元组
• 例: πssex,sage (student) ?
3.1.5 笛卡儿积(×)
DE S3 1
62
A B C DE
1 2 3 31 4 5 6 62
3.1.10 除法
R÷S中的每个元组t与S中的每个元 组组成的新元组<t,u> 必然存在于R中， 其计算过程为： （1）计算T= π1,2,…r-s（R） （2）W=（T ×S ）-R （3）V= π1,2,…r-s（W） （4） R÷S=T-V
关系 R
ABC bga da f
关系 S
R∪S
ABC abc
R
da f cbd
ABC Sb g a
da f
ABC abc da f cbd bga
R∩S
ABC abc
R
da f cbd
ABC Sb g a
da f
ABC da f
R-S
ABC abc
R
da f cbd
ABC Sb g a
da f
C为真)的元组 • 行的运算
• 例：σsage >= 23 AND sdep = ‘CS’(student) ?
• 例：列出CS系的学号及姓名
πsno,sname (σsdep = ‘CS’(student) )
应用举例：设有两个关系R和S分别如图所示，
求R和S的并、差、笛卡尔积、投影以及交。
ABC abc da f cbd
CNO CNAME
S2 C2 OS
C4 MIS
CNO CNAME C1 DB
S3
C2 OS C4 MIS
R÷ S
R÷S1
SNO SNAME S1 BAO S2 GU
S3 AN
S4 LI
R÷S2
SNO SNAME S1 BAO S4 LI
R÷S3
SNO SNAME S1 BAO
应用举例1：设教学数据库中有三个关系 学生关系：S (S#，SNAME，AGE，SEX) 学习关系：SC (S#，C#，CGRADE) 课程关系：C (C#，CNAME，TEACHER)
R
456 789
DE S 31
62
ABCDE
12331 12362 45662
3.1.9 F 连接
从关系 R 和 S 的笛卡尔积中选取属性 间满足某一公式的元组。
F是形如F1Λ F2Λ F3Λ ……Λ Fn的公 式，其中 Fk 为形如 iθj 的公式。
RS
F
RS
2<1Λ1≥2
ABC 123
R
456 789