有限元试题
2011年有限元试题
一、简答
1、有限元平面问题有几个自由度？空间问题有几个自由度？弹性力学三大方程分别应用了何种假定？
2、位移模式的完备性条件是什么？必须要满足吗？
3、如图所示节点编号，计算半带宽，并画出最合理的节点编号，刚度矩阵中对角元素为何都为正值？
4、等参单元变换的必要条件是什么？
5、简述铁木辛柯梁的基本特点，解释何谓剪切锁死现象，并给出避免出现剪切闭锁的条件。
二、推导题
1、用自然坐标推导四节点矩形单元的形函数
2、计算等效荷载，如图
3、分析下图的高斯点选取是否合理
三、计算
1、如图
（1）计算三角形单元的位移模式
（2）已知三节点的位移分别为()
,;,;,j j m i m i u u u v v v （已知数据），A 点的坐标（0.5，0.2,0）求A 点的位移分量
2、已知基本方程d 0d u u x
+=，边界条件01x u ==，选取试函数1u cx =+ 用伽辽金法确定系数c
3、求雅克比矩阵J （同作业题）
4、如图所示结构当节点编号如右图所示时，可求出其单元刚度矩阵为
111216212226616266a a a a a a K a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（考试中均为具体数据） 试确定局部刚度矩阵[]22K 及[]45K
2005年有限元试卷
一、简答题
1、加权残数法、变分法与有限元法的联系与区别是什么？有限元方法有什么优点？
2、单元分析的重点是什么？单元刚度矩阵有什么特征？其中每一个元素的物理意义是什么？单元分析中坐标转换的作用是什么？
3、在有限元法中，等参单元的主要有点事什么？在应用等参单元时，坐标变换的精度与位移模式的精度是否一样？等参单元计算中积分阶次选择的原则是什么？
4、为什么位移型有限元应力解的精度要低于位移解？应力解的近似性表现在哪些方面？应力近似解的性质是什么？试分析下列平面单元中的位移和应力的误差量级？
（1）三点三角形单元（2）四节点举行单元（3）六节点三角形单元
（4）四节点直边四边形等参单元（5）把节点曲边四边形等参单元
5、在博班弯曲问题中，何谓协调单元和非协调单元？试论证四节点矩形板12个自由度弯曲单元是完备的非协调单元
6、常用的构造单元插值函数的方法有哪三种？各有哪些优点？
7、什么是材料非线性问题和几何非线性问题？各自的难点是什么？材料非线性和几何非线性有什么联系和区别？
8、什么是非线性有限元方程的迭代解法和增量解法？各自的适用范围是什么？常见的迭代收敛准则有哪些？当有限元求解结果不对时，可从哪些方面进行检查？
9、简要说明学习“有限元的”的心得体会？
二、计算推导题
1、图示等刚度悬臂梁受均布荷载作用，假定试函数为：()21cos
x x c l f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，梁截面抗弯刚度为EI ，试采用最小势能原理计算梁的最大挠度
Y X
j EI,L i
1θ 1v 2v 2θ
2010年部分考题
概念题：
形函数
位移场
三角形单元的特性
四边形单元的特性
三大方程（加权残值，变分法，杆结构，有限元分析）
三角形单元（形函数[]N，几何矩阵[]B，刚度矩阵[]K）等效节点荷载（四边形单元）形函数（雅克比矩阵）
推导题：
1、最小势能原理（与作业相似）
2、伽辽金法
计算题：
1、刚度矩阵的集成
2、等效荷载计算（课件上，表面力等效节点荷载）。
有限元考题
一、填空题（每空3分共45分）1.有限元方法所处理的对象是任意变形体。
2．变形体的基本变量有位移速度应力，基本方程有平衡方程几何方程物理方程。
3.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元4.参数单元的三种类型分别是等参元超参元亚参元5.由于差值阶次是由节点数量决定的，所以可由几何形状变换的节点数和位移差值函数的节点数直接判断参数单元的性质。
6.带宽是一个反映非零数据集中程度的指标。
二、选择题（每个5分，共30分）B1.有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。
对于一个结构，整体坐标系一般只有_________；局部坐标系有_______。
A 一个，一个B 一个，多个C 多个，多个D 多个，一个B 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。
（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同B 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。
（A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数C 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。
（A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律C 5 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。
（A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号D 6．为了保证有限单元法解答的收敛性，位移函数应具备的条件是。
A. 位移函数必须能反映单元的刚体位移和常量应变；B. 位移函数必须能反映单元的刚体位移和单元间的位移连续性；C. 位移函数必须能反映单元的常量应变和单元间的位移连续性；D. 位移函数必须能反映单元的刚体位移和常量应变以及尽可能反映单元间的位移连续性。
三、简答题（25分）1.有限元方法分析的目的（9分）1)对变形体中的位移、应力、应变进行定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和物理方程。
有限单元法考试题及答案
有限单元法考试题及答案一、选择题1. 有限元法是一种用于求解偏微分方程的数值方法，其基本思想是将连续域离散化成有限个互不重叠的子域。
这种说法正确吗？A. 正确B. 错误答案：A2. 在有限元法中，单元的选取通常遵循以下哪个原则？A. 单元越小越好B. 单元越大越好C. 单元大小应根据问题的具体需求来确定D. 单元大小固定不变答案：C3. 有限元分析中，边界条件的处理方式不包括以下哪一项？A. 强制边界条件B. 自然边界条件C. 忽略边界条件D. 周期性边界条件答案：C4. 在有限元法中，下列哪个不是常用的单元类型？A. 三角形单元B. 四边形单元C. 六面体单元D. 圆形单元答案：D5. 有限元法中，形函数的作用是什么？A. 描述单元的几何形状B. 描述单元的物理属性C. 用于构建单元的局部刚度矩阵D. 用于描述单元内部的位移场答案：D二、简答题1. 简述有限元法的基本步骤。
答案：有限元法的基本步骤包括：定义问题域和边界条件，划分网格，选择单元类型，定义形函数，组装全局刚度矩阵，施加边界条件，求解线性方程组，提取结果。
2. 有限元法中，局部刚度矩阵是如何构建的？答案：局部刚度矩阵是通过单元的形函数和材料属性来构建的。
首先，根据单元的形函数和材料属性，计算单元的应变和应力。
然后，利用应变和应力，通过积分得到单元的局部刚度矩阵。
三、计算题1. 给定一个简单的一维弹性杆问题，其长度为L，两端固定，中间受力P。
请使用有限元法求解该杆的位移和应力分布。
答案：首先，将杆划分为若干个单元，每个单元的长度为Δx。
然后，为每个单元定义形函数，通常是线性形函数。
接着，根据形函数和材料属性（如杨氏模量E），构建每个单元的局部刚度矩阵。
将所有单元的局部刚度矩阵组装成全局刚度矩阵。
由于杆两端固定，边界条件为位移为零。
最后，将力P施加到中间节点，求解全局刚度矩阵对应的线性方程组，得到节点位移。
应力可以通过位移和形函数计算得到。
有限元考试题
有限元考试题1、名词解释：剪应⼒互等定律：作⽤在两个互相垂直的⾯上并且垂直于该两⾯交线的剪应⼒是互等的。
(⼤⼩相等，正负号也相同)。
位移法：位移法是解决超静定结构最基本的计算⽅法。
虚功原理：弹性⼒学中的虚功原理可表达为：在外⼒作⽤下处于平衡状态的弹性体，如果发⽣了虚位移，那么所有的外⼒在虚位移上的虚功(外⼒功)等于整个弹性体内应⼒在虚应变上的虚功(内⼒功)圣维南原理：对于作⽤于物体局部边界上的⾯⼒⽤另⼀组与之静⼒等效（主⽮和主矩相等）并且作⽤于同⼀⼩块表⾯上的⼒系来代替，则在⼒系作⽤区域的附近，应⼒分布将有显著的改变，但在远处所受的影响可不计。
最⼩势能原理：在满⾜位移边界条件的所有可能位移中，实际发⽣的位移使弹性体的势能最⼩。
即对于稳定平衡状态，实际发⽣的位移使弹性体总势能取极⼩值。
显然，最⼩势能原理与虚功原理完全等价叠加原理：在线弹性(物理线性)和⼩变形（⼏何线性）情况下，作⽤于物体上⼏组荷载产⽣的应⼒和变形的总效应，等于每组荷载单独作⽤效应的总和。
位移模式: 按弹性⼒学位移法求近似解的思路，位移作为基本未知量时，需要对单元上位移的分布作出假设，即构造含待定参量的简单位移函数——位移模式。
形函数:等参元: 等参数单元（简称等参元）就是对单元⼏何形状和单元内的参变量函数采⽤相同数⽬的节点参数和相同的形函数进⾏变换⽽设计出的⼀种新型单元。
节点的⾃由度：节点所具有的位移分量的数⽬。
单元⾃由度: ⼀个单元所有节点的⾃由度总和称为单元⾃由度。
刚度集成法结构中的结点⼒是相关单元结点⼒的叠加，整体刚度矩阵的系数是相关单元的单元刚度矩阵系数的集成。
虚功等效：原单元载荷与等效节点载荷在单元任意虚位移上的虚功相等。
2、填空题1．有限元法的实质：将复杂的连续体划分为有限个简单的单元体，化⽆限⾃由度问题为有限⾃由度问题。
将连续场函数的（偏）微分⽅程的求解问题转化为有限个参数的代数⽅程组的求解问题。
2．弹性⼒学的基本假设：（1）(连续性)（2）均匀性（3）(各向同性)（4）完全弹性符合（1）-（4）假定的称为(理想弹性体)。
有限元复习试题库完整
有限元复习一、选择题（每题1分，共10分）二、判断题（每空1分，共10分）三、填空题（每空1分，共10分）三、简答题（共44分）共6题四、综述题（共26分）两题一．基本概念1. 平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；杆梁问题；线性与非线性问题平面应力问题（1） 均匀薄板（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY 平面的三个应力分量，即x y xy yx σσττ=、、 （000z zx xz zy yz σττττ=====，，）。
一般0z σ=，z ε并不一定等于零，但可由x σ及y σ求得，在分析问题时不必考虑。
于是只需要考虑x y xy εεγ、、三个应变分量即可。
平面应变问题（1） 纵向很长，且横截面沿纵向不变。
（2）载荷平行于横截面且沿纵向均匀分布z yz zx εγγ===只剩下三个应变分量x y xy εεγ、、。
也只需要考虑x y xy σστ、、三个应力分量即可轴对称问题物体的几何形状、约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴。
轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）：轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；单元边界是一回转面；应变不是常量。
在轴对称问题中，周向应变分量θε是与r 有关。
板壳问题一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩的结构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。
如果中面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称为壳。
杆梁问题杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。
在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。
平面（应力应变）问题与板壳问题的区别与联系平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。
而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。
有限元试题及答案
有限元试题及答案一、选择题1.有限元分析是一种利用计算机数值方法进行结构分析的方法，下面哪个说法是正确的？A. 有限元分析对结构的约束条件没有要求B. 有限元分析只适用于静力分析C. 有限元分析可以用来研究结构的动力响应D. 有限元分析的计算结果一定是精确的答案：C2.有限元法的基本步骤包括以下几个环节：I. 离散化II. 单元划分III. 节点连接IV. 计算材料性质V. 施加边界条件VI. 构建刚度矩阵和载荷向量VII. 求解节点位移和应力VIII. 后处理与结果分析请问选择项中正确的顺序是：A. IV – I – II – III – V – VI – VII – VIIIB. I – II – III – IV – V – VI – VII – VIIIC. II – III – V – IV – VI – I – VII – VIIID. I – III – II – IV – V – VI – VII – VIII答案：B3.在有限元分析中，单元是指将结构划分为有限个小单元来近似表示结构的方法。
下面哪个选项给出了常用的结构单元类型？A. 三角形单元，四面体单元，六面体单元B. 矩形单元，六面体单元，圆形单元C. 圆形单元，矩形单元，六面体单元D. 四面体单元，矩形单元，三角形单元答案：D二、填空题1.有限元分析中，刚度矩阵的计算需要根据单元的_________和材料的_________计算得到。
答案：几何形状，物理性质2.有限元法最常用的数学插值函数是_________函数。
答案：形函数3.在有限元分析中，自由度是指结构中的每个_________未知量。
答案：位移三、计算题1.给定如图所示的二维结构，使用有限元法进行分析。
假设结构材料为线性弹性材料，其杨氏模量为200 GPa，泊松比为0.3。
结构整体尺寸为5m x 3m，单元尺寸为1m x 1m。
分析载荷为2000 N，施加在结构的中心节点上。
(完整版)有限元考试试题及答案
e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go o2. 如图2所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷F=20KN/m ，设泊松比µ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。
（15分）图23. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q ，单元厚度为t ，求单元的等效结点荷载。
图3图1一、简答题1. 答：1）合理安排单元网格的疏密分布2）为突出重要部位的单元二次划分3）划分单元的个数4）单元形状的合理性5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量2. 答：形函数应满足的三个条件：a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由其它单元形变所引起的位移。
b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所有点都具有相同的应变。
当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。
c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元位移协调。
3. 答：含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。
意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。
4. 答：有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。
有nl⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.0025.025.011212－－－＝＝E k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.0025.0011313－＝＝E k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.125.025.05.125.0005.05.00025.075.025.025.075.032222212222E E E E k k k k ＋＝＋＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---5.025.025.0125.025.005.025.0025.05.032312323E E E k k k ＝＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡---5.0025.025.022424E k k ＝＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡025.025.00025.0000025.0032522525E E E k k k ＝＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.125.025.05.15.00025.075.025.025.075.025.0005.043333313333E E E E k k k k ＝＋＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---125.025.05.05.0025.025.05.025.0025.043533535E E E k k k ＝＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡0025.0043636E k k ＝＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡75.025.025.075.024444E k k ＝＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡---25.0025.05.024545E k k ＝＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.125.025.05.175.025.025.075.05.00025.025.0005.045535525555E E E E k k k k ＝＋＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡---25.0025.05.045656E k k ＝＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡25.0005.046666E k k ＝＝把上面计算出的，…，对号入座放到总刚矩阵中去，于是得到11k 66k []K的具体表达式。
有限元期末考试题及答案
有限元期末考试题及答案一、选择题1. 有限元方法是一种数值分析方法，主要用于求解什么类型的数学问题？A. 线性代数方程B. 微分方程C. 积分方程D. 代数方程答案：B2. 在有限元分析中，单元的划分是基于什么原则？A. 单元数量B. 单元形状C. 问题域的几何特性D. 计算资源答案：C3. 下列哪项不是有限元分析中常用的单元类型？A. 三角形单元B. 四边形单元C. 六面体单元D. 圆形单元答案：D二、填空题4. 有限元方法中，______是指将连续的物理域离散成有限数量的小区域，这些小区域称为单元。
答案：离散化5. 在进行有限元分析时，通常需要定义材料属性，包括______、密度和弹性模量等。
答案：泊松比三、简答题6. 简述有限元方法的基本步骤。
答案：有限元方法的基本步骤包括：定义问题域、离散化问题域、选择单元类型、定义材料属性、构建全局刚度矩阵、施加边界条件、求解线性代数方程、提取结果。
7. 解释什么是有限元分析中的收敛性，并说明影响收敛性的因素。
答案：收敛性是指随着单元数量的增加，有限元分析结果逐渐接近真实解的性质。
影响收敛性的因素包括单元的类型、形状、大小以及网格的布局等。
四、计算题8. 假设有一个长度为2米的杆，两端固定，中间施加了一个向下的力F=1000N。
如果杆的材料是钢，其弹性模量E=210 GPa，泊松比ν=0.3，请计算杆的弯曲位移。
答案：首先，根据Euler-Bernoulli梁理论，可以写出弯曲位移的方程为：\[ w(x) = \frac{F}{384EI} L^3 \]其中，\( w(x) \) 是位移，\( F \) 是施加的力，\( L \) 是杆的长度，\( E \) 是弹性模量，\( I \) 是截面惯性矩。
对于一个矩形截面，\( I \) 可以表示为：\[ I = \frac{bh^3}{12} \]假设杆的截面宽度为b，高度为h，代入上述公式，可以计算出位移。
有限元试题及答案
有限元试题及答案一、选择题1. 有限元法是一种数值方法，主要用于求解什么类型的数学问题？A. 线性代数方程B. 微分方程C. 积分方程D. 偏微分方程答案：D2. 在有限元分析中，以下哪项不是网格划分的基本原则？A. 网格应尽量均匀B. 网格应避免交叉C. 网格应尽量小D. 网格应适应几何形状答案：C3. 有限元方法中，单元的局部刚度矩阵可以通过以下哪种方式获得？A. 直接积分B. 矩阵乘法C. 线性插值D. 经验公式答案：A二、填空题1. 有限元方法中，______ 是指将连续的域离散化成有限数量的小单元。
答案：离散化2. 在进行有限元分析时，______ 是指在单元内部使用插值函数来近似求解场变量。
答案：近似3. 有限元法中，______ 是指在单元边界上满足的连续性条件。
答案：边界条件三、简答题1. 简述有限元法的基本步骤。
答案：有限元法的基本步骤包括：（1）定义问题域；（2）离散化问题域，生成网格；（3）为每个单元定义局部坐标系和形状函数；（4）组装全局刚度矩阵和载荷向量；（5）施加边界条件；（6）求解线性代数方程；（7）提取结果并进行后处理。
2. 描述有限元分析中的单元类型有哪些，并简述每种单元的特点。
答案：常见的单元类型包括：（1）一维单元，如杆单元和梁单元，特点是沿一个方向传递力；（2）二维单元，如三角形和四边形单元，特点是在平面内传递力；（3）三维单元，如四面体和六面体单元，特点是在空间内传递力。
每种单元都有其特定的形状函数和刚度矩阵。
四、计算题1. 给定一个简单的一维弹性杆问题，其长度为L，两端固定，中间施加集中力P。
使用有限元法求解该杆的位移和应力分布。
答案：首先，将杆离散化为一个单元。
使用一维杆单元的局部刚度矩阵和形状函数，可以推导出全局刚度矩阵。
然后，施加边界条件，即杆的两端位移为零。
最后，将集中力P转换为等效节点载荷，求解线性代数方程，得到节点位移。
应力可以通过位移和杆的截面特性计算得出。
有限元试卷和答案
a
图1
1、解： 设图 1 所示的各点坐标为 点 1（ a， 0） ，点 2（a，a） ，点 3（0，0） 于是，可得单元的面积为 (1) 形函数矩阵 N 为
1 (0 + ax − ay ) a2 1 N1 = 2 (0 + 0gx + ay ) a 1 N1 = 2 (a 2 − ax + 0gy ) a N1 =
判断正误 （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （×）9. 线性应力分析也可以得到极大的变形 （√）10. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数 V 和场函数 u 的选择没有任何限 制。 （ × ） （2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标 x、y 的一次函数。 （√ ） （3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值 相等。 续。 （√ ） （× ） （× ） （6）等参单元中 Jacobi 行列式的值不能等于零。 （√） （7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。 （× ） （4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数 C1 连 （5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。
有限元例题及答案
例 8-1：E ，A ，L ，s σ 杆I 弹塑性； 杆II 弹性。
求s AF σ3=下2点位移。
解：（1）理论解在荷载s A F σ3=作用下，杆I 屈服而有内力（拉力）S A N σ=1，杆II 内力（压力）为s II A N σ2=，中点2位移δ取决于杆II 的变形，即*===∆=δσσδ22)2(EL AE L A l S S II式中E Ls σδ=*（屈服位移）（2）直接迭代法杆I 和杆II 的刚度分别为⎩⎨⎧=**≤〉)()(δδδδδσL EAAI S k L EA k II =①迭I 迭代步迭代从*=δδ0开始，这时有L EAk k K II I 20=+=*-====δσσδ5.15.123101EL L EA A F K S S②第2迭代步杆I 进入塑性，有L EA A k s I 67.01==δσ杆Ⅱ完全弹性，刚度不变。
因此，总刚为L EAk k K II I 67.11=+=*-====δσσδ8.18.167.13112E L LEA A F k S s 整个迭代过程见表8-1。
表8-1 直接迭代法各次迭代结果(3)切线刚度法杆Ⅰ和杆Ⅱ的切线刚度分别为⎩⎨⎧=**≤〉)()(0δδδδLEAI k L EA k II =①第1迭代步初始状态时，00=δ，杆Ⅰ，Ⅱ中应力、应变均匀为零。
总刚为：L EAk k K T TI T 21=+=由F K T -=δψ，得S A σψ30-=由n Tn n K ψδ1--=∆得，*=--=∆δσδ5.1)3(10S A L由式n n n δδδ∆+=+1得，s δδ5.11=杆中应力：S SI σσσσ5.111-==杆中内力：S SI A N A N σσ5.111-==②第2迭代步由于杆I 已进入塑性，杆Ⅱ仍处弹性，总刚：L EAk k K TIITI T =+=2由F K T -=δψ，得S S S A A A σσσψ5.035.21-=-=由n Tn n K ψδ1--=∆得，*=--=∆δσδ5.0)5.0(11S A LEA由式n n n δδδ∆+=+1得，*=∆+=σδδδ0.2112杆中应力：S II SI A N A N σσ0.222-==检验F K T -=δψ，有030.32=-=S S A A σσψ迭代平衡。