平方差公式
平方和与平方差公式
平方和与平方差公式
平方和公式是(a+b)² = a² + 2ab + b²，其中a和b是任意实数。
平方差公式是(a-b)² = a² 2ab + b²，其中a和b是任意实数。
这两个公式在代数中非常常见，可以用来展开和简化多项式，或者用来证明数学定理。
它们也有许多应用，例如在求解方程、因式分解和几何问题中。
从代数的角度来看，这两个公式是多项式展开的基本工具，可以帮助我们进行多项式的运算和简化。
从几何的角度来看，这两个公式可以帮助我们理解平方的几何意义，例如(a+b)²表示一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形组成的总面积，而(a-b)²表示一个边长为a的正方形减去一个边长为b的正方形后的剩余面积。
总之，平方和与平方差公式在数学中具有重要的地位，它们不
仅是代数运算的基础，也能够帮助我们更好地理解几何概念。
希望这个回答能够满足你的要求。
平方差与差平方公式及其应用
平方差与差平方公式及其应用在数学中，平方差与差平方公式是一种常见的数学公式，它们在代数运算、方程求解以及几何推导等方面都有广泛的应用。
本文将介绍平方差与差平方公式的定义、推导过程以及一些实际应用。
一、平方差公式平方差公式是指两个数的平方差可以展开为两个数的和与差的乘积。
设有两个数a和b，那么它们的平方差可以表示为：(a + b)(a - b)这个公式可以通过展开式来证明。
展开(a + b)(a - b)得到：a^2 - ab + ab - b^2可以看到，中间的两项-ab和ab相互抵消，最终结果为a^2 - b^2。
这就是平方差公式的推导过程。
平方差公式在代数运算中有着广泛的应用。
例如，在因式分解中，我们经常需要将一个二次多项式进行因式分解，而平方差公式可以帮助我们将其转化为两个一次多项式的乘积。
另外，在解方程的过程中，平方差公式也能够帮助我们简化计算，从而更快地得到解的结果。
二、差平方公式差平方公式与平方差公式相反，它表示两个数的差的平方可以展开为两个数的和与差的乘积。
设有两个数a和b，那么它们的差的平方可以表示为：(a - b)(a - b)同样地，我们可以通过展开式来证明这个公式。
展开(a - b)(a - b)得到：a^2 - ab - ab + b^2可以看到，中间的两项-ab和-ab相互抵消，最终结果为a^2 - 2ab + b^2。
这就是差平方公式的推导过程。
差平方公式同样在代数运算中有着广泛的应用。
它可以帮助我们进行因式分解，将一个二次多项式转化为两个一次多项式的乘积。
此外，在几何推导中，差平方公式也常常被用来计算距离、边长等问题。
三、应用举例下面我们通过一些具体的例子来展示平方差与差平方公式的应用。
例1：求解方程考虑方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以使用平方差公式来求解。
将方程转化为(x - 2)(x - 3) = 0，得到x = 2或x = 3。
通过平方差公式，我们可以快速得到方程的解。
平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式因式分解平方差公式和完全平方公式是数学中常用的因式分解方法，它们在解题过程中起到了十分重要的作用。
本文将为大家详细介绍这两个公式，帮助大家理解其原理和应用。
首先，我们来了解一下平方差公式。
平方差公式的表达形式为a² - b² = (a + b)(a - b)。
简言之，它告诉我们两个平方数相减的结果可以因式分解为两个因数的乘积：一个因数是两个平方数的和，另一个因数是两个平方数的差。
这个公式可以极大地简化计算，特别是在解方程或因式分解的题目中，往往能起到事半功倍的效果。
那么，我们来看一个应用平方差公式的例子。
假设我们需要将x² - 4x + 4进行因式分解。
我们可以使用平方差公式进行分解，将x² - 4x + 4看作是(a - b)²的形式，其中a为x，b为2。
根据平方差公式，我们可以得到(x - 2)²，也就是x² - 4x + 4的因式分解形式。
通过应用平方差公式，我们可以将一个多项式快速分解为一对平方数的差的乘积。
接下来，我们将介绍完全平方公式。
完全平方公式的表达形式为a² + 2ab + b² = (a + b)²。
它告诉我们一个二次多项式可以因式分解为两个相同的因数的平方。
与平方差公式类似，完全平方公式也可以在解题过程中提供方便。
我们来看一个应用完全平方公式的例子。
假设我们需要将x² + 6x + 9进行因式分解。
根据完全平方公式，我们可以将x² + 6x + 9看作是(a + b)²的形式，其中a为x，b为3。
带入完全平方公式，我们可以得到(x + 3)²，也就是x² + 6x + 9的因式分解形式。
通过应用完全平方公式，我们可以迅速将二次多项式转化为平方的形式。
在实际应用中，平方差公式和完全平方公式可以帮助我们进行因式分解，并简化问题的求解过程。
数学平方差公式和完全平方差公式
数学平方差公式和完全平方差公式数学中，平方差公式和完全平方差公式是经常被用到的重要公式。
它们在解决数学问题、推导公式和证明定理时起着重要的作用。
让我们一起来了解一下这两个公式吧。
首先，我们来介绍平方差公式。
平方差公式的表达式是(a+b)(a-b)=a^2-b^2。
它通过两个数的和与差的运算之间的联系，让我们能够更方便地进行计算。
平方差公式在解决因式分解问题时非常有用。
例如，如果我们需要将一个四次方程进行因式分解，平方差公式可以帮助我们找到合适的因子，从而简化问题。
此外，平方差公式还可以用于证明等式和推导其他重要的公式，如勾股定理。
接下来，我们来介绍完全平方差公式。
完全平方差公式的表达式是(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
这个公式通过将两个数的和平方展开，让我们能够更加方便地进行计算。
完全平方差公式在解决数列问题时非常有用。
例如，如果我们需要计算一个数列的前n项和，完全平方差公式可以帮助我们简化计算过程，从而节省时间。
此外，完全平方差公式也可以用于推导其他重要的公式，如二次方程的求根公式。
平方差公式和完全平方差公式不仅在数学中发挥重要作用，在实际生活中也有广泛的应用。
例如，在物理学中，这两个公式可以帮助我们计算力、速度和加速度等物理量，从而解决实际问题。
总结起来，平方差公式和完全平方差公式是数学中常用的两个公式。
它们通过运算法则和数学推导，为我们解决问题和证明定理提供了重要的工具。
无论是在学习数学知识还是解决实际问题时，熟练掌握这两个公式都是非常有意义和必要的。
希望通过本文的介绍，大家能够更深入地理解和运用平方差公式和完全平方差公式。
平方差公式与完全平方公式
平方差公式与完全平方公式平方差公式：22))((b a b a b a -=-+说明：相乘的两个二项式中，a 表示的是完全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。
所以说，两个二项式相乘能不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。
熟悉公式：例：(3a+2b)(3a-2b)中 3a 是公式中的a ， 2b 是公式中的b(a 2+b 2)(a 2-b 2)中 a 2 是公式中的a ， b 2是公式中的b(2a+b-c)(2a+b+c)中 2a+b 是公式中的a ， c 是公式中的b 把下列空补充完整：(5+6x)(5-6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b (5+6x)(-5+6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b (x-2y)(x+2y)中 是公式中的a ， 是公式中的b (-m+n)(-m-n)中 是公式中的a ， 是公式中的b（a+b+c ）（a+b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b （a-b+c ）(a-b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b 例1：计算下列各题（a+3）(a-3)=a 2-32=a 2-9 (2x+21)(2x-21)=(2x)2-(21)2=4x 2-161仿练：( 2a+3b)(2a-3b)= (1+2c)(1-2c)= (-x+2)(-x-2)= (a+2b)(a-2b)= 例2：计算下列各题：1998×2002 =(2000-2)(2000+2)=20002-22=4000000-4=3999996 仿练： 1.01×0.99 = （20-91）×（19-98）= 例3：计算下列各题（a+b)(a-b)(a 2+b 2)=(a 2-b 2)(a 2+b 2)=(a 2)2-(b 2)2=a 4-b 4仿练：(a+2)(a-2)(a 2+4)= (x-12)(x 2+ 14)(x+ 12)= 例4：计算下列各题（-2x-y ）(2x-y)=（-y-2x)(-y+2x)=(-y)2-(2x)2=y 2-4x 2 (4a-1)(-4a-1)=(-1+4a)(-1-4a)=(-1)2-(4a)2=1-16a 2仿练：(y-x)(-x-y)= (-2x+y)(2x+y)= (b+2a)(2a-b)= (a+b)(-b+a)= 例5；计算下列各题（a+2b+c ）(a+2b-c)=[(a+2b ）+c][(a+2b)-c]=(a+2b)2-c 2=a 2+4ab+b 2-c 2仿练：(a+b-3)(a-b+3)= (m-n+p)(m-n-p)=练习：1、(1)(1)x x +-2、(21)(21)x x +-3、(5)(5)x y x y +-4、(32)(32)x x +-5、(2)(2)b a a b +-6、(2)(2)x y x y -+--7、()()a b b a +-+8、()()a b a b ---9、(32)(32)a b a b +-10、5252()()a b a b-+11、(25)(25)a a +-12、(1)(1)m m ---13、11()()22a b a b ---14、(2)(2)ab ab ---15、10298⨯16、97103⨯17、4753⨯18、22()()()a b a b a b +-+19、(32)(32)a b a b +-20、(711)(117)m n n m ---21、(2)(2)y x x y ---22、(4)(4)a a +-+23、(25)(25)a a -+24、(3)(3)a b a b +-25、(2)(2)x y x y +-完全平方公式完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 注意不要漏掉2ab 项（a 为首，b 为尾）口诀：首平方，尾平方，首尾之积二倍加减放中央（4m+n ）2中 4m 是公式中的a ， n 是公式中的b(-a-b)2中 -a 是公式中的a ， b 是公式中的b(a+b-c)2中 a 是公式中的a ， b-c 是公式中的b 或者(a+b-c)2中 a+b 是公式中的a ， c 是公式中的b 仿练： (y-21)2中 是公式中的a ， 是公式中的b （b-a ）2中 是公式中的a ， 是公式中的b(2a-b+c)2中 是公式中的a ， 是公式中的b 熟悉公式变形1、a 2+b 2=(a+b)2 -2ab =(a-b)2+2ab2、（a-b ）2=(a+b)2 -4ab ; (a+b)2=(a-b)2+4ab3、(a+b)2 +（a-b ）2= 2a 2+2b 24、(a+b)2 --（a-b ）2= 4ab 例1：计算下列各题2)(y x +=x 2+2xy+y 2 2)23(y x - =(3x)2-2(3x)(2y)+(2y)2=9x 2-12xy+4y 2仿练：2)21(b a += 2)12(--t = 2)313(c ab +-=2)2332(y x += 2)121(-x = (0.02x+0.1y)2=例2：利用完全平方公式计算： 1022=（100+2)2=1002+2×100+221972=(200-3)2=2002-2×200×3+32仿练：982= 2032=练习：计算 1、2(1)p + 2、2(1)p - 3、2()a b - 4、2()a b + 5、2(2)m + 6、2(2)m -7、2(4)m n +8、21()2y -9、2(3)x y -10、2(2)a b --11、21()a a+12、2(52)x y --13、2(2)a b -14、21()2x y -15、2(23)a b +16、2(32)x y -17、2(2)m n --18、2(22)a c +19、2(23)a -+20、21(3)3x y +21、2(32)a b +22、222()a b -+23、22(23)x y --24、2(1)xy -25、222(1)x y -添括号法则如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 也是：遇“加”不变，遇“减”都变．例：)(c b a c b a ++=++ )(c b a c b a +-=--练习运用法则：（1）a+b-c=a+（ ） （2）a-b+c=a-（ ） （3）a-b-c=a-（ ） （4）a+b+c=a-（ ） 2．判断下列运算是否正确． （1）2a-b-2c =2a-（b-2c） （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b ） （3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b ）-（4c+5）在公式里运用法则例：计算：（1）（x+2y-3）（x-2y+3）=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]=x 2-(2y-3)2=x 2-(4y 2-12y+9)=x 2-4y 2+12y-9 （2）（a +b +c ）2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c 2=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2（3）（x +5）2-（x-2）（x-3）=x 2+10x+25-(x 2-5x+6)=x 2+10x+25-x 2+5x-6=15x+19练习：计算：（x +3）2-x 2 2)2(c b a +- 22)()(c b a c b a ---++。
平方差公式
[(x+y)+(m+n)][(x+y哪些能用平方差公式计算？ 怎样用？
1) (a-b+c)(a-b-c) 2) (a+2b-3)(a-2b+3) 3) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5) 4) (a-b+c-d)(-a-b-c-d)
2.(a+b+c)(a+b-c),是否可用平方差公式计 算？怎样应用公式计算？
解： (a+b+c) (a+b-c) = [(a+b)+c] [(a+b)-c] = (a+b)2 - c2 = (a+b) (a+b) – c2 = (a2+ab+ab+b2) – c2 = (a2+2ab+b2) – c2 = a2+2ab+b2 – c2
乘法公式：
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab 1.当a=-b时
(a+b)(a-b) =a2+[b+(-b)]-b2 =a2 -b2
——平方差公式
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2
语言描述: 两个数的和与这两个数的差的积 等于这两个数的平方差
例
; 苹果售后维修点 / 苹果售后维修点 ；
4.下列各式哪些能用平方差公式计算？ 怎样用？
1) (a-b+c)(a-b-c)
1.下列多项式相乘，哪些可用平方差 公式？怎样用公式计算？ 1) (a+b)(-b+a) 2) (ab+1)(-ab+1) =(a+b)(a-b) =(1+ab)(1-ab)
平方差公式的交换律
平方差公式的交换律
平方差公式是数学中的一个基本公式，它描述了两个数的平方之差可以如何简化。
平方差公式为：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)a2−b2=(a+b)(a−b)
交换律是数学中的一个基本性质，它表明在某些运算中，改变运算的顺序不会改变结果。
对于平方差公式，交换律意味着我们可以交换a a和b b的位置，而结果仍然成立。
具体来说，如果我们有a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)a2−b2=(a+b)(a−b)，那么交换a a 和b b的位置后，我们得到b^2 - a^2 = (b + a)(b - a)b2−a2=(b+a)(b−a)。
现在我们来验证这个交换律是否成立。
原始平方差公式为：Eq(a2 - b2, (a - b)(a + b))
交换a和b后的平方差公式为：Eq(-a2 + b2, (-a + b)(a + b))
交换律成立，因为交换a a和b b的位置后，平方差公式仍然成立。
第14讲平方差公式
第14讲 平方差公式【新知讲解】1.基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b 2平方差公式的结构特征：左边两个二项式的乘积，这两个二项式的两项中，有一项完全相同(绝对值相同，符号相同)，而另一项互为相反数（绝对值相同，符号相反） 右边是这两个单项式中这两项的平方差。
这里a,b 可表示一个数、一个单项式或一个多项式。
2.平方差公式的推广：（1）()()2233a b a ab b a b -++=-（2）()()322344a b a a b ab b a b -+++=-（3）()()123221n n n n n n n a b a a b a b ab b a b ------+++++=-3．思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式；③ 注意倒着用公式；④ 2a ≥0；⑤ 用公式的变形形式。
【探索新知】问题导入：()()22b a b a b a -=-+成立吗？ 1.运算推导：2.图形理解：3.平方差公式：()()=-+b a b a A 组 基础知识【例题精讲】例1.利用平方差公式计算：（1）()()x x 6565-+ （2）()()y x y x 22+- （3）()()n m n m --+-例2.计算下列各题：（1）()()20012001-+ （2）()()3232x y x y -+（3）22112222x x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （4）()()x y z x y z +-++（5）59.860.2⨯ （6）2200620052007-⨯例3.用平方差公式进行计算：（1）204×197 （2）108×112例4.化简求值： ()()1212-++-b a b a 其中598,987a b ==。
例5.计算下列各题：（顺用公式）（1）()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++（2）3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+1 （3）2999例6. 计算下列各题：（逆用公式）①1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655 （希望杯）②已知 19221 可以被60至70之间的两个整数整除，这两个整数是多少？B 组 能力提升1.计算：（1）(-65x-0.7y)( 65x-0.7y) （2）(a+2)(a 4+16)(a 2+4)(a-2)（3）(3x m +2y n +4)(3x m +2y n -4) （4）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)（5）(a+b-c-d)(a-b+c+d)2.用平方差公式进行计算：（1）804×796 （2）10007×99933.计算（顺用公式）：6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1变式训练1：（2211-）（2311-）（2411-）…（2911-）（21011-）：4.计算（逆用公式）：(x 3+x 2+x+1)(x 3-x 2+x-1)-(x 3+x 2+x+2)(x 3-x 2+x-2)C 组 拓展训练1.1949²-1950²+1951²-1952²+……+1999²-2000²2.求证：1999×2000×2001×2002+1是一个整数的平方。
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平方差公式
教学目标
1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理水平。
2．会推导平方差公式，并能使用公式实行简单计算。
3．理解平方差及其几何背景，使学生明白数形结合的思想。
4．在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。
5．培养学生灵活使用知识、勇于探求科学规律的意识。
教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会使用公式实行简单的计算。
教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义，具体问题要具体分析，会使用公式实行计算。
教学准备
1．为每位学习准备一张正方形纸片（边长为15c m）。
2．教师准备两张正方形（一大一小）纸板和三块矩形纸板。
3．多媒体课件。
教学流程
一、创设问题情境，引导学生观察、设想。
教师发给每个学生一张正方形纸片（边长15c m），并用多媒体课件与正方形纸板显示正方形。
师：在一块45c m的正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为15c m的正方形（如图），请问剩下部分的面积有多少平方厘米？
师：计算剩下部分的面积能够有哪些方法？
小组讨论：
1．能够用大正方形面积减去小正方形面积得到。
2．能够把剩下的部分切割成几个矩形来计算。
师：从今天的问题来看，用哪一种方法比较好？你们小组能列出算式吗？
或许有学生能迅速列出算式，得出答案是1800平方厘米。
师：为了容易理解，我现在把小正方形放在大正方
形
的角落（如图）。
师
：刚才我们说过计算面积的方法不止一种，我们现在试
着用分割的方法来计算面积。
请参照老师的做法，先在
你们的纸上画一条虚线，然后把刚才画的小正方形剪下
来（或撕去），就像要挖去这部分一样，再沿虚线把小长
方形剪下来，并把小长方形拼到大长方形的一边，刚好又变成一个新的长方形（如图）。
师：若按照我们刚开始的题目要求，现在新的大长方形的长、宽各是多少？它的面积又是多少呢？
生：大长方形的长是(45+15)c m ，宽是(45-15)c m 。
长方形的面积=(45+15)×(45-15)=60×30=1800（平方厘米）。
师：还记得两种方式的列式吗？
生：第一种方法的式子是 452-152，
第二种方法的式子是(45+15)×(45-15)。
师：两个式子都能求出剩下的面积，它们之间有什么关系呢？
生：相等。
二、交流对话，探求新知。
看谁算得快：
（1）（x +2）（x -2）
（2）（1+3a ）（1-3a ）
（3）（x +5y ）（x -5y ）
（4）（-m +n ）（-m -n ）
师：你们能发现什么规律？
师：再想想看，如果今天的题目换成：“在一块边长为a 厘米的正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为b 厘米的小正方形，请问剩下的面积有多少？”我们该怎样列代数式来表示？
生：我们能够用a 2-b 2来表示剩下的面积。
师：还有没有别的方法？
生：也能够用（a +b ）（a -b ）来表示剩下的面积。
师：今天我们除了要找一个比较方便的方法来求面积外，更重要的是我们能从图形中了解到（a +b ）（a -b ）
= a 2-b 2这个性质。
上一节课我们已经学过多项式的乘法，你能利用计算多项式乘法的方法，把（a +b ）（a -b ）的答案计算出来吗？
5
30 15
30
师：为了节省计算时间，我们（a +b ）（a -b ）= a 2-b 2作为公式来使用，把这个公式称为“平方差公式”。
平方差公式：（a +b ）（a -b ）= a 2-b
2 师：哪一位同学能用语言叙述一下平方差公式？ 生：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
三、使用新知，体验成功。
1．例1 计算：
（1）（a +3）（a -3）
（2）（2a +3b ）（2a -3b ）
（3）（1+2c ）（1-2c ）
（4）11()()44x y x y ---+ 解：（1）原式=a 2-32=a 2-9
（2）原式=(2a )2-(3b )2=4a 2-9b
2 （3）原式=12-(2c )2=1-4c 2
（4）原式=222211()416x y x y --=- 2．巩固深化，拓展思维。
计算：
（1）（2x +3）（2x -3）
（2）（-2x +y ）（2x +y ）
（3）（-x +2）（-x -2）
（4）（y -x ）（-x -y ）
说明：在练习时，要特别注意公式的变式训练。
讲解时要紧扣公式的特征，找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后用公式。
3．例2 计算：1998×2002。
分析：这是一个数字计算问题，让学生分组讨论如何利用平方差公式实行计算。
在本例教学时不能仅仅着眼于应用公式的化简与计算，要让学生感受构造数学“模型”的乐趣。
4．练习，简便计算：
（1）498×502 （2）999×1001
5． 例3 街心花园有一块边长为a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米。
问改造后的长方形草坪的面积是多少？
（首先要列出表示面积的代数式。
）
解：（a +2）（a -2）= a 2-4
答：改造后的长方形草坪的面积是（a 2-4）平方米。
6．练习
用一定长度的篱笆围成一个矩形区域，小明认为围成一个正方形区域面积最大，而小亮认为不一定。
你认为如何？
四、课堂小结。
1．通过本节课的学习活动，你们理解了什么？是否还有不明白的地方？
2．什么样的式子才能使用平方差公式？记住公式的特点。