平方差公式_1
平方差公式(1)
6.6平方差公式（1）
课型：新授课主备人：梁留军审核人：
【学习目标】
1.经历探索平方差公式的过程，进一步发展推理能力.
2.能熟练运用平方差公式进行有关的计算或变形.
【学习重点】
利用平方差公式进行运算.
【学习难点】
平方差公式的应用.
【复习回顾】（限时3分钟）：
1.回忆多项式与多项式的乘法法则.
2.计算:
（1）（x+2）(x－2)；(2) （1+3a）（1－3a）；
（3）（x+5y）（x－5y）；（4）（2y+z）(2y－z).
【新课导学】
一、小组合作（限时2分钟）：
认真观察上面4道计算题的计算结果，你发现了什么？再举两列验证你的发现：二、成果展示（限时2分钟）：试总结得出平方差公式：
（a＋b）（a－b）＝__________.
两数和与两数差的积，等于____ ____________.
三、典例精讲1（限时3分钟）.
认真学习44页例1，体会平方差公式的应用，并能独立写出解题过程.
（1）（5＋6x）（5－6x）; （2）（x－2y）（x＋2y）; (3) (-m＋n)(-m－n).
四、巩固练习1（限时5分钟）：45页随堂练习第1题.
五、典例精讲2（限时3分钟）：
认真学习例2，进一步体会平方差公式的用法，并独立写出解题过程.
(1) (﹣41x －y)( ﹣
4
1x ＋y); （2）（ab ＋8）(ab －8)
六、巩固练习2（限时5分钟）：做45页，随堂练习第2题.
七、达标测试（限时8分钟）：完成45页习题6.12.第1、2题.
八、课堂小结（限时3分钟）.
九、布置作业：《基训》平方差公式 第一课时
【课后反思】。
平方差公式(1)
×
×
学以致用：
例3：利用平方差公式计算 a (1)(5x+y)(5x-y) (1) 5x (2)(m+2n)(2n-m) (2) 2n (3)(-x+3y)(-x-3y) (3) -x b
y
m
3y
一试身手
例4:用简便方法计算：
（1）102×98
（2）-0.96×1.04 例5:计算
(1)(2 y 3 x )(3 x 2 y )
边长为b的小正方形纸片放置在边长为a的大正方 形纸片上，你能用不同的方法表示它的面积吗？ 2 2 a b （1）图中的阴影部分面积是__________ （2）你能否将阴影部分拼成一个完整的长方形图案吗？ (a b)(a b) 你拼出的长方形的面积是________________
平方差公式
6(1）-（3）
7,8
评价手册：P40－41
2 2
(2)a (1 a )(1 a )(1 a )
4 2
•说出平方差公式的特征 •在式子(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中， 当a,b,c,d满足什么条件时，能得到平 方差公式？
P85 练一练 1,2,3
本子上
P87习题9.4
4（5）-（8）,5(2）
百分百训练：P102
平方差公式
完全平方公式：
2 (a+b) = 2 (a-b) = 2 2 a +2ab+b
2 2 a -2ab+b
有关完全平方公式的反思：
（a+b）n与an+bn相等吗？
m
m
n n
•你认为图中小正方 形的边长是多少？
八年级数学平方差公式1
复习：运用平方差公式计算：
1) .（a+2)(a-2);
2) . (x+2y) (x-2y)
3). (t+4s)(-4s+t)
看谁做得最快最 正确！
4). (m² +2n² )(2n² - m² )
（1）观察多项式x2 –25，9 x2- y2 ， 它们有什么共同特征？
（2）尝试将它们分别写成两个因式的 乘积，并与同伴交流。
3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要 进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分 解为止。
4.运用平方差分解因式，还给某些运算带来方便，故应善于运用此 法，进行简便计算。 5.在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提取公因式，再
考虑运用平方差公式分解因式。
随堂练习：
P49
1
2
巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y³ （ D ）
D. - X² + y² ）
2) -4a² +1分解因式的结果应是 A. -(4a+1)(4a-1) B.
-( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1
D.
-(2a+1) (2a-1)
1)原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
做一做
2、如图，在一块边长 为 acm 的正方形的四 角，各剪去一个边长为 bcm的正方形，求剩余 部分的面积。如果 a=3.6，b=0.8呢?
平方差公式1
平方差公式(1)
教学目标：
知识与能力：
1、经历探索平方差公式过程，进一步发展学生的符号感和推理能力。
2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。
3、了解平方差公式的几何背景。
过程与方法：
经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；
情感态度价值观：
培养学生有条理的思考及有逻辑的思维能力和语言表达能力。
教学重点：
1.弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点；
2、会用平方差公式进行运算。
教学难点：会用平方差公式进行运算
教学方法：探索讨论、归纳总结。
准备活动：
计算：1、2、3、
教学过程：
一、探索练习：
1、计算下列各式：
（1）（2）（3）
2、观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？
3、猜一猜：－
二、巩固练习：
1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算
（1）（2）
（3）（4）
2、判断：
（1）（）（2）（）
（3）（）（4）（）
（5）（）（6）（）
3、计算下列各式：
（1）（2）（3）
（4）（5）
（6）
4、填空：
（1）（2）
（3）
（4）
三、提高练习：
1、求的值，其中
2、计算：
（1）
（2）
3、若
小结：熟记平方差公式，会用平方差公式进行运算。
作业：课本P30习题1.11：1。
教学后记：。
平方差公式(1)
1.7平方差公式1教学目标：一、知识与技能１、参与探索平方差公式的过程，发展学生的推理能力２、会运用公式进行简单的乘法运算。
二、过程与方法１、经历探索过程，学会归纳推导出某种特种特定类型乘法并用简单的数学式子表达出，即给出公式。
２、在探索过程的教学中，培养学生观察、归纳的能力，发展学生的符号感和语言描述能力。
三、情感与态度以探索、归纳公式和简单运用公式这一数学情景，加深学生的体验，增加学习数学和使用的信心。
培养学生由观察－发现－归纳－验证－使用这一数学方法的逐步形成.教学重点：公式的简单运用教学难点：公式的推导教学方法：学生探索归纳与教师讲授结合课前准备：投影仪、幻灯片教学设计平方差公式（２）教学目标：一、知识与技能1、了解平方差公式的几何背景，一些代数问题能用几何图形解释，用以可培养学生数形结合的思想。
2、培养学生灵活运用公式的能力。
二、过程与方法１、借助于图形的分割拼凑，证实了平方差公式的正确性，“数”与“形”的转化，用代数语言描述一个几何图形，用几何图形表示一个代数上的结论，这种形式上的变换在以后学习中还经常要用，应逐步培养。
２、进一步掌握并运用平方差公式，培养学习数学的兴趣。
三、情感与态度观察了解一些实际问题，使之数字化，数学化，建立数学模型，用已掌握的数学手段加以解决，从中逐步体会到数学体现的是自然界的空间形式和数学关系。
乐于参与和体验数学活动、感受到数学中确实有简捷的美，和谐的美，哲理的美。
数学确实好玩并且人人都可以玩。
重点：熟练运用平方差公式。
难点：拼图证明平方差公式，正确运用平方差公式，体会数学的抽象化，符号化。
教学方法：学生活动与教师讲授相结合课前准备：投影仪、幻灯片，有条件可把拼图过程制作成动画课件，小组准备拼图纸片。
教学设计：。
平方差公式解一元二次方程
平方差公式解一元二次方程平方差公式解一元二次方程：轻松搞定！一元二次方程，听起来是不是有点头疼？别急，今天我们用最简单的语言来聊聊怎么用平方差公式来解决它，让你也能轻松搞定这个数学问题。
准备好了吗？那就开始吧！1. 认识平方差公式1.1 平方差公式是什么？平方差公式，顾名思义，就是处理“平方”相关的问题。
具体来说，它的公式是：((a + b)^2 (a b)^2 = 4ab)。
这个公式的妙处在于，它能把复杂的二次方程问题化繁为简，让我们能够快速求解。
听起来有点复杂对吧？其实只要记住这个公式，就能在解题时如鱼得水了。
1.2 为什么要用平方差公式？你可能会问：“为什么偏偏用平方差公式？”嗯，这个公式能把一元二次方程中复杂的项简化为更易处理的形式，像是把“大山”变成“小山丘”，让我们一步步地攻克难关。
它帮助我们更快地找到方程的解，节省不少时间。
2. 实际应用平方差公式2.1 方程的基本形式首先，我们需要把一元二次方程写成标准形式，即 ( ax^2 + bx + c = 0 )。
为了用平方差公式，我们可能需要稍微变换一下方程。
比如，把它写成形如 ((x p)^2 q = 0)的形式。
这时，我们就可以用平方差公式来解题了。
2.2 例子演示让我们看个实际例子吧。
假设我们有方程 (x^2 4 = 0)。
这时，方程看起来就像是((x + 2)(x 2) = 0)。
这里，我们可以看到它正好符合平方差公式的形式：((x + 2)^2 (x2)^2)。
用平方差公式解这个方程，我们就能很快找到 (x = 2) 和 (x = 2) 这两个解。
3. 用平方差公式解题的步骤3.1 确定方程形式首先，你需要把方程化简成平方差公式的形式。
如果原方程不是这个形式，可以通过变换来实现。
这个步骤就像是找出谜题的线索，让我们知道接下来该怎么做。
3.2 应用公式一旦方程化为平方差公式的形式，你就可以直接用公式来解题了。
只要把已知的数值代入公式，计算出结果，就能得到方程的解了。
1.7.1平方差公式(1)[1]
![1.7.1平方差公式(1)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/80f316f2f90f76c661371a22.png)
(−4a−1)(4a−1) 1)(4a (4a 1 = −(4a+1) (4a−1) −(4a (4a ) = −[(4a)2 −1 ] 16a = 1−16a2。
你提出的“−”号、添括号； 你提出的“ 添括号； 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“ 和符号相反的“ 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 式．
学一学
例题解析
例1 利用平方差公式计算： 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n). (5+ )(5− )(x )(−
第一数a 第一数a 第二数b 第二数b 平方 平方
解: (1) (5+6x )(5−6x)= 52 − ( 6x)2 (5+ )(5− 5 5 36x =25 − 36x2 ; (2) (x +2y) (x−2y) 2y (x 2y = x2 − ( 2y )2 = x2 −4y2 ; (3) (−m+n)(−m−n ) −m )(− = ( −m )2 − n2 = m2 −n2 .
(不能) (第一个数不完全一样 ) 不能) (不能) 不能) (能) (2b − a)(2b+a) (能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; (能) (−2x − y)(−2x +y).
2 2 2
4) (1 + 3 x )( − 1 − 3 x ) = 1 − (3 x ) 2 = 1 − 9 x 2 错
(1+ 3x)(−1−3x) = −1−3x −3x −3x ⋅ 3x = −9x − 6x −1
平方差公式1(讲课用)
（2） (1 3a)(1 3a)
1 9a 23a 9a 212 1 9a 22 ＝ - (3a) ___ 1 3a
变式一 变式二 变式三 变式四 变式五 ( －3m＋2n)(－3m－2n) ( －3m－2n)(3m－2n) (3m＋2n)(－3m＋2n) (3m＋2n)(－3m－2n) (－3m－2n)(3m－2n)
变式六
(－2n＋3m)(3m＋2n)
一个公式
2-b2 ：（a+b)(a-b)=a
两种作用：(1)简化某些多项式的乘法运算 (2)提供有理数乘法的速算方法 三个表示
2
2
2
2
请思考下面的问题：1、等式左边的两个多项式 平方差公式： 2 2 有什么特点？2、等式右边的多项式有什么规律？3、 (a b)( a b) a b 请用字母表示规律，然后语言归纳总结出等式的规 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两 律。 个数的平方差．
(a b)( a b) a b
步骤：1、判断；2、调整；3、分步解。 （注意：要用好括号；幂的运算。）
利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a - 3b) （2）(3+2a)(－3+2a)
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)
（4）51×49
试一试 计算：(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1 并确定其个位数字是多少？
解（1） (5 6 x)(5 6 x) 52 (6 x) 2 25 36 x 2
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平方差公式
教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节教学的重点是掌握公式的结构特征及正确运用公式．难点是公式推导的理解及字母的广泛含义．是进一步学习完全平方公式、进行相关代数运算与变形的重要知识基础．1．是由多项式乘法直接计算得出的：与一般式多项式的乘法一样，积的项数是多项式项数的积，即四项．合并同类项后仅得两项．2．这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差．公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．只要符合公式的结构特征，就可运用这一公式．例如在运用公式的过程中，有时需要变形，例如，变形为，两个数就可以看清楚了．3．关于的特征，在学习时应注意：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．（3）公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式．（4）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算．三、教法
建议1．可以将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的是激发学生的学习兴趣，使学生能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特征，上升到一定的理论认识，加以实践检验，从而培养学生观察、概括的能力．2．通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘，其积为两项，因为其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是互为相反数，合并同类项时为零，即(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2．这样得出，并且把这类乘法的实质讲清楚了．3．通过例题、练习与小结，教会学生如何正确应用．这里特别要求学生注意公式的结构，教师可以用对应思想来加强对公式结构的理解和训练，如计算(1+2x)(1-2x)，(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2↓↓↓↓↑↑
(a + b)(a - b)=a2- b2．这样，学生就能正确应用公式进行计算，不容易出差错．另外，在计算中不一定用一种模式刻板地应用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活应用公式，培养学生解题的灵活性．教学目标1．使学生理解和掌握，并会用公式进行计算；2．注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力．教学重点和难点重点：的应用．难点：用公式的结构特征判断题目能否使用
公式．教学过程设计一、师生共同研究我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项以后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？请举出例子．让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解．教师根据学生的回答，引导学生进一步思考：两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式？为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？而它们的积又有什么特征？(当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式．这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了．而它们的积等于乘式中这两个数的平方差) 继而指出，在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算．以后经常遇到(a+b)(a-b)这种乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作为公式，叫做乘法的．在此基础上，让学生用语言叙述公式．二、运用举例变式练习例1 计算(1+2x)(1-2x)．解：(1+2x)(1-2x) =12-(2x)2 =1-4x2．教师引导学生分析题目条件是否符合特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么．例 2 计算(b2+2a3)(2a3-b2)．解：(b2+2a3)(2a3-b2) ＝(2a3+b2)(2a3-b2) ＝
(2a3)2-(b2)2 ＝4a6-b4．教师引导学生发现，只需将(b2+2a3)中的两项交换位置，就可用进行计算．课堂练习运用计算：(l)(x+a)(x-a)；
(2)(m+n)(m-n)；(3)(a+3b)(a-3b)；(4)(1-5y)(l+5y)．例 3 计算(-4a-1)(-4a+1)．让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演．解法1：(-4a-1)(-4a+1) =[-(4a+l)][-(4a-l)] =(4a+1)(4a-l) =(4a)2-l2 =16a2-1．解法2：(-4a-l)(-4a+l) =(-4a)2-l =16a2-1．根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用，写出结果．解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)2-l2后得出结果．采用解法2的同学比较注意的特征，能看到问题的本质，运算简捷．因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用，就能比较简捷地得到答案．课堂练习1．口答下列各题：(l)(-a+b)(a+b)；
(2)(a-b)(b+a)；(3)(-a-b)(-a+b)；(4)(a-b)(-a-b)．2．计算下列各题：(1)(4x-5y)(4x+5y)；(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法．三、小结1．什么是？2．运用公式要注意什么？(1)要符合公式特征才能运用；(2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公
式，要注意变形．四、作业1．运用计算：(l)(x+2y)(x-2y)；
(2)(2a-3b)(3b+2a)；(3)(-1+3x)(-1-3x)；(4)(-2b-5)(2b-5)；
(5)(2x3+15)(2x3-15)；(6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)；
2．计算：(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y)；(2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b)；
(3)x(x-3)-(x+7)(x-7)；(4)(2x-5)(x-2)+(3x-4)(3x+4)．热门文章青少年思想道德建设
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