试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第1章 误差分析
试验设计
试验误差，在试验设计中要遵循如 下三条基本原理：
重复 随机化 区域控制
第三章 试验统计基础及EXCEL简介
3.1 试验统计基础
3.1.1 试验数据的类型
数量数据
当试验结果显现数量上的变化，由
计数或测量所得到的数据资料。
计数数据：由计数法得到的数据，
Hale Waihona Puke 是非连续型变量数据。取值时一般 为正整数。如人体白细胞计数等。 计量数据：由测量所得的数据，是 连续型变量数据。不一定是整数， 通常有不同的有效数字。如药片的 重量等。
精确度(Accuracy)
又称准确度。它表示试验处理测量
结果与被测量处理真值之间的接近 程度。它反映了试验测量结果中系 统误差与随机误差的综合。
正确度(Correctness)
表示试验测量结果中系统误差大小
的程度。它反映了试验规定条件下， 试验测量中所有系统误差的综合。
2.1.6 提高试验精确度的主要途径
科技人员掌握应用各种先进试验设
计与结果分析方法，可提高自身的 素质及科学试验水平，将加快所从 事科学研究的进程。
科学研究中不同阶段的试验设计
研究初期阶段的探索试验
简单设计试验
目的是明确某因素的作用。
如对照试验、比较试验等。
筛选试验
目的是在众多因素中明确关键因素或
优良水平。 如单因素多水平试验（格子设计等）； 少量水平的多因素试验（如混杂设计、 不完全区组设计、均匀设计、正交设 计等）。
研究中期阶段的析因试验
多因素的析因试验，以深入分析主
要因素的作用及其相互关系。 如拉丁方设计、交替设计、裂区设 计、正交设计等。
研究后期阶段的优化试验
试验误差的分析及数据处理
例 1：某工厂测定含铬废水浓度的结果如下表，试计算其
平均浓度。
铬（mg/L） 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
出现次数 3 5
7
7
5
x 0.33 0.45 0.57 0.67 0.75 35775
＝0.52（mg/L）
例 2：某印染厂、各类污水的 BOD5 测定结果如下表，试 计算该厂污水平均浓度。
污水类型
BOD5 （ mg/L）
污水流量 （ m3 /d）
退浆污水
4000
15
煮布锅污水
10000
8
印染污水
400
1500
漂白污水
70
900
解：
x
4000 15
10000 8 400 1500 15 8 1500 900
70
900
=331.4（mg/L）
2．直接测量值与间接测量值
直接测量值就是通过仪器直接测试读数得到的数据。
精密度(precision)是平行测量的各测量值(实验值)之间 互相接近的程度。 用偏差表示,偏差为测定值与平均值之 差，偏差可分为：绝对偏差(d)与相对偏差（dr）平均偏差、 相对平均偏差、标准偏差、相对标准偏差等：
（1）绝对偏差(d)： d X i X
（2）相对偏差（dr）为绝对偏差与平均值之比，常用百分率
正确度反映系统误差的大小的程度。如观测的系统误 差小，则称观测的正确度高。可以使用更精确的仪器 来提高观测的精密度。 精确度反映偶然误差与系统误差合成的综合误差大小 的程度。 对于测量来说，精密度高，正确度不一定高；同 样，正确度高，精密度也不一定高；精确度高，则精 密度和正确度都高。
例如：甲、乙、丙、丁四个人同时用碘量法测定某铜矿中CuO含 量（真实含量为37.40）测定4次，其结果如下图所示：分析此 结果精密度与正确度的关系。
《试验设计与数据处理》第1章试验数据的误差分析
d p xp x (, n) s
则应将xp从该组试验值
中剔除。
7 10.52 0.066 10.52 0.119
8 10.82 0.366
x 10.45
x 10.40
s= 0.165
s= 0.078
从附录2查取。
(, n)
(1) s (0.05,8) 2.03 0.16 0.320.366 (2) (0.05,7) s 1.94 0.078 0.15220.119
※ 适用场合: 测定次数n >20
※测定次数n <10时，应采用其它准则。如：
格拉布斯准则、狄克逊准则、t检验法等 21
(2) 格拉布斯(Grubbs)准则
序
第一次检验
第二次检验
※ 方法：
号 xi xi x xi xi x
1）计算包括可疑值在内
1 10.29 0.164 10.29 0.111
• 在相同条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号 的变化时大时小，时正时负，没有确定的规律；
• 在一次测定中，是不可预知的，但在多次测定中，其误差 的算术平均值趋于零。
※ 随机误差的来源：偶然因素 ※ 随机误差具有一定的统计规律：
(1) 有界性； (2) 正误差和负误差出现的频数大致相等； (3) 绝对值小的误差比大的误差出现的次数多（收敛性）。 (4) 当测量次数n→∞，误差的算术平均值趋于零（抵偿性1）3 。
用来描述试验结果与真值的接近程度，即反映系统误差和随 机误差合成的大小程度。
16
1.5 试验数据误差的估计与检验
※1 随机误差的估计 对试验值精密度高低的判断：
(1) 极差：指一组试验值中最大值与最小值的差值。
《试验设计》讲稿第一部分
试验设计DOE design Of experiment教材王万中 试验的设计与分析 高等教育出版社参考文献1．李云雁 胡传荣 试验设计与数据处理 化学工业出版社2．茆诗松 周纪芗 陈颖 试验设计 中国统计出版社3．方开泰 试验设计 高等教育出版社一、引 言试验设计（design Of experiment，DOE），也称为实验设计。
试验设计是以概率论和数理统计为理论基础，经济地，科学地安排试验的一项技术。
试验设计自20世纪20年代问世至今，其发展大致经历了三个阶段：即早期的单因素和多因素方差分析，传统的正交试验法和近代的调优设计法。
试验设计的概念从20世纪30（20）年代费希尔（R.A.Fisher）在农业生产中使用试验设计方法以来，试验设计方法已经得到广泛的发展，统计学家们发现了很多非常有效的试验设计技术。
20世纪60（50）年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了巨大的贡献。
试验设计的内容产品质量的高低主要是由设计决定的，一个好的试验设计包含几个方面的内容。
第一是明确衡量产品质量的指标，6σ管理强调用数据说话，所以这个质量指标必须是能够量化的指标，在试验设计中称为试验指标，也称为响应变量(responsevariable）或输出变量。
第二是寻找影响试验指标的可能因素（factor) ，也称为影响因子和输入变量。
因素变化的各种状态称为水平，要求根据专业知识初步确定因家水平的范围。
第三是根据实际问题，选择适用的试验设计方法。
试验设计的方法有很多，每种方法都有不同的适用条件，选择了适用的方法就可以事半而功倍，选择的方法不正确或者根本没有进行有效的试验设计就会事倍而功半。
第四是科学地分析试验结果，包括对数据的直观分析、方差分析、回归分析等多种统计分析方法，这些工作可以借助各类（SAS SPSS MATLAB EXCEL等等）软件完成。
试验设计与数据处理(第三版)李云雁-第1章-误差分析PPT优秀课件
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
13
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
10
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln 宜使用对数平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
（1）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一 确定的规律起作用而形成的误差
（2）产生的原因：多方面 （3）特点： 系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的
平均值而减小 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进
行校正，或设法消除。
数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法” 我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计
3
0.2 试验设计与数据处理的意义
0.2.1 试验设计的目的:
合理地安排试验,力求用较少的试验次数获得较好结果 例：某试验研究了3个影响因素： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，B3 C：C1，C2，C3 全面试验：27次 正交试验：9次
6
误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进 行客观的评定
误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实 值在数值上的不一致
试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第1章 误差分析.ppt
1.2.2 相对误差（relative error）
（1）定义：
相对误差
绝对误差 真值
或
ER
x xt
x
xt xt
（2）说明：
真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：
ER
x x
或
ER
x x
可以估计出相对误差的大小范围：
ER
x xt
x xt max
相对误差限或相对误差上界
∴ xt x(1 ER )
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 真值一般是未知的 相对的意义上来说，真值又是已知的 ➢ 平面三角形三内角之和恒为180° ➢ 国家标准样品的标称值 ➢ 国际上公认的计量值 ➢ 高精度仪器所测之值 ➢ 多次试验值的平均值
1.1.2 平均值（mean）
（1）算术平均值（arithmetic mean）
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln x2
x2
x1
若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
试验设计与数据处理(第三版)李云雁-第1章-误差分析
若
2
2 (1
)
(df
)
则判断该方差与原总体方差无显著减小，否则有显著减小
➢ 右侧（尾）检验
若 2 2 (df ) （当 s2 2 时）
则判断该方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增大
（3）Excel在 2 检验中的应用
1.5.1.2 F检验(F-test)
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln x2
x2
x1
若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
s——合并标准差：
s (n1 1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2
两组数据的精密度或方差有显著差异时 t x1 x2 s12 s22 n1 n2
服从t分布，其自由度为：
df
(s12 n1 s22 n2 )2 (s12 n1)2 (s22 n2 )2
2
(n1 1) (n2 1)
定义式：
SE
n
(xi x)2
i 1
n(n 1)
第一章实验误差及数据处理
第一章 实验误差及数据处理第一节 测量与误差物理学是以实验为本的科学，从经典的伽利略自由落体实验、库仑定律的验证、法拉第电磁感应现象的发现到现代的X 射线的发现、广义相对论的建立及实验检验等，都建立在实验基础上。
在实验中需要对各种物理量进行测量，如长度、质量、杨氏模量、电流、电阻、居里温度等等，测量分为两种：直接测量和间接测量。
直接从仪器上读出测量结果的叫直接测量，如用米尺测量长度，用天平测量物体的质量，电流表测量电流的大小。
由直接测量结果经过函数关系式计算才能得出待测量的叫间接测量，如单摆实验中重力加速度的测量，伏安法中电阻的测量。
物理实验中的测量多数是间接测量。
物理量本身存在着一个客观真值，严格来说真值是测不到的(真值不能以有限位数表示)，我们只能测得其近真值，这是因为人的认识能力的局限，测量工作受技术水平的限制以及受测量者主观视听与环境条件偶然起伏的影响，这就使测量不可避免地伴随有误差产生。
因此分析测量中产生的各种误差，设法消除其影响，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，是科学实验不可缺少的工作。
为此我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因、消除及减少的办法，学习误差的估计方法等有关知识。
一、误差测量中，由于各种原因测量值与真值总是存在差异，0x x x -=∆ (1-1)0x 为真值，x 为测量值，其差x ∆就称为误差，也叫绝对误差。
测量误差存在于一切测量之中，贯穿实验过程的始终，随着科学技术水平的不断进步，测量误差越来越小，但却永远不能降低到零。
但是这里有一个问题需要注意，真值0x 是客观存在且又不可测知的，因此在实际测量中，误差并不能由（1-1）式简单地计算出来。
建立在统计学基础上的误差理论，是我们在实际测量中处理误差问题的理论基础。
绝对误差可以评价某一测量的可靠程度，但若要比较两个或两个以上的不同测量结果时，它就无能为力了，这就需要用相对误差来评价测量的优劣。
相对误差定义为%100⨯=测量最佳值绝对误差相对误差二、误差与分类从误差的性质上可分为两大类：系统误差和随机误差。
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平均值而减小 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进
行校正，或设法消除。
1.3.3 过失误差 （mistake ）
（1）定义： 一种显然与事实不符的误差
（4）几何平均值（geometric mean）
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则
1
x G n x1x2...xn (x1x2...xn ) n
当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称 时，宜采用几何平均值。
几何平均值≤算术平均值
（5）调和平均值（harmonic mean）
真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 真值一般是未知的 相对的意义上来说，真值又是已知的 ➢ 平面三角形三内角之和恒为180° ➢ 国家标准样品的标称值 ➢ 国际上公认的计量值 ➢ 高精度仪器所测之值 ➢ 多次试验值的平均值
1.1.2 平均值（mean）
（1）算术平均值（arithmetic mean）
（1）定义 绝对误差＝试验值－真值
或
x x xt
（2）说明 真值未知，绝对误差也未知 可以估计出绝对误差的范围：
或
x
x xt
x max
绝对误差限或绝对误差上界
xt
x
x max
绝对误差估算方法： ➢ 最小刻度的一半为绝对误差； ➢ 最小刻度为最大绝对误差； ➢ 根据仪表精度等级计算：
绝对误差=量程×精度等级%
1.2.2 相对误差（relative error）
（1）定义：
相对误差
绝对误差 真值
或
ER
x xt
x
xt xt
（2）说明：
真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：
ER
x x
或
ER
x x
可以估计出相对误差的大小范围：
ER
x xt
x xt max
相对误差限或相对误差上界
∴ xt x(1 ER )
（2）产生的原因： 实验人员粗心大意造成
（3）特点： 可以完全避免 没有一定的规律
1.4 试验数据的精准度
1.4.1 精密度（precision）
（1）含义： 反映了随机误差大小的程度 在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度
（2）产生的原因： 偶然因素 （3）特点：具有统计规律 小误差比大误差出现机会多 正、负误差出现的次数近似相等 当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 可以通过增加试验次数减小随机误差 随机误差不可完全避免的
1.3.2 系统误差（systematic error）
（1）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一 确定的规律起作用而形成的误差
数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法” 我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计
0.2 试验设计与数据处理的意义
0.2.1 试验设计的目的:
合理地安排试验,力求用较少的试验次数获得较好结果 例：某试验研究了3个影响因素： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，B3 C：C1，C2，C3 全面试验：27次 正交试验：9次
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln x2
x2
x1
若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值 对数平均值≤算术平均值 如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
n
x
x1 x2 ... xn
xi
i 1
n
n
适合：
等精度试验值 试验值服从正态分布
（2）加权平均值(weighted mean)
n
xW
w1x1 w2 x2 ... wn xn w1 w2 ... wn
wi xi
i 1 n
wi
i 1
wi——权重
加权和
适合不同试验值的精度或可靠性不一致时
误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进 行客观的评定
误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实 值在数值上的不一致
➢ 客观真实值——真值 ➢ 试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实
验过程中
1.1 真值与平均值
1.1.1 真值（true value）
定义式：
SE
n
(xi x)2
i 1
n(n 1)
表示当前样本对总体数据的估数n越大，标准误越小，表明所抽取的样本能够较 好地代表总体样本
1.3 试验数据误差的来源及分类
1.3.1 随机误差 （random error ）
（1）定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时 正时负，时大时小
0.2.2 数据处理的目的
通过误差分析，评判试验数据的可靠性； 确定影响试验结果的因素主次，抓住主要矛盾，提高试
验效率； 确定试验因素与试验结果之间存在的近似函数关系，并
能对试验结果进行预测和优化； 试验因素对试验结果的影响规律，为控制试验提供思路； 确定最优试验方案或配方。
第1章 试验数据的误差分析
试验设计与数据处理
（第三版）
Experiment Design and Data Processing
引言
0.1 试验设计与数据处理的发展概况
20世纪20年代，英国生物统计学家及数学家费歇 （R．A．Fisher）提出了方差分析
20世纪50年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用 最广的正交设计表格化
相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（‰）
1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy)
定义式：
n
n
xi x di
i1
i1
n
n
di ——试验值 xi 与算术平均值 x 之间的偏差
可以反映一组试验数据的误差大小
1.2.4 标准误差 (standard error)