2017-2018学年人教A版高中数学必修四同步双基检测试题AB卷含答案【共24套】
人教新课标A版高中数学必修4双基限时练及答案2.doc
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】双基限时练(二)1．终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( ) A ．{α|α＝k π，k ∈Z }B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π2，k ∈Z C ．{α|α＝2k π，k ∈Z }D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π2，k ∈Z 解析 A 选项表示的角的终边在x 轴上；B 选项表示的角的终边在y 轴上；C 选项表示的角的终边在x 轴非负半轴上；D 选项表示的角的终边在y 轴非负半轴上，故选D.答案 D2．在半径为5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3cm B.20π3cm C.10π3cmD.50π3cm解析 记r ＝5，圆心角α＝23×2π＝4π3， ∴l ＝|α|r ＝203π. 答案 B3．将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A ．－π4－8π B.74π－8π C.π4－10πD.7π4－10π解析 ∵－1485°＝－5×360°＋315°， 又2π＝360°，315°＝74π，∴－1485°＝－5×2π＋74π＝7π4－10π. 答案 D4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ为( ) A ．－34π B.π4 C.34πD ．－π4解析 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴θ＝－34π. 又－11π4＝－4π＋5π4，∴θ＝5π4. ∴使|θ|最小的θ＝－3π4. 答案 A5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )A.π3B.2π3C. 3 D ．2解析 设所在圆的半径为r ，圆内接正三角形的边长为2r sin60°＝3r ，所以弧长3r 的圆心角的弧度数为3rr ＝ 3.答案 C6．用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤π3 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z解析 由图可知在[0,2π)内角的终边落在阴影部分时π4≤α≤5π3， ∴满足条件的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z .答案 D7．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的________倍．解析 由公式θ＝l r 知，半径r 变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的2倍．答案 28．将下列弧度转化为角度： (1)π12＝________； (2)－7π8＝________； (3)13π6＝________； (4)－512π＝________. 答案 (1)15° (2)－157°30′ (3)390° (4)－75°9．将下列角度化为弧度： (1)36°＝________rad ； (2)－105°＝________rad ； (3)37°30′＝________rad ； (4)－75°＝________rad.解析 利用1°＝π180rad 计算． 答案 (1)π5 (2)－7π12 (3)5π24 (4)－5π1210．在直径为20 cm 的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为________．解析 150°＝150×π180＝5π6， ∴l ＝5π6×10＝25π3(cm)． 答案 25π3 cm11．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线OM 上；(2)终边落在直线OM 上； (3)终边落在阴影区域内(含边界)．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2 012°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6.∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }．∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53π45＋10πrad ， 又5π6＜53π45＜3π2. ∴2012°＝503π45∈S . 12.如图所示，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P 、Q 第一次相遇所用的时间及P 、Q 各自走过的弧长．解 设P 、Q 第一次相遇时所用的时间为t 秒，则：t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4， 即第一次相遇时所用的时间为4秒． P 点走过的弧长为：43π×4＝163π， Q 点走过的弧长为：8π－16π3＝8π3. 13．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rθ＝8，12θ·R 2＝3，解得θ＝23或6.即圆心角的大小为23弧度或6弧度．(2)设扇形所在圆的半径为 x cm ，则扇形的圆心角θ＝8－2xx ，于是扇形的面积是S ＝12x 2·8－2xx ＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4. 故当x ＝2 cm 时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2弧度，弦长AB ＝2 ·2sin 1 ＝4sin1 (cm)．即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB 等于4sin1 cm.高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
2017-2018学年高中数学期末备考综合测试02同步单元双基双测B卷新人教A版必修4
《期末备考综合测试二》（B卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1.【2017 课标1,理1】已知集合A={x|x<1}，B={x| 3x：：：1}，则A. A"B 二{x|x ：：： 0}B. AUB 二RC. AUB 二{x|x 1}D. A" B =：[【答案】A【解析】x x 0由3 ：：： 1 可得3 <3 ,则x : 0 ,即B 二{x | x ：：： 0}，所以A H B二{x I x ：： 1} Pl{x I x ：： 0} = {x I x ：： 0} , A UB 二{x | x ：： 1} U{x | x ：： 0} = {x | x ：：1}，故选A.2.【2017课标1,理5】函数f （x）在（-：：「：）单调递减，且为奇函数•若f（1） = -1，则满足-1 _ f （x -2） -1的x的取值范围是（）A. [-2,2]B. [-1,1]C. [0,4]D. [1,3]【答案】D【解析】试題分析：因为奇函数且在（TO：中）单调递麻要使「丄尹力幻成立，则工满足-l<X^b从而由-1<X-2<1得13莖3 ,即满足—1莖/（"2）勺成立的兀的取值范围为[1.3],选D.呻呻-I 4. 4 4.3.平面向量a与b的夹角为60° , a =（2,0 ）, b =1，则a +2b等于（）A. 2 2 B . 2、3C. 12 D . -.10【答案】B【解析】a +2：= j（1+2b）=撐+4a^4b2=412 = 243，故选B.n JI6 364. 将函数y =sin （2x -—）图象向左平移一个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是（）647131A. x -B.x =—1266 3 6【答案】B311兀 兀 3f 兀 、【解析】由图象可知 A=2, TT =恵,川=2，代入点 一，2得4 12 6 4 16 丿sin 121f x = 2sin I 2xI 6丿 6I 6丿.—•■—»-—*—►—fc- —is- -=#■ —*6.已知向量a 与b 满足| a |=|b |= 2，且b _ 2a b ，则向量a 与b 的夹角为（ ）B. C. 兀x =—3D.J T x =— 12【答案】D【解析】函5.已知函数f x ]=Asinx- !■；（其中 A . 0,. n)的部分图象如图所示，则2f x 的解析A .B .f x =2sin l x —I 3丿（JI ） f x = 2sin I 2xI6丿C.D..\ n }f x = 2sin 14x -—A. C.式为( )D.【答案】C636【解析】b _ 2a b得b 2a b =0,即2a b b =0，解得cos，- -1，向量a与b的夹角为—，故选C. 2 37.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF =（）1 . 兀1 1 1 — . 1 A. AB AD B. — AB —AD2 34 2 1 1——11C.1 2 AB 322 3【答案】D【解析】 在Z1CEF 中,EF = EC+CFS^点E 为DC 的中点，所EC=^DC •因为点F 为EC 的一个三等分点，所UCF=-CB.所UEF=—DC+YB=—ABH —DA=—AB ——AD,故选氏 32 3 2 3 2^向量a,b 均为非零向量，角为（a = f (log °.5 3),b = f Iog 25,c = f 2m(A) a :: b ：： c (B ) a c b (C ) c :: a b (D ) c b ：： a【答案】C【解析】因为函数f x =2x —m _1为偶函数，所以m =0,即f X i ； = 2x -1，所以1/ 1、Iog2-a = f (log °.5 3) = f I Iog 2 - I = 23—1 = 2 °2—1 = 3 — 1 = 2,l 3丿b =f 也厶耳也5—1=4,c = f 2m 严 f(0) =2°—1 =0所以c ::: a :: b ，故选C.10. 存在函数f(x)满足，对任意x ^R 都有()2 2A. f (sin2x)=sinxB. f (sin2x)=x +xC. f (x +1)= x + 1D.Jt A.—3 【答案】 B. - 2【解析】C.2 3■二35D. 6■a-2b *0二 a 2=2詁，b-2a#0二b 2 =2旨?，所以a 2二b 2,即■a ，设 a,b的夹角为=^=2，又9.已知定义在R 上的函数f x-1 （m 为实数）为偶函数，记3a_2ib _a, b-2a _b ，则 a,b 的夹8.【2018河南省洛阳市高三期中】 ，则a,b,c 的大小关系为（）f(x2+2x) =|x + 1【答案】D.【解析】A；取兀=0, ^Q/(sm 0) = ^0, eP/(0) = 0,再取才二〒,可去口町=血亍即/(0) = 1,矛1, /.A错误；同理可知B错误，C:取“1,可知/(2)-2,再取孟=一1,可知/(2〉= 0,矛盾，二C错误』D：^f=|x+l|(r>0), /./(?-l)=f(r>0)«/(x) = ^^+i,符合题意，故选D11.【2017山东，理10】已知当x：= 10,1 ］时，函数目二mx -1 $的图象与y =、, x m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(A) 0,1】U2「3, = ( B) 0,11J〔3「：(C) 0,、.2 J 2、「：(D) 0,-、2 U 3, ■-【答案】B1 2 2 2【解析】题分析：当0：：：m乞1时，1 ，y=(mx-1)单调递减，且y = (mx -1)・［(m -1) ,1］，my h：;；x - m单调递增，且丫=：泳m ［m,1 m］，此时有且仅有一个交点；当m • 1时，0 ：：：丄：:：1my=(mx-1)2在［丄,1］上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需(m-1)2_「m= m_3选B.m‘2 —x, x 兰2,12.已知函数f(x)=f 2函数g(x) = b —f (2 —x)，其中R，若函数［(x—2), x：>2,y = f x -g x 恰有4个零点，贝U b的取值范围是()【答案】D22—x+x,xcO所以 y = f (x) + f (2—x)=」4 一 x — 2—x , OEx 兰2 ,2_2_x +(X _2)2,X *2x 2 -x 2, x ：： 0即 y = f (x) + f (2 —x) ={2,0 兰 x E22x 一5x +8,x a 2-y 二f (x)「g(x) = f (x) • f (2 -x)「b ,所以y 二f x ?「g x 恰有4个零点等价于方 程点，由图象可知-:::b . 2.48r iir\61: :\ 4ji\ 2.jr*------------------------------------------------------------------------------------------ "i**i*匚*i**」-15 -10-5■25 10 15■4■6■8第n 卷(共90 分)、填空题(每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上) 13.设函数f(x) =AsinC’x ，：：)(A • 0「• 0,…x R)的部分图象如图所示.则22A 「「=(A ) 7,：： 4 (C ) 0,7I 4丿5、门(D ) -2|2-) J x 兰 2,‘2 — 2—x2 得 f(2—X )={ 2,x _ 0 x :: 0f (x) • f(2 -x) - b =0有4个不同的解，即函数 y = b 与函数y = f (x) • f (2 - x)的图象的4个公共 【解析】由f x 二【答案】3厂6【解析】由團可知■普再根据 /{^) = 2^siE{I+p)=l^i + ^ = i+2fcr(fr€Z)^^ = i +^(fr€Z)?又一営"丈,所以J j 3 2o2 2^-―,因此/ + e+p=3+兰6 614. [ 2018届浙江省温州市9月一模】设向量石」，且l« + ^l =2\u-b\= 则仍I的最大值是________________最小值是【答案】9 1【解析】设I' _ "的夹角为’'，由㈡，可得+ ；；■- :-；】9 + I2 3 + &3曲=4(9 + t2-6tcosG]，化简得r2-10tcose + 9 = D，可得八—〔阮卡勺生兰r £ 9 ,即⑹的最大值是，最小值是•，故答案为I.—x + 6 x 兰215.若函数f(x)=£ 1 1( a^O且a式1 )的值域是〔4，邑)，则实数a的取值范围l3 + log a X,x>2,【答案】(1,2]【解析】当x乞2，故-x，6_4，要使得函数f (x)的值域为，只需f1(x^3 log a x( x 2)的值域包含于，故a 1，所以f,(x) 3 log a 2，所以3 • log a 2 _ 4，解得1 ：：： a空2，所以实数a的取值范围是(1,2].3x_a? x<1?16.设函数f x i：g(x —a ]x—2a )? x> 1.①若a =1，则f x的最小值为________ ;②若f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 __________ .1【答案】(1)1 ,⑵ a :：: 1或a _ 2.22^ _1?x f 1 ?【解析】①a = 1时，f x 二“，函数f (x )在(―®1)上为增函数，函数值大于' / 4x_1］x_2)?x > 1.3 3 31，在［1,—］为减函数，在［ — ,•：：)为增函数，当x 时，f (x )取得最小值为1 ；2 2 2 (2)①若函数g (x ) = 2x - a 在x ::: 1时与x 轴有一个交点，则a0，并且当x = 1时, g (1) = 2 一 a>0，则0 ::: a . 2，函数h (x ) =4(x - a )( x - 2a )与x 轴有一个交点，所以-12a - 1 且 a :: 1 a :: 1 ；2②若函数g (x )二2x - a 与x 轴有无交点，则函数 h (x )二4(x - a )( x 一 2a )与x 轴有两个交点，当 a - 0时g ( x )与x 轴有无交点，h (x ) =4x - a )( x - 2a )在x - 1与x 轴有无交点，不合题意； 当h (1) = 2-a _0时，a _2 , h (x )与x 轴有两个交点，x = a 和x = 2a ，由于a _ 2，两交点横坐标均满足 x - 1 ；综上所述a 的取值范围1乞a < 1或a _ 2 .2三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)17.(本小题10分)【2018届江西省六校高三上第五次联考】已知向量 a,b 满足a =3, b =1, a 与* nb 的夹角为一.3(1) 求 a 3b ；【解析】试题分析：(1)由平面向量的性质知| a 境丨一a 3b 2 = <i 4 - 6a?b 9b 2，再由向量4 若向量a 2b 与t# 2b 垂直，求实数t 的值.【答案】(I) 3.3 ； ( n)7 12b =1, a与b的夹角为一，利用向量的数量积公式能够求出结果；(2)由向量a 2b与ta 2b3垂直，知（a • 2b ）•（ ta • £）=0，由此利用平面向量的数量积能够求出结果试题解析：⑴丁向量N &满足&|=罠| & 1=1,矗与&的夹角为兰，3A|5+3^ | =占+3矿=^+6315+9^ = J9+6x3xcos^+9 =3^⑵丁向量方+窗与妊+窗垂直，二(N+力)-(is5 + S)=o, .\i5a +(2r+2)3?b + 4i 1=0,JF7A9r+(2r+2)x3xlxcos-+4=0Wlr = —312⑴求f 4的值;（n ）求f x 在区间0,二I 上的最大值和最小值.I 2」【答案】（1）1（2） x 时，f x 有最大值叮2 , x 时，f x 有最小值-18 2兀 f JT i 兀 兀【解析】试题分析：（I ）直接将x =代入函数解析式可得 f =2 2cos —sin — 14「4 丿4 2,H出2x *—的范围，结合正弦函数的单调性求解即可.4fir ）!— 兀H试题解析：（I ）因为 f =2 2cos sin -114 丿42(n) f x =2 . 2cosxsin I x — j 1I 4丿 厂(恵 逅、= 2P2cosx ■ —sinx+ — cosx -1 I2 2丿2=2sinxcosx 2cos x -118 .（本小题12分）【2018届北京市海淀区上期中】已知函数Jf x ]=2.2cosxsin | x - j 1=2迈：二2 1-12=1 ； （n ）根据两角和 的正弦公式及二倍角公式可得f (x )= J2sin . 2x 十一 I 4丿，求= 2、2 ：上2 1-12=1二 sin2x cos2xb =(sin x^ sin 三),-• 0,且f (x )的最小正周期为 二.(1) 求「的值；(2)求f (x )的最小值，并求出相应的 x 的取值集合；(3)将f (x )的图象向左平移 「个单位，所得图象关于点 (一,0)对称，求:的最小正值•3【答案】(1)⑷=2 ； ( 2) f (x)最小值为-2 , x 的取值集合 为{X X = -殳+ k.k E Z } ； (3)三.3 12【解析】试题分析；⑴将向重7 = (y/3,2sin —1 = (sin ^-sin —> 0,代入函数2 2/■(小=i + 1 -利用三角函数的基本关系式ft 简得至!= 2sin(tyx + 3，由巩.¥)时蠢仝疋周 6 期为药，得鉀么 ⑵ 由函数y 二心in S+內的聽与性质，得狮的最小值和相应的龙的取值范圈■7TJT(3)函数心的聽向左平移密仝单位，得/V + ?>) = 2sin(2jr + 2卩+勻；由聽关于点(上.0)63对称,得2汪+ 2® +厂解得…乎詈八2 ,则。
人教新课标A版高中数学必修4双基限时练及答案17.doc
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】双基限时练(十七)1．给出下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可为基底中的向量．其中正确的说法是()A．①②B．②③C．①③D．②解析因为不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本题中，①错，②、③正确，故选B.答案 B2．已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是()A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1D．e1＋e2和e1－e2解析分析四个选项知，在C中，4e2－2e1＝－2(e1－2e2)．∴e1－2e2与4e2－2e1共线，应选C.答案 C3．在△ABC 中，BC →＝3BD →，则AD →等于( ) A.13(AC →＋2AB →) B.13(AB →＋2AC →) C.14(AC →＋3AB →)D.14(AC →＋2AB →)解析 如图所示， AD →＝AB →＋BD → ＝AB →＋13BC → ＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝13(AC →＋2AB →)，故选A. 答案 A4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP →等于( )A ．λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1) D ．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22解析 ∵ABCD 是菱形，且AC 是一条对角线，由向量加法的平行四边形法则知，AC →＝AB →＋AD →，而点P 在AC 上，∴三点A ，P ，C 共线，∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，显然λ∈(0,1)，故选A.答案 A5．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形解析 因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →， 所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →.又A ，B ，C ，D 四点不共线， 所以|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ， 故四边形ABCD 为平行四边形． 答案 B6．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 的阴影内，满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y )可以是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－34，25 解析 由图观察并根据平面向量基本定理，可知x <0，y <0，故选C.答案 C7．已知a ，b 不共线，且c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1＝________.解析 ∵a ，b 不共线，∴a ，b 可以作为一组基底，又c 与b 共线，∴c ＝λ2b ，∴λ1＝0.答案 08．设向量a ，b 不共线，且OC 1→＝k 1a ＋k 2b ，OC 2→＝h 1a ＋h 2b ，若OC 1→＋OC 2→＝m a ＋n b ，则实数m ＝________，n ＝________.解析 OC 1→＋OC 2→＝(k 1＋h 1)a ＋(k 2＋h 2)b ＝m a ＋n b .∴m ＝k 1＋h 1，n ＝k 2＋h 2. 答案 k 1＋h 1 k 2＋h 29．已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．解析 使a 、b 为基底，则使a 、b 不共线，∴λ－2×2≠0.∴λ≠4. 答案 {λ|λ≠4}10．若a ≠0，且b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是________．答案 30°11．设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解 如图所示，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB → ＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b .12．如图所示，在▱ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点．已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.解 设AB →＝a ，AD →＝b .由M ，N 分别为DC ，BC 的中点，得BN →＝12b ，DM →＝12a . 在△ABN 和△ADM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b ＝d ， ①b ＋12a ＝c . ②①×2－②，得a ＝23(2d －c )． ②×2－①，得b ＝23(2c －d )．∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．13．若a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a 、t b 、13(a ＋b )(t ∈R )三向量的终点在同一直线上？解 设a －t b ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13(a ＋b )(m ∈R )，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 3－1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3－t b ，∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 3－1＝0，m 3－t ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a 、t b 、13(a ＋b )的终点在同一直线上．。
人教新课标A版高中数学必修4双基限时练及答案6.doc
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】双基限时练(六)1．cos300°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 C2．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α等于( )A ．－12 B.12 C.32D ．－32解析 ∵sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α＝－12， ∴sin α＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π－(π2＋α) ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－12. 答案 A3．sin(π－2)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2化简的结果是( ) A ．0 B ．－1 C ．2sin2D ．－2sin2解析 sin(π－2)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝sin2－sin2＝0.答案 A4．若tan(7π＋α)＝a ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.a －1a ＋1B.a ＋1a －1 C ．－1D ．1解析 由tan(7π＋α)＝a ，得tan α＝a ， ∴sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin (3π－α)－cos α－sin α＋cos α ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝a ＋1a －1. 答案 B5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A.223 B ．－223 C.13D ．－13解析 ∵π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选D.答案 D6．A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，下列关系式中不成立的是( ) ①cos(A ＋B )＝cos C ②cos B ＋C 2＝sin A2 ③tan(A ＋B )＝－tan C ④sin(2A ＋B ＋C )＝sin AA ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析 因为cos(A ＋B )＝－cos C ，所以①错；cos B ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝sin A 2，所以②正确；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ，故③正确；sin(2A ＋B ＋C )＝si n(π＋A )＝－sin A ，故④错．所以选C.答案 C7．若θ∈(0，π)，cos(π＋θ)＝35，则sin θ＝__________. 解析 ∵cos(π＋θ)＝35，∴cos θ＝－35，故θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin θ＝45. 答案 458．化简：sin(450°－α)－sin(180°－α)＋cos(450°－α)＋cos(180°－α)＝________.解析 原式＝sin(90°－α)－sin α＋cos(90°－α)－cos α ＝cos α－sin α＋sin α－cos α＝0. 答案 09．化简：sin(－236π)＋cos 13π7·tan4π－cos 133π＝________. 解析 原式＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π7·0－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝sin π6＋0－cos π3＝12－12＝0. 答案 010．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin (π－α)＋cos (π＋α)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝________.解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，∴sin α＝2cos α.原式＝sin α－cos α5sin α－3cos α＝2cos α－cos α10cos α－3cos α＝17.答案 1711．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α的值． 解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝12×12＝14.12．在△ABC 中，sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，试判断△ABC 的形状．解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . ∵sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C 2， ∴sin π－2B 2＝sin π－2C 2.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－C .∴cos B ＝cos C . ∴B ＝C .∴△ABC 为等腰三角形．13．已知α是第三象限的角，f (α)＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan (π－α)tan (－α－π)sin (－α－π)(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝－cos α·sin α·(－tan α)－tan α·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限的角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－265.∴f(α)＝265.。
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】双基限时练(三)1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( )A ．－32 B ．－12 C.32D.12解析 利用三角函数的定义可得sin α＝－12，故选B. 答案 B2．若角α的终边经过M (0,2)，则下列各式中，无意义的是( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan αD ．sin α＋cos α解析 因为M (0,2)在y 轴上，所以α＝π2＋2k π，k ∈Z ，此时tan α无意义．答案 C3．下列命题正确的是( )A ．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角B ．若α>β，则cos α<cos βC ．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角D ．若α是第三象限角，则sin αcos α>0且cos αtan α<0解析 当θ＝π时，cos θ＝－1，此时π既不是第二象限的角，也不是第三象限的角，故A 错误；当α＝390°，β＝30°时，cos α＝cos β，故B 错误；当α＝30°，β＝150°时，sin α＝sin β，但α与β终边并不相同，故C 错误，只有D 正确．答案 D4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析 ∵α，β为三角形的内角，且sin αcos β<0， 又sin α>0，∴cos β<0，∴β为钝角． ∴三角形为钝角三角形． 答案 B5．设角α的终边过点P (3a,4a )(a ≠0)，则下列式子中正确的是( )A ．sin α＝45 B ．cos α＝35 C ．tan α＝43D ．tan α＝－43解析 ∵a ≠0，∴tan α＝4a 3a ＝43. 答案 C6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，则θ所在的象限为( )A ．第一或第三象限B ．第二或第四象限C ．第二或第三象限D ．第一或第四象限解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上递减，∴sin2θ>0，∴2k π<2θ<π＋2k π，k ∈Z ，∴kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，2nπ<θ<π2＋2nπ，此时θ在第一象限内．当k＝2n＋1，n∈Z时，π＋2nπ<θ<3π2＋2nπ，n∈Z，此时θ在第三象限内．综上可得θ所在的象限为第一象限或第三象限，故选A.答案 A7．角α终边上有一点P(x，x)(x∈R，且x≠0)，则sinα的值为________．解析由题意知，角α终边在直线y＝x上，当点P在第一象限时，x>0，r＝x2＋x2＝2x，∴sinα＝x2x ＝22.当点P在第三象限时，同理，sinα＝－22.答案±2 28．使得lg(cosαtanα)有意义的角α是第________象限角．解析要使原式有意义，必须cosαtanα>0，即需cosα，tanα同号，所以α是第一或第二象限角．答案一或二9．点P(tan2 012°，cos2 012°)位于第____________象限．解析∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角，∴tan2 012°＞0，cos2 012°＜0，故点P位于第四象限．答案 四10．若角α的终边经过P (－3，b )，且cos α＝－35，则b ＝________，sin α＝________.解析 ∵cos α＝－39＋b 2，∴－39＋b 2＝－35，∴b ＝4或b ＝－4.当b ＝4时，sin α＝b9＋b2＝45，当b ＝－4时，sin α＝b9＋b 2＝－45. 答案 4或－4 45或－4511．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.解 原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0° ＝1＋1＋1＋1＝4.12．一只蚂蚁从坐标原点沿北偏西30°方向爬行6 cm 至点P 的位置．试问蚂蚁离x 轴的距离是多少？解 如下图所示，蚂蚁离开x 轴的距离是P A .在△OP A 中，OP ＝6，∠AOP ＝60°， ∴P A ＝OP sin60° ＝6×32＝3 3.即蚂蚁离x 轴的距离是3 3 cm.13．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，试求α的三个三角函数值．解 当角α的终边在第一象限时，在y ＝2x 上任取一点P (1,2)，则有r ＝5，∴sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2. 当角α的终边在第三象限时，同理可求得： sin α＝－255，cos α＝－55，tan α＝2.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
2017-2018学年度高中数学人教A版必修四同步训练题库课下能力提升十六及解析
课下能力提升(十六) [学业水平达标练]题组1 向量的线性运算1.13⎣⎡⎦⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于( ) A.2a －b B.2b －a C.b －a D.a －b2.已知m ,n 是实数,a ,b 是向量,则下列命题中正确的为( )①m (a －b )＝m a －m b ;②(m －n )a ＝m a －n a ;③若m a ＝m b ,则a ＝b ;④若m a ＝n a ,则m ＝n . A.①④ B.①② C.①③ D.③④题组2 用已知向量表示未知向量A.r ＝－12p ＋32qB.r ＝－p ＋2qC.r ＝32p －12qD.r ＝－q ＋2p4.在△ABC 中,点P 是AB 上一点,且则t 的值为( )A.13B.23C.12D.535.如图所示,在▱ABCD 中,＝a ,＝b ,AN ＝3NC ,M 为BC 的中点,则＝________.(用a ,b 表示)6.如图所示,已知▱ABCD 的边BC 、CD 的中点分别为K 、L ,且＝e 1,＝e 2,试用e 1,e 2表示题组3 共线向量定理的应用7.对于向量a ,b 有下列表示： ①a ＝2e ,b ＝－2e ;②a ＝e 1－e 2,b ＝－2e 1＋2e 2; ③a ＝4e 1－25e 2,b ＝e 1－110e 2;④a ＝e 1＋e 2,b ＝2e 1－2e 2.其中,向量a ,b 一定共线的有( ) A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④8.已知向量a ,b ,且＝7a －2b ,则一定共线的三点是( )A.A ,B ,DB.A ,B ,CC.B ,C ,DD.A ,C ,D9.已知e 1,e 2是两个不共线的向量,而a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量,则实数k ＝________.10.如图,在△ABC 中,D ,F 分别是BC ,AC 的中点,AE ＝23AD ,＝a ,＝b .(1)用a ,b 分别表示向量(2)求证：B ,E ,F 三点共线.[能力提升综合练]2.已知向量a ,b 是两个非零向量,在下列四个条件中,一定可以使a ,b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ; ②存在相异实数λ,μ,使λa －μb ＝0; ③x a ＋y b ＝0(其中实数x,y 满足x ＋y ＝0);④已知梯形ABCD,其中A.①②B.①③C.②D.③④4.如图所示,两射线OA 与OB 交于O ,则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)( )A.①②B.①②④C.①②③D.③④6.已知两个不共线向量e 1,e 2,且＝e 1＋λe 2,＝3e 1＋4e 2,＝2e 1－7e 2,若A ,B ,D 三点共线,则λ的值为________.7.如图,已知在平行四边形ABCD 中,AH ＝HD ,BF ＝MC ＝14BC ,设＝a ,＝b ,试用a ,b分别表示8.已知O ,A ,M ,B 为平面上四点, (λ∈R ,λ≠0且λ≠1).(1)求证：A ,B ,M 三点共线;(2)若点B 在线段AM 上,求实数λ的范围.答 案 [学业水平达标练]1.解析：选B 原式＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b )＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ＝2b －a .2.解析：选B ①和②属于数乘对向量与实数的分配律,正确;③中,若m ＝0,则不能推出a ＝b ,错误;④中,若a ＝0,则m ,n 没有关系,错误.3.＝－12p ＋32q .4.5.＝12b －14(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a ). 答案：14(b －a )6.⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2. ②－2×②＋①得12x －2x ＝e 1－2e 2,解得x ＝23(2e 2－e 1),即＝23(2e 2－e 1)＝43e 2－23e 1, 同理得y ＝23(－2e 1＋e 2),即＝－43e 1＋23e 2.7.解析：选A 对于①,a ＝－b ;对于②,a ＝－12b ;对于③,a ＝4b ;对于④,若a ＝λb (λ≠0),则e 1＋e 2＝λ(2e 1－2e 2),即(1－2λ)e 1＋(1＋2λ)e 2＝0,所以1－2λ＝1＋2λ＝0,矛盾,故④中a 与b 不共线.8.解析：选A ＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2,所以A ,B ,D三点共线.9.解析：由题设知k 22＝1－52k 3,所以3k 2＋5k －2＝0, 解得k ＝－2或13.答案：－2或1310.[能力提升综合练]1.2.解析：选A 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ,故①可以;λa －μb ＝0,λa ＝μb ,故②可以;x ＝y ＝0,有x a ＋y b ＝0,但b 与a 不一定共线,故③不可以;梯形ABCD 中,没有说明哪组对边平行,故④不可以.3.解析：选B 如图,在△ABC 中,以BM ,CM 为邻边作平行四边形MBDC ,依据平行四边形法则可得两向量有公共点M ,则A ,M ,D 三点共线,设BC ∩MD ＝E ,结合MD 是平行四边形MBDC 的对角线可知,AE 是△ABC 的中线,同理可证BM ,CM 也在△ABC 的中线上,即M 是△ABC 的重心.以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABFC ,依据向量加法的平行四边形法则可得4.到λx ＋(1－x )λ＝λ＞1;注意到1＋2＝3＞1,34＋13＞34＋14＝1,12＋13＝56＜1,34＋15＝1920＜1,故选A.5.答案：236.又＝e 1＋λe 2,且A ,B ,D 三点共线, 所以存在实数μ,即e 1＋λe 2＝μ(5e 1－3e 2), 又e 1,e 2不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧5μ＝1，－3μ＝λ，则λ＝－35.答案：－357.解：∵ABCD 是平行四边形, BF ＝MC ＝14BC ,∴FM ＝BC －BF －MC ＝12BC .∴FM ＝12BC ＝12AD ＝AH .∴FM 綊AH .∴四边形AHMF 也是平行四边形.8.。
2018年新人教A版高中数学必修4全册同步检测含答案解析
2018年新人教A版高中数学必修四全册同步检测目录第1章1.1-1.1.1任意角第1章1.1-1.1.2弧度制第1章1.2-1.2.1任意角的三角函数第1章1.2-1.2.2同角三角函数的基本关系第1章1.3第1课时诱导公式二、三、四第1章1.3第2课时诱导公式五、六第1章1.4-1.4.1正弦函数、余弦函数的图象第1章1.4-1.4.2第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性第1章1.4-1.4.2第2课时正、余弦函数的单调性与最值第1章1.4-1.4.3正切函数的性质与图象第1章1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第1章1.6三角函数模型的简单应用第1章章末复习课第1章单元评估验收(一)第2章2.1平面向量的实际背景及基本概念第2章2.2-2.2.2向量减法运算及其几何意义第2章2.2-2.2.3向量数乘运算及其几何意义第2章2.3-2.3.1平面向量基本定理第2章2.3-2.3.3平面向量的坐标运算第2章2.3-2.3.4平面向量共线的坐标表示第2章2.4-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义第2章2.4-2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角第2章2.5平面向量应用举例第2章章末复习课第2章单元评估验收(二)第3章3.1-3.1.1两角差的余弦公式第3章3.1-3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式第3章3.1-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式第3章3.2简单的三角恒等变换第3章章末复习课第3章单元评估验收(三)模块综合评价第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角A级基础巩固一、选择题1．已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是()A．B＝A∩C B．B∪C＝CC．A C D．A＝B＝C解析：钝角大于90°，小于180°，故B C，选项B正确．答案：B2．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．既是第三象限角，又是第四象限角D．不是任何象限的角解析：因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．答案：D3．若α是第四象限角，则－α一定在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为α是第四象限角，所以k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z.所以－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，由此可知－α是第一象限角．答案：A4．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}解析：终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．答案：D5．下面说法正确的个数为()(1)第二象限角大于第一象限角；(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；(3)钝角是第二象限角．A．0 B．1 C．2 D．3解析：第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．答案：B二、填空题6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.答案：－1 030°7．若α为锐角，则角－α＋k·360°(k∈Z)是第________象限角．解析：α为锐角，则角α是第一象限角，所以角－α是第四象限角，又因为角－α＋k·360°(k∈Z)与－α的终边相同，所以角－α＋k·360°(k∈Z)是第四象限角．答案：四8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.答案：120°，300°三、解答题9.如图所示，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．10．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．解：(1)因为角β的终边在直线3x－y＝0上，且直线3x－y＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.B级能力提升1．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于()A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}解析：令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.答案：C2．如图，终边落在OA的位置上的角的集合是________；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是________．解析：终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}(或{α|α＝－45°＋k·360°，k∈Z})，取k＝0，1，得α＝315°，－45°，所求的集合是{－45°，315°}．答案：{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}{－45°，315°}3．已知角α的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)集合M的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．(2)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又因为k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330，－240°，－150，－60°，30°，120°，210°，300.(3)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制1.1.2 弧度制A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误． 答案：D2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π. 答案：B3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203πC.2003π D.4003π 解析：240°＝240180π＝43π，所以弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π.答案：A4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4C.π4D.3π4解析：令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)，则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)．取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4；k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4；k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4.答案：A5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π2 B.π3 C. 3D. 2解析：设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ， 所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角为α＝l r ＝a22a ＝ 2.答案：D二、填空题6．π12 rad ＝________度，________ rad ＝－300°. 解析：π12＝180°12＝15°；－300°＝－300×π180＝－5π3.答案：15 －5π37．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________． 解析：因为60°＝π3 rad则扇形的面积S ＝12×π3×32＝32π.答案：32π8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米． 解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l ＝1，所以r ＝l|α|＝1π180＝180π.(2)因为l ＝1，|α|＝1，所以r ＝l|α|＝1. 答案：(1)180π (2)1三、解答题 9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.10．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12， 所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6＜θ＜2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如题图②，因为30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6＜θ＜k π＋π2，k ∈Z .B 级 能力提升1．集合⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.答案：C2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.解析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad ，所以经过一小时，时针转过－π6rad.答案：－π63．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， 所以α＝∠AOB ＝60°＝π3.所以弧长l ＝a ·r ＝π3×10＝10π3，所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，又S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数A 级 基础巩固一、选择题1．已知角α终边经过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α等于( )A.12B.32C.33 D ．±12解析：由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝32. 答案：B2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP ＜OM ＜0B ．OM ＞0＞MPC ．OM ＜MP ＜0D ．MP ＞0＞OM解析：因为78π是第二象限角，所以sin 78π＞0，cos 78π＜0，所以MP ＞0，OM ＜0， 所以MP ＞0＞OM . 答案：D3．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32C.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32解析：设P (x ，y )，因为角α＝2π3在第二象限，所以x ＝－12，y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：B4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：因为sin αcos β＜0，α，β∈(0，π)，所以sin α＞0，cos β＜0，所以β为钝角．答案：B5．函数y ＝11＋sin x的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋2k π，k ∈ZC.{}x |x ≠2k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－3π2＋2k π，k ∈Z解析：因为1＋sin x ≠0，所以sin x ≠－1.又sin 3π2＝－1，所以x ≠3π2＋2k π，k ∈Z.答案：A 二、填空题6．(2016·四川卷)sin 750°＝________．解析：sin 750°＝sin(30°＋2×360°)＝sin 30°＝12.答案：127．sin 1 485°的值为________．解析：sin 1 485°＝sin(4×360°＋45°)＝sin 45°＝22.答案：228．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为____________．解析：作图如下，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ >π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .答案：AT >MP >OM 三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 17π4.解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.(2)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋（－4）×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.10．已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，求cos α与tan α的值．解：因为点P 到原点的距离为r ＝4＋y 2， 所以sin α＝y 4＋y 2＝－55，所以y 2＋4＝5y 2，所以y 2＝1.又易知y <0，所以y ＝－1，所以r ＝5， 所以cos α＝－25＝－255，tan α＝－1－2＝12.B 级 能力提升1．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2解析：因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0， 所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0. 答案：A2．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________． 解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0， 所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cos θ， 所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：353．利用三角函数线，写出满足|cos α|＞|sin α|的角α的集合． 解：如图，作出单位圆．所以角α满足的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪k π－π4＜α＜k π＋π4，k ∈Z .第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系A 级 基础巩固一、选择题1．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos 160° B ．－cos 160° C ．±cos 160° D ．±|cos 160°| 解析：1－sin 2160°＝cos 2160°＝|cos 160°|＝－cos 160°. 答案：B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：由sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.答案：B3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形解析：将sin α＋cos α＝23两边平方，得1＋2sin αcos α＝49，即2sin α·cos α＝－59.又α是三角形的内角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以α为钝角．答案：A4．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为( )A ．0B ．8C ．0或8D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8. 答案：C5．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为( )A.32B ．－32C.34 D ．－34解析：(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，因为π＜α＜54π，所以cos α＜sin α，所以cos α－sin α＜0， 所以cos α－sin α＝－34＝－32. 答案：B 二、填空题6．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于________．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0， 所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角，所以cos C ＝－ 1－sin 2C ＝－223，所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－247．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α， 所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2. 答案：－28．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．解析：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x ·cos x ＝4925，又因为－π2<x <0，所以sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，所以sin x －cos x ＝－75.答案：－75三、解答题9．已知tan α＝23，求下列各式的值；(1)1sin αcos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α.解：(1)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝136.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2 a ＝ sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813.10．化简：tan α·1sin2α－1(α是第二象限角)． 解：tan α·1sin2α－1＝tan α·1－sin2αsin2α＝tan α·cos2αsin2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α. 因为α为第二象限角， 所以sin α＞0，cos α＜0， 所以原式＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.B 级 能力提升1．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( ) A.45 B.35 C.25 D.15解析：因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角， 所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以sin 2α＋169sin 2α＝1， 所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.答案：B 2．使1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是__________．解析：1－cos α1＋cos α＝（1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，所以sin α<0，故2k π－π<α<2k π，k ∈Z. 答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z}3．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α. 证明：左边＝sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α＋cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos αsin α ＝sin α＋sin2αcos α＋cos α＋cos2αsin α＝sin2α＋cos2αsin α＋sin2α＋cos2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边．即原等式成立．第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 诱导公式二、三、四A 级 基础巩固一、选择题1．sin 7π6的值是( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析：sin 7π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－sin π6＝－12.答案：A2．sin 600°＋tan(－300°)的值是( ) A ．－32 B.32 C ．－12＋ 3 D.12＋ 3 解析：原式＝sin(360°＋240°)＋tan(－360°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝32. 答案：B3．已知sin(π＋α)＝35，α为第三象限角，则cos(π－α)＝( )A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解析：因为sin (π＋α)＝35，所以sin α＝－35.因为α为第三象限角，所以cos α＝－45.所以cos (π－α)＝－cos α＝45.答案：C4．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 017)＝5，则f (2 018)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：因为f (2 017)＝a sin (2 017π＋α)＋b cos (2 017π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，所以f (2 018)＝a sin (2 018π＋α)＋b cos (2 018π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.答案：C5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝ tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝m ；所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：A 二、填空题6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝________．解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝－13.答案：－137．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.故cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35.答案：358．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是________． 解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝ sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 答案：2 三、解答题9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos3π5＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos2π5＝0. (2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝ 32×32＋12×12＝1. 10．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45，又因为sin αcos α<0， 所以cos α>0，cos α＝ 1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43.所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73.B 级 能力提升1．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3，上述中的n ∈Z.其中与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π＝⎩⎨⎧sin π3（n 为奇数），－sin π3（n 为偶数）；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3；③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝cos 5π6＝－sin π3；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3＝sin π3.答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （x <0），f （x －1）－1（x >0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－52， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2. 答案：－23．已知α是第二象限角，且tan α＝－2. (1)求cos 4α－sin 4α的值；(2)设角k π＋α(k ∈Z)的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ，求点P 的坐标． 解：(1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－（－2）21＋（－2）2＝－35.(2)由tan α＝－2得sin α＝－2cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，因为α是第二象限，所以cos α<0， 所以cos α＝－55，sin α＝tan αcos α＝255. 当k 为偶数时，P 的坐标⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos α＝－55，y ＝sin （k π＋α）＝sin α＝255，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－55，255. 当k 为奇数时，P 的坐标⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos （π＋α）＝－cos α＝55，y ＝sin （k π＋α）＝sin （π＋α）＝－sin α＝－255， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255. 综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255或⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255.第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第2课时 诱导公式五、六A 级 基础巩固一、选择题1．sin 95°＋cos 175°的值为( ) A ．sin 5° B ．cos 5° C ．0D ．2sin 5°解析：原式＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：C2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0.所以角θ的终边落在第二象限．答案：B3．如果角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( ) A ．－43B.43C.34D ．－34解析：易知sin θ＝45，cos θ＝－35，tan θ＝－43.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43.答案：B4．若角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A2解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，A ＋C 2＝π－B 2，B ＋C 2＝π－A2，所以cos(A ＋B )＝cos (π－C )＝－cos C ， sin(A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ，cos A ＋C 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B2，sin B ＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2.答案：D5．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( ) A ．－223 B ．－13C.13D.223解析：因为π6－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13答案：C 二、填空题6．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________．解析：因为cos α＝15，且α是第四象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265.所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265.答案：2657．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1010，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________． 解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1010，所以cos α＝1010.又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－1010.答案：－10108．sin 21°＋sin 22°＋sin 245°＋sin 288°＋sin 289°＝________．解析：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1＋1＋12＝52.答案：52三、解答题9．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）.解：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，cos (π＋α)＝－cos α，sin (π－α)＝sin α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin (π＋α)＝－sin α， 所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.10．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan （π－α）·sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）的值．解：(1)因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.(2)f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝－35－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－920. B 级 能力提升1．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin xB ．f (2π－x )＝sin xC ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos xD ．f (π－x )＝－f (x )解析：f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ；f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ；f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )．答案：C2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝ ________．解析：因为－π<α<－π2，所以－7π12<5π12＋α<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－223， 由⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝π2， 得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－223.答案：－2233．设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a .求证：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫157π＋α＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－137πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫207π－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋227π＝a ＋3a ＋1.证明：左边＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫87π＋α＋3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－3πsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋ 87π－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＋3tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋87π＋1.将tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a 代入得，左边＝a ＋3a ＋1＝右边，所以等式成立．第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象A 级 基础巩固一、选择题1．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 解析：由题意－m ＝sin π2，所以－m ＝1，所以m ＝－1.答案：C2．在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．形状不同，位置相同D ．形状不同，位置不同 解析：解析式相同，定义域不同． 答案：B3．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：可以用特殊点来验证：x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A 、C.当x ＝3π2时，y＝－sin 3π2＝1，排除B.答案：D4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝2交点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝2只有1个交点．答案：B5．不等式cos x ＜0，x ∈[0，2π]的解集为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π 解析：由y ＝cos x 的图象知，在[0，2π]内使cos x ＜0的x 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.答案：A 二、填空题6．用“五点法”画出y ＝2sin x 在[0，2π]内的图象时，应取的五个点为________________．解析：可结合函数y ＝sin x 的五个关键点寻找，即把相应的五个关键点的纵坐标变为原来的2倍即可．答案：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－2，(2π，0) 7．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：因为－1≤sin x ≤1，sin x ＝2m ＋1， 所以－1≤2m ＋1≤1，解得－1≤m ≤0. 答案：[－1，0] 8．函数y ＝log 12sin x 的定义域是______________． 解析：由log 12sin x ≥0知0<sin x ≤1，由正弦函数图象知2k π<x <2k π＋π，k ∈Z.答案：{x |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z} 三、解答题9．用“五点法”作函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图． 解：列表：10．判断方程sin x ＝x10的根的个数．解：当x ＝3π时，y ＝x 10＝3π10<1；。
人教新课标A版高中数学必修4双基限时练及答案6.doc
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】双基限时练(六)1．cos300°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 C2．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α等于( )A ．－12 B.12 C.32D ．－32解析 ∵sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α＝－12， ∴sin α＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π－(π2＋α) ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－12. 答案 A3．sin(π－2)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2化简的结果是( ) A ．0 B ．－1 C ．2sin2D ．－2sin2解析 sin(π－2)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝sin2－sin2＝0.答案 A4．若tan(7π＋α)＝a ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.a －1a ＋1B.a ＋1a －1 C ．－1D ．1解析 由tan(7π＋α)＝a ，得tan α＝a ， ∴sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin (3π－α)－cos α－sin α＋cos α ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝a ＋1a －1. 答案 B5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A.223 B ．－223 C.13D ．－13解析 ∵π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选D.答案 D6．A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，下列关系式中不成立的是( ) ①cos(A ＋B )＝cos C ②cos B ＋C 2＝sin A2 ③tan(A ＋B )＝－tan C ④sin(2A ＋B ＋C )＝sin AA ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析 因为cos(A ＋B )＝－cos C ，所以①错；cos B ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝sin A 2，所以②正确；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ，故③正确；sin(2A ＋B ＋C )＝si n(π＋A )＝－sin A ，故④错．所以选C.答案 C7．若θ∈(0，π)，cos(π＋θ)＝35，则sin θ＝__________. 解析 ∵cos(π＋θ)＝35，∴cos θ＝－35，故θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin θ＝45. 答案 458．化简：sin(450°－α)－sin(180°－α)＋cos(450°－α)＋cos(180°－α)＝________.解析 原式＝sin(90°－α)－sin α＋cos(90°－α)－cos α ＝cos α－sin α＋sin α－cos α＝0. 答案 09．化简：sin(－236π)＋cos 13π7·tan4π－cos 133π＝________. 解析 原式＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π7·0－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝sin π6＋0－cos π3＝12－12＝0. 答案 010．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin (π－α)＋cos (π＋α)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝________.解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，∴sin α＝2cos α.原式＝sin α－cos α5sin α－3cos α＝2cos α－cos α10cos α－3cos α＝17.答案 1711．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α的值． 解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝12×12＝14.12．在△ABC 中，sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，试判断△ABC 的形状．解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . ∵sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C 2， ∴sin π－2B 2＝sin π－2C 2.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－C .∴cos B ＝cos C . ∴B ＝C .∴△ABC 为等腰三角形．13．已知α是第三象限的角，f (α)＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan (π－α)tan (－α－π)sin (－α－π)(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝－cos α·sin α·(－tan α)－tan α·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限的角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－265.∴f(α)＝265.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
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11两角和与差的正弦余弦和正切公式A卷
11两角和与差的正弦余弦和正切公式B卷
12简单的三角恒等式A卷
12简单的三角恒等式B卷
专题一任意 角和弧度制
测试卷（A卷）
（测试时间：120分钟满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择 题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
17．写出 所夹区域内的角的集合。
【答案】
18．已知α＝ ，回答下列问题．
(1)写出所有与α终边相同的角；
(2)写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角；
(3)若角β与α终边 相同，则 是第几象限的角？
【答案】（1） （2）－ 、－ 、 （3）第一、三象限的角
【解析】(1)所有与α终边相同的角可表示为 .
A.第一或第三象限B.第二或第三象限C.第一 或第三象限D.第二或第四象限
【答案】D
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13． 的角属于第_________象限.
【答案】二
【解析】 在第二象限,所以 的角属于第二象限
14． 的角化为角度制的结 果为__________， 的角化为弧度制的结果为__________．
1．与 °的终边相相同的角是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 , ,所以与 °的终边相相同的角是 ;故选D.
2． 是（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第五象限
【答案】B
【解析】由题意得， ，因此 与 在同一象限第二象限，故选B.
3．下列Байду номын сангаас终边位于第二象限的是（）
A. B. C. D.
【答案】4
【解析】
试题分析：：∵设扇形的弧长为l，圆心角大小为2，半径为r，则l=2r，可求：C=l+2r=2r+2r=4r，扇形的面积为 时等号成立，则 的最大值为4.
考点：扇形面积公式
21．已知半径为10的圆 中，弦 的长为10．
求弦 所对的圆心角 的大小；
求 所在的扇形的弧长 及弧所在的弓形的面积 ．
22．一扇形周长为60，则它的半径和圆心角各为多少时扇形面积最大？最大是多少？
【答案】当扇形的半径为 ，圆心角为 时，扇形面积有最大值，最大值为 ．
【解析】
试题分析：由题意可知，若设扇形的弧长为 ，半径为 ，则可知 ， ，则面积 ，则可知问题等价于求关于 的二次函数 的最大值， 根据二次函数的性质，可知 ，当且仅当 时，等号成立，此时 ，圆心角 ，即当扇形的半径为 ，圆心角为 时，扇形面积有最大值，最大值为 ．
2017-2018学年人教A版高中数学必修四
双基检测试题AB卷
01任意角和弧度制A卷
01任意角和弧度B卷
02任意角的三角函数A卷
02任意角的三角函数B卷
03三角函数的诱导公式A卷
03三角函数的诱导公式B卷
04三角函数的图象与性质A卷
04三角函数的图象与性质B卷
05y=Asinωx+φ函数的图象和性质A卷
【答案】
【解析】由题意得， ， .
15.已知扇形的半径为4 ，弧长为12 ，则扇形的圆周角为；
【答案】3
【解析】
16．已知扇形的周长为10 ，面积为4 ，则扇形的中心角等于__________（弧度）.
【答案】
【解析】由题意 或 ，则圆心角是 ，应填答案 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（2）设 ，用角度制表示它们，并在 范围内找出与它们有相同终边的所有角．
【答案】⑴ 在第二象限， 在第一象限⑵在 范围内与 有相同 终边的角是 ．在 范围内与 有相同终边的角是 ．
【解析】用互化公式.
（1） ，∴ 在第二象限
，∴ 在第一象限
20.一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为 ，面积为 ，则 的最大值为.
【答案】B
【解析】 终边位于第一象限， 终边位于第二象限，选B.
4 ．已知圆的半径为 ，则 圆心角所对的弧长为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 化为弧度制为 ，由弧长公式有 ，选C.
5．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
6．下列说法中，
①与角 的终边相同的角有有限个；
05y=Asinωx+φ函数的图象和性质B卷
06三角函数模型的简单应用A卷
06三角函数模型的简单应用B卷
07平面向量的实际背景与线性运算A卷07平面向量的实际背景与线性运算B卷新人教A版必修
08平面向量的基本定理A卷
08平面向量的基本定理B卷
09平面向量的数量积A卷
09平面向量的数量积B卷
10平面向量应用举例A卷
②圆的半径为6，则15 的圆心角与圆弧围成的扇形面积为 ；正确的个数是( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】①错；② ,对；因而正确的个数为0.选B.
7．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）
A. B. 2 C. 2 D. 2
【答案】B
【解析】由扇形面积公式 ，则 ，又 ．故本题答案选 ．
8．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）
A. B. C. D.A=B=C
【答案】B
【解析】 锐角必小于 ,故选B.
9．已知 是锐角，则 是（）
A.第一象限角B.第二象限角
C.小于 的正角D.第一或第二象限角
【答案】C
【解析】 是锐角,∴ ，∴ 是小于 的正角.
(2)由(1)令－4π＜2kπ＋ ＜2π(k∈Z) ，则有－2－ ＜k＜1－ .
∵k∈Z，∴取k＝－2、－1、0.
故在(－4π，2π)内与α 终边相同的角是－ 、－ 、 .
(3)由(1)有β＝2kπ＋ (k∈Z)，则 ＝ kπ＋ (k∈Z)．
∴ 是第一、三象限的角．
19．（1）设 ，用弧度制表示它们，并指出它们各自所在的象限．
【答案】（1） ,（2） ．
【解析】
试题分析：（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷；（2）求扇形的面积的最值应从扇形的面积出发，在弧度制下使问题转化为关于 的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应的最值；（3）要注意防止角度制和弧度制在同一个式子中出现，如 不正确；（4）掌握扇形的面积公式和弧长公式并用于解题．
10．扇形的圆心角为150°，半径为 ，则此扇形的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】扇形的面积
11．终边在直线 上的角的集合是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】与 终边在一条直线上的角的集合为 ，
∴与 终边在同一直线上的角的集合是 .故选A.
12．已知 为第三象限角，则 所在的象限是（）