任意角的三角函数 (1)

例2
求下列各角的六个三角函数值
（1）
3
；（2）
；（3）2
．
2
课堂练习
（1）角 的终边在直线 y 2x上，求 的六个三角
函数值．
（2）角 的终边经过点 P 4a，3aa 0 ，求 sin ，
cos ，tan ，cot 的值．
※（3）说明 sin2k sin的理由 k Ζ ．
反馈训练
（1）若角 终边上有一点P 3，0，则下列函数值不
存在的是（ ）． A．sin B．cos C．tan D．cot
（2）函数 y=tanx 的定义域是（ ）．
A．x

x

R，x
பைடு நூலகம்

2
，x



C．x xR，x k，k Z
B．x

x R，x

当角 的终边在 y 轴上时，弦线变成一个点，正
切线不存在．
四、三角函数线：
如图所示，则正弦线为M_P__，余弦线O为M___，正切线AT为___( 用字 母表示).
例3
作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．

（1）
；（2） 2
．
3
3
做练习 P17
作业1：P20 A组3、4、6、 7
作业2. 如图,已知角α的终边经过点P(2,3),求α的三个三角函数值.
，那么由三角函数的定义可知：
sin ； cos
tan
提问：
对于确定的角 ，这三个比值的大小和 P点在角 的终边上的位置是否有关呢？
无关，但是 注意：当 的终边在 y 轴上，即 k k Ζ
2
时终边上任一点P 的横坐标 x都等于0，所以tan y
弧 度
0

6

4

3

2
2
3
3
4
5
6

3
2
2
复习二：初中时，我们怎样利用直角三角 形定义了锐角三角函数的呢？
sin

a c
cos b ac
tan b
B
c
a
A

b
C
角的范围已经推广，那么对任意角 是否也 像锐角一样定义其四种三角函数呢？
本节课我们学习： 当角 是一个任意角时，其三角函数的定 义及其几何表示．
无意义，
x
除此之外，对于确定的角 ，上面三个比值都
是惟一确定的．
二、由于角的集合与实数集之间建立了一一对 应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量 的函数。在弧度制下，三角函数的定义域如下：
三
角
三角函数
定义域
函
y=sinx
R
数
y=cosx
R
的
y=tanx
x
|
x

k


2

定 义
域
三角函数是以实数为自变量的函数
实数 角 （其弧度数等于这个实数）
三角函数值 （实数）
例1 已知角 的终边经过P 2， 3，求 的六个三角函数值．
提问：
若将P 2， 3改为P 2a， 3a a 0 ，如何
求 的六个三角函数值呢？
分 a 0 ，a 0 两种情形讨论．
定义：
①比值 y 叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y ．
r
r
②比值 x 叫做 的余弦，记作cos ，即cos x ．
r
r
③比值 y 叫做 的正切，记作tan，即 tan y ．
x
x
④比值 x 叫做 的余切，记作cot ，则 cot x ．
y
y
⑤比值 r 叫做 的正割，记作sec ，则 sec r ．
k 2
，k

Z
D．x

x
R，x

k


2
，k

Z
（3）若 sin m 3 ，cos 4 2m 都有意义，则
m5
m5
m ________ ．
（4）若角 的终边过点 Pa，8 ，且 cos 3 ，
5
则 a ________．
本课小结
利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐 标系，角α顶点和始边要按既定的位置设 置．角的三角函数定义式，其实是比例的化 身，它的背后是相似形在支称着，不过这个 定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如 果没有定义作为论据，欲求其函数值就不是 很容易．
练一练
作 业 书P15 1~3
书P20习题1.2 A组1、2
x
x
⑥比值 r 叫做 的割，记作 csc， 则 csc ．r
y
y
我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看 成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种 函数统称三角函数．
y
特殊地：当r=1时，
P (x,y 1
如图，设 是一个任意角， ） M O
x
它的终边 与单位圆交于点 P(x, y)
l
|α|=___r_(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 弧长公式
扇形面积公式

①1°=___1_80_ rad ②1 rad=(__1_8_0)°

弧长l=_|_α_|__r_
S=__12__l_r_=_12__r_2 _| __|
（3）特殊角的弧度数
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
1.2.1任意角的三角函数 第一课时
【目标导学】
1. 掌握任意角的三角函数定义 2. 根据定义理解三角函数的符号和定义域
【主体自学】
看书P11～15
复习一：弧度的定义和公式
(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做__1_弧_度_的__角___. 弧度记作rad.
(2)公式：
角α的弧度数公式
r1
cos x x x OM
r1
tan y MP AT AT
x OM OA
y
的终边
T
P
的终边
y
P
o
A
Mx
Mo
A
x
T
这几条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、AT
叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．
当角 的终边在 x 轴上时，正弦线、正切线分别
变成一个点；
三角函数的一种几何表示
利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线， 余弦线，正切线．
三角函数的几何表示课件
y
的终边
T
P
的终边
y
P
o
A
Mx
Mo
A
x
当角
的终边不在坐标轴上时，我们把
T
OM
，MP
都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线
段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：
sin y y y MP
变式：1、角α的终边落在直线3x+2y=0上,求α的 三角函数值.
2、角α的终边经过点(2a,-3), cos α= 2 13 求a的值.
13
y
sin r x
cos r
tan y x
y
的终边
P（x,y)

xM
x
角 的终边在第一象限上
答案
任意角的三角函数定义
设 是任意角， 的终边上任意一点 P的坐标是 x，y ，
当角 在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的
距离为 r，则 r x 2 y 2 x2 y2 0 ．