函数的应用(教案)

函数的应用知识导航方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

(注意：零点是数不是点)即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，能够将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)ky k x=≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．⑤指数函数(0,1)xy a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。

7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是：①()f x 在区间上连续，且()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。

8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．二分法9、二分法的定义对于在区间[a ，]b 上连续持续，且满足()()0f a f b ⋅<的函数)(x f y =，通过持续地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．10、给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤： （1）确定区间[a ，]b ，验证()()f a f b ⋅0<，给定精度ε； （2）求区间(a ，)b 的中点1x ； （3）计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若()f a ⋅1()f x <0，则令b =1x （此时零点01(,)x a x ∈）； ③若1()f x ⋅()f b <0，则令a =1x （此时零点01(,)x x b ∈）；（4）判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点值a （或b ）；否则重复步骤（2）~（4）．11、二分法的条件()f a ·()f b 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

本章解题方法技巧1. 函数零点的判定(零点存有性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续持续的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存有c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)零点的分布 根的分布(m ＜n ＜p 为常数)图象满足条件 x 1＜x 2＜m⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0－b 2a ＜m f (m )＞0m ＜x 1＜x 2⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0－b 2a ＞m f (m )＞0x 1＜m ＜x 2f (m )＜0m ＜x 1＜x 2＜n⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0m ＜－b 2a ＜n f (m )＞0f (n )＞0n ＜x 2＜p⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＞0f (n )＜0f (p )＞0只有一根在 (m ，n )之间⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0m ＜－b 2a ＜n 或f (m )·f (n ) ＜0(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存有性定理：利用定理不但要求函数在区间[a ，b ]上是连续持续的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．例1：已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ）A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点例2：函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4例3：求132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例4：函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 。

练习：(2010·福建)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )．A． 3B．2 C．7 D．0对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考虑：(1)结合函数图象；(2)根据零点存有定理求某些点的函数值；(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等．练习：一、选择题1．函数f(x)＝6x2－5x－1的零点是( ).A．31或21B．1或－61C．2或3 D．1或－6 2．函数f(x)＝x4－2x＋1的一个零点是().A．－1B．0 C．1 D．23．下列四个函数的图象中，在区间(0，＋∞)上有零点的是().①②③④A．①②B．①③④C．②④D．①④4．下列判断准确的是().A．二次函数一定有零点B．奇函数一定有零点C．偶函数一定有零点D．以上说法均不准确5．下列各函数的图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求零点近似值的是().(第3题)AA B C D6．用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－1的一个正零点，可选作计算的初始区间的是().A．［－1，1］B．［0，1］C．［1，2］D．［2，3］7．函数y＝log a x(a＞0，a≠1)有()个零点．A．1 B．2 C．3 D．不能确定8．方程x3 ＋ax2－(a2＋1)x = 0的根的个数是().A．1 B．2 C．3 D．不能确定9．若2是函数f(x)= x2＋ax－6的一个零点，则实数a的值为().A．-1 B．1 C．-3 D．310．某水果批发市场规定：批发水果很多于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购水果，并以批发价买进水果x千克，小王付款后剩余现金为y 元，则x与y之间的函数关系为()．A．y＝3 000－2.5x，(100≤x≤1 200) B．y＝3 000－2.5x，(100＜x＜1 200)C．y＝3 000－100x，(100＜x＜1 200) D．y＝3 000－100x，(100≤x≤1 200)二、填空题11．函数f(x)＝x3－x的零点是__________________．12．若函数f(x)＝ax2＋2x－1一定有零点，则实数a的取值范围是___________．13．已知函数f(x)＝2mx＋4在区间[－2，1]上存有零点，则实数m的取值范围是______．14．用二分法求函数f(x)＝x3－2x－5的一个零点时，若取区间［2，3］作为计算的初始区间，则下一个区间应取为．15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的两个零点是－1和2，且f(5)＜0，则此函数的单调递增区间为．16. 某卡车在同一时间段里的速度v(km/h)与耗油量Q(kg/h)之间有近似的函数关系式Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27，则车速为km/h时，卡车的油耗量最少．三、解答题17．若二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋4a＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，求实数a的取值范围．18. 设f(x)和g(x)的图象在［a，b］上是连续持续的，且f(a)＜g(a)，f(b)＞g(b)，试证明：在(a，b)内至少存有一点x0，使f(x0)＝g(x0)．19．若一次函数f(x)＝kx＋1－3k在区间［1，2］内有零点，求实数k的取值范围．。