生活中的海伦公式

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海伦公式（海伦公式）已知三⾓形三条边长，求⾯积海伦公式：S=（△）=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p是三⾓形的周长的⼀半p=(a+b+c)/2.～～～～以下转⾃百度百科～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～海伦公式海伦公式⼜译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）⼆世发现的公式，利⽤三⾓形的三条边长来求取三⾓形⾯积。

但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基⽶德所发现，以托希伦⼆世的名发表（未查证）。

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本⼀样。

假设有⼀个三⾓形，边长分别为a、b、c，三⾓形的⾯积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]⽽公式⾥的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注："Metrica"(《度量论》)⼿抄本中⽤s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多⽤p作为半周长。

——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三⾓形，所以海伦公式可以⽤作求多边形⾯积的公式。

⽐如说测量⼟地的⾯积的时候，不⽤测三⾓形的⾼，只需测两点间的距离，就可以⽅便地导出答案。

证明（1）：与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们⽤三⾓公式和公式变形来证明。

设三⾓形的三边a、b、c的对⾓分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三⾓形ABC⾯积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。

海伦公式c

海伦公式c海伦公式是一种用于计算三角形面积的公式。

对于从小学到高中的数学学习过程中，它在几何领域有着独特的地位。

咱先来说说海伦公式到底是啥。

海伦公式表述为：三角形的面积 S= √[s(s - a)(s - b)(s - c)]，其中 a、b、c 为三角形的三条边长，s 是半周长，即 s = (a + b + c) / 2 。

在小学阶段，咱们主要是通过直观的图形和简单的计算来认识三角形的面积。

那时候，我们用的是底乘以高除以 2 这个方法。

比如说，有一个三角形，底是 6 厘米，高是 4 厘米，那面积就是 6×4÷2 = 12 平方厘米。

到了初中，知识就逐渐深入啦。

咱们开始接触到更多复杂的三角形，这时候海伦公式就派上用场了。

记得有一次我给学生们讲这个公式，有个学生就问我：“老师，这公式咋来的呀？为啥这么复杂？”我就笑着跟他们说：“这就好比咱们爬山，走平坦的路容易，但想要看到更美的风景，就得挑战一下难走的路。

”然后我就给他们一步一步地推导这个公式。

高中的时候，海伦公式的应用就更加广泛了。

在解决一些综合性的几何问题时，它常常能让解题思路变得清晰简洁。

比如在一次考试中，有一道题给出了三角形三条边的长度，分别是 5、6、7，如果用常规的方法去求面积，那可就麻烦了。

但要是用海伦公式，很快就能算出半周长 s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9，然后代入公式，S = √[9×(9 - 5)×(9 - 6)×(9 - 7)] = 6√6 。

海伦公式不仅仅是一个数学公式，它还能培养我们的逻辑思维和推导能力。

就像有一次我带着学生们做数学实践活动，让他们去测量校园里一个三角形花坛的边长，然后用海伦公式计算面积。

大家都兴致勃勃地拿着尺子去测量，回来计算的时候，有的同学算得快，有的同学算得慢，但最后大家都得出了答案，那种成就感真是溢于言表。

总之，海伦公式在数学的学习中是一个很实用的工具，从小学的简单认识，到初中的初步接触，再到高中的深入应用，它见证了我们在数学世界里的成长和进步。

海伦公式

已知三角形的三个边c b a 、、求它的面积S ,有公式))()((c p b p a p p S ---=, 其中)(21c b a p ++=。

这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何课本上一般都有介紹。

人们认为这个公式一定是海伦所首先发现,其实并不然。

在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。

海伦是古希腊的数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。

对于他的准确生活时代我们还不知道,大概在公元1-3世纪期间。

为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。

而在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边c b a 、、直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解决的，于是他得到了海伦公式。

而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。

一种方法是用解三角形基本的知识解决。

已知三角形的三边为c b a 、、，设)(21c b a p ++=，求证：三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=. 证明：由正弦定理C ab S sin 21=可得）（C b a C b a S 2222222cos 141sin 41-==，又由余弦定理222222222224)(2cos b a c b a ab c b a C -+=-+=）（，从而有）（（2222222224141b a c b a b a S -+-=1641222222）（c b a b a -+-= ]4[161222222）（c b a b a -+-=]2(2[(161222222））c b a ab c b a ab +---++= )])(()[((1612222b a c c b a ---+=）))()()((161b a c b a c c b a c b a +--+-+++=2)(2)(2)(2)(b a c b a c c b a c b a +-∙-+∙-+∙++=2)2(2)2(2)2(2)(a b a c b b a c c c b a c b a -++∙-++∙-++∙++= ))()((a p b p c p p ---= 即三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=.证毕。

海伦公式

出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
海伦公式
• 海伦公式： [1] S=√p(p-a)(p-b)(p-c) • 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： • S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
证明过程
公式简史
• 古希腊的数学发 • 阿基米德 • 展到亚历山大里亚时期，数学的应用得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，在解三角形的过程中，其中一个比较难的问题是如何利用三角形的三边直接求出三角形面积。 • 这个公式是由古希腊数学家阿基米德得出的，但人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现在海里的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》中给出证明。 [1] [5] • 中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平。

生活中的海伦公式

2p c b a ++=))()((c p b p a p p S ---=))()((c p b p a p p S ---=生活中的海伦公式去年夏天，我在课外书看到一个“海伦公式”，假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a 、b 、c ，三角形的面积S 均可由海伦公式求得：大千世界，数学知识无处不在。

只要你留心观察，善于动脑，你就会觉得自己仿佛置身在数学的海洋。

我今天讲的就是我在生活中与海伦公式有关的事。

那什么是海伦公式呢这是我有一次在课外书看到的，就让我给给大家讲一下吧。

假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a 、b 、c ，三角形的面积S 均可由海伦公式求得：而公式里的p 为半周长：由于任何n 边的多边形都可以分割成（n-2）个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。

比如说求三角形面积的时候，不用测三角形的高，只需量出三条边的长度，就可以运用海伦公式求出三角形面积。

去年的一天，我和爸爸妈妈一起回老家，正巧碰上了外公在量土地，准备种菜。

我便跑过去瞅瞅。

原来，外公要测量的是一个不规则的四边形的土地，想知道这个四边形土地的面积，好预计大概能收获多少蔬菜。

于是我帮外公一起忙活起来。

我们先量了这四条边的长度分别是：3米，4米，2米和5米。

可是发现这块地是一个不规则四边形，量了四条边也计算不出面积。

于是我们又想了一个办法，沿着这个四边形土地的一条对角线把它分成两个三角形，测量出对角线是6米。

正当我们要去测量两个三角形的高时，忽然，我灵机一动，想到了可以利用海伦公式来计算这两块三角形土地的面积。

于是，我就拿来了纸和笔画出了这块土地的平面图和计算思路。

我们先分别求出ΔABD 、ΔBCD 的半周长：再根据海伦公式分别求出他们的面积：最后将两个三角形面积加起来求出结果：平方米1068.432.5s s s 21=+=+=。

数学，就像座珠穆朗玛峰，刚开始爬山，觉得很轻松，可越爬越高时，很多人就坚持不下来了。

海伦公式及其证明方法

海伦公式及其证明方法海伦公式是三角形的重要结论之一，它描述了三角形的边长和面积之间的关系。

具体地说，海伦公式给出了三角形的面积可以通过其三条边的长度来计算。

假设我们有一个三角形ABC，其三个边的长度分别为a，b和c。

令s 为半周长，则s=(a+b+c)/2、海伦公式可以表示为：面积=√(s(s-a)(s-b)(s-c))下面我将介绍两种常见的证明方法，一种基于面积的计算，另一种基于三角函数的计算。

1.基于面积的证明方法：C/\h1/\h2/\/_______\AbB----a-----我们可以通过计算这些小三角形的面积来求解整个三角形的面积。

令s1、s2和s3分别表示三个小三角形的半周长，即s1=(a+h1+h2)/2，s2=(b+h2+h3)/2，s3=(c+h1+h3)/2分别应用海伦公式到s1、s2和s3得到小三角形的面积：S1=√(s1(s1-a)(s1-h1)(s1-h2))S2=√(s2(s2-b)(s2-h2)(s2-h3))S3=√(s3(s3-c)(s3-h1)(s3-h3))然后，我们将这些小三角形的面积相加，得到整个三角形ABC的面积：面积=S1+S2+S3=√(s1(s1-a)(s1-h1)(s1-h2))+√(s2(s2-b)(s2-h2)(s2-h3))+√(s3(s3-c)(s3-h1)(s3-h3))接下来，我们需要证明上式等于√(s(s-a)(s-b)(s-c))。

通过一系列代换和简化，可以证明上述等式成立。

这个证明过程相对复杂，涉及到较多的代数和几何计算，超出了本回答的范围。

感兴趣的读者可以参考相关数学教材或其他资料进行学习和探索。

2.基于三角函数的证明方法：另一种证明海伦公式的方法是基于三角函数。

这种方法使用三角函数的性质，将三角形的面积表达为三个边长和角度的函数，然后进行推导得到海伦公式。

我们首先假设三个边的正弦值为三个角度的函数，即sinA = a/2R，sinB = b/2R，sinC = c/2R，其中R为三角形的外接圆半径。

海伦公式及其证明方法

海伦公式及其证明方法海伦公式是一个三角形的面积与边长之间的关系公式，它由古希腊数学家海伦提出，广泛应用于各种几何问题的求解中。

本文将介绍海伦公式及其证明方法。

首先，我们来看一下海伦公式的表达式：假设有一个三角形，其三边长度分别为a、b、c，海伦公式可以表示为：s=(a+b+c)/2其中s为半周长，即三边长度之和除以2三角形的面积可以用海伦公式表示为：面积=√(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))接下来，我们将通过一个简单的证明来验证海伦公式。

证明：假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，半周长为s，高为h。

我们知道，三角形的面积可以通过底边和高的乘积的一半来计算，即：面积=1/2*b*h三角形的高可以由海伦公式推导出来，可以用边长表示如下：h=2*(面积/b)将面积代入上式，我们可以得到：h=2*(1/2*b*h/b)=h这是一个平凡的等式，表明三角形的高与边长之间是相等的。

现在我们将这个等式代入到另一个三角形ABC的面积计算公式中：面积=1/2*a*h将h代入，我们得到：面积=1/2*a*(2*(1/2*a*h/a))=a*(1/2*h)同样的，我们可以用边长b代入面积公式：面积=b*(1/2*h)将两个表达式相加面积=a*(1/2*h)+b*(1/2*h)=(1/2*h)*(a+b)=1/2*(a+b+c)*(1/2*h)这里我们可以将a+b+c除以2进行化简，得到：面积=(a+b+c)/2*1/2*h=s*1/2*h=s*r其中r为三角形的内切圆半径。

综上所述，我们可以得出海伦公式：面积=√(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))海伦公式的证明就完成了。

它提供了一种方便快捷的方法，通过已知三边长，我们可以计算出任意三角形的面积。

除了上述的几何证明方法外，还有数学分析的证明方法来验证海伦公式，但这种方法相对较为复杂。

这里我们不做详细展开，以保持文章的简洁性。

总结：海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，它通过三角形的边长来计算。

海伦公式'

海伦公式'海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，在数学学习中可有着不小的作用呢！先来说说海伦公式到底是啥。

它的表达式是：$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$，其中$S$表示三角形的面积，$a$、$b$、$c$分别是三角形的三条边长，而$p$则是半周长，即$p = \frac{a + b + c}{2}$。

这个公式看起来有点复杂，是不是？但其实只要掌握了，用起来还是挺方便的。

我记得有一次给学生们讲这个公式的时候，发生了一件特别有趣的事儿。

当时我在黑板上画了一个三角形，标好了三条边的长度，然后就开始引导学生们一起用海伦公式来计算面积。

有个小同学特别积极，把手举得高高的，嘴里还喊着：“老师，我会，我会！”我就让他到黑板前来试试。

结果这小家伙一紧张，把公式给记错了，算出了一个特别离谱的答案。

其他同学都忍不住笑了起来，他自己也不好意思地挠挠头。

我笑着鼓励他别灰心，重新再算一次。

最后，在大家的帮助下，他终于算出了正确的结果，那高兴劲儿就别提了。

咱们继续说海伦公式啊。

为什么要有这个公式呢？其实就是为了在只知道三角形三条边长度的时候，能够方便地算出面积。

比如说，在实际生活中，工程师要计算一块三角形土地的面积，或者设计师要计算一个三角形零件的面积，用海伦公式就能轻松搞定。

那怎么用海伦公式来解题呢？咱们来举个例子。

假设一个三角形的三条边分别是 3、4、5，那首先我们来算半周长$p$，$p = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$。

然后把$p$和三条边的值代入公式，$S = \sqrt{6×(6 - 3)×(6- 4)×(6 - 5)} = \sqrt{6×3×2×1} = \sqrt{36} = 6$ ，所以这个三角形的面积就是 6。

再比如，如果三角形的三条边是 5、12、13，那$p = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15$，面积$S = \sqrt{15×(15 - 5)×(15 - 12)×(15 - 13)} =\sqrt{15×10×3×2} = \sqrt{900} = 30$ 。

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去年夏天，我在课外书看到一个“海伦公式”，假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a 、b 、c ，三角形的面积S 均可由海伦公式求得：
大千世界，数学知识无处不在。