n阶行列式
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n 阶行列式的定义与性质
是标准排列。故
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
n阶行列式的定义及性质
综上, 我们有
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
n阶行列式的三种等价定义
n阶行列式的三种等价定义
1、行列式有很多等价定义。
等价定义就是你可以拿其中一个作为定义，而另外的就是他的充分必要条件。
我可以举出三个。
2、第一个应该是大部分国内教材用的。
用a{i，j}表示行列式第i行j列元素，p=（p1，p2…pn）表示1到n的排列，tp代表排列p的逆序数。
n阶行列式的值等于对全部的排列p，（-1）
^tp*a{1，p1}*a{2，p2}*。
*a{n，pn}的和。
3、第二个是递归定义，一阶行列式｜a｜=a，高阶行列式按第一行展开，即行列式等于a｛1，k｝*A｛1，k｝对全部k=1，2，。
，n求和。
其中A｛1，k｝为a｛1，k｝的代数余子式。
可以证明这种定义可以推广成按任意行或列展开且展开的值相等。
n阶行列式的定义全
02 行列式的性质
代数余子式
01
代数余子式
在n阶行列式中，去掉元素所在的行和列后，剩下的元素按照原来的排
列顺序构成的n-1阶行列式称为该元素的代数余子式。
02
代数余子式的计算
代数余子式等于(-1)^(i+j) * (n-1)阶行列式，其中i和j分别为元素所在
的行号和列号。
03
代数余子式的性质
代数余子式与元素所在的行和列的顺序无关，但与元素的位置有关。
n阶行列式的定义全
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的计算方法 • 行列式的应用
01 行列式的定义二阶行Fra bibliotek式总结词
二阶行列式是2x2矩阵的行列式值 ，由其主对角线上的元素相乘减 去副对角线上的元素相乘得到。
详细描述
对于2x2矩阵[a, b; c, d]，其行列 式值为ad-bc，即主对角线元素a 和d相乘减去副对角线元素b和c相 乘。
n阶行列式
总结词
n阶行列式是nxn矩阵的行列式值，由其主对角线上的元素相乘减去副对角线上 的元素相乘得到。
详细描述
对于nxn矩阵，其行列式值的计算方法可以归纳为Laplace展开，即从n阶行列式 中任取k行和k列，形成一个k阶行列式，然后乘以相应的代数余子式，并求和。 最终得到的值即为n阶行列式的值。
线性方程组的求解
行列式可以用来求解线性方程组，通过对方程组的系数矩阵进行行 列式变换，可以求解方程组的解。
向量空间
行列式可以用来定义向量空间的一组基，以及基之间的变换关系。
在微积分中的应用
微分学
行列式在微分学中用于计算多元函数的偏导数和 全微分。
n阶行列式计算方法
n阶行列式计算方法
在线计算n阶行列式的方法是一种重要的数学运算方法，可以用于解决线性方
程组、矩阵求逆和矩阵计算等问题。
本文将介绍几种常见的计算n阶行列式的方法。
1. 代数余子式法：该方法通过利用代数余子式的性质来计算行列式。
首先选择
第一行或第一列的元素，利用它们构成代数余子式，并对代数余子式进行计算，最后将代数余子式乘以对应元素的符号，并相加得到最终的行列式值。
2. 二阶、三阶行列式法：对于二阶行列式，可以直接利用相应元素的乘积进行
计算。
而对于三阶行列式，可以利用Sarrus定理进行计算。
Sarrus定理是通过构造
辅助矩阵，以及利用矩阵元素之间的关系进行计算的方法。
3. 初等变换法：该方法通过对行列式进行初等行变换来将行列式化为上三角行
列式或下三角行列式，并通过对角线元素的乘积来计算行列式的值。
4. Laplace展开法：Laplace展开法是一种递归的方法，通过逐步将n阶行列式
分解为n-1阶行列式，再进一步分解为n-2阶行列式，直到最后分解为1阶行列式。
每一步的分解都利用代数余子式的计算方法，最后将每一步的行列式值相加，即可得到n阶行列式的值。
需要注意的是，由于行列式的计算规模较大，当n超过一定的阶数时，上述方
法可能会出现计算速度较慢的情况。
因此，在实际应用中，可以使用计算机编程来实现行列式的计算，以提高计算效率。
综上所述，以上是几种计算n阶行列式的常见方法。
在实际应用中，可以根据
具体情况选择适合的方法进行计算。
行列式的计算对于数学和工程领域都具有重要的意义，它在解决线性方程组和矩阵运算等问题中发挥着重要作用。
§12n阶行列式
n级排列的总数为n·(n-1) ·····2·1=n!。设其中奇排列有p个，偶排列 证： 有q个。 将每一个奇排列都施以同一个对换，由定理1.1可知p个奇排列全部 变为偶排列，于是有 排列数相等，各为
n! 2
p≤q
；同理，将全部的偶排列都施以同一个对换
q≤ p
，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有 。
（2）下面讨论一般情形：设给定的排列为 A i k1 k2 L k s j B
经对换 （ i，j ），变为新排列
A j k1 k2 L k s i B
将新排列看作由原排列经一系列相邻对换而得：先将原排列中的数码i向右依次与k1 , k2 ,L , ks 作 s+1次相邻对换得 A k1 k2 Lks j i B，再将j向左依次作s次相邻对换而得新排列；即新排列可由原 排列经 2s+1次相邻对换而得，由（1）的结论可知，它改变了奇数次奇偶性，所以它与原排 列的奇偶性相反。
，所以得p=q。即奇偶
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
二 、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
观察与思考
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
举例说明
四阶行列式 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 D= a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 所表示的代数和中有 4!=24 项. a14a23a31a42行标排列为1234, 元素取自不同的行; 列标排 列为4312, 元素取自不同的列, 且N(4312)=5, 即4312为奇排列, 所以元素乘积a14a23a31a42前面应冠以负号, 即− a14a23a31a42为 D的一项.
n阶行列式的定义
a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
(1) a a a t( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和． p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律．下面将行列式推广到一般的情形．
二、n 阶行列式的定义
a11 a12 L a1n
D a21 a22 L MM an1 an2 L
a2n
M (1) a a L a p1 p2L pn
t ( p1 p2L pn )
1 p1 2 p2
npn
ann
简记作 det(aij)，
1. 等号的右边一共有 n! 项． 其中 aij 为行列式 D 的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
注意：当n = 1时，一阶行列式 |a| = a，注意不要与绝对值的
记号相混淆．例如：一阶行列式 1 1．
例：写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项．
解： a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
a a11 22 ann
(2)
D
ann
由列标排列的奇偶性
决定符号
a1n
a2,n1 N
n( n1)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为 0）
a11 a12
0a
D
22
a1n
a 2n
a a11 22 ann
(1) a a a t( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和． p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律．下面将行列式推广到一般的情形．
二、n 阶行列式的定义
a11 a12 L a1n
D a21 a22 L MM an1 an2 L
a2n
M (1) a a L a p1 p2L pn
t ( p1 p2L pn )
1 p1 2 p2
npn
ann
简记作 det(aij)，
1. 等号的右边一共有 n! 项． 其中 aij 为行列式 D 的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
注意：当n = 1时，一阶行列式 |a| = a，注意不要与绝对值的
记号相混淆．例如：一阶行列式 1 1．
例：写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项．
解： a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
a a11 22 ann
(2)
D
ann
由列标排列的奇偶性
决定符号
a1n
a2,n1 N
n( n1)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为 0）
a11 a12
0a
D
22
a1n
a 2n
a a11 22 ann
1-3 n阶行列式的定义
解
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为 的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的 代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行 其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明 交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为 的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的 代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行 其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明 交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2
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ki k 1
D
ki
ij
0,当
j.
或
a A n ik k 1
D,当i j;
D
jk
ij
0,当
j.
; j.
８、克拉默法则
如果线性方程组
,
a x a x a x b a x a x a x b
11 1
12 2
1n n
1
,
21 1
22 2
2n n
2
a x a x a x b n1
,
其中t是排列 p1 p2 pn的逆序数。
D (1) a b a b a b 2
t
( 1p
1
p 1
)(
2p
2
p 2
)(
np
n
p n
)
1
2
n
(1) a a a b
t
1p
2p np
p p p (12n)( )
, 1 2
n
1
2
n
其中t是排列 p1 p2 pn的逆序数。
而
p１ p2 pn 1 2 n,
n
n
( x ai) ( x ai).
i 1
i 1
评注：本题利用行列式的性质，采用 “化零”的方法，逐步将所给行列式化为三 角形行列式。化零时一般尽量选含有１的 行（列）及含零较多的行（列）；若没有 １，则可适当选取便于化零的数，或利用 行列式性质将某行（列）中的某数化为1； 若所给行列式中元素间具有某些特点，则 应充分利用这些特点，应用行列式性质， 以达到化为三角形行列式之目的。
５ 用拆成行列式之和（积）计算 例７ 证明
sin 2 sin( ) sin( ) sin( ) sin 2 sin( ) 0. sin( ) sin( ) sin 2
证 sin 左边 sin
sin
cos cos cos
0 cos 0 • sin
00
cos sin
(a b c d )(a b c d )
• (a b c d )(a b c d )
评注：本题是利用行列式的性质将所给行 列式的某行（列）化成只含有一个非零元素， 然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式 的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列 式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列 式）。这种方法对阶数不高的数字行列式比较 适用。
3
3 3 2
n1 .
1
n
n n 2
n1
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式， 由范德蒙行列式知
Dn n! ( xi x j) ni j1 n!(2 1)(3 1)(n 1) • (3 2)(4 2)(n 2)[n (n 1)] n!(n 1)!(n 2)!2!1!.
n1
i
a2
x
an .
i1
1 a2 a3 x
将第1列的( a1)倍加到第2列，将第1列的
( a２)倍加到第3列，,将第1列的( an)倍加到
最后一列，得
1
0
0
0
n
1 x a1 0
0
D a (x n1
)1
i
a2 a1 x a2
0
i 1
0
1 a2 a1 a3 a2 x an
it is ，则称这两个数组成一个逆序。
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数。
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列
３、计算排列逆序数的方法
方法1
分别计算出排在1,2,,n 1,n前面比它大的 数码之和，即分别算出 1,2,,n 1,n 这 n 个元 素的逆序数，这 n 个元素的逆序数之总和即为所
例４ 计算 1 1 1
2 22 2n Dn 3 32 3n .
n n2 nn
解 Dn中各行元素分别是一个数的不同方幂，
且方幂次数自左至右按递升次序排列，但不是
从0变到n 1,而是由1递升至n。若提取各行的
公因子，则方幂次数便从0增至n 1，于是得到
1 1 1 1
1
2
2 2 2
n1
Dn n! 1
４ 用降阶法计算
例６ 计算 abcd
bad c
D4 c
d
a
. b
d c ba
解 将 D4的第2、3、4行都加到第1行，并从第
1行中提取公因子a b c d，得
1111
badc
D4 (a b c d ) c
d
a
, b
d cba
再将第2、3、4列都减去第1列，得
1 b
D4 (a b c d ) c
……………
k-1的前面比k-1大的数有k-1个(2k,2k-1,…, k+2)，故逆序数为k-1；
k+1的前面比k+1大的数有k-1个(2k,2k-1,…, k+2)，故逆序数为k-1；
k的前面比k大的数有k个(2k,2k-1, …,k+1)，故逆序数为k。
于是排列的逆序数为
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
1
2
x
a3 an .
a1 a2 a3 a4 x
解 将第2,3,,n 1列都加到第一列，得
n
x ai a1
a2
an
i 1
n
x ai
x
a2
an
i 1
n
D a x
n1
i
a2
x
an .
i 1
n
x ai a2
a3
x
i 1
提取第一列的公因子，得
1 a1 a2 an
n
1 x a2 an
D a ( x ) 1
43 0
0
a a 0
52
53 0
0
a 解 设 D5中第1,2,3,4,5行的元素分别为 1 p , 1
a2 p ,a3 p ,a4 p ,a5 p ,那么，由D5中第1,2,3,
2
3
4
5
4,5行可能的非零元素分别得到
p 2,3; 1
p 1,2,3,4,5; 3
p 1,2,3,4,5;
2
p 2,3; p 2,3.
4
5
因为 p1 , p2 , p3 , p4 , p5 在上述可能取的
代码中，一个5元排列也不能组成，
故 D5 0.
评注：本例是从一般项入手，将行标按标准 顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注 意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般 方法。
注意：如果一个n阶行列式中等于零的元素
比n2 n还多，则此行列式必等于零。
解分别算出排列中每个元素前面比它大的数
码之和，即算出排列中每个元素的逆序数。 2k排在首位，逆序数为0； 1的前面比1大的数有一个(2k)，故逆序数
为1； 2k-1的前面比2k-1大的数有一个(2k)，故
逆序数为1；
2的前面比2大的数有两个(2k,2k-1)，故逆 序数为2；
2k-2的前面比2k-2大的数有两个(2k,2k-1)， 故逆序数为2；
评注：本题所给行列式各行（列）都 是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其 排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利 用行列式的性质（如提取公因子、调换各 行（列）的次序等）将此行列式化成范德 蒙行列式。
３ 用化三角形行列式计算
例５ 计算
x a1 a2 a3 an
a1 x a2 a3 an
D a a n1
5)行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面.
6)行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行 列式为零.
7)若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 则此行列式等于两个行列式之和.
8)把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数, 然 后 加 到 另 一 列(行)对 应 的 元 素 上 去, 行 列 式 的 值 不 变.
d
0 ab d c cd
0 d b ac bd
0 cb
, bc ad
按第1行展开，得
ab db cb
D4 (a b c d ) d c a c b c .
cd bd ad
把上面右端行列式第2行加到第1行，再从第1
行中提取公因子a b c d，得
D４ (a b c d )(a b c d )
11 1
12 2
1n n
0,
21 1
22 2
2n n
a x a x a x n1
1
n2
2
nn
0.
n
的系数行列式D 0,那么它没有非零解。。
定理：如果上述齐次线性方程组有非
零解，则它的系数行列式必为零。
一、计算排列的逆序数
例１求排列2k 12k 122k 232k 3
k 1k的逆序数，并讨论奇偶性。
所以 D2 (1)t a1 p a2 p an p D1.
1
2
n
评注：本题证明两个行列式相等，即证明两 点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一 项所带的符号相同。这也是用定义证明两个行列 式相等的常用方法。
２ 利用范德蒙行列式计算
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
110 • dc ac bc,
cd bd ad
再将第2列减去第1列，得
D4 (a b c d )(a b c d )
1
0
0
• d c ad bc,
cd bc ad
按第1行展开，得
ad bc
D４ (a b c d )(a b c d ) b c a d