复合函数的单调性和奇偶性
复合函数及抽象函数的单调性
复合函数的单调性复合函数的定义：设y=f(u)定义域A ，u=g(x)值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f[g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
若u=g(x)y=f(u)则y=f[g(x)]规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。
“同增异减”例2. 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间．的单调区间。
：求函数例29121)(1x x f --=抽象函数例1：设f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间（-∞，0）上是增函数，又f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a 的取值范围。
问：设f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间（-∞，0)上是增函数，问在 区间(0，+∞）上f(x)是 增函数还是减函数？例2：设f(x)是定义在实数集R 上的偶函数，且在区间（-∞，0]上是增函数，又f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a 的取值范围。
.2)3()()4()()()3()()()()2(1)2()1()(2的取值范围求时，满足：上的函数：定义在例x x f x f y f x f y x y f x f xy f f x f R ≤-+<>+==+.)().()()(,,1)(0)(3上的增函数是求证：有、且对于任意时，上，当定义在：函数例R x f b f a f b a f R b a x f x R x f =+∈>>例4:.]1,2[)(,2)1(,0)(),()()(,)(上的值域在区间求时，且当均有、对于任意实数已知函数--=->>+=+xffxfxyfxfyxfyxxf.,9)1()3(.),0()()2.()()1().1,0()(1,9)27(,1)1()()()()(53的取值范围求且若上的单调性，并证明在判断的奇偶性判断时当且都有、对任意实数：已知函数例aafaxfxfxfxffyfxfxyfyxxf≤+≥+∞∈<<==-=复合函数的单调性小结复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。
复合函数奇偶性的判定方式
函数奇偶性判定方式的教学1.函数奇偶性的必要性：函数的概念域必需关于原点对称，如此该函数可能有奇偶性。
2.概念法：x属于函数y=f(x)的概念域A,且-x属于A的条件下，若是f(-x)=-f(x)那么y=f(x)为奇函数，若是f(-x)=f(x)那么y=f(x)为偶函数。
若是f(-x)=-f(x)=f(x)=0 那么y=f(x)为偶函数且奇函数。
若是f(-x)=-f(x)=f(x)等于不为零的一个常数，那么y=f(x)为偶函数。
3.依照函数图像对称性来判定：若是函数图像关于原点对称，那么为奇函数，若是函数图像关于y轴对称，那么为偶函数。
4. 分段函数奇偶性的判定：要看每段上f(-x)与f(x)的关系，或要取绝对值符号，化简函数式。
5.复合函数奇偶性的判定：函数 y=f(t)且t=g(x),若是f(t)为奇〔偶〕函数，那么t=g(x)为奇〔偶〕函数。
6. 互为反函数的关系判定：若是一个函数是奇函数，那么它的反函数也是起函数，但偶函数就不能如此的关系。
7. 用特殊值判定函数的奇偶性：例如：f(x)知足，f(x y) f(x-y)=2f(x).f(y), 且f(1)不等于f(2),求证：f(x)为偶函数例题：判定函数的奇偶性和单调性分析：不难判定函数的概念域是；又因为可得是奇函数，因此，把握在上函数的单调性，就能够把握函数在概念域上的单调性，将的解析式变形为，设，咱们已经熟知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，那么，由就能够够推断函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，再由是奇函数就可判定在和两个区间上都是减函数；在区间上是增函数．如此，利用函数的单调性的概念推证的单调性的目标就明确了．解：∵函数的概念域为，又故是奇函数，任取，，且．其中和恒为正数．当，，，，，即当时，且，，由此可得，，即当时，，，．即综上所述，函数在和上都是减函数，在上是增函数．说明:咱们还能够利用函数的奇偶性和单调性对的性质作进一步研究．第一作出函数的草图，咱们发觉: 当时，；当时，；当时，．这说明图象位于第一、三象限，且通过原点，当或即时，，说明图象向左、向右都无穷接近轴，再加上对的奇偶性和单调性的推断，就可刻画出函数的图象，在图象上咱们还能推断：当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，通过上述对从数量关系和几何特点的两个侧面的分析，使咱们对函数能有全面的了解．。
复合函数单调性
复合函数单调性一般地，设函数)(x g =ω在区间M 上有意义，函数)(ωf y =在区间N 上有意义，且当M x ∈时，N ∈ω有以下四种情况：（1）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数；（2）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（3）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（4）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数。
注意：内层函数)(x g =ω的值域是外层函数)(ωf y =的定义域的子集。
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
即我们所说的“同增异减”规律。
求y=122)21(--x x 的单调区间.解 ： 设y=u)21(.由u ∈R,u=x 2－2x －1,解得原复合函数的定义域为x ∈R.因为y=u)21(在定义域R 内为减函数,二次函数u=x 2－2x －1的单调性与复合函数的单调性相反.易知,u=x 2－2x －1=(x －1)2－2在x ≤1时单调减，由x ∈R, (复合函数定义域)x ≤1， (u 减)解得x ≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间. y=x17.0;((－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.)y=232x -;(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间) y=3)31(+x ,((－∞，+∞)为单调减区间.)y=227x x -；((－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.)指数运算和指数函数1.根式的性质（1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a n n(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠=-N p a a ap p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m n m且(5)负分数指数幂 n mn ma a 1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义3.有理指数幂的运算性质(1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>=(3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>⋅=4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数。
复合函数的单调性与奇偶性
复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下:
1.若函数 的定义域都是关于原点对称的,那么由 的奇偶性得到 的奇偶性的规律是:
函数
奇偶性
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
即当且仅当 和 都是奇函数时,复合函数 是奇函数.
2.若函数 在区间 上是单调函数,函数 在 或 上也是单调函数,那么复合函数 在区间 上是单调函数,其单调性规律是:
函数
单调性
增函数
增函数
减函数
减函数
增函数
减函数
增函数
减函数
增函数
减函数
减函数
增函数
即 , 增减性相同时, 为增函数,增减性相反时, 为减函数.
专题：复合函数的单调性
2
1 函数y log2 6 x x 2 的单调递增区间为 3 ， 。 2
七.小结：
（1）求复合函数的单调区间；
注意：求函数的单调性首先要求函数的定义域。
y
k (k 0) x
y
y
k k 0 x
O
x
图象的函数解析式是： y
k k 0。此函数是反比例函数 。 x 0,上也是减函数； 当k 0时，函数在 ,0上是减函数，在
0,上也是增函数。 当k 0时，函数在 ,0上是增函数，在
y
y ax2 bx c(a 0)
复合函数的单调性
知识回顾: a 1
图 y
0a1
ya
x
ya
x
y
象
定义域： 性
(0,1) O R 值域： (0, )
x
(0,1) O
x
定义域：
R
奇偶性： 非奇非偶函数 单调性： 在R上是增函数 质 x>0时，y>1;x<0时,0<y<1
值域： (0, ) 奇偶性：非奇非偶函数 单调性： 在R上是减函数 x>0时，0<y<1;x<0时,y>1
个自变量的值 x1 , x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就 说在这个区间上是增函 数。
2减函数：如果对于属于 定义域I内某个区间的任意两
个自变量的值 x1 , x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么 就说在这个区间上是减 函数。
解： x2 4x 5 0
复合函数的性质探究
复合函数的性质探究在高中，我们经常研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性以及零点等问题.课本上仅介绍了基本的初等函数，由它们构造出纷繁复杂的函数，这里面很多都是复合函数，什么是复合函数？复合函数的性质如何判别？又如何应用？一、概念复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f（u），u=g （x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量.例如y=sin2x与y=sinx不同，它不是基本初等函数，而是由三角函数y=sinu和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数.在复合函数的定义中，对复合的步骤和方式有特殊的约定.把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形如a·f（x）+b·g（x）或a·f（x）·g（x）的函数不是复合函数.复合函数是指把几个映射依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射，构造一个复合映射所确定的函数.自变量像被加工的零件依次通过第一个映射、第二个映射，直到通过全部映射.例如，复合函数y=sin2x是自变量x先“乘以2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数y=sin2x.为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数.从外向内看函数y=f[g（x）]，称函数y=f（u）为外层函数（外函数），称函数u=g（x）为内层函数（内函数），且称函数y=f[g（x）]为函数f和g复合一次得到.二、定义域1.已知f（x）的定义域，求f[g（x）]的定义域思路：设函数f（x）的定义域为D，即x∈D，所以f的作用范围为D，又f对g（x）的作用范围不变，所以g（x）∈D，解得x∈E，E为y=f[g（x）]的定义域.例1设函数f（u）的定义域为（0，1），则函数f（lnx）的定义域为.解：函数f（u）的定义域为（0，1）即u∈（0，1），所以f的作用范围为（0，1）.又f 对lnx的作用范围不变，所以02.已知f[g（x）]的定义域，求f（x）的定义域思路：设f[g（x）]的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，所以f的作用范围为E；在f（x）中f对x的作用范围不变，所以x∈E，E为f（x）的定义域.例2已知f（3-2x）的定义域为x∈[-1，2]，则函数f（x）的定义域为.解：f（3-2x）的定义域为[-1，2]，即x∈[-1，2]，由此得3-2x∈[-1，5].所以f的作用范围为[-1，5]；在f（x）中f对x的作用范围不变，所以x∈[-1，5]，即函数f（x）的定义域为[-1，5].3.已知f[g（x）]的定义域，求f[h（x）]的定义域思路：设f[g（x）]的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，f的作用范围为E；在f[h（x）]中f对h（x）的作用范围不变，所以h（x）∈E，解得x∈F，F为f[h（x）]的定义域.例3若函数f（2x）的定义域为[-1，1]，则f（log2x）的定义域为.解：f（2x）的定义域为[-1，1]，即x∈[-1，1]，由此得2x∈[12，2]，所以f的作用范围为[12，2].在f（log2x）中f对log2x的作用范围不变，所以log2x∈[12，2]，解得x∈[2，4]，即f（log2x）的定义域为[2，4].评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）.f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f作用对象可以变，但f的作用范围不会变.三、值域1.可以化归为二次函数的复合函数求值域例4求函数y=2x+41-x的值域.分析：含根式的函数关键是去根号，可以利用换元法转化为一元二次函数求值域问题.解：令t=1-x（x≤1），则x=1-t2，其中t≥0，原函数可以看成由y=-2t2+4t+2与t=1-x复合而成，∵x≤1，∴t≥0，∴y=-2（t-1）2+4（t≥0）∈（-∞，4]，即原函数的值域是（-∞，4].2.可以化归为一次函数的复合函数求值域例5求函数y=sinxcosx1+sinx+cosx的值域.解：令sinx+cosx=t，则sinxcosx=t2-12，原函数可以看成由函数y=t2-12（1+t）=12（t-1）（t≠-1）与t=sinx+cosx复合而成.因为t=sinx+cosx=2sin（x+π4），所以t∈[-2，-1）∪（-1，2].结合一次函数图像可知函数值域为[-2-12，-1）∪（-1，2-12].评注：求函数值域要注意函数定义域，本题很容易遗漏t≠-1的限制，导致求值域出错，产生错误的原因是忽视了转化的等价性，所以解题过程中必须紧扣定义域.3.可以化归为反比例函数的复合函数求值域例6求函数y=2x2+2x+3x2+x+1的值域.解：函数y=2x2+2x+3x2+x+1=2+1x2+x+1，令t=x2+x+1，则原函数可以看成由函数y=2+1t和t=x2+x+1复合而成.因为x∈R，所以t=x2+x+1=（x+12）2+34≥34，结合反比例函数图像可知y=2+1t∈（2，103]，所以原函数的值域为（2，103].4.可以化归为y=ax+bx（a，b∈R*）型函数的复合函数求值域例7求函数y=sin2x-2sinx+4sinx-2的值域.解：令t=2-sinx，则原函数可以看成由函数y=-（t+4t）+2和t=2-sinx复合而成.∵sinx∈[-1，1]，∴t=2-sinx∈[1，3]，由u=t+4t的图像可知u∈[4，5]，故y=-（t+4t）+2∈[-3，-2]，所以原函数的值域为[-3，-2].评注：求复合函数值域的关键是把复杂的函数通过换元转化为由简单函数y=f（t）和t=g （x）复合而成，其中t是中间变量，具有双重身份：在函数y=f（t）中，t是自变量；在函数t=g（x）中，t是函数值.要求原函数的值域，必先求出中间变量t的取值范围，而求t的范围，就是求函数t=g（x）的值域，从而将求原函数的值域化归为求两个简单函数的值域，使得问题得到解决.四、单调性复合函数的单调性是由两个函数共同决定，我们把其规律归纳如下表：y=f（u）增↗减↘u=g（x）增↗减↘增↗减↘y=f（g（x））增↗减↘减↘增↗以上规律还可描述为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.例8已知y=loga（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围.解：∵a>0且a≠1，（1）若a>1，内函数t=2-ax是减函数，外函数y=logat是增函数，得复合函数y=loga（2-ax）是减函数，满足题意；又由于x∈[0，1]，2-ax>0，即2-ax的最小值2-a1>0，解得a∴1（2）若0内函数t=2-ax是增函数，外函数y=logat是减函数，得复合函数y=loga（2-ax）是减函数，满足题意；又由于x∈[0，1]，2-ax>0，即2-ax的最小值2-a0>0，恒成立，∴0综上所述，0评注：复合函数y=f（g（x））的单调性判断步骤：①确定函数的定义域；②将复合函数分解成两个简单函数：y=f（t）与t=g（x）；③分别确定分解成的两个函数的单调性；④若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f（g（x））为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f（g（x））为减函数.当然复合函数的单调性还可以用求导的方式来研究，同学们一定要熟练掌握复合函数的求导法则.五、考题回顾复合函数问题是高考中的一个热点问题，具有关系复杂、综合性强、难度大等特点，往往涵盖函数方程、数形结合、分类讨论和转化化归等重要数学思想，对同学们的思维能力、运算能力、耐心细致处变不惊的心理品质等都有较高的要求.例9（2013年江苏省）平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=1x（x>0）图像上一动点，若点P，A之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为.解：由题意设P（x0，1x0），（x0>0）则有PA2=（x0-a）2+（1x0-a）2=x20+1x20-2a（x0+1x0）+2a2=（x0+1x0）2-2a（x0+1x0）+2a2-2.令x0+1x0=t（t≥2），则PA2=f（t）=t2-2at+2a2-2=（t-a）2+a2-2（t≥2）.当a≤2时，PA2min=f（2）=2a2-4a+2，∴2a2-4a+2=8，∴a=-1，a=3（舍去）.当a>2时，PA2min=f（a）=a2-2，∴a2-2=8∴a=10，a=-10（舍去）.∴综上所述：a=-1或a=10.评注：此题的最值若用求导的方法来研究，过程会过于繁琐，而用复合函数的观点来研究则相对简单.例10（2012年江苏省）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点.已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函数y=h（x）的零点个数.解：（1）a=0，b=-3.（2）略.（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）-c.先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况：d∈[-2，2].当|d|=2时，f（x）=-2的两个不同的根为1和-2，注意到f（x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为-1和2.当|d|0，f（1）-d=f（-2）-d=-2-d∴-2，-1，1，2都不是f（x）=d的根.由（1）知f′（x）=3（x+1）（x-1）.①当x∈（2，+∞）时，f′（x）>0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）>f（2）=2，此时f（x）=d在（2，+∞）无实根.②当x∈（1，2）时，f′（x）>0，于是f（x）是单调增函数.又∵f（1）-d0，y=f（x）-d的图像不间断，∴f（x）=d在（1，2）内有唯一实根.同理，f（x）=d在（-2，-1）内有唯一实根.③当x∈（-1，1）时，f′（x）又∵f（-1）-d>0，f（1）-d∴f（x）=d在（-1，1）内有唯一实根.因此，当|d|=2时，f（x）=d有两个不同的根x1，x2满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|现在考虑函数y=h（x）的零点：（ⅰ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2.而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5个零点.（ⅱ）当|c|而f（x）=ti（i=3，4，5）有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点.综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|评注：解决本题的关键还是通过换元的方法把复合函数分解为两个简单函数，而这两个简单函数是我们熟悉的三次函数.当然也可通过研究复合函数h（x）=f（f（x））-c的单调性来解决此题.复合函数往往是由简单函数“组合”而成的，解决其有关问题时，常用“逐步分解术”，“化整为零”，各个击破，最后解决问题.作题人：（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
指数型复合函数的奇偶性与单调性
当 ∈ ｆ — １ ， ＋ 一 ） 时 ， ｇ （ ） 为 增 函 数 。
， １ 、
所 以， （ ｚ ） 一 （ ＋ 专 ） ‘ ｚ 。 为 偶
函数 。
而指数函 数ｆ （ ｕ ） 一（ 寺）是减函 数，
根据 复 合 函数 的单 调 性 知 ： ｆ（ ｚ）一
（ ３ ） 证明： 当ｚ ＞ｏ 时， ２ ＞ｌ ， ２ —ｌ ＞ｏ 。
（ ２ ） 讨 论 ｆ（ ｚ） 的奇偶 性 ；
（ ３ ） 证明： ｆ（ ｘ） ＞ Ｏ。 分析： 对 于 ｆ（ ｚ） 一 ｇ（ ）・ （ ｚ） 的 奇 偶 性 ， 可 以 先 判 断 ｇ（ ｚ） 与 （ ｚ） 的奇 偶性 ， 然 后 根据： 奇 ×奇 一 偶 ， 偶 ×偶 一偶 ， 奇 Ｘ偶 一 奇 ， 得 出 ｆ（ ｚ） 的奇偶性 。 解： （ １ ） 由题 意 得 ２ 一 １ ｒ ｅ ０， 即 ｚ≠ ０ 。
例１ 求函数厂 （ ） 一ｆ
、
的单调增
所以， ｚ 的定义域为 一。 。 ， ｏ ） ｕ‘ ｏ ，
＋ ∞ ）。
区间 。
（ ２ ） 由（ １ ） 知 ｆ（ ） 的定 义 域 为 （ 一一
，
Ｏ）
分析 ： 原 函数可 看成 由指数 函数 － 厂（ “） 一
Ｕ（ Ｏ ＋ｏ 。 ） ， 关 于原 点对 称 。
取 ＿ 平 桶
一 一 一 一 一 一 一
咱 ， 计 Ｊ 璧
—
—
学 习研 究 版 ２ ０ １ ６年 第 １ ２期
指 数 型 复合 函数 的奇 偶 性 与 单调 性
■ 赵 万 里
函数 的单 调性 与奇偶 性是 两 个 常考 的性
（ １ ） 求 ｆ（ － ｚ ） 的定 义 域 ；
复合函数的性质
复合函数的性质文／董裕华复合函数是函数知识的综合和拓展，在高中数学教学中已经涉及到许多这方面知识，在国内外数学竞赛中复合函数问题也频频出现，但现行中学数学教材中没有作出系统研究．本文拟讨论形如ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］的复合函数的性质及其应用．一、基础知识1．定义．设函数ｙ＝ｆ（ｕ），当ｕ∈Ｐ时，ｆ（ｕ）∈Ｑ；ｕ又是ｘ的函数，ｕ＝ｇ（ｘ），当ｘ∈Ｍ时，ｕ∈Ｐ．从集合Ｍ中每一个给定的ｘ，通过Ｐ中唯一的元素ｕ与集合Ｑ中唯一的元素ｙ相对应，则ｙ也是ｘ的函数，称为这两个函数的复函数，记为ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］．其中ｙ＝ｆ（ｕ）叫做复合函数的外函数，ｕ＝ｇ（ｘ）叫做复合函数的内函数，集合M叫做这个复合函数的定义域．形如ｆｎ（ｆｎ－1（ｆｎ－2（…ｆ2（ｆ1（ｘ））…）））的函数叫做多重复合函数，它可以看成是函数ｕ＝ｆｎ－i（ｆｎ－i－1（…ｆ2（ｆ1（ｘ））…））与ｙ＝ｆｎ（ｆｎ－1…ｆｎ－i＋1（ｕ）…）的复合函数．2．单调性．函数ｕ＝ｇ（ｘ）在集合Ｍ上有定义，ｕ∈Ｐ；ｙ＝ｆ（ｕ）在Ｐ上有定义．如果ｇ（ｘ）在M上递增，ｆ（ｕ）在Ｐ上递增（减），那么ｆ［ｇ（ｘ）］在Ｍ上也递增（减）；如果ｇ（ｘ）在Ｍ上递减，ｆ（ｕ）在Ｐ上递增（减），那么ｆ［ｇ（ｘ）］在Ｍ上递减（增）．3．奇偶性．如果ｕ＝ｇ（ｘ）为奇函数，ｙ＝ｆ（ｕ）为奇（偶）函数，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为奇（偶）函数；如果ｕ＝ｇ（ｘ）为偶函数，ｙ＝ｆ（ｕ）有意义，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］必为偶函数．4．反函数．如果内函数ｕ＝ｇ（ｘ）和外函数ｙ＝ｆ（ｕ）都分别是其定义域到值域上一一对应的函数，那么复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］的反函数为ｙ＝ｇ－1［ｆ－1（ｘ）］．证明见文［1］．5．周期性．函数ｕ＝ｇ（ｘ）是集合Ｒ上的周期函数，ｕ∈Ｍ；ｆ（ｕ）在Ｍ上有定义，则复合函数ｆ［ｇ（ｘ）］也是Ｒ上的周期函数．内函数为周期函数，复合函数必为周期函数；若外函数为周期函数，复合函数却未必是周期函数．例如1975年加拿大第七届中学生数学竞赛第7题，问ｓｉｎ（ｘ2）是周期函数吗?回答显然是否定的．综合复合函数的周期性、单调性、奇偶性，不难发现复合函数还有以下性质：6．若内函数ｕ＝ｇ（ｘ）的最小正周期为Ｔ0，ｕ∈Ｄ，外函数ｙ＝ｆ（ｕ）是Ｄ上的单调函数，则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］也是最小正周期为Ｔ0的周期函数．7．若函数ｆ（ｕ）的最小正周期为Ｔ0，ｇ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ（ａ≠0），则复合函数ｆ［ｇ（ｘ）］也为周期函数，最小正周期为Ｔ0／｜ａ｜．8．若ｇ（ｘ）为奇函数，当ｆ（ｘ）与φ（ｘ）均为偶函数时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）为周期函数，2ａ是它的一个周期；当ｆ（ｘ）与φ（ｘ）奇偶性相异时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）也为周期函数，4ａ是它的一个周期．9．若ｇ（ｘ）为偶函数，ｆ（ｘ）在Ｒ上有定义，当φ（ｘ）为偶函数时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）为周期函数，2ａ是它的一个周期；当φ（ｘ）为奇函数时，复合函数φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ ≠0）也为周期函数，4ａ是它的一个周期．现证明一种情形．ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ）、φ（ｘ）均为偶函数时，由φ（－ｘ）＝ｆ［ｇ（－ｘ＋ａ）］＝ｆ［ｇ（ｘ－ａ）］，又φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］，得ｆ［ｇ（ｘ－ａ）］＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］，即φ（ｘ－2ａ）＝φ（ｘ）．φ（ｘ）为周期函数，2ａ是它的一个周期．其余情形类似可证．例1 Ｐ（ｘ）和Ｑ（ｘ）为二实系数多项式，它们对一切实数ｘ满足恒等式Ｐ［Ｑ（ｘ）］＝Ｑ［Ｐ（ｘ）］，若方程Ｐ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）无实数解，证明：方程Ｐ［Ｐ（ｘ）］＝Ｑ［Ｑ（ｘ）］亦无实数解．导析：学生观察题目后，容易闪现出一个念头，即设出多项式Ｐ（ｘ）和Ｑ（ｘ），但Ｐ［Ｐ（ｘ）］、Ｑ［Ｑ（ｘ）］等难以表示．思维受阻后，学生转而考虑反证法．假设Ｐ［Ｐ（ｘ）］＝Ｑ［Ｑ（ｘ）］有解，设其解为ａ，则由Ｐ［Ｐ（ａ）］＝Ｑ［Ｑ（ａ）］很难确定下一步证题方向，同样无功而返．这时教师可提醒学生：Ｐ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）无实数解的实质是什么?学生很快想到Ｐ（ｘ）－Ｑ（ｘ）或者恒为正，或者恒为负．不妨设Ｐ（ｘ）＞Ｑ（ｘ），由此Ｐ［Ｐ（ｘ）］＞Ｑ［Ｐ（ｘ）］，Ｐ［Ｑ（ｘ）］＞Ｑ［Ｑ（ｘ）］．又Ｐ［Ｑ（ｘ）］＝Ｑ［Ｐ（ｘ）］，得Ｐ［Ｐ（ｘ）］＞Ｑ［Ｑ（ｘ）］．这已是学生熟悉的问题，可由学生整理完成．例2 已知ｆ（ｘ＋1）＝｜ｘ－1｜－｜ｘ＋1｜，如果ｆ［ｆ（ａ）］＝ｆ（1993）＋1，求ａ．导析：从条件看，多数同学会想到ｆ（1993）＝ｆ（1992＋1）＝－2，由此ｆ（ａ）＝｜ａ－2｜－｜ａ｜，ｆ［ｆ（ａ）］＝｜｜ａ－2｜－｜ａ｜－2｜－｜｜ａ－2｜－｜ａ｜｜．现在要去掉绝对值符号，就非常困难了．教师适时引导学生：如果先去绝对值符号呢?ｆ（ｘ）＝｜ｘ－2｜－｜ｘ｜=由于ｆ［ｆ（ａ）］＝ｆ（1 993）＋1＝－2＋1＝－1，学生便会想到此时0≤ｆ（ａ）≤2，从而2－2ｆ（ａ）＝－1，ａ＝1／4．例3函数ｆ（ｘ）在Ｒ上有定义，且满足：①ｆ（ｘ）是偶函数，ｆ（0）＝993；②ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ－1）是奇函数．试求ｆ（1992）的值．导析：学生很容易想到ｆ（1992）＝ｇ（1993）＝－ｇ（－1993）＝－ｆ（1994）．本来求ｆ（1992）就很烦，化成ｆ（1994）更显繁，不少学生畏难而退．能否找出函数变化规律呢?也就是说把数据一般化，能否证得ｆ（ｘ）＝－ｆ（ｘ＋2）呢?学生会恍然大悟，ｆ（ｘ）是周期为4的函数!至此思路已经畅通．由特殊到一般，再由一般到特殊，这是人类认识世界、改造世界的规律，也是解竞赛题的常用策略．本题也可直接用基础知识8，只要令φ（ｘ）＝ｘ，则ｆ（ｘ）＝ｇ［φ（ｘ＋1）］即可求解．二、综合应用复合函数是单一函数的整合与拓展，它以代数式、数列、几何等知识为支撑，以方程、不等式等形式为载体，以函数的性质为纽带，加之应用广泛，在竞赛命题中自然就颇受青睐．复合函数问题常通过换元法、待定系数法、特殊值法变形求解，与自然数有关的命题也可通过数学归纳法获证．例4是否存在函数ｆ∶Ｒ→Ｒ；ｇ∶Ｒ→Ｒ，使得对所有的ｘ∈Ｒ，都有ｆ［ｇ（ｘ）］＝ｘ2，ｇ［ｆ（ｘ）］＝ｘ3？导析：既然对所有ｘ∈Ｒ，都有这两个函数关系，学生首先想到用特殊值去验证．根据本题特点选择0和1，得ｆ［ｇ（0）］＝0，ｇ［ｆ（0）］＝0；ｆ［ｇ（1）］＝1，ｇ［ｆ（1）］＝1．现在问题转化为要求ｆ（0）、ｆ（1）、ｇ（0）、ｇ（1）．经过一番“折腾”，学生摸索出ｆ（0）＝ｆ｛ｇ［ｆ（0）］｝＝［ｆ（0）］2，ｆ（1）＝ｆ｛ｇ［ｆ（1）］｝＝［ｆ（1）］2．那么ｆ（0）究竟等于0还是1?ｆ（1）又等于几?ｆ（ｘ）表达式又是什么?这时学生能够推得ｆ（ｘ3）＝ｆ｛ｇ［ｆ（ｘ）］｝＝［ｆ（ｘ）］2，这是一个一般性结论，学生还能观察出ｆ（－1）＝［ｆ（－1）］2．这样ｆ（0）、ｆ（1）、ｆ（－1）的值都只能在0和1中选择，因此ｆ（0）、ｆ（1）、ｆ（－1）至少有两个相等，究竟又是哪两个相等呢?正当“山穷水尽”之时，再揣摩一下题目中的“是否存在”，这是不是意味着上述结论不一定成立?至此问题的解决进入最后阶段，由于ｇ［ｆ（0）］、ｇ［ｆ（1）］、ｇ［ｆ（－1）］不等，故ｆ（0）、ｆ（1）、ｆ（－1）也互不相等．更一般地，对于任意ｘ1≠ｘ2，ｆ（ｘ1）≠ｆ（ｘ2），因此满足条件的函数关系不存在．例5确定所有的函数ｆ：Ｒ→Ｒ，其中Ｒ是实数集，使得对任意ｘ，ｙ∈Ｒ，恒有ｆ［ｘ－ｆ（ｙ）］＝ｆ［ｆ（ｙ）］＋ｘｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）－1成立．（1999年第四十届IMO试题）导析：和上题一样，先用特殊值代入验算．学生自然先考虑ｘ＝ｙ＝0的情形．得出ｆ［－ｆ（0）］＝ｆ［ｆ（0）］＋ｆ（0）－1．ｆ（0）的值又如何求呢?学生仍然会考虑特殊情况，再令ｘ＝ｆ（ｙ），得ｆ（0）＝2ｆ（ｘ）＋ｘ2－1，从而ｆ（0）＝1．容易验证ｆ（ｘ）＝1－ｘ2／2符合题意．这是从特殊情形推出的结果，现在还需要解决的问题是有没有满足条件的其他函数?不妨设函数ｆ像的集合为Ａ．我们的目标是求ｆ（ｘ）表达式．令ｙ＝0，则ｆ（0）∈Ａ且为常数，记为ｍ，则ｆ（ｘ－ｍ）－ｆ（ｘ）可以表示为ｘ的一次函数：ｆ（ｘ－ｍ）－ｆ（ｘ）＝ｍｘ＋ｆ（ｍ）－1．也就是说对任意ｘ∈Ｒ，ｍｘ＋ｆ（ｍ）－1∈Ｒ，ｆ（ｘ－ｍ）－ｆ（ｘ）∈Ｒ．换句话讲对任意ｘ∈Ｒ，都存在ｙ1，ｙ2∈Ａ，使得ｘ＝ｙ1－ｙ2．因此ｆ（ｘ）＝ｆ（ｙ－ｙ2）＝ｆ（ｙ1）＋ｆ（ｙ2）＋ｙ1ｙ2－1．①那么ｆ（ｙ1）、ｆ（ｙ2）又如何表示?由上述1分析知只要令ｘ＝ｆ（ｙ），便得ｆ（ｘ）＝（－ｘ2＋ｍ＋1）／2．② 把ｆ（ｙ1）、ｆ（ｙ）表达式代入①，即可求得ｆ（ｘ）＝ｍ－ｘ2／2．再令ｘ＝0，则ｍ＝1．从而对任意ｘ∈Ｒ，2都有ｆ（ｘ）＝1－ｘ2／2．例6设ｎ为自然数集合，ｋ∈Ｎ，如果有一个函数ｆ：Ｎ→Ｎ是严格递增的，且对于每一个ｎ∈Ｎ，都有ｆ［ｆ（ｎ）］＝ｋｎ．求证：对每一个ｎ∈Ｎ，都有2ｋｎ／（ｋ＋1）≤ｆ（ｎ）≤（ｋ＋1）ｎ／2．导析：条件是关于复合函数的等式，结论却是关于ｆ（ｘ）的不等式，学生首先能考虑寻找ｆ（ｎ）与ｆ［ｆ（ｎ）］之间的关系．由已知，ｆ（ｎ）≥ｎ，则ｆ［ｆ（ｎ）］≥ｆ（ｎ）≥ｎ，故ｋ≥1，而2ｋｎ／（ｋ＋1）＝ｎ／（1／2＋1／2ｋ）≥ｎ，这对证题没有帮助．再回到已知“ｆ严格递增且取自然数值”，就是说ｆ（ｎ＋1）≥ｆ（ｎ）＋1，进而对任意ｍ∈Ｎ，都有ｆ（ｎ＋ｍ）≥ｆ（ｎ）＋ｍ．既然ｆ（ｎ）≥ｎ，不妨设ｆ（ｎ）＝ｎ＋ｍ（ｍ是非负整数），则ｆ［ｆ（ｎ）］≥ｆ（ｎ）＋ｍ＝ｆ（ｎ）＋ｆ（ｎ）－ｎ，从而ｆ（ｎ）≤（ｋ＋1）ｎ／2．对于左式，实质是要证明ｆ［ｆ（ｎ）］≤（ｋ＋1）ｆ（ｎ）／2，这已是水到渠成的事情．本题多次运用换元思想，进行“换位思考”，这也是解复合函数竞赛试题的常用手段．例7设ｆ（ｎ）为一个在所有正整数集合Ｎ上有定义且在Ｎ上取值的函数．证明：如果对每一个ｎ，ｆ（ｎ＋1）＞ｆ［ｆ（ｎ）］，则对每一个ｎ，ｆ（ｎ）＝ｎ．导析：本题和上题恰好相反，是由不等关系推相等关系．根据所求，学生较易想到的是反证法．假设ｆ（ｎ）≠ｎ，不妨先考虑ｆ（ｎ）＞ｎ的情形，得ｆ［ｆ（ｎ）］＞ｆ（ｎ），而ｆ（ｎ＋1）≥ｆ（ｎ）＋1，至此已别无它法．调整思路，比较本题和上题，上题已知ｆ是Ｎ→Ｎ上严格增函数，本题结论函数ｆ也是单调增函数．所以可以尝试先证明ｍ≥ｎ时，ｆ（ｍ）≥ｆ（ｎ）．由于是与自然数有关的命题，可以考虑用数学归纳法证明．当ｎ＝1时，ｆ（2）＞ｆ［ｆ（1）］，而ｆ［ｆ（1）］≥ｆ（1）又怎么证?这又回到上面老路上．退一步讲，对任意ｍ≥ｎ，欲证ｆ（ｍ）≥ｆ（ｎ）比较困难，能否证得ｆ（ｍ）≥ｎ？事实上如果证得ｆ（ｍ）≥ｎ，则ｆ（ｎ）≥ｎ也必定成立，这离ｆ（ｎ）＝ｎ反而更接近．当ｎ＝1时结论显然成立．设ｎ＝ｋ（ｋ∈Ｎ）时结论成立，即ｍ≥ｋ时，ｆ（ｍ）≥ｋ．则当ｎ＝ｋ＋1，即ｍ≥ｋ＋1时，ｍ－1≥ｋ，ｆ（ｍ－1）≥ｋ，从而ｆ（ｍ）＞ｆ［ｆ（ｍ－1）］≥ｋ．由于ｆ（ｍ）取值为正整数，因此ｆ（ｍ）≥ｋ＋1，命题成立．这样ｆ（ｎ）≥ｎ．现在证明ｆ（ｎ）＞ｎ不可能．若ｆ（ｎ）＞ｎ，即ｆ（ｎ）≥ｎ＋1，则ｆ［ｆ（ｎ）］≥ｆ（ｎ＋1），这与已知矛盾．接下来，就由学生对上述思路进行梳理、整合．三、强化训练1．若＝ｘ，求Ｆ（ｘ）．2．已知ｆ（ｘ）＝｜1－2ｘ｜，ｘ∈［0，1］，求方程ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）］｝＝（1／2）ｘ的解的个数．3．若ａ＞0，ａ≠1，Ｆ（ｘ）为Ｒ上的奇函数，判定函数Ｇ（ｘ）＝的奇偶性．4．设ｆ（ｘ）＝（1＋ｘ）／（1－3ｘ），ｆ1（ｘ）＝ｆ［ｆ（ｘ）］，ｆ2（ｘ）＝ｆ［ｆ1（ｘ）］，…，ｆn（ｘ）＝ｆ［ｆn－1（ｘ）］，…，求ｆ1991（4．7）．5．设ｙ＝ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的函数，且对任意ａ，ｂ∈Ｒ，都有ｆ［ａｆ（ｂ）］＝ａｂ，求ｆ（2000）．6．设ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的函数，Ｍ＝｛ｘ｜ｆ（ｘ）＝ｘ｝，Ｎ＝｛ｘ｜ｆ［ｆ（ｘ）］＝ｘ｝．（1）求证ＭＮ；（2）若ｆ（ｘ）在Ｒ上是增函数，判断Ｍ＝Ｎ是否成立，并证明你的结论．7．全体正整数集是两个不相交子集｛ｆ（1），ｆ（2），…，ｆ（ｎ），…｝与｛ｇ（1），ｇ（2），…，ｇ（ｎ），…｝的并集，其中ｆ（1）＜ｆ（2）＜…＜ｆ（ｎ）＜…，ｇ（1）＜ｇ（2）＜…＜ｇ（ｎ）＜…，且对于所有ｎ＞1，有ｇ（ｎ）＝ｆ［ｆ（ｎ）］＋1，求ｆ（240）．参考答案与提示1．（1－ｘ）／（1＋ｘ）．提示：用换元法．2．8个．提示：分类讨论．先分两类：ｆ（ｘ）＝对于ｆ［ｆ（ｘ）］，也可类似分成四个区间讨论，因为ｆ（ｘ）在上述两区间值域仍为［0，1］．至于ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）］｝要分八个区间分别求解．3．奇函数．提示：可先证明是奇函数．4．4．7．提示：由ｆ1（ｘ）＝（ｘ－1）／（3ｘ＋1），ｆ2（ｘ）＝ｘ，ｆ3（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ4（ｘ）＝ｆ1（ｘ），由此可以类推，归纳出规律，ｆ3ｍ＋k（ｘ）＝ｆk（ｘ）（ｍ，），从而ｆ1991（4．7）＝ｆ3×663＋2（4．7）＝ｆ2（4．7）＝4．7．5．±2000．提示：用特殊值法．先令ａ＝1，得ｆ［ｆ（ｂ）］＝ｂ；再令ａ＝ｆ（ｂ），得ｆ［ｆ2（ｂ）］＝ｂｆ（ｂ）．而ｆ［ｂｆ（ｂ）］＝ｂ2＝ｆ｛ｆ［ｆ2（ｂ）］｝＝ｆ2（ｂ），故｜ｆ（ｂ）｜＝｜ｂ｜．6．（1）对任一ｘ∈Ｍ，ｆ（ｘ）＝ｘ，于是ｆ［ｆ（ｘ）］＝ｆ（ｘ）＝ｘ，即ｘ∈Ｎ，故ＭＮ．（2）成立．设ｆ（ｘ）为增函数，若ｘＭ，则ｆ（ｘ）＞ｘ或ｆ（ｘ）＜ｘ；前者导出ｆ［ｆ（ｘ）］＞ｆ（ｘ）＞ｘ，后者导出ｆ［ｆ（ｘ）］＜ｆ（ｘ）＜ｘ，故总有ｘＮ，因此ＮＭ．结合（1），Ｍ＝Ｎ．7．388．解答见文［2］．参考文献1．甘大旺．复合函数的反函数．中学数学，2000，22．单土尊．数学奥林匹克题典．南京：南京大学出版社，1995（本期“高中竞赛初级讲座”特邀编辑刘康宁）。