2013年全国研究生数学建模竞赛E题 (2)
2013年全国研究生数学建模竞赛C题
2013年全国研究生数学建模竞C题（华为公司合作命题）微蜂窝环境中无线接收信号的特性分析近年来，随着移动通信的发展，对系统容量的要求越来越高，频谱资源越来越紧缺。
微蜂窝、微微蜂窝系统由于采用频谱复用技术缓解这个矛盾而得到广泛应用，这些系统的小区半径小于一千米，造成微蜂窝之间原来的统计相似关系丢失，这给运营商在网络初期规划带来了困难。
因为实际情况经常不满足电磁场模型的条件，并且一般无法求解。
若没有良好的传播预测模型，划分小区、选择基站位置和高度的唯一方法就是通过实际测量、反复测试。
显然这需要投入大量的人力、时间，费用也会很高。
而传播模型则根据对无线传输信道的模拟和仿真，预测接收信号，可以为指导网络规划提供较为准确的理论依据，链路预算小区半径，计算电波传播及干扰，当然希望越精确越好。
目前，比较有代表性的就是射线跟踪模型。
射线跟踪是一种被广泛用于移动通信和个人通信环境(街道微蜂窝和室内微微蜂窝)中的预测无线电波传播特性的技术，由于移动通信中使用的超高频微波和光同属电磁波，有一定近似性（当然还有差别），按光学方法辨认出多路径信道中收、发射机间所有主要的传播路径。
一旦这些传播路径被辨认后，就可根据电波传播理论来计算每条传播路径信号的幅度、相位、延迟和极化，然后结合天线方向图和系统带宽就可得到到达接收点的所有传播路径的相干合成结果。
城市环境下的微蜂窝主要指高楼密集区，覆盖范围大大缩小(半径仅为几百米甚至几十米)，基站天线(发射机)低于周围建筑物的高度，电波是在建筑物的“峡谷”当中传播。
因此，电波经过屋顶绕射后再到达地面接收点的射线路径数量非常少，而且其场强与经过建筑物多次反射和绕射的路径相比，往往可以忽略，地面的反射也不考虑。
这些特点构成了微小区中电波传播的主要特点。
因此，可以假设微蜂窝环境下建筑物的高度高于基站天线的高度，从而将三维问题近似地简化成二维问题，只考虑两种传播机制：反射和绕射。
这种简化大大地提高了射线跟踪模型的预测效率，同时能够得到可以接受的预测精度。
研究生数模竞赛B题(2013年)
(1) Saleh 模型 Saleh 模型是根据对行波管功率放大器(traveling wave tube amplifier， TWTA)的输 入输出数据进行统计分析后得到的，TWTA 的 AM-AM 和 AM-PM 失真特性相对来说 都比较明显，并且模型参数较少，参数的提取也比较方便，是目前一种常用的无记忆 功放模型[6]。 假设功放的输入信号为：
-3-
二、 问题假设
1. 2. 3. 4. 5. 6. 不考虑时间、温度、环境等外界因素的影响； 不考虑功放因温度漂移、老化等引起功放特性的变化； 不考虑外部信号或电路自身对该功率放大器的干扰； 不考虑当输入信号、负载和元件自身发生变化时，造成系统的不稳定性的影响； 不考虑功放的特性随时间变化，假设在一定时间内功放的特性都是恒定的； 假设功率放大器的非线性特性是可逆的；
[7] 简单起见，令 A r t 用 r 表示输入信号幅度，则模型的特性函数为 ：
Ar
r
Ar 1 Ar 2
r 2 1 r 2
(3)
(4)
式(3)和(4)中， r 为输入信号的包络幅度， A ， A ， ， 为待定参数，本文 通过 Yang[8][9]最新提出的智能优化算法——布谷鸟搜索算法对参数进行寻优，得到待 定参数 1 ， 1 ， Q ， Q 分别为 1 =3.1344， 1 =0.5920， Q =0.0100， Q =10.0000。 (2) 复系数幂级数模型 由于功放的输入输出都为射频实信号，而功放建模与预失真都在基带进行，基带 信号为复信号，需要完成射频实信号到基带复信号的转换。实系数幂级数不能表征功 放的 AM-PM 特性，因此需要复系数幂级数对功放进行建模[10]。射频中，功放的输入 输出特性用 K 阶幂级数可以表示为：
全国研究生数学建模竞赛
全国研究生数学建模竞赛全国研究生数学建模竞赛由教育部学位与研究生教育发展中心（以下简称学位中心）主办，是学位中心主办的“全国研究生创新实践系列活动”主题赛事之一。
全国研究生数学建模竞赛是面向全国在读研究生的科技竞赛活动，目的在于激发研究生群体的创新活力和学习兴趣，提高研究生建立数学模型和运用计算机解决实际问题的综合能力，拓宽知识面，培养创新精神和团队合作意识，促进研究生中优秀人才的脱颖而出、迅速成长，推动研究生教育改革，增进各高校之间以及高校、研究所与企业之间的交流与合作。
从2004年起开始举办以来，该赛事得到了全国各研究生培养单位的大力支持和各地研究生的热烈响应，参赛单位及参赛队伍的规模越来越大，参赛者中不乏名博士生，使这项赛事在全国研究生中的影响力越来越大，在广大研究生中也打下了扎实基础。
该活动已于2006年被列为教育部研究生教育创新计划项目之一。
一、竞赛全名全国研究生数学建模竞赛National Post-Graduate Mathematic Contest in Modeling ：NPGMCM二、竞赛由来东南大学“长江计划特聘教授”、生命科学专家陆祖宏赞助了这次竞赛，竞赛的成功举办在研究生中产生较大的反响。
2004年东南大学研究生院、南京师范大学研究生部联合邀请部分高校研究生院的领导共商研究生建模的工作。
经过南京的筹备会议，东南大学、南京师范大学、南京大学、南京理工大学、同济大学、河海大学、武汉大学、南京航空航天大学、山东大学、南昌大学、中国科学技术大学、国防科学技术大学、中国矿业大学、解放军信息工程大学、解放军理工大学、中南大学、华南理工大学、吉林大学、西安交通大学、中山大学、合肥工业大学、厦门大学、天津大学、四川大学、上海交通大学、哈尔滨工业大学等26所高校研究生院一致决定联合发起全国部分高校研究生数学建模竞赛，成立了竞赛组织委员会和竞赛评审委员会，制定了竞赛的章程和规则。
三、竞赛历程2004年首届竞赛由南京师范大学承办，由24 个省84所高校及中国科学院的约1440名研究生参加，其中包括60名博士生。
全国数学建模大赛题目
全国数学建模大赛题目摘要：一、全国数学建模大赛简介二、全国数学建模大赛的参赛对象和报名方式三、全国数学建模大赛的竞赛形式和要求四、全国数学建模大赛的奖项设置和评选标准五、全国数学建模大赛的意义和影响正文：【一、全国数学建模大赛简介】全国数学建模大赛是由中国数学会主办的一项面向全国大学生的数学建模竞赛活动。
该竞赛旨在激发广大大学生学习数学的积极性，提高其运用数学知识解决实际问题的综合能力，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。
【二、全国数学建模大赛的参赛对象和报名方式】全国数学建模大赛的参赛对象主要为全国范围内的本科生，部分学校的研究生也可以参加。
报名方式一般为团队报名，每个团队由三名选手组成。
参赛选手可自由组队，跨专业、跨年级、跨学校的组队方式也是允许的。
报名时间通常在每年的9 月份，比赛时间则在10 月份。
【三、全国数学建模大赛的竞赛形式和要求】竞赛形式为封闭式比赛，比赛时间为76 小时。
参赛选手在规定时间内独立完成对某一题目的建模、求解和撰写论文等任务，期间不得查阅任何资料。
比赛题目一般具有现实意义、跨学科特点，参赛选手需要运用自己所学的数学知识及其他相关知识来解决实际问题。
【四、全国数学建模大赛的奖项设置和评选标准】全国数学建模大赛的奖项分为一、二、三等奖。
评选标准主要包括模型的建立、求解的正确性和文字表述的清晰程度等方面。
其中，一等奖为参赛作品中的优秀作品，要求模型建立准确、求解正确、论文表述清晰且有创新点。
【五、全国数学建模大赛的意义和影响】全国数学建模大赛对于激发学生学习数学的兴趣、提高其实际问题解决能力具有重要意义。
此外，该竞赛还有助于推动数学教育的改革，提高我国数学教育水平。
数学建模研究生录取问题(人员调度)
2013年中北大学大学生数学建模竞赛选拔赛题B 研究生录取问题摘要本文将研究生录取问题和跟导师之间的双向选择问题分别转化成层次分析问题和线性规划中的0-1规划问题。
首先利用层次分析法对进入复试的学生进行差额录取，考虑所有可能的师生配对方案，根据总体满意度作为评价研究生复试招生合理性的指标，找到师生间的最佳配对方案，达到双向选择的目的。
对于满意度量化中各种权值的具体赋值，我们利用层次分析中权值矩阵的一致性检验法则进行了检验计算，使得每个最终配对方案的可信度达到最大。
在比较各个方案的总体满意度大小的基础上，我们提出了更能体现双向选择的录取方案。
关键词：集对分析层次分析法0-1 规划双向选择一问题重述某校某学科方向招收研究生指标是20人，达到复试线的是31个人，有关学生初试复试成绩见后面表格。
导师中有3位教授(T1,T2,T3)，7位副教授(T4,T5,T6,T7,T8,T9,T10)，现需要解决以下问题：1. 根据初试和复试成绩，选拔20位学生。
2. 根据学生意愿，对导师和学生进行分配。
其中教授T3今年只招2人，其余每位教授可招收3-4人，每位副教授可招收1-2人。
3. 近几年采用的导师分配办法是：先由每位教授根据学生意愿选择3人，再由每位副教授根据学生意愿选择1人；接下来根据学生意愿教授可以再选择1人，副教授再选择2人。
试提出评价研究生复试招生合理性的指标，并对上述方法予以评价。
4. 学校规定：各学科严格按照下达指标招生，不得超过；如果某学科不能完成今年的招生计划，明年的指标按照今年实际招生数量确定。
但在近几年的招生中发现有以下问题：一是因面试时间短，面试效果不理想，个别不是很优秀的学生被录取；二是确定并录取名单后，有的学生拒绝录取，又到别的学校参加复试；三是有的学生9月份报到的时候，因找到工作，或对导师安排有意见或其它个人原因放弃读研机会，导致指标浪费。
试提出招生录取的改进方案，该方案对上述问题有一定考虑，并对该方案的利弊进行评价。
2016年全国研究生数学建模大赛优秀论文E题2
中国研究生数学建模竞赛试题
中国研究生数学建模竞赛试题
假设一个线性回归模型的系数为β0=3, β1=2，则该模型的截距和斜率分别为：
A. 截距为3，斜率为2
B. 截距为2，斜率为3
C. 截距为3，斜率为-2
D. 截距为-2，斜率为3
在假设检验中，如果p值小于显著性水平α，则我们：
A. 接受原假设
B. 拒绝原假设
C. 不能确定是否接受或拒绝原假设
D. 以上都不对
下列哪一项不是聚类分析的主要目标？
A. 发现数据中的潜在结构
B. 对数据进行分类
C. 预测未来的数据点
D. 可视化数据的分布
对于一个随机变量X，如果其期望E(X)存在，则下列性质正确的是：
A. E(aX + b) = aE(X) + b，其中a和b是常数
B. E(X^2) = [E(X)]^2
C. E(X^2) ≥ [E(X)]^2
D. E(X) = E(-X)
在时间序列分析中，如果时间序列是平稳的，则：
A. 它的均值和方差都是常数
B. 它的均值随时间变化
C. 它的方差随时间变化
D. 以上都不对
对于二元正态分布，下列说法正确的是：
A. 边缘分布一定是一元正态分布
B. 条件分布一定不是正态分布
C. 协方差矩阵一定是正定的
D. 相关系数一定是1或-1
在多元线性回归模型中，如果增加一个解释变量，则模型的：
A. R平方一定增加
B. 调整R平方一定增加
C. F统计量一定增加
D. 以上都不对
假设检验中第一类错误的概率通常表示为：
A. α
B. β
C. 1-α
D. 1-β。
全国研究生数学建模竞赛题目
中国研究生数学建模竞赛试题汇总2021赛题汇总2021-A：相关矩阵组的低复杂度计算和存储建模2021-B：空气质量预报二次建模2021-C：帕金森病的脑深部电刺激治疗建模研究2021-D：抗乳腺癌候选药物的优化建模2021-E：信号干扰下的超宽带（UWB）精确定位问题2021-F：航空公司机组优化排班问题2020赛题汇总2020-A：芯片相噪算法2020-B：汽油辛烷值建模2020-C：面向康复工程的脑信号分析和判别建模2020-D：无人机集群协同对抗2020-E：能见度估计与预测2020-F：飞行器质心平衡供油策略优化2019赛题汇总2019-A: 无线智能传播模型2019-B：天文导航中的星图识别2019-C：视觉情报信息分析2019-D：汽车行驶工况构建2019-E：全球变暖?2019-F：多约束条件下智能飞行器航迹快速规划2018赛题汇总2018-A ：关于跳台跳水体型系数设置的建模分析2018-B：光传送网建模与价值评估2018-C：对恐怖袭击事件记录数据的量化分析2018-D：基于卫星高度计海面高度异常资料获取潮汐调和常数方法及应用2018-E：多无人机对组网雷达的协同干扰2018-F：机场新增卫星厅对中转旅客影响的评估方法2017赛题汇总2017-A：无人机在抢险救灾中的优化运用2017-B：面向下一代光通信的VCSEL激光器仿真模型（华为命题）2017-C：航班恢复问题2017-D：基于监控视频的前景目标提取2017-E：多波次导弹发射中的规划问题2017-F：构建地下物流系统网络2016赛题汇总2016-A：多无人机协同任务规划2016-B：具有遗传性疾病和性状的遗传位点分析2016-C：基于无线通信基站的室内三维定位问题2016-D：军事行动避空侦察的时机和路线选择2016-E：粮食最低收购价政策问题研究2015赛题汇总2015-A：水面舰艇编队防空和信息化战争评估模型2015-B：数据的多流形结构分析2015-C：移动通信中的无线信道“指纹”特征建模2015-D：面向节能的单/多列车优化决策问题2015-E：数控加工刀具运动的优化控制2015-F：旅游路线规划问题2014赛题汇总2014-A：小鼠视觉感受区电位信号（LFP）与视觉刺激之间的关系研究2014-B：机动目标的跟踪与反跟踪2014-C：无线通信中的快时变信道建模2014-D：人体营养健康角度的中国果蔬发展战略研究2014-E：乘用车物流运输计划问题2013赛题汇总2013-A：变循环发动机部件法建模及优化2013-B：功率放大器非线性特性及预失真建模2013-C：微蜂窝环境中无线接收信号的特性分析2013-D：空气中PM2.5问题的研究2013-E：中等收入定位与人口度量模型研究2013-F：可持续的中国城乡居民养老保险体系的数学模型研究2012赛题汇总2012-A：基因识别问题及其算法实现2012-B：基于卫星无源探测的空间飞行器主动段轨道估计与误差分析2012-C：有杆抽油系统的数学建模及诊断2012-D：基于卫星云图的风矢场（云导风）度量模型与算法探讨2011赛题汇总2011-A：基于光的波粒二象性一种猜想的数学仿真2011-B：吸波材料与微波暗室问题的数学建模2011-C：小麦发育后期茎秆抗倒性的数学模型2011-D：房地产行业的数学建模2010赛题汇总2010-A：确定肿瘤的重要基因信息2010-B：与封堵溃口有关的重物落水后运动过程的数学建模2010-C：神经元的形态分类和识别2010-D：特殊工件磨削加工的数学建模2009赛题汇总2009-A：我国就业人数或城镇登记失业率的数学建模2009-B：枪弹头痕迹自动比对方法的研究2009-C：多传感器数据融合与航迹预测2009-D：110警车配置及巡逻方案2008赛题汇总2008-A：汶川地震中唐家山堰塞湖泄洪问题2008-B：城市道路交通信号实时控制问题2008-C：货运列车的编组调度问题2008-D：中央空调系统节能设计问题2007赛题汇总2007-A：建立食品卫生安全保障体系数学模型及改进模型的若干理论问题2007-B：机械臂运动路径设计问题2007-C：探讨提高高速公路路面质量的改进方案2007-D：邮政运输网络中的邮路规划和邮车调度2006赛题汇总2006-A：Ad Hoc网络中的区域划分和资源分配问题2006-B：确定高精度参数问题2006-C：维修线性流量阀时的内筒设计问题2006-D：学生面试问题2005赛题汇总2005-A：Highway Traveling time Estimate and Optimal Routing 2005-B：空中加油2005-C：城市交通管理中的出租车规划2005-D：仓库容量有限条件下的随机存贮管理2004赛题汇总2004A：发现黄球并定位2004B：实用下料问题2004C：售后服务数据的运用2004D：研究生录取问题。
2013年全国研究生数学建模竞赛获奖名单
获华为特别奖的是10013009
90006007 90045019
10699002 90005008 10013009 10293014 90006018 10286030 90059005 10701007 10054019
D题
许放 肖帅芳 陶铭亮 阮智昊 宋歌 荆舒晟 林洪涛 陈智斌 唐艳梅 吴昊 尹辉 刘璧婷 何国玺 吴名强 袁光辉 蒋雪峰 郭慧敏 李海燕 刘天 何迎东 周诗雨 冉芸 董俊 李思佳 李子龙 罗永东 吴波亮 郑江 马烁 周少龙 肖玲 蔡淑娟
任丽 贵州大学 何伟 西北工业大学 谭索怡 国防科学技术大学 孙晓芹 山东财经大学 张艳欣 中国航天科工集团第二研究院 颜文超 上海交通大学 肖锦绣 西南交通大学 李鹏 中国石油大学(北京) 徐思军 宁波大学 程瑾 西南石油大学 罗晨 湖北工业大学 李秋影 吉林大学 魏杰 南京大学 余强 孙恒宇 叶尚斌 解放军电子工程学院 浙江工商大学 同济大学
获华为特别奖的是10248005
10248005 10247134 90005013 90005023 10287030 10286090 10256023 10319003 10595005 10079012 10287025 83221014 10613020 10252115 10558008 10418003 10699004 10533057 10422055 10269005 10335002 10561004 80132001 10358010 10004008
王丹华 王维 邵卿 谢婷 马文聪 张晓勇 陈余康
南京财经大学 江苏大学 上海大学 东华大学 天津大学 西南财经大学 复旦大学
姓名 李骥 余竹玛 田欣 卢梦凯 张成 刘友琼 陈其盛 林宝照 陈洪骏 胡在凰 时浩 李剑峰 严杰 曹海龙 黄国翔 时岩 罗杰华 张勇 孟飞
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料，必须按照规定的面的车辆数。
实际通行车流量的采集与处理视频1中出现车辆多种多样，要统计车流量数据，需先统一车流标准，把视频中出现的车辆进行折算，以小轿车做为标准，对各个型号车辆进行折算[2]，折算系数如表1所示。
表1 车辆折算系数附件中出现汽车小轿车中型车大客车车辆折算系数在事故发生前，道路的通行能力足以应对上游车流量，当发生事故时，事故点上游共有10辆小轿车与5辆大客车，车流量为20pcu。
之后一分钟(16:42:32-16:43:32)，上游又有车流量21pcu，但只通过了21pcu，说明造成了交通拥堵和排队情况。
“附件5”可知，相位时间为30s，红灯时间为30s，即60s为一个周期，进行统计时间周期也为60s，不会造成因交通灯引起的误差。
实际通行流量是指折算后通过事故横断面的车流，上游车流量是指折算后从各个路口驶入事故横断面的车流。
对附件1中事故横断面处的车流量进行统计，得出实际通行车流量情况，并统计横断面上游的车流量，在统计过程中发现视频并不是完全连续的，例如在16:49:40时出现了突变，直接到16:50:04，跳跃间隔为24s，但于堵车情况较重，可以根据车流量守恒原则和车辆追踪，统计出通过横断面处的车流量及上游车流量。
但16:56:04等时间，跳跃时间较长，近2分钟，无法精确统计，如表2处“空缺”所示。
在17:00:07到17:01:20时视频发生跳变，在此期间事故车辆驶离道路，之后为事故恢复时间。
为了描述事故发生开始到车辆离开车道全程的实际通行能力变化情况，将视频中空缺数据通过灰色预测(程序见附录)进行填补，结果如表2所示。
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2013年全国研究生数学建模竞赛E 题中等收入定位与人口度量模型研究居民收入分配关系到广大民众的生活水平，分配公平程度是广泛关注的话题。
其中中等收入人口比重是反映收入分配格局的重要指标，这一人口比重越大，意味着收入分配结构越合理，称之为“橄榄型”收入分配格局。
在这种收入分配格局下，收入差距不大，社会消费旺盛，人民生活水平高，社会稳定。
一般经济发达国家都具有这种分配格局。
我国处于经济转型期，收入分配格局处于重要的调整期，“橄榄型”收入分配格局正处于形成阶段。
因此，监控收入分配格局的变化是经济社会发展的重要课题，例如需要回答，与前年比较，去年的收入分配格局改善了吗改善了多少可见实际上需要回答三个问题：什么是“橄榄型”收入分配格局收入分配格局怎样的变化可以称之为改善改善了多少直观上，中间部分人口增加，则收入分配格局向好的方向转化。
于是基本问题回答什么是中间部分。
一个国家的收入分配可以用统计分布表示，图１是某收入分配的密度函数)(x f ，其中0≥x 表示收入(仅考虑正的收入)，0x 是众数点，m 是中位数点，μ是平均收入。
收入分配经验分析说明，收入分配曲线一般是所谓正偏的，即峰值点向左偏，右端拖一个长尾巴，且通常有μ<<m x 0 (1)记对应的分布函数为)(x F ，则)(x F p =表示收入低于或等于x 的人口比例。
由于21)(=m F ，(1)式意味着收入大于或等于平均收入的人口一定不到半数，因此是少数。
记收入低于或等于x 的人口群体拥有收入占总收入的比例为)(p L ，则应有⎰=x t t tf p L 0d )(1)(μ，)(x F p = (2))(p L 称之为收入分配的洛伦兹曲线。
显然，如果)(1p L 与)(2p L 是两个不同收入分配的洛伦兹曲线，若对任何)1,0(∈p 都有)()(21p L p L ≥，则)(1p L 对应的收入分配显然更优，因为在)(1p L 中，任何低收入端人口拥有的总收入比例更大。
下图中红色曲线是某收入分配的洛伦兹曲线。
图１其中横轴表示人口比例，纵轴表示总收入比例。
显然，图中曲线位置越高，所代表的收入分配越平等。
其中︒45线可以理解为平等收入线，这时，任何低收入端人口比例为p 的人口拥有的总收入比例也是p ，从而必定是完全平等的收入分配。
因此定义︒45线与)(p L 之间面积的2倍为基尼系数。
于是基尼系数定义为⎰-=1d )(21p p L G (3))(p L 与)(x f 具有关系μx p L =')( (4) )(1)(p L x f ''=μ (5)其中)(x F p =。
记)(x F 的反函数为)(1p F -，则洛伦兹曲线可以表示为⎰-=pq q F p L 01d )(1)(μ实践中通过入户调查获得家庭收入与消费等数据，如果可以得到这类数据，则可以使用例如Kernel 法估计收入分配的统计分布。
我国统计部门也进行这种调查，但数据不对外公开，而只是在统计年鉴上发布所谓的分组数据(世界上很多国家也如此)，这种数据的完整形式为()μi i x p ,，n i ,,2,1 = (6)()i i L p ,，n i ,,2,1 = (7)其中i x 是收入区间点，满足1210+<<<<≤n n x x x x ，通常1+n x 理解为充分大的正数。
n 通常不大，例如10=n 。
很多国家只提供(7)式描述的数据。
经济学界只能利用这种稀疏的信息进行收入分配分析。
记00=p ，则),[1+i i x x 中人口比例为1--i i p p 。
例如图１中“+”中标出的点表示了形如(7)的数据点，其中/10i p i =，9,,2,1 =i ，最后的点是95.010=p 。
如果收入分配的真实洛伦兹曲线为)(p l ，且若)(p l '存在，则(6)表示的是)(p l '曲线上的坐标点，即μi i x p l =')(；(7)表示)(p l 曲线上的点，即i i L p l =)(。
经济学界采用所谓的洛伦兹曲线模型),(τp L 拟合上述数据(7)，其中τ是一组参数，使用非线性最小二乘法求解()∑=-n i ii L p L 12),(min τ (8)确定其中参数向量τ的估计值τˆ，然后用)(ˆ)ˆ,(p L p L =τ作为近似的洛伦兹曲线来进行收入分配分析，显然，这时就能通过(4)、(5)式确定相应的统计密度与分布的估计。
),(τp L 是定义在]1,0[区间上、取值于]1,0[区间的函数，满足0),0(=τL ，1),1(=τL ，0),(≥'τp L ，0),(≥''τp L (9)即),(τp L 在]1,0[上是凸增函数。
文献中常常略去参数τ以求表述简练。
也可以使用其他方法(例如多项式、样条函数逼近)来确定洛伦兹曲线，但实践证明使用洛伦兹曲线模型是比较理想的方法之一，有关洛伦兹曲线模型的最近文献见参考文献[3]。
经济理论中提出的另一种方法是使用经验分布拟合分组数据而直接形成收入分配的近似分布，有关参考文献见[1]。
图２经济理论界考虑取收入落在中位收入m 的一个范围内的人口为中等收入人口，可以视这种方法为“收入空间法”。
例如图2(A)，取其中收入属于),(h l x x 中的人口为中等收入人口，这时中等收入人口比例M 显然等于)()(l h x F x F ，见图2(B)。
显然，这种方法中l x 与h x 的取法具有任意性，由于经济进步，通货膨胀等因素的影响，收入的区间是变化的，更多的情形是所有人口的收入都提高了，即全社会的收入区间右移，可见l x 与h x 的任意性使纵向比较各年的中等收入人口时出现困难。
另一种方法可以视为“人口空间法”，即选择21)(=m F 邻近的一个范围为中等收入人口，例如取范围=1p 20%到=2p 80%，当然，按定义，中等收入人口比例已经取定为60%。
再用此60%的人口所拥有的收入占总收入的比例来描述中等收入人口的状态，此时中等收入人口的收入范围],[h l x x 当然容易算得。
例如当范围取为20%到80%时，中等收入人口的状态即定义为⎰-=-=8.02.01d )(1)2.0()8.0(p p F L L S μ注意到平均收入为⎰-=101d )(p p F μ即图3中)(x F 左侧区域的面积，而S 是图中淡蓝色区域的面积。
图３[2]讨论了两种方法的缺陷。
第一种方法是前面提到的任意性，再考虑第二种方法。
这种方法似乎有道理，例如经济发展、收入增加导致所有人口的收入都右移时，总是取中间的60%进行纵向比较似乎总是可行的。
设收入分配是]30000,10000[ 上的均匀分布，这时中位收入是20000=m 。
此时，中间60%人口拥有总收入的60%，收入范围为14000到26000。
考虑收入分配发生了变化，变成了]40000,0[上的均匀分布，这时收入范围拉大了，低端人口收入下降了，高端收入人口收入增加了，直观上两极分化扩大了，也即中等收入人口应该是下降了，但按第二种方法，中间60%的人口拥有的总收入比例仍是60%。
这与经济直观不符。
中等收入人口的多少与两极分化(polarization)的程度有关，所谓两极分化，用密度函数表示时，例如严重右偏且厚尾，也即中间部分空洞化。
两极分化与收入不平等(inequality)是不同的概念，文献[2]对这两个概念进行了准确阐述。
[2]建立了一种指数，这种指数说明两极分化的大小或严重程度，该指数扩大意味着两极分化严重了，这时表示中等收入人口缩小了。
反之若该指数缩小了，则意味着中等收入人口扩大了。
但该文献并没有给出测算中等收入人口比例大小的方法。
为此，需要研究中等收入定位与人口度量问题，请你根据表一中给出的分组数据，用数学模型研究给出的问题。
表一：收入分配分组数据 j x 1+j x j f j p j L表中],[1+j j x x 是收入区间，单位为元，j f 是该区间内的人口比例，j p 是],0[1+j x 中人口比例，j L 是],0[1+j x 中人口拥有的总收入比例，因此),(j j L p 是洛伦兹曲线上的点，其中25000以上人口比例为1%。
总平均收入=μ6603元。
请研究如下问题：一．构造满足(9)式的新模型),(τp L ，使得能很好的拟合上述分组数据、反映经济规律。
例如文献[3]证明()()ββαβ21)1(1)1(1)(p p p L ----= ]1,0(,21∈ββ，0≥α，0≥β，1≥+βα (10)满足条件(9)。
该文中还提出了其他一些模型，并说明利用这些模型时，产生的估计结果优于密度函数的Kernel 估计法。
请在现有参考文献中(文献[4]的参考文献部分列出了大部分有关的文献)找出至少10种模型，与你们提出的模型进行比较。
通过比较，说明你们的模型不差。
提示：可以搜集到现成的无约束非线性最小二乘计算程序，利用参数变换对类似(10)的条件进行变换，将约束非线性最小二乘问题化为无约束的。
如果),(τp L 是你们找到的模型，分组数据是(){}ni i i L p 1,=，τˆ是你们求得的τ的估计，拟合精度的好坏可以采用以下三种标准进行比较。
均方误差(MSE, mean squared error )：()[]∑=-n i i i L p L n 12ˆ,1τ 平均绝对误差(MAE, mean absolute error)：()∑=-ni i i L p L n 1ˆ,1τ 最大绝对误差(MAS, maximum absolute error)()i i ni L p L -≤≤τˆ,max 1 注意，本题中最好能构造新模型，而不是通过简单处理(例如加权)文献中的已有模型而得到的模型。
二．研究可否改进上述提到的收入空间法，这时需要研究确定中等收入的范围、中等收入人口的范围的科学方法，以克服中等收入区间取法的任意性；研究可否改进上述提到的人口空间法，例如研究在各年中1p 与2p 取不同的值时，纵向比较各年中等收入人口与收入的变动的方法。
提示：目前经济理论界将中等收入人口定义为中位收入附近的人口，于是若中间部分比前一年隆起得更高，则认为中等收入人口扩大了；若两边人口扩大了，则中等收入人口下降了。
所提出的原理与模型应与这一直观相符。
其他有关价值取向方面的示例性提示见问题四。
三．利用最后表二~表五所附A, B 两个地区前后两个不同年份的收入分配分组数据，请研究：(1) 对各地区、各年份的中等收入的数量(或范围)、中等收入人口的数量或范围进行定量描述，说明中等收入人口的变化趋势；(2)比较两个地区的中等收入人口、收入等变化情况。