2020高考数学刷题首选卷考点测试7函数的奇偶性与周期性(理)(含解析)
函数的奇偶性与周期性精选习题(含解析)
1 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A ．-7B ．-9C ．-11D ．-132．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0B ．1C ．2D ．43．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A ． B ．C ．D ．4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-26．（利用奇偶性周期性判断方程根的个数）函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与2 / 9(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（ ）A ．2020B ．2019C ．1010D ．10097．（利用奇偶性周期性求字母范围）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 20(1)a f x x a -+=>在区间(]2,6-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ） A．B．)2C．2⎤⎦D．2⎤⎦二、填空题8．（利用奇偶性解不等式）已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()23f x x x =-，则不等式()22f x -≤的解集为___．9．（奇偶性与导函数结合）已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有()()22f x xf x '+<成立，则使得()()22424x f x f x -<-成立的x 的取值范围为_____．10（由函数图象判断周期性求函数值）如图，边长为1的正方形ABCD ，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C （x ，y ）滚动时形成的曲线为y ＝f （x ），则f （2019）＝________．3 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题解析一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A ．-7 B ．-9C ．-11D ．-13【答案】C【解析】∵x ＞0时，f （x ）的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称； ∴x ＞0时，f （x ）＝2x ；∴x ＞0时，g （x ）＝2x +x 2，又g （x ）是奇函数；∴g （﹣1）+g （﹣2）＝﹣[g （1）+g （2）]＝﹣（2+1+4+4）＝﹣11． 故选C ．2．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】对()f x 整理得，()22cos 21sin 21211x x f x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪++⎝⎭ 而易知2sin 2,1xy x y x ==+都是奇函数， 则可设()()21sin 21g x f x x xx =-++=，可得()g x 为奇函数，即()g x 关于点()0,0对称所以可知()()1f x g x =+关于点()0,1对称，所以()f x 的最大值和最小值也关于点()0,1，因此它们的和为2. 故选C 项.3．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ）4 / 9A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e----=⋅-=⋅---=++⋅=+， 所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<【答案】A【解析】Q ()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又Q (2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5 / 9又1111023--<-<-≤Q …，且函数在区间[1,0)-上是增函数， 11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-2【答案】C【解析】由()()53f x f x +=-，得()()8f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[)0,4x ∈时，()()2log 2f x x =+，所以()()()76696822f f f =⨯-=-，又()f x 是定义在R 上的偶函数所以()()222log 42f f -===.故选C 。
高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题检测(带答案)
高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题检测（带答案）验证奇偶性的前提要求函数的定义域必需关于原点对称。
以下是函数的奇偶性与周期性专题检测，请大家细心停止检测。
一、选择题1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，那么f(-1)等于().A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.那么b=-1，f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.答案 D2.定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，那么f(6)的值为 ().A.-1B.0C.1D.2(结构法)结构函数f(x)=sin x，那么有f(x+2)=sin=-sin x=-f(x)，所以f(x)=sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)=sin 3=0，应选B.答案 B3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，那么以下不等式一定成立的是().A.ffB.f(sin 1)f(sin 2)解析当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，显然当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =，又f=ff，所以ff.答案 A4.函数f(x)=那么该函数是().A.偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减解析当x0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+)上为增函数，f(x)=2x-1在(-，0)上为增函数，又x0时1-2-x0，x0时2x-10，故f(x)为R上的增函数.答案 C.f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f(x)=4x-1，那么f(-5.5)的值为()A.2B.-1C.-D.1解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案 .设函数D(x)=那么以下结论错误的选项是().A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.假定x是在理数，-x，x+1是在理数;假定x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).那么D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.答案 C二、填空题.假定函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，那么实数a=________. 解析由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，那么f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.答案 0.y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.假定g(x)=f(x)+2，那么g(-1)=________.解析由于y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，所以当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1.答案 -1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如下图，那么使函数值y0的x的取值集合为________.解析由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如下图.由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).答案 (-2,0)(2,5) 10. 设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，那么满足f(2x)=f的一切x之和为________.解析 f(x)是偶函数，f(2x)=f，f(|2x|)=f，又f(x)在(0，+)上为单调函数，|2x|=，即2x=或2x=-，整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.那么(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.-8三、解答题.f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对恣意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)，f(-1)的值;(2)判别函数f(x)的奇偶性.解 (1)由于对定义域内恣意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-，+)上的奇函数..函数f(x)对恣意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(1)证明令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，那么f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数.(2)解任取x10，所以f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)0，所以f(x)为减函数.而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6，f(-3)=-f(3)=6.所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.函数f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0,1]时，f(x)=2x-1，(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)++f(2021)的值.(1)证明函数f(x)为奇函数，那么f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，那么f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，又f(x)的图象关于x=1对称，那么f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.f(0)+f(1)+f(2)++f(2021)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1..函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证：f(x)是周期函数;(2)假定f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的一切x的个数.(1)证明 f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当01时，f(x)=x，设-10，那么01，f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x，即f(x)=x.故f(x)=x(-11).函数的奇偶性与周期性专题检测及答案的全部内容就是这些，查字典数学网希望对考生温习函数的知识有协助。
专题07 函数的奇偶性与周期性-2020年高考数学(理)集合与函数突破性讲练
2020年高考数学（理）集合与函数突破性讲练07 函数的奇偶性与周期性一、考点传真：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.二、知识的梳理：1.函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.[微点提醒]1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称. (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称. 三、例题：例1. （2019全国卷Ⅲ）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-） C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314） 【答案】C【解析】 ()f x 是定义域为R 的偶函数，所以331(log )(log 4)4f f =， 因为33log 4log 31>=，2303202221--<<<=，所以23323022log 4--<<<，又()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以233231(2)(2)(log )4f f f -->>. 故选C ．例2. （2019全国卷Ⅱ）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】3【解析】由已知：f (−ln2)=−e aln2=−2a =−8,所以a=3例3.（2019全国卷Ⅰ）函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D2sin cos ++x xx x【解析】： 因为()2sin cos x x f x x x+=+，π[]πx ∈-，，所以()()()22sin sin cos cos x x x x f x f x x x x x --+-===--++， 所以()f x 为[ππ]-，上的奇函数，因此排除A ； 又()22sin ππππ0cos ππ1πf +==>+-+，因此排除B ，C ； 故选D ．例4. (2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ． 若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f f A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】解法一 ∵()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()()-=-f x f x ． 且(0)0=f ．∵(1)(1)-=+f x f x ，∴()(2)=-f x f x ，()(2)-=+f x f x∴(2)()+=-f x f x ，∴(4)(2)()+=-+=f x f x f x ，∴()f x 是周期函数，且一个周期为4，∴(4)(0)0==f f ，(2)(11)(11)(0)0=+=-==f f f f ， (3)(12)(12)(1)2=+=-=-=-f f f f ，∴(1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=+=f f f f f f f f ， 故选C ．解法二 由题意可设()2sin()2f x x π=，作出()f x 的部分图象如图所示．由图可知，()f x 的一个周期为4，所以(1)(2)(3)(50)+++⋅⋅⋅+f f f f ， 所以(1)(2)(3)(50)120(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=f f f f f f ，故选C ．例5. （2017全国卷Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x --≤≤ 的x 的取值范围是A ．[−2,2]B ．[−1,1]C ．[0,4]D ．[1,3] 【答案】D【解析】由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=， 不等式1(2)1f x --≤≤即为(1)(2)(1)f f x f --≤≤，又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，所以得121x --≥≥，即13x ≤≤，选D ．例6．（2017天津高考）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】由题意()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增， 所以22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=又2222log 4log 5.1log 83=<<=，0.8122<<， 所以0.822log 5.13<<，故b a c <<，选C ．四、巩固练习1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( ) A.y ＝|log 3x | B.y ＝x 3C.y ＝e |x |D.y ＝cos |x |【答案】C【解析】 对于A 选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B 项中，y ＝x 3是奇函数. 对于C 选项，函数的定义域是R ，是偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，正确.对于D 选项，y ＝cos |x |在(0，1)上单调递减.2.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0， 则g (－8)＝( )A.－2B.－3C.2D.3【答案】A【解析】 法一 当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数， 则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x ). 因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0， 故g (－8)＝－log 39＝－2.法二 由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2.3.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)等于( ) A.－2 B.2C.－98D.98【答案】B【解析】由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的函数，f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (3)＝f (－1)， 由－1∈(－2，0)得f (－1)＝2， ∴f (2 019)＝2.4. 已知在R 上是奇函数，且满足，当时，，则（ ）A 、-12B 、-16C 、-20D 、0 【答案】A【解析】因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ．5. 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝{log 2(x +1),x ≥0g (x ),x <0则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2【答案】B【解析】 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 且f (x )＝{log 2(x +1),x ≥0g (x ),x <0所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.6.已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( ) A.{x |0<x <1或x >2} B.{x |x <0或x >2} C.{x |x <0或x >3} D.{x |x <－1或x >1} 【答案】A()x f ()()x f x f -=+5()5,0∈x ()x x x f -=2()=2016f【解析】 由题意知函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0， 不等式f (x －1)>0⇔f (x －1)>f (1)或f (x －1)>f (－1). ∴x －1>1或0>x －1>－1， 解之得x >2或0<x <1.7.若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( ) A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x)C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x)【答案】D【解析】因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x， 所以g (x )＝12(e x －e －x)．8. 已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【解析】因为f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)， 所以当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x ≤6时，f (x )＝0有三个根，即x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，故f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 9.若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 【答案】1【解析】 f (x )为偶函数，则y ＝ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 则ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.10.若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.【答案】-2【解析】 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又f (x )在R 上的周期为2，∴f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2. 11. 定义在上的奇函数，对于，都有，且满足，，则实数的取值范围是 . 【答案】或【解析】：由33()()44f x f x +=-，因此函数()f x 图象关于直线34x =对称，又()f x 是奇函数，因此它也是周期函数，且3434T =⨯=，∵(4)2f >-，∴(4)(4)2f f -=-<，∴(2)(232)(4)f f f =-⨯=-，即32m m-<，解得103x x <-<<或. 12.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________. 【答案】①②【解析】 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ， 则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确； 当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；由②知，f (x )在[0，2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数，∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误.13.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立. (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期；R )(x f R x ∈∀)43()43(x f x f -=+2)4(->f mm f 3)2(-=m 1-<m 30<<m(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值.【解析】 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ， 且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期. (2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数. 故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立， 于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立. 于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0. 14.已知函数()33x x f x λ-=+⋅()R λ∈（1） 当1λ=时，试判断函数()33x x f x λ-=+⋅的奇偶性，并证明你的结论； （2） 若不等式()6f x ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】（1）偶函数；（2）27λ-≤.【解析】（1） 由特殊情形可判定函数奇偶性，证明时先确定函数定义域关于原点对称，再证明()()f x f x -= 成立（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离，将其转化为对应函数最值：3(63)x x λ-≤的最小值，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定其最值 试题解析：（1） 函数()33x x f x λ-=+⋅为偶函数15.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积. 【解析】 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x ).故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如下图所示.当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.。
高考数学专题《函数的奇偶性、对称性、周期性》填选压轴题及答案
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于 ， 是函数 的一条对称轴，且函数 是周期为4的周期函数，则 是函数 的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线 是函数 图象的一条对称轴， 正确；
对于 ，函数 在 ， 上有7个零点：分别为 ， ， ，0，2，4，6； 错误；
对于 ， 在区间 ， 上为增函数且其周期为4，函数 在 ， 上为增函数，
又由 为函数 图象的一条对称轴，则函数 在 ， 上为减函数， 正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.
2020新课标高考艺术生数学复习：函数的奇偶性与周期性含解析
2．函数周期性的三个常用结论
对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：(如下a>0)：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)、则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝ 、则T＝2a；
法二：当x<0时、－x>0、f(－x)＝log3(－x)－2、
∴f(x)＝－f(－x)＝－log3(－x)＋2、
即g(x)＝－log3(－x)＋2、∴g(－3)＝－log33＋2＝1、
∴f(g(－3))＝f(1)＝log31－2＝0－2＝－2.故选B.]
[命题角度2]利用奇偶性求参数值
2．若函数f(x)＝xln (x＋ )为偶函数、则a＝________.
C．y＝2cosx＋1D．y＝x2＋2x
解析：A[由函数奇偶性的定义知、B、C中的函数为偶函数、D中的函数为非奇非偶函数、只有A中的函数为奇函数、故选A.]
3．(20xx·××市一模)设偶函数f(x)对任意x∈R、都有f(x＋3)＝－ 、且当x∈[－3、－2]时、f(x)＝4x、则f(107.5)＝( )
2020新课标高考艺术生数学复习：函数的奇偶性与周期性含解析
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第3节 函数的奇偶性与周期性
最新考纲
核心素养
考情聚焦
1.结合具体函数、了解函数奇偶性的概念和几何意义．
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3.结合三角函数、了解函数周期性的概念和几何意义．
1．函数的奇偶性
2020届理科高考数学专题练习含解析(函数的奇偶性与周期性)
2020届理科高考数学专题练习含解析（函数的奇偶性与周期性）1、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()f x 在R 上单调递增,若,,a b c 成等差数列,且0b >,下列结论正确的是( )A.()0f b >,且()()0f a f c +> B.()0f b >,且()()0f a f c +< C.()0f b <,且()()0f a f c +> D.()0f b <,且()()0f a f c +<2、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +=+，且当1[]0,x ∈时，()21=log ()f x x +，则下列不等式正确的是() A.()()2log 756()f f f -<< B.()()2log 7()65f f f -<< C.()()25log (76)f f f <<- D.()()256o )l g 7(f f f -<<3、下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A.13y x = B.3x y = C.tan y x = D.lg y x =4、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-,当(0,1)x ∈时，()1f x x =-，则函数4()log y f x x =-的零点个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.55、奇函数()f x 在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则(6)(3)f f +-的值为( )A.10B.-10C.9D.156、下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞内单调递增的为（ ）A.42y x x =+B.||2x y =C.22x x y -=-D.12log ||1y x =- 7、已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数,且在[2,0]b -上为增函数,则(1)(2)f x f x -≤的解集为( )A. 2[1,]3- B. 1[1,]3- C. [1,1]- D. 1[,1]38、定义在R 上的函数()f x 在()6,+∞上为增函数，且函数()6f x +为偶函数，则（ ） A.()()58f f > B. ()()47f f > C.()()57f f > D.()()45f f <9、下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的是( )A ．()e x f x =B ．1()f x x x =+C ．()lg f x x = D. 2()f x x =-10、偶函数()y f x =在(,0]-∞上为增函数，且(3)(210)0f a f a --<,则实数a 的取值范围是（ ）A. (,10)-∞-B.(,10)(2,)-∞-⋃+∞C. (2,)+∞D. (10,2)-11、已知函数()y f x =是奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，则(2)f -=_______.12、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+，则(,0)x ∈-∞时，()f x =____________13、若函数()f x 是偶函数0x ≥时,()1(1)f x g x =+,则满足(21)1f x +<的实数x 取值范围是________．14、已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围__________.15、已知函数2()1ax b f x x +=+为定义在R 上的奇函数，且12()25f =． 1.求函数()f x 的解析式； 2.若不等式()f x m ≤对任意实数1[,2]2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围。
2020届高考数学专题复习- 函数的奇偶性(解析版)
2020届高考数学专题复习-3.3 函数的奇偶性一、选择题1．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f （x ）=2x 2-x ，则f （1）=（ ） A ．1 B ．3 C ．3- D ．0【答案】C 【解析】∵f（x ）是定义在R 上的奇函数，∴f（-x ）=-f （x ）， 又当x≤0时，f （x ）=2x 2-x ，∴f（-1）=3， ∴f（1）=-f （-1）=-3， 故选：C ．2．若3f x ax x c =++（）在[]a b ，上是奇函数，则2a b c +++的值为（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】D 【解析】∵奇函数的定义域关于原点对称，所以0a b += ∵奇函数的图象关于原点对称，∴f x f x -=-（）（）即33ax x c ax x c --+=--- ∴0c =∴22a b c +++=． 故选：D ．3．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．1()f x x=B ．1()f x x x=-+C ．()||f x x x =-D ．1,(0,)()1,(,0]x x f x x x -+∈+∞⎧=⎨--∈-∞⎩【答案】C 【解析】()1f x x=在定义域(,0)-∞ (0,)+∞内是奇函数,但不是减函数，在区间(,0)-∞和(0,)+∞上都是减函数()1f x x x=-+在定义域(,0)-∞ (0,)+∞内是奇函数,但不是减函数，在区间(,0)-∞和(0,)+∞上都是减函数()()(]22,0,,,,0x x f x x x x x ⎧-∈+∞⎪=-=⎨∈-∞⎪⎩在定义域(,)-∞+∞内既是奇函数又是减函数()()(]1,0,,1,,0x x f x x x ⎧-+∈+∞⎪=⎨--∈-∞⎪⎩在定义域(,)-∞+∞内不是奇函数（因为()010f =-≠），综上选C.4．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x ，则（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是偶函数 D ．()()f x g x ⋅是偶函数【答案】D 【解析】A ．若f （x ）=x ，g （x ）=2，满足条件，则f （x ）+g （x ）不是奇函数，故A 错误，B ．|f （-x ）|g （-x ）=|-f （x ）|g （x ）=|f （x ）|g （x ）是偶函数，故B 错误，C ．f （-x ）•g（-x ）=-f （x ）•g（x ），则函数是奇函数，故C 错误，D ．f （|-x|）•g（-x ）=f （|x|）•g（x ），则f （|x|）•g（x ）是偶函数，故D 正确 故选：D ．5．若偶函数f （x ）在（﹣∞，﹣1]上是减函数，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，f （x ）为偶函数，则f （2）＝f （﹣2），又由函数f （x ）在（﹣∞，﹣1]上是减函数，则f （﹣1）＜f （）＜f （﹣2），即f （﹣1）＜f（）＜f（2），故选：B．6．已知函数，且，那么（）A．2 B．18 C．－10 D．6【答案】D【解析】令g（x）＝x5+ax3+bx，易得其为奇函数，则f（x）＝g（x）+8，所以f（﹣2）＝g（﹣2）+8＝10，得g（﹣2）＝2，因为g（x）是奇函数，即g（2）＝﹣g（﹣2），所以g（2）＝﹣2，则f（2）＝g（2）+8＝﹣2+8＝6，故选：D．7．已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．给出下列四个结论：①f（0）=0；②f（x）为偶函数；③f（x）为R上减函数；④f（x）为R上增函数．其中正确的结论是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：对于①，令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0，①正确；对于②，令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数，②错误；对于③，）f（x）是R上的减函数，证明如下：任取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）<0 ∴f（x1）>f（x2）故f（x）是R上的减函数．③正确，④错误．综上，其中正确的结论是①③． 故选：A ．8．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以1213x -<，解得：1233x <<故选：A9．已知偶函数在区间单调递减，则满足的x 取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】根据题意，偶函数在区间单调递减，则在上为增函数，则，解可得：，即x 的取值范围是； 故选：D ． 10．设为奇函数且在内是减函数，，则的解集为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数是奇函数可知函数在内是减函数，所以在内为减函数，不等式变形为或可知解集故选A.11．若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】∵偶函数f（x）在上是减函数,∴在[0，+∞）上单调递增，∵f（3）＝0，∴f（x）＞0可化为f（x）＞f（3），函数为偶函数，故f（x）=＞f（3）∴|x|>3，∴x＜-3或x>3，故选：D．12．定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，且，则不等式的解集为A． B．C． D．【答案】A【解析】因为对任意的，，当，有 ,所以,当函数为减函数，又因为是偶函数，所以当时，为增函数，，，作出函数的图象如图：等价为或，由图可知，或，即不等式的解集为，故选A ．二、填空题13．已知()f x 是偶函数，当0x <时，()()1f x x x =+，则()2f =____． 【答案】2 【解析】由偶函数的定义可得：()()()222212f f =-=-⨯-+=. 故答案为：2．14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()223f x x x =-+，则当0x <时，函数()f x 的解析式是______．【答案】()223f x x x =---【解析】设0x <，则0x ->，又因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x =--= ()()223x x ⎡⎤----+⎣⎦223x x =---． 故答案为()223f x x x =---．15．函数是奇函数，当时，，且，则______．【答案】8 【解析】 根据题意，函数是奇函数，且，则，又由当时，，则，解可得；故答案为：8． 16．设是定义在R 上的奇函数，且当时，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数t 的取值范围是______．【答案】【解析】当时，，函数是奇函数当时，，在R 上是单调递增函数， 且满足，不等式在恒成立，在恒成立，即：在恒成立，，解得：，故答案为：．三、解答题17．判别并证明函数()f x =的奇偶性．【答案】见解析 【解析】()f x 是奇函数，证明如下：()f x 的定义域为{|22x x -≤≤，且0}x ≠；()()f x f x -==-； ()f x ∴是奇函数． 18．已知函数()21x af x x +=+为奇函数． （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 在()11-，上的单调性，并证明． 【答案】(1) 0a = (2)见解析 【解析】（1）根据题意，()2+1x af x x +=为奇函数，则()()0f x f x -+=， 即22011x a x a x x -++⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解可得0a =； （2）由（1）的结论，()21xf x x =+，在()1,1-上为增函数； 证明：任取1x ，()211x ，∈-，且12x x <， 则()()1212221211x x f x f x x x -=-++ ()()()()2212212212+111+1x x x x x x -+=+= ()()2212121222121+1x x x x x x x x +--+ ()()()()12212122121+1x x x x x x xx ---=+ ()()()()1221221211+1x x x x xx --=+，又由1x ，()211x ，∈-，且12x x <，则1210x x -<，210x x ->，2110x +>，2210x +> 则有()()120f x f x -<，所以函数()f x 在()1,1-上单调递增． 19．已知函数()2mf x x x=-的图象过点(1,1)P . （1）求实数m 的值，并证明函数()f x 为奇函数；（2）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）根据题意，函数()2mf x x x=-的图象过点()1,1P 则有12m =-，解可得1m =，则()12f x x x =-其定义域为{}|0x x ≠，且()()()()1122f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭则函数()f x 为奇函数（2）根据题意，由（1）的结论，()12f x x x=-，则()0,∞+上为增函数 证明：设120x x <<则()()()121212121212111222x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=---=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又由120x x <<，则120x x -<，则()()120f x f x -< 则函数()f x 在()0,∞+上为增函数 20.已知定义在上的函数是增函数.（1）若，求的取值范围；（2）若函数是奇函数，且，解不等式.【答案】(1) (2)【解析】（1）由题意可得，，求得，即的范围是. （2）∵函数是奇函数，且，∴， ∵， ∴，∴，∴，∴.∴不等式的解集为.21．已知函数()()f x x R ∈是奇函数，且当0x >时，()21f x x =-， （1）求函数()f x 的表达式（2）求不等式1(2)f x >-的解集【答案】（1）21,0()0,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩（2）3{|40x x -<≤或1}4x >【解析】（1）根据题意，函数()()f x x R ∈是奇函数，则()00f =， 当0x <时，0x ->，则()()2121f x x x -=⨯--=--， 又由函数()f x 为奇函数，则()()21f x f x x =--=+，则()21,00,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩，（2）根据题意，()21,00,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩，当0x >时，()21f x x =-，此时()12f x >-即1212x ->-，解可得14x >，此时不等式的解集为14x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 当0x =时，()00f =，()12f x >-成立；此时不等式的解集为{}0， 当0x <时，()21f x x =+，此时()12f x >-即1212x +>-，解可得34x >-，此时不等式的解集为3{|0}4x x -<<， 综合可得：不等式()12f x >-的解集3{|04x x -<≤或1}4x >． 22．定义在00-∞⋃+∞（，）（，）上的函数y f x （）=满足x f f x f y y=-（）（）（），且函数f x （）在∞（0，+）上是增函数．（1）求1f -（），并证明函数y f x （）=是偶函数；（2）若42f =（），解不等式351f x f x--≤（）（）． 【答案】（1）10f （）-=，证明见解析；（2）{0|x x x ≤＜或02x ≤＜或35x ≤＜或5}6x ≤＜.【解析】（1）令0x y =≠，则10f f x f x =-=（）（）（）， 再令11x y ，==-可得1111f f f f -=--=--（）（）（）（），∴10f （）-=． 令1y =-可得1f x f x f f x -=--=（）（）（）（），∴f x （）是偶函数．（2）∵242f f f =-（）（）（），∴12412f f （）（）==， 又23553x x f x f f x ---=（）（）（）， ∴()2523x x f f -≤（）， ∵f x （）是偶函数，在0（，）+∞上单调递增， ∴25223x x --≤≤且2503x x -≠，解得10x -≤＜或02x ≤＜或35x ≤＜或56x ＜≤．所以不等式的解集为{|0x x x ≤＜或02x ≤＜或35x ≤＜或56}x ＜≤。
2020年高考数学(人教版)总复习-函数的基本性质--函数的奇偶性与周期性、单调性(含解析)
1 x2 x 1
( 1 x2 1)2 x2
（D）a2-2M
13．偶函数 y=f(x)在 x∈〔0,+ ∞)时,f(x)=x-1,则 f (x-1)＜0 的解集是( )
（A）{x|-1＜x＜0}
(B){x|x＜o 或 1＜x＜2}
（C){x|0＜x＜2}
(D){x|1＜x＜2}
14．若函数 f(x)=(x+a)3,对任意 t∈R,总有 f(1+t)=-f(1-t)，则 f(2)+f(-2)的值是（ ）
（A）9
（B）-7
（C）-5
（D）-11
4．已知函数 y=f(x)是偶函数，又 y=f(x-2)在[0，2]上是单调减函数，则（ ）
（A）f(0)<f(-1)<f(2)
（B）f(-1)<f(0)<f(2)
（C）f(-1)<f(2)<f(0)
（D）f(2)<f(-1)<f(0)
5．已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)=x2-2x，则在 R 上 f(x)的表达式
.
x
7、设
f
(x)
lg(1
2
x
a)
是奇函数，则使
f
(x)
0的
x
值的取值范围是
A．（－1，0）
B．（0，1）
（）
C．（－∞,0）
D．（－∞，0）∪（1，+∞）
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8、 f (x), g(x) 是定义在 R 上的函数， h(x) f (x) g(x), 则“ f (x), g(x) 均为偶函数” 是“ h(x) 为偶函数”的
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考点测试7 函数的奇偶性与周期性高考概览本考点是高考的必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性一、基础小题1．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则实数a ＝( )A ．12B ．23C ．34 D ．1 答案 A解析 函数f (x )的定义域为xx ≠－12且x ≠a ．∵奇函数定义域关于原点对称． ∴a ＝12．故选A ．2．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．4 答案 B解析 由题意知f (－x )＝－f (x )且f (x ＋2)＝f (x )，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝f (1)＋f (0)＋f (－1)＝0．故选B ．3．已知f (x )为奇函数，在[3，6]上是增函数，且在[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)＝( )A ．－15B ．－13C ．－5D ．5 答案 A解析 因为函数在[3，6]上是增函数，所以f (6)＝8，f (3)＝－1．又因为函数为奇函数，所以2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×8＋1＝－15．故选A ．4．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为( )A ．－14B ．14C ．12D ．－12答案 B解析 解法一：设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ，又函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．故选B ．解法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．故选B ．5．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98 答案 A解析 由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7)＝－f (5)＝f (3)＝－f (1)＝－2．故选A ． 6．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( ) A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．e x ＋e －xD ．12(e x －e －x )答案 D解析 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x，所以g (x )＝12(ex －e －x)．故选D ．7．已知函数f (x )＝g (x )＋x 2，对于任意x ∈R 总有f (－x )＋f (x )＝0，且g (－1)＝1，则g (1)＝( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3答案 D解析因为对于任意x∈R总有f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)为奇函数，f(－1)＝g(－1)＋1＝－g(1)－1＝－f(1)，所以g(1)＝－3，故选D．8．若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则( )A．f(2)>f(3) B．f(2)>f(5)C．f(3)>f(5) D．f(3)>f(6)答案 D解析由y＝f(x＋4)为偶函数，得f(－x＋4)＝f(x＋4)，则f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)，C错误；又f(x)在(4，＋∞)上为减函数，则f(5)>f(6)，即f(3)>f(2)，A错误；f(5)>f(2)，B错误；f(3)>f(6)，D正确．故选D．9．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1] B．[－1，1]C．(－∞，2] D．[－2，2]答案 B解析因为函数f(x)为偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1，2]恒成立等价于f(a)≥f(x)max＝f(1)，所以|a|≤1，解得－1≤a≤1，即实数a的取值范围为[－1，1]，故选B．10．已知函数f(x)满足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0，则f(x)( ) A．为奇函数B．为偶函数C．为非奇非偶函数 D．奇偶性不能确定答案 B解析令x＝y＝0，则2f(0)＝2f2(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1．令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)，即f(－y)＝f(y)，所以函数f(x)是偶函数．故选B．11．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________．答案 4解析因为f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)对于任意的x都成立，即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)(－x－4)，所以x2＋(a－4)x－4a＝x2＋(4－a)x－4a，所以a－4＝4－a，即a＝4．12．设函数f(x)＝x3cos x＋1．若f(a)＝11，则f(－a)＝________．答案－9解析记g(x)＝x3cos x，则g(x)为奇函数，故g(－a)＝－g(a)＝－[f(a)－1]＝－10，故f(－a)＝g(－a)＋1＝－9．二、高考小题13．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )A．－50 B．0 C．2 D．50答案 C解析因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)，所以f(3＋x)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，所以T＝4，因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，因为f(2)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，故选C．14．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A．[－2，2] B．[－1，1]C．[0，4] D．[1，3]答案 D解析∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1．故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3．故选D．15．(2017·天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25．1)，b＝g(20．8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜a＜c D．b＜c＜a答案 C解析依题意a＝g(－log25．1)＝(－log25．1)·f(－log25．1)＝log25．1·f(log25．1)＝g(log25．1)．因为奇函数f(x)在R上是增函数，可设0＜x1＜x2，则0＝f(0)<f(x1)＜f(x2)．从而x1f(x1)＜x2f(x2)，即g(x1)＜g(x2)．所以g(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．又log25．1＞0，20．8＞0，3＞0，且log 25．1＜log 28＝3，20．8＜21＜3，而20．8＜21＝log 24＜log 25．1，所以3＞log 25．1＞20．8＞0，所以c ＞a ＞b ．故选C ．16．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12．则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2 答案 D解析 当x >12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可得当x >0时，f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2，故选D ．17．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln (1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________．答案 －2解析 ∵f (x )＋f (－x )＝ln (1＋x 2－x )＋1＋ln (1＋x 2＋x )＋1＝ln (1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，∵f (a )＝4，∴f (－a )＝－2．18．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝其中a ∈R ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．答案 －25解析 ∵f (x )是周期为2的函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12．又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即－12＋a ＝110，解得a ＝35，则f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25．三、模拟小题19．(2018·河南洛阳一模)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( )A ．π3B ．2π3C ．π D．4π3答案 B解析 由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)，则f (x )＝f (x ＋4)．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3．故选B ．20．(2018·河北石家庄一模)已知奇函数f (x )在x >0时单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( )A ．{x |0<x <1或x >2}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <0或x >3}D ．{x |x <－1或x >1} 答案 A解析 ∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0，则－1<x <0或x >1时，f (x )>0；x <－1或0<x <1时，f (x )<0．∴不等式f (x －1)>0即－1<x －1<0或x －1>1，解得0<x <1或x >2，故选A ．21．(2018·湖北荆州一模)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( ) A ．y ＝e xB ．y ＝tan xC ．y ＝x 3－x D ．y ＝ln 2＋x 2－x答案 D解析 函数y ＝e x不是奇函数，不满足题意；函数y ＝tan x 是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，不满足题意；函数y ＝x 3－x 是奇函数，当x ∈－33，33时，y ′＝3x 2－1<0，为减函数，不满足题意；函数y ＝ln 2＋x 2－x 是奇函数，在定义域(－2，2)内，函数t ＝2＋x2－x ＝－1－4x －2为增函数，函数y ＝ln t 也为增函数，故函数y ＝ln 2＋x2－x在定义域内为增函数，满足题意．故选D ．22．(2018·山西太原一模)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝4x 2＋2，设g (x )＝f (x )－2x 2，若g (x )的最大值和最小值分别为M 和m ，则M ＋m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 由g (x )＝f (x )－2x 2，得g (－x )＝f (－x )－2x 2，两式相加，可得g (－x )＋g (x )＝2，故g (x )的图象关于(0，1)对称，其最高点、最低点也关于(0，1)对称，所以M ＋m ＝2，故选B ．23．(2018·湖南祁阳二模)已知偶函数fx ＋π2，当x ∈－π2，π2时，f (x )＝x 13＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．c <a <b 答案 D解析 ∵当x ∈－π2，π2时，y ＝sin x 单调递增，y ＝x 13也为增函数，∴函数f (x )＝x 13＋sin x 也为增函数．∵函数fx ＋π2为偶函数，∴f －x ＋π2＝fx ＋π2，f (x )的图象关于x ＝π2对称，∴f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，∵0<π－3<1<π－2<π2，∴f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即c <a <b ，故选D ．24．(2018·广东佛山一模)已知f (x )＝2x＋a2x 为奇函数，g (x )＝bx －log 2(4x＋1)为偶函数，则f (ab )＝( )A ．174B ．52C ．－154D ．－32答案 D解析 由f (x )＝2x＋a2x 为奇函数，得f (－x )＋f (x )＝0，即2x＋a2x ＋2－x＋a2－x ＝0，可得a ＝－1；由g (x )＝bx －log 2(4x ＋1)为偶函数，得g (x )＝g (－x )，即bx －log 2(4x ＋1)＝b (－x )－log 2(4－x ＋1)，可得b ＝1，则ab ＝－1，f (ab )＝f (－1)＝2－1－12－1＝－32，故选D ．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2018·湖北咸宁11月联考)设函数f (x )＝(2k －1)a x－a －x(a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)求k 的值；(2)若f (1)＝－56，不等式f (3x －t )＋f (－2x ＋1)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数t的最小值．解 (1)∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝2k －1－1＝0，解得k ＝1．(2)由(1)知f (x )＝a x －a －x，因为f (1)＝－56，所以a －1a ＝－56，解得a ＝23或a ＝－32(舍去)，故f (x )＝23x －32x，则易知函数y ＝f (x )是R 上的减函数，∵f (3x －t )＋f (－2x ＋1)≥0，∴f (3x －t )≥f (2x －1)，∴3x －t ≤2x －1，∴t ≥x ＋1，即t ≥x ＋1在[－1，1]上恒成立，则t ≥2，即实数t 的最小值是2．2．(2018·安徽合肥质检)已知函数f (x )＝是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ． 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2．(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．3．(2019·安徽肥东中学调研)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(其中a >0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )＋g (x )的定义域；(2)判断函数f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明； (3)求使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合．解 (1)由题意得∴－1<x <1，∴所求定义域为{x |－1<x <1}．(2)函数f (x )－g (x )为奇函数， 令H (x )＝f (x )－g (x )，则H (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )＝log a x ＋11－x，∵H (－x )＝log a －x ＋11＋x ＝－log a x ＋11－x＝－H (x )，∴函数H (x )＝f (x )－g (x )为奇函数． (3)∵f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x ) ＝log a (1－x 2)<0＝log a 1，∴当a >1时，0<1－x 2<1，∴0<x <1或－1<x <0． 当0<a <1时，1－x 2>1，不等式无解，综上，当a >1时，使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合为{x |0<x <1或－1<x <0}． 4．(2018·安徽宣城三校联考)已知函数f (x )＝log 121－axx －1为奇函数，a 为常数．(1)确定a 的值；(2)求证f (x )是(1，＋∞)上的增函数；(3)若对于区间[3，4]上的每一个x 值，不等式f (x )>12x＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即log 121＋ax －x －1＝－log 121－ax x －1，∴1＋ax －x －1＝x －11－ax ，整理得1－x 2＝1－a 2x 2，∴a 2＝1，解得a ＝±1， 当a ＝1时，1－ax x －1＝－1，不符合题意舍去，∴a ＝－1．(2)证明：由(1)可得f (x )＝log 121＋xx －1，设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则1＋x 2x 2－1－1＋x 1x 1－1＝(1＋x 2)(x 1－1)－(1＋x 1)(x 2－1)(x 2－1)(x 1－1)＝2(x 1－x 2)(x 2－1)(x 1－1)， ∵x 2>x 1>1，∴x 1－x 2<0，(x 2－1)(x 1－1)>0， ∴2(x 1－x 2)(x 2－1)(x 1－1)<0，∴1＋x 2x 2－1<1＋x 1x 1－1，∴log 121＋x 2x 2－1>log 121＋x 1x 1－1，即f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )是(1，＋∞)上的增函数．(3)依题意得m <log 121＋x x －1－12x 在[3，4]上恒成立，设u (x )＝log 121＋x x －1－12x，x ∈[3，4]，由(2)知函数u (x )＝log 121＋x x －1－12x在[3，4]上单调递增，∴当x ＝3时，u (x )有最小值，且u (x )min ＝u (3)＝－98，所以m <－98．故实数m 的取值范9 8．围为－∞，－。