第10章 递归效用函数
递归函数的应用与注意事项
递归函数的应用与注意事项递归函数是一种非常重要且常用的编程技巧，它在解决一些问题时能够提供简洁、高效的解决方案。
然而，递归函数的使用也需要注意一些细节和注意事项，以确保程序的正确性和性能。
本文将探讨递归函数的应用场景以及在使用递归函数时需要注意的事项。
一、递归函数的应用场景1. 数学问题求解：递归函数在解决数学问题中非常常见。
例如，计算斐波那契数列的第n项，可以使用递归函数来实现。
递归函数可以将复杂的问题简化为相同类型的子问题，从而提高代码的可读性和可维护性。
2. 数据结构操作：递归函数在处理数据结构时也非常有用。
例如，在二叉树的遍历中，可以使用递归函数来实现前序、中序和后序遍历。
递归函数可以帮助我们逐层遍历树的节点，从而实现对树的各种操作。
3. 字符串处理：递归函数在字符串处理中也有广泛的应用。
例如，判断一个字符串是否是回文串，可以使用递归函数来逐个比较字符串的首尾字符。
递归函数可以帮助我们简化字符串处理的逻辑，提高代码的可读性。
二、注意事项1. 递归终止条件：递归函数必须有一个明确的终止条件，否则会陷入无限递归的循环中。
在编写递归函数时，要确保终止条件能够正确判断递归的结束，避免出现死循环。
2. 递归调用的层数：递归函数的调用层数不能太多，否则会导致栈溢出的问题。
每次递归调用都会占用一部分栈空间，当递归层数过多时，栈空间可能会耗尽。
因此，在使用递归函数时，要注意对递归调用层数的控制。
3. 递归函数的性能：递归函数在某些情况下可能会导致性能问题。
递归函数的调用过程中会频繁地进行函数调用和返回，这会增加函数调用的开销。
在某些情况下，可以考虑使用迭代或其他方法来替代递归函数，以提高程序的性能。
4. 递归函数的参数传递：在使用递归函数时，要注意参数的传递方式。
递归函数的参数传递可以通过值传递或引用传递来实现。
在某些情况下，如果参数传递不当，可能会导致递归函数的行为不符合预期，因此要注意参数传递的方式。
离散数学中的递归函数和生成函数
离散数学作为数学的一个分支，研究的是离散的数学结构和离散的数学对象。
在离散数学中，递归函数和生成函数是两个重要的概念。
递归函数是离散数学中常用的一种定义函数的方法，而生成函数则是离散数学中描述数列的一种方法。
首先，我们来了解一下递归函数。
递归函数是一种在定义中使用了函数自身的函数。
它在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
在离散数学中，递归函数可以用来定义数列和组合数等对象。
一个典型的递归函数定义形式是：f(n)=g(n, f(n-1), f(n-2), ...)。
其中，g是一个表达式，描述了函数f在不同输入下的计算规则。
递归函数的定义可以帮助我们理解问题的本质，并能够用简洁的方式描述复杂的数学对象。
例如，斐波那契数列就可以通过递归函数进行定义。
斐波那契数列的定义是：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>1)。
通过递归函数，我们可以很容易地计算出任意位置的斐波那契数值。
而生成函数是另一种在离散数学中常用的方法，用来描述数列的方法。
生成函数是一个形如F(x)=a0+a1x+a2x^2+...的函数，其中ai表示数列中第i项的系数。
生成函数的主要作用是将数列转化为一个多项式函数，从而使得数列的求和、乘法和递推等操作可以通过多项式函数的运算来实现。
生成函数的优势在于它提供了一种统一的框架，能够将不同的数列问题转化为多项式的运算。
例如，如果我们要求斐波那契数列的每一项的和，我们可以通过斐波那契数列的生成函数F(x)=1/(1-x-x^2)来实现。
我们只需要将生成函数展开为多项式，再对多项式进行求和操作，就可以得到斐波那契数列的和。
递归函数和生成函数在离散数学中的应用非常广泛。
它们能够描述很多复杂的数学结构和问题，并能够通过一些简单的规则进行计算。
递归函数和生成函数的使用可以大大简化数学问题的求解过程，提高计算效率。
总结起来，离散数学中的递归函数和生成函数是两个非常重要的概念。
递归算法详解完整版
递归算法详解标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]递归冯文科一、递归的基本概念。
一个函数、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现对其本身的引用，或者是为了描述问题的某一状态，必须要用至它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义自己的方法，称之为递归或递归定义。
在程序设计中，函数直接或间接调用自己，就被称为递归调用。
二、递归的最简单应用：通过各项关系及初值求数列的某一项。
在数学中，有这样一种数列，很难求出它的通项公式，但数列中各项间关系却很简a与前面临近几项之间的关单，于是人们想出另一种办法来描述这种数列：通过初值及n系。
要使用这样的描述方式，至少要提供两个信息：一是最前面几项的数值，一是数列间各项的关系。
比如阶乘数列1、2、6、24、120、720……如果用上面的方式来描述它，应该是：a的值，那么可以很容易地写成这样：如果需要写一个函数来求n这就是递归函数的最简单形式，从中可以明显看出递归函数都有的一个特点：先处理一些特殊情况——这也是递归函数的第一个出口，再处理递归关系——这形成递归函数的第二个出口。
递归函数的执行过程总是先通过递归关系不断地缩小问题的规模，直到简单到可以作为特殊情况处理而得出直接的结果，再通过递归关系逐层返回到原来的数据规模，最终得出问题的解。
以上面求阶乘数列的函数)f为例。
如在求)3(f时，由于3不是特殊值，因此需(n要计算)2(3f，但)2(f是对它自己的调用，于是再计算)2(f，2也不是特殊值，需要计*算)1(f，返回)1(= 2f，需要知道)1(f的值，再计算)1(f，1是特殊值，于是直接得出1*上一步，得23*)2()3(==f，从而得最终=f)1(32**)2(==f2f，再返回上一步，得6解。
用图解来说明，就是下面再看一个稍复杂点的例子。
【例1】数列}{n a 的前几项为1、111+、11111++、1111111+++、……输入n ，编程求n a 的精确分数解。
效用函数的含义
效用函数的含义嘿，朋友们！今天咱来唠唠效用函数这个有意思的玩意儿。
你说啥是效用函数呀？就好比你特别爱吃苹果，吃一个苹果能让你开心得不得了，那这一个苹果给你带来的满足感、幸福感就是它的效用。
那效用函数呢，就是把这种满足感、幸福感给量化出来的一个东西。
咱举个例子哈，比如说你去逛街，看到一件漂亮衣服，哇，穿上可美了，这时候这件衣服对你来说就有很大的效用。
但如果这件衣服价格贵得离谱，那可能它的效用就会打点折扣，因为你得考虑值不值呀。
这就像一个天平，一边是衣服带来的快乐，一边是价格带来的压力，而效用函数就是衡量这个天平平衡的指标。
再想想，你平时是不是有些东西特别喜欢，为了得到它不惜一切代价，那它在你心里的效用就超级高。
可有些东西呢，你就觉得可有可无，那它的效用就比较低啦。
这不就跟咱生活中的各种选择一样嘛！你看啊，找工作的时候，一份工作工资高但特别累，一份工作轻松但工资一般，你怎么选？这就得看这两份工作在你心里的效用函数是啥样啦。
工资高可能效用高，但累也会让效用降低；轻松的工作效用可能也不低，但工资少又会有点纠结。
又或者说，你喜欢吃蛋糕，一个小蛋糕能让你开心一阵子，那买一个小蛋糕的行为在你的效用函数里就有一个值。
但如果你一口气买了十个蛋糕，吃到最后可能都腻了，那后面几个蛋糕的效用可能就没那么高啦，甚至可能是负数呢！咱生活中的每一个决定，其实都可以看成是在比较不同选择的效用函数呀。
这多有意思！就像你决定周末是出去玩还是在家睡大觉，出去玩可能很开心但也会累，在家睡大觉舒服但又有点无聊，这就是在衡量它们的效用呢。
所以啊，效用函数可不是什么高深莫测的东西，它就在咱的日常生活中无处不在。
它就像一个隐形的尺子，帮我们衡量每一个选择的价值。
咱可别小看了它，它能让我们更清楚地知道自己真正想要的是什么，让我们在面对各种选择的时候不再那么纠结。
你说，这效用函数是不是很神奇？它让我们能更理智地看待生活中的一切，找到让自己最开心、最满足的那条路。
C语言递归函数递归的原理和应用场景
C语言递归函数递归的原理和应用场景递归函数是指在函数的定义中调用函数本身的一种方式。
通过递归函数，可以实现对问题的逐级拆分与求解，便于理解和编码。
本文将介绍C语言递归函数的原理和一些常见的应用场景。
一、递归函数的原理递归函数的原理基于分治法，将原问题不断分解为更小规模的子问题，直到满足某个递归终止条件，然后通过逐级返回求解出整个问题。
递归函数通常具有以下结构：1. 基线条件（递归终止条件）：判断是否满足递归的结束条件，当满足条件时，递归不再继续，直接返回结果。
2. 递归条件：由于递归是调用函数本身，需要满足某个条件时才执行递归调用，将问题规模缩小一步，继续求解更小规模的子问题。
3. 递归调用：在函数体内部直接调用函数本身，将问题规模不断缩小，直到满足基线条件。
二、递归函数的应用场景1. 阶乘计算：阶乘是指对于非负整数n，将其与前面所有的正整数相乘。
使用递归函数可以轻松实现阶乘的计算。
例如，计算n的阶乘可以通过函数调用factorial(n)来实现，其中factorial(n)表示计算n的阶乘。
```c#include <stdio.h>int factorial(int n) {if (n == 0 || n == 1) {return 1; // 基线条件} else {return n * factorial(n - 1); // 递归调用}}int main() {int n = 5;int result = factorial(n);printf("%d的阶乘为：%d\n", n, result);return 0;}```2. 斐波那契数列：斐波那契数列是指前两个数为1，之后的每个数都是前两个数之和。
递归函数可以简洁地实现斐波那契数列的计算。
例如，计算斐波那契数列的第n个数可以通过函数调用fibonacci(n)来实现，其中fibonacci(n)表示计算第n个斐波那契数。
C语言递归算法解析递归思想与应用
C语言递归算法解析递归思想与应用C语言递归算法解析C语言作为一种高级编程语言，拥有强大的功能和灵活性。
其中，递归算法是C语言中常用的一种算法，能够解决许多复杂的问题。
本文将解析C语言递归算法的思想与应用。
一、递归思想的理解与定义递归是指一个函数直接或间接地调用自身的一种技巧。
在递归过程中，问题规模不断缩小，直至到达基本问题（递归终止条件），然后逐步返回答案，最终解决整个问题。
递归算法的形式可以简单概括为以下几个步骤：1. 确定递归终止条件，即最小的问题，不需要再进行递归调用，直接返回结果。
2. 将原问题转化为规模更小的子问题，并通过递归调用解决这些子问题。
3. 将子问题的解合并为原问题的解，并返回结果。
递归算法与迭代算法相比，具有代码简洁、思路清晰等优点，但也需要注意递归调用的效率和内存消耗。
二、递归算法的应用场景递归算法在实际编程中广泛应用于以下几个方面：1. 阶乘计算阶乘是指从1到某个正整数n的所有整数相乘的结果。
递归算法可以通过将n的阶乘转化为(n-1)的阶乘并与n相乘的方式进行计算。
2. 斐波那契数列斐波那契数列是指从0和1开始，后面每一项都是前两项的和。
递归算法可以通过将第n项的值转化为第(n-1)项和第(n-2)项的和的方式进行计算。
3. 列表或树的遍历对于具有层次结构的数据，如列表、树等，递归算法可以方便地进行遍历操作。
例如，在二叉树中，可以通过递归地遍历左子树和右子树来访问整棵树的节点。
4. 文件目录的遍历在操作系统中，递归算法常被用于遍历文件目录。
通过递归地进入子文件夹，并处理其中的文件，可以方便地对整个文件目录进行操作。
以上仅是递归算法应用的常见场景，实际上递归算法可以解决更加复杂的问题，需要根据具体情况进行灵活应用。
三、递归算法的优化与注意事项虽然递归算法有许多优点，但也需要注意一些问题：1. 递归深度限制由于每次递归调用都会占用一定的栈空间，当递归深度过大时容易导致栈溢出。
python递归函数运算方式
python递归函数运算方式Python递归函数是一种特殊的函数，它在定义中调用了自身。
递归函数可以用于解决那些可以被分解为相同问题的子问题的情况。
在这篇文章中，我们将深入探讨Python递归函数的运算方式。
一、递归函数的基本原理递归函数的基本原理是将一个大问题分解为一个或多个相同类型的小问题，并通过调用自身来解决这些小问题。
递归函数通常包含两个部分：基本情况和递归情况。
基本情况是指当满足某个条件时，递归函数不再调用自身，而是返回一个值或执行其他操作。
递归情况是指递归函数调用自身来解决子问题。
二、递归函数的运算方式1. 定义递归函数我们需要定义一个递归函数。
递归函数的定义通常包含函数名、参数和返回值。
在函数体中，我们可以通过判断基本情况来终止递归，并在递归情况中调用自身来解决子问题。
2. 处理基本情况在递归函数中，我们需要定义一个或多个基本情况。
基本情况是递归函数不再调用自身的条件，可以是一个特定的值或一组特定的条件。
当满足基本情况时，递归函数将返回一个值或执行其他操作。
3. 处理递归情况在递归函数中，我们需要定义一个或多个递归情况。
递归情况是递归函数调用自身的条件，用于解决子问题。
在递归情况中，我们可以通过修改参数的值来缩小问题的规模，然后再次调用递归函数来解决子问题。
4. 调用递归函数一旦我们定义了递归函数的基本情况和递归情况，我们可以通过调用递归函数来解决问题。
在调用递归函数时，我们需要传递参数的值，这些值将被用于解决子问题。
5. 结束递归递归函数在满足基本情况时会终止递归，返回一个值或执行其他操作。
当递归函数结束时，程序将回溯到上一层调用递归函数的位置，并继续执行后续的代码。
三、递归函数的应用场景递归函数在解决问题的过程中非常有用，特别是那些可以被分解为相同类型的子问题的情况。
递归函数常常用于解决以下问题：1. 阶乘计算：通过递归函数可以简洁地计算一个数的阶乘。
2. 斐波那契数列：递归函数可以高效地计算斐波那契数列中的第n 个数。
递归算法原理及应用
递归算法原理及应用
递归算法（Recursion Algorithm）是指一类问题的解决方案，其中
使用递归（recursion）调用自身算法实现的。
递归算法具有一个特征，即它可以将一个问题分解为更小的相同问题
来解决，而递归调用也可以被称为嵌套（nesting）或迭代（iteration）。
递归算法的基本原理是，函数可以调用自身来解决问题。
一段递归算
法的代码会定义一个基本情况，当遇到此情况时，程序将停止调用自身并
返回一个结果。
在接下来的执行中，程序会按照适当的顺序分解输入参数，调用自身，然后汇总此分解的结果，以形成一个最终的结果。
实际应用
1、斐波那契数列：斐波那契数列是一个有代表经典递归算法的典型
例子，函数的定义是：F(n)=F(n-1)+F(n-2),如果F(1)=F(2)=1，那么F(n)就是斐波那契数列的第n项了。
2、汉诺塔：汉诺塔是一个古老的游戏，游戏的规则是：由三个座柱
上摞着一定数量的盘子，将最上面的盘子（n个）从一个座柱移动到另一
个座柱，每次只能移动一个盘子，汉诺塔的解决方案就是一个递归算法，
通过分解一个大问题的解决过程，来实现最终的目标。
3、排序：比如快速排序，归并排序，堆排序，这些排序算法均使用
了递归算法来解决问题。
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第10章递归效用函数投资者有两种不同的规避行为：一种是对同期内风险的规避；另一种是对跨期消费波动的规避。
刻画这两种行为的参数分别是相对风险规避系数和跨期替代弹性系数。
然而，在经济学中普遍使用的常数相对风险规避系数型效用函数中，投资者的相对风险规避系数等于跨期替代弹性系数的倒数，两个参数具有固定的关系，因而就没有将这两种不同的规避行为区分开来。
Epstein and Zin（1989，1991）和Weil（1989，1990）在Kreps and Porteus （1978）的理论框架基础之上提出了更加灵活的递归效用函数（Recursive utility function），推广了传统的时间可分、状态可分效用函数。
递归效用函数中的相对风险规避系数和跨期替代弹性系数分别由两个独立参数刻画，不再互为倒数，从而将风险规避和跨期替代两种不同行为区分开来。
递归效用函数，也称为递归偏好（Recursive preference）、广义等弹性偏好（Generalized isoelastic preference）、随机微分效用（Stochastic differential utility）和非期望效用函数（Non-expected utility function）。
Tallarini（2000）的风险敏感偏好（Risk-Sensitive Preference）也是一种特殊的递归效用函数，其中的跨期替代弹性系数等于1。
引入递归效用函数的主要作用在于，通过分解投资者的跨期替代和风险规避两种不同的行为，从而可以建立更加灵活的资产定价模型。
如果所有的资产收益率都服从独立同分布的正态分布，那么资产的溢价等于相对风险规避系数乘以资产的消费风险（Weil，1989）。
因此，可以采用足够大的相对风险规避系数来解释股票溢价之谜，而没有遭遇无风险利率之谜（卢卡斯，2003）。
第1节 基于递归效用的欧拉方程✧ CES 生产函数（constant elasticity of substitution ）()(1)y KLλρρργδδ---=+-✧ 【替代弹性：f(x 1,x 2), dlog(x 2/x 1)/dlog(f 1/f 2)】 ✧ CES 效用函数（constant elasticity of substitution ）1111(,)[(1)],01,0,1b b b t t ttu c m aca m ab b ---=+-<<>≠✧ 【作业】1(,)a at t t t u c m c m -=是CES 效用函数b →1时的特殊情形。
1、递归效用函数考虑一个代表性投资者经济。
除了投资者的偏好结构之外，关于经济的假定与第5章的离散时间局部均衡模型是一样的。
Epstein and Zin （1989，1991）和Weil （1989）递归地定义如下的值函数。
投资者t 时使用的财富为t W ，所得到的最大期望终身总效用为值函数()t V W ，由如下方程递归给出()1()max ,()tt t t t t C V W U C EV W += （10.1）其中()111111(1)t tt t U C E U αγγγαββ-----+⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭（10.2）其中t E 是条件期望算子，1β<是主观贴现因子，0α>是相对风险规避系数（Coefficient of Relative Risk Aversion ），1/0γ>是跨期替代弹性（Elasticity of Intertemporal Substitution ）。
α和γ是两个独立参数。
当参数αγ=时，递归效用函数（1）就退化为传统的时间可分的幂效用函数，其相对风险规避系数就是α。
2、市场组合代表性投资者的预算约束方程为如下的方程（10.3）和（10.4）。
投资者的t 时财富在消费和各种资产之间进行分配1,nt t i i t W C N ==+∑ （10.3） 投资者的t ＋1时财富等于各项资产的投资回报11,,1nt i i t i t W N R +=+=∑ （10.4） 将预算约束方程（10.3）和方程（10.4）合并起来，得到1,11,,11,,1,11,1,,1()()n i i t n t i i t i t n i i ti t n i t t i t n i i tn t t i i t i t N W N R N N W C R N W C R ω=+=+==+==+∑=∑∑=∑-∑=-∑其中,,1,,//()ni t i t i i t i t t t N N N W C ω==∑=-是投资者将其消费后的剩余财富投资于各种资产的资产组合比例。
由于11n ωω++=，并且投资者是代表性的，所以可以将该资产组合理解为市场组合的权重。
可以定义,11,,1nm t i i t i t R R ω+=+=∑为市场组合的收益率。
因此，代表性投资者在t +1时的财富可以理解为将t 时的储蓄全部投资于市场组合而得到的t ＋1时回报，即1,1()t t t m t W W C R ++=- （10.5）3、欧拉方程投资者选择符合预算约束方程的消费和资产组合来最大化效用水平t U 。
Epstein and Zin （1989，1991）已经证明了，对于这种形式的预算约束方程，资产j 的收益R j ,t +1的欧拉方程可以表示为111111,1,11t t m t j t t C E R R C αγαγγβ------+++⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎢⎥=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭（10.6）当α = γ 时，欧拉方程（10.6）将退化为没有市场组合、基于消费的基本欧拉方程形式。
只要是可交易资产，甚至是人力资本，欧拉方程（10.6）就成立。
下面给出使用动态规划来求解欧拉方程（10.6）的详细证明过程。
将预算约束方程（10.3）和（10.4）代入递归效用函数（10.1），分别消去t 时消费和t ＋1时的财富，得到,11,1,,1{}()max ,()ni t i n nt t t i i t t i i t i t N V W U W N E V N R ===+⎡⎤=-∑∑⎣⎦ （10.7） 贝尔曼方程（10.7）关于投资数量,i t N 的一阶条件为12,11'()t t t i t t U U E R V W ++⎡⎤=⎣⎦ （10.8） 其中it U 表示效用函数对第i 个变量的偏导数（i =1, 2）。
方程（10.8）对各个资产均成立，那么对于市场组合这个复合资产也成立12,11'()t t t m t t U U E R V W ++⎡⎤=⎣⎦ （10.9）对贝尔曼方程（10.7）使用包络定理，得到1'()t t V W U = （10.10）由方程（10.8）和方程（10.10）可推出下面的欧拉方程 211,111t t t i t t U U E R U ++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（10.11）可以将21111t t t tU U M U ++=定义为随机贴现因子。
下面的任务就是求取基于递归效用函数的随机贴现因子的表达式。
我们采用猜解方法。
猜测投资者的值函数为1()t t V W AW α-= （10.12）猜测投资者的政策函数，也就是最优消费t t C BW = （10.13） 那么，投资者值函数的边际效用'()(1)t t V W A W αα-=-， （10.14）投资者的财富动态为1,1(1)t m t t W R B W ++=-， （10.15） 使用U 1t 的定义，并使用效用函数（10.2），我们有()()1111111111111111(1)(1)(1)11 (1)(1)(1)1t t t t t t t t t U C E U C C E U B W αγγγγααγγγγγααβββγγαβββγγ-------+--------+-⎧⎫=-+--⎨⎬-⎩⎭-⎧⎫=-+--⎨⎬-⎩⎭其中第二个等号使用了方程（10.13）。
对效用函数中第二个元求偏导，得到()()()()()()11111111121111111111111111111111111(1)1111 (1)111 (1)1t t t t t t t t t t t t t t t t U C E U E U C E U E V C E U AE Wαγγγγαααγγγγαααγγγαααγβββγααγβββγααβββγ---------++---------++--------++--⎧⎫=-+⎨⎬--⎩⎭--⎧⎫=-+⎨⎬--⎩⎭-⎧⎫=-+⎨⎬-⎩⎭1111γαγα----()()()11111111111111,111111111111,11(1)11 (1)11(1)1 (1)t t t t m t t t t t tt m t C E U A E R B W C E U A B W E Rαγγγαγγααααγγγαγαγαγααββγγβααββγβ------+-------+------+------+-⎧⎫=-+⎨⎬-⎩⎭-⎡⎤⨯-⎣⎦--⎧⎫=-+⎨⎬-⎩⎭⨯-()111αγααγα----由12,11'()t t t m t t U U E R V W ++⎡⎤=⎣⎦和1'()t t V W U =，我们有111,1,11111,1,1,11,(1)(1)1(1)()[(1)]11(1)()1 [(1)(1)](1)(t tt m t t m t t t t m t t m t m t t tt m B W AB W E RE R A W A B W E R E R A R B W A B W E Rγγαγαγαγαγαααααγαγαγαγαααααααγαγαγαβγγβααγβααβ----------+++-------+---++-------=----=--⨯--=-1111,111111,11)(1)(1)[]1(1)(1)()t t t m t t t m t A B W E R AB W E Rαγαααααγγγγαααγααβγ------++-------+----=--以上方程两边消去财富，得到 ()11111,1(1)(1)tm t BAE R B γγγαγααββ-------+-=- （10.16）方程1'()t t V W U =推出()()()1111111111111111(1)(1)(1)(1)11 (1)(1)(1)11 (1)1t t t t t t t t t t t t A W C E U B W C E U B W C E U αγγαγγγαγαγγγγγαγγααβββγγαβββγγαββγ---------+-------+--+-⎧⎫-=-+--⎨⎬-⎩⎭-⎧⎫=-+--⎨⎬-⎩⎭-=-+-1111(1)(1)t B W αγαγαγγαβγ-------⎧⎫--⎨⎬⎩⎭使用值函数的定义（10.1），上述公式得到{}{}11111(1)()(1)(1)11 (1)(1)11 (1)(1)1tt t t t t t A W V W B W AW B W A W B W γααγγαγααγγαγαγαγγαααβγγαβγγαβγγ-----------------=----=----=--- 其中第二个等号使用了所猜测的值函数的形式（10.12）。