14等差与等比数列综合

江苏省2014届一轮复习数学试题选编14：等差与等比数列综合填空题1 ．数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列,则{}n a 的通项公式是______.【答案】22n a n n =-+2 ．已知数列{}n a 满足143a =,()*11226n n a n N a +-=∈+,则11ni ia =∑=______. 【答案】2324n n ⋅--3 ．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________. 【答案】34 ．设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，,则a 1的值大于20的概率为____.【答案】145 ．已知数列}{na 满足122n n aqa q +=+-（q 为常数，||1q <），若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---，则1a = ．【答案】2-或1266 ．观察下列等式:31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-14×23,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N *, 31×2×12+42×3×122++n ＋2n n ＋1×12n =______. 【答案】()nn 2111⋅+-7 ．已知等比数列{}n a 的首项是1,公比为2,等差数列{}n b 的首项是1,公差为1,把{}n b 中的各项按照如下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间,构成新数列}{n c :1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ,,即在n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项,则2013c =____.【答案】1951 8 ．若数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,则当12n n n b a a a =⋅⋅⋅时,数列{}n b 也是等比数列;类比上述性质,若数列{}n c 是等差数列,则当n d =_______时,数列{}n d 也是等差数列.【答案】nc c c n+++ 219 ．已知等差数列{}n a 满足:21-=a ,02=a .若将1a ,4a ,5a 都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为___________. 【答案】7-10．过点(1 0)P -，作曲线C :e x y =的切线,切点为1T ,设1T 在x 轴上的投影是点1H ,过点1H 再作曲线C 的切线,切点为2T ,设2T 在x 轴上的投影是点2H ,,依次下去,得到第1n +()n ∈N 个切点1n T +.则点1n T +的坐标为______.【答案】()e n n ，11．已知数列{a n }满足3a n +1+a n =4(n ∈N*),且a 1=9,其前n 项之和为S n ,则满足不等式|S n -n -6|<1125的最小整数n 是______. 【答案】7解答题12．数列{}n a 是公比大于1的等比数列,62=a ,263=S .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)在n a 与1+n a 之间插入n 个数,使这2+n 个数组成公差为n d 的等差数列.设第n 个等差数列的前n 项和是n A .求关于n 的多项式)(n g ,使得n n d n g A )(=对任意+∈N n 恒成立;(3)对于(2)中的数列1d ,2d ,3d ,⋅⋅⋅,n d ,⋅⋅⋅,这个数列中是否存在不同的三项m d ,k d ,p d (其中正整数m ,k ,p 成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.【答案】13．设等差数列}{n a 的公差0≠d,数列}{n b 为等比数列,若a b a ==11,33b a =,57b a =(1)求数列}{n b 的公比q ;(2)若*,,N m n b a m n ∈=,求n 与m 之间的关系;(3)将数列}{n a ,}{n b 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列}{n c ,是否存在正整数r q p ,,)(r q p <<使得r q p ,,和r c q c p c r q p +++,,均成等差数列?说明理由.【答案】解:(1)设}{n b 的公比为q ,由题意⎪⎩⎪⎨⎧+=+=d a aq d a aq 6242 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-da aq da aq 6242 1=q 不合题意,故311142=--q q ,解得22=q 2±=∴q(2)由m n b a =得1)1(-=-+m aq d n a ,又a a aq d =-=22 2a d =∴ 1)2(211-±=-+∴m n 即2112)1(1+-±=+m m n*1N n ∈+ 0)(1>±∴-m 1221-=∴+m n m 为奇数，且(3)若}{n a 与}{n b 有公共项,不妨设m n b a = 由(2)知:1221-=+m n m 为奇数，且令)(12*N k k m ∈-=,则11122)2(---•=•=k k m a a ba c n n 12-=∴若存在正整数)(r q p r q p <<、、满足题意,则⎩⎨⎧+•++•=+•+=---)2()2()2(22111r a p a q a rp q r p q 11222--+=∴r p q ,又)""(222222211===≥++-+--时取当且仅当r p r p r P r p又r p ≠ ,211222r p r p +-->+∴又xy 2=在R 上增,2r p q +>∴.与题设2rp q +=矛盾, ∴若不存在r q p 、、满足题意数学附加题14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 且1517a a +=.(1)若{}n a 为等差数列, 且856S =.①求该等差数列的公差d ;②设数列{}n b 满足3n n n b a =⋅,则当n 为何值时,n b 最大?请说明理由;(2)若{}n a 还同时满足: ①{}n a 为等比数列;②2416a a =;③对任意的正整数k ,存在自然数m ,使得2k S +、k S 、m S 依次成等差数列,试求数列{}n a 的通项公式.【答案】解: (1)①由题意,得11241782856a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得1d =-4分②由①知1212a =,所以232n a n =-,则2333()2n n n n b a n =⋅=⋅-因为1121233()3()22n n n n b b n n ++-=⋅--⋅-21233[3()()]23[10]22n n n n n =⋅---=⨯⋅-所以1110b b =,且当10n ≤时,{}n b 单调递增,当11n ≥时,{}n b 单调递减,故当10n =或11n =时,nb 最大(2)因为{}n a 是等比数列,则241516a a a a ==,又1517a a +=,所以15116a a =⎧⎨=⎩或15161a a =⎧⎨=⎩从而12n n a -=或1(2)n n a -=-或1116()2n n a -=⨯或1116()2n n a -=⨯-. 又因为2k S +、k S 、m S 依次成等差数列,得22k k m S S S +=+,而公比1q ≠,所以2111(1)(1)(1)2111k k m a q a q a q q q q +---=+---,即22k k m q q q +=+,从而22m kq q -=+ (*)当12n n a -=时, (*)式不成立; 当1(2)n n a -=-时,解得1m k =+;当1116()2n n a -=⨯时, (*)式不成立;当1116()2n n a -=⨯-时, (*)式不成立. 综上所述,满足条件的1(2)n n a -=-15．已知数列{}n a 是等差数列,12315a a a ++=,数列{}n b 是等比数列,12327b b b =.(1)若1243,a b a b ==.求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列,求3a 的最大值.【答案】解:(1)由题得225,3a b ==,所以123a b ==,从而等差数列{}n a 的公差2d =,所以21n a n =+,从而349b a ==,所以13n n b -=(2)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,则15a d =-,13b q=,35a d =+,33b q =. 因为112233,,a b a b a b +++成等比数列,所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=. 设1133a b ma b n+=⎧⎨+=⎩,*,m n N ∈,64mn =,则3553d mq d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩,整理得,2()5()800d m n d m n +-++-=.解得d =(舍去负根).35a d =+,∴要使得3a 最大,即需要d 最大,即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈,64mn =,∴当且仅当64n =且1m =时,n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的d =所以,最大的3a =16．已知数列*122{}:1,(0),{}()n n n n n a a a a a b b a a n N +==>=∈满足数列满足(1)若{}n a 是等差数列,且345,{}n b a a =求的值及的通项公式; (2)若{}n a 的等比数列,求{}n b 的前n 项和.n S【答案】解 (1)因为{}n a 是等差数列,1d a =-,1(1)n a n a =+-,[12(1)][14(1)]45a a +-+-=,解得3a =或74a -=(舍去), 21n a n =-(2)因为{}n a 是等比数列,q a =,1n n a a -=,2n n b a = 当1a =时,1n b =,n S n =;当1a ≠时, 222(1)1n n a a S a-=- 17．若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列;数列{}n b 的前n 项和为3nn S t =-. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若数列{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得1nn c b a +=, 并求数列{}n c 的前n 项和n T ;(3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立(其中2≥k , *∈N k ), 试求实数的取值范围.【答案】解: (1)因为{}n a 是等差数列,所以(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-而数列{}n b 的前n 项和为3n n S t =-,所以当2n ≥时, 11(31)(31)23n n n n b --=---=⨯,又113b S t ==-,所以13,123,2n n t n b n --=⎧=⎨⨯≥⎩(2)证明:因为{}n b 是等比数列,所以113232t --=⨯=,即1t =,所以612n a n =-对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于11123636(32)12n n n n b --+=⨯=⨯=⨯+-, 令1*32n nc N -=+∈,则116(23)12n n c n a b -+=+-=,所以命题成立数列{}n c 的前n 项和13112321322n n n T n n -=+=⨯+-- (3)易得6(3)(12),14(2)3,2n n t t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩,由于当2n ≥时, 114(12)34(2)3n nn nd d n t n t ++-=+---38[(2)]32nn t =--⨯,所以①若3222t -<,即74t <,则1n n d d +>,所以当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得 12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,5975977444t ---+≤≤<,②若32232t ≤-<,即7944t ≤<,则当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =③若321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥,则当2n m ≤≤时,{}n d 是递减数列, 当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列,则由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3mm t m t m +-=--,解得234m t +=综上所述,59759744t ---+≤≤234m t +=(,2)m N m ∈≥ 18．设()2012()k k k f n c c n c n c n k =+++⋅⋅⋅+∈N ,其中012,,,,k c c c c ⋅⋅⋅为非零常数,数列{a n }的首项a 1=1,前n 项和为S n ,对于任意的正整数n ,a n +S n =()k f n . (1)若k =0,求证:数列{a n }是等比数列;(2)试确定所有的自然数k ,使得数列{a n }能成等差数列.【答案】【证】(1)若0k =,则()k f n 即0()f n 为常数,不妨设0()f n c =(c 为常数).因为()n n k a S f n +=恒成立,所以11a S c +=,即122c a ==. 而且当2n ≥时,2n n a S +=, ① 112n n a S --+=, ②①-②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥.若a n =0,则1=0n a -,,a 1=0,与已知矛盾,所以*0()n a n ≠∈N . 故数列{a n }是首项为1,公比为12的等比数列.【解】(2)(i) 若k =0,由(1)知,不符题意,舍去. (ii) 若k =1,设1()f n bn c =+(b ,c 为常数), 当2n ≥时,n n a S bn c +=+, ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+, ④③-④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥.要使数列{a n }是公差为d (d 为常数)的等差数列,必须有n a b d =-(常数),而a 1=1,故{a n }只能是常数数列,通项公式为a n =1()*n ∈N ,故当k =1时,数列{a n }能成等差数列,其通项公式为a n =1()*n ∈N ,此时1()1f n n =+. (iii) 若k =2,设22()f n an bn c =++(0a ≠,a ,b ,c 是常数), 当2n ≥时,2n n a S an bn c +=++, ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+, ⑥ ⑤-⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥, 要使数列{a n }是公差为d (d 为常数)的等差数列,必须有 2n a an b a d =+--,且d =2a ,考虑到a 1=1,所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N .故当k =2时,数列{a n }能成等差数列,其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ,此时22()(1)12f n an a n a =+++-(a 为非零常数). (iv) 当3k ≥时,若数列{a n }能成等差数列,则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2,故数列{a n }不能成等差数列.综上得,当且仅当k =1或2时,数列{a n }能成等差数列.19．已知数列{}n a ,其前n 项和为n S .⑴若对任意的n *∈N ,2-12+12,,n n n a a a 组成公差为4的等差数列,且1=1a ,220132nS n=,求n 的值; ⑵若数列{+}nnS a a 是公比为(1)q q ≠-的等比数列,a 为常数,求证:数列{}n a 为等比数列的充要条件为1=1+q a.【答案】⑴因为21212,,n n n a a a -+成公差为4的等差数列,所以21212214,8)n n n n a a a a n *+---==+∈N （, 所以1352121,,,,,n n a a a a a -+是公差为4的等差数列,且2462135218n n a a a a a a a a n -++++=+++++,又因为11a =,所以()21352128n n S a a a a n-=+++++2(1)2[4]8462(23)2n n n n n n n n -=⨯==++++, 所以22320132nS n n==+,所以1005n = ⑵因为1(1)n nnS a a q a -+=+,所以1(1)n n n n S a q a aa -=+-, ① 所以111(1)n n n n S a q a aa +++=+-, ②②-①,得11(1)(1)[(1)]n n n n a q a a a q a -++-=-+, ③ (ⅰ)充分性:因为11q a=+,所以0,1,1a q a aq ≠≠+=,代入③式,得 1(1)(1)n n n n q q a q a +-=-,因为1q ≠-,又1q ≠,所以11n n a a q+=,*n ∈N ,所以{}n a 为等比数列, (ⅱ)必要性:设{}n a 的公比为0q ,则由③得10(1)(1)(1)n n a q q a a q -+-=-+,整理得()()00111()n a q a a q q q+-=+-,此式为关于n 的恒等式,若1q =,则左边0=,右边1=-,矛盾;1q ≠±若,当且仅当00(1,1(1(1)a q a a q a q+=⎧⎪⎨+=+⎪⎩））时成立,所以11q a =+.由(ⅰ)、(ⅱ)可知,数列{}n a 为等比数列的充要条件为1=1+q a20．已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项的和为n S ,数列{}2na 的前n 项的和为nT ,且()2*234,n n S T n N -+=∈.⑴证明数列{}n a 是等比数列,并写出通项公式;⑵若20n n S T λ-<对*n N ∈恒成立,求λ的最小值;⑶若12,2,2x yn n n a a a ++成等差数列,求正整数,x y 的值.【答案】(1)因为2(2)34n n S T -+=,其中n S 是数列}{n a 的前n 项和,n T 是数列}{2n a 的前n 项和,且0>n a ,当1=n 时,由2211(2)34a a -+=,解得11a =, 当2n =时,由2222(12)3(1)4a a +-++=,解得212a =; 4分 由43)2(2=+-n n T S ,知43)2(121=+-++n n T S ,两式相减得03)4)((2111=+-+-+++n n n n n a S S S S ,即03)4(11=+-+++n n n a S S ,亦即221=-+n n S S ,从而122,(2)n n S S n --=≥,再次相减得11,(2)2n n a a n +=≥,又1221a a =,所以11,(1)2n n a n a +=≥所以数列}{n a 是首项为1,公比为12的等比数列, 其通项公式为121-=n n a *n ∈N(2)由(1)可得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nn S 2112211211,11414113414nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-,若02<-n n T S λ对*N n ∈恒成立,只需126321121132+-=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>n n nnnT Sλ对*N n ∈恒成立,因为31263<+-n对*N n ∈恒成立,所以3λ≥,即λ的最小值为3; (3)若212,2,++n yn xn a a a 成等差数列,其中y x ,为正整数,则1122,22,21+-n yn x n 成等差数列,整理得2212-+=y x,当2>y 时,等式右边为大于2的奇数,等式左边是偶数或1,等式不能成立, 所以满足条件的y x ,值为2,1==y x21．已知数列{}n a 中,12a =,23a =,其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+,其中2n ≥,*n ∈N .(1)求证;数列{}n a 为等差数列,并求其通项公式;(2)设n n n a b -⋅=2,n T 为数列{}n b 的前n 项和,求使n T >2的n 的取值范围.(3)设λλ(2)1(41n an n n c ⋅-+=-为非零整数,*n ∈N ),试确定λ的值,使得对任意*n ∈N ,都有n n c c >+1成立.【答案】解:(1)由已知,()()111n n n n S S S S +----=(2n ≥,*n ∈N ),即11n n a a +-=(2n ≥,*n ∈N ),且211a a -=. ∴数列{}n a 是以12a =为首项,公差为1的等差数列. ∴1n a n =+(2) ∵1n a n =+,∴n n n b 21)1(⋅+= 21231111123(1) (1)22221111123(1)..........(2)22222n n n n n n T n n T n n -+∴=⨯+⨯++⋅++⋅=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++23111111(1)(2)1(1)22222n n n T n +-=++++-+⋅得：∴ n T n n 233+-=代入不等式得:01232233<-+>+-n n n n ，即设022)()1(,123)(1<+-=-+-+=+n n n n f n f n n f 则 ∴)(n f 在+N 上单调递减, ∵041)3(,041)2(,01)1(<-=>=>=f f f , ∴当n =1,n=2时,()0,3()0f n n f n ><≥当时，, 所以n 的取值范围.为3,n n *∈N ≥且(3)1,n a n =+114(1)2n n n n c λ-+∴=+-,要使1n n c c +>恒成立,即1211144(1)2(1)20n n n n n n n n c c λλ++-++-=-+--->恒成立,11343(1)20n n n λ-+∴⨯-->恒成立,∴11(1)2n n λ---<恒成立,(i)当n 为奇数时,即12n λ-<恒成立,当且仅当1n =时,12n -有最小值为1,1λ∴<.(ii)当n 为偶数时,即12n λ->-恒成立,当且仅当2n =时,12n --有最大值2-, 2λ∴>-.即21λ-<<,又λ为非零整数,则1λ=-综上所述:存在1λ=-,使得对任意的n *∈N ,都有1n n c c +>22．已知等差数列{a n }的首项a 1为a (,0)a R a ∈≠.设数列的前n 项和为S n ,且对任意正整数n 都有24121n n a n a n -=-. (1) 求数列{a n }的通项公式及S n ;(2) 是否存在正整数n 和k ,使得S n , S n +1 , S n +k 成等比数列?若存在,求出n 和k 的值;若不存在,请说明理由.【答案】23．设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和.记cn nS b n n+=2,*N n ∈,其中c 为实数.(1)若0=c ,且421b b b ，，成等比数列,证明:k nk S n S 2=(*,N n k ∈);(2)若}{n b 是等差数列,证明:0=c .【答案】本题主要考察等差数列等比数列的定义.通项.求和等基础知识,考察分析转化能力及推理论证能力.证明:∵}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和 ∴d n n na S n 2)1(-+= (1)∵0=c ∴d n a n S b n n 21-+==∵421b b b ，，成等比数列 ∴4122b b b = ∴)23()21(2d a a d a +=+∴041212=-d ad ∴0)21(21=-d a d ∵0≠d ∴d a 21= ∴a d 2= ∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+=∴左边=a k n a nk S nk 222)(== 右边=a k n S n k 222=∴左边=右边∴原式成立(2)∵}{n b 是等差数列∴设公差为1d ,∴11)1(d n b b n -+=带入cn nS b nn +=2得: 11)1(d n b -+cn nS n +=2∴)()21()21(11121131b d c n cd n d a d b n d d -=++--+-对+∈N n 恒成立∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+--=-0)(0021021111111b d c cd d a d b d d由①式得:d d 211=∵ 0≠d ∴ 01≠d 由③式得:0=c法二:证:(1)若0=c ,则d n a a n )1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=,22)1(ad n b n +-=.当421b b b ，，成等比数列,4122b b b =,即:⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ,得:ad d 22=,又0≠d ,故a d 2=.由此:a n S n 2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 222=. 故:k nk S n S 2=(*,N n k ∈).(2)cn ad n n cn nS b nn ++-=+=22222)1(,c n ad n c a d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1( c n a d n ca d n ++--+-=222)1(22)1(. (※) 若}{n b 是等差数列,则Bn An b n +=型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,故有:022)1(2=++-cn ad n c,即022)1(=+-a d n c ,而22)1(a d n +-≠0, 故0=c .经检验,当0=c 时}{n b 是等差数列.24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】解:(Ⅰ)依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a 解得⎩⎨⎧==231d a ,1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，(Ⅱ)13-=n nna b ,113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n Tn n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=-n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅=25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .(Ⅰ)若数列{}n a 是等比数列,满足23132a a a =+, 23+a 是2a ,4a 的等差中项,求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)是否存在等差数列{}n a ,使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,依题意,有⎩⎨⎧+=+=+).2(2,32342231a a a a a a 即⎩⎨⎧+=+=+)2(.42)()1(,3)2(2131121q a q q a q a q a由 )1(得 0232=+-q q ,解得1=q 或2=q.当1=q 时,不合题意舍;当2=q时,代入(2)得21=a ,所以,n n n a 2221=⋅=-(Ⅱ)假设存在满足条件的数列{}n a ,设此数列的公差为d ,则 方法1: 211(1)[(1)][]2(1)2n n a n d a n d n n ++-+=+,得 222222111331()()222222d n a d d n a a d d n n +-+-+=+对*n N ∈恒成立, 则22122112,232,2310,22d a d d a a d d ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-+=⎪⎩解得12,2,d a =⎧⎨=⎩或12,2.d a =-⎧⎨=-⎩此时2n a n =,或2n a n =-.故存在等差数列{}n a ,使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+.其中2n a n =, 或2n a n =-方法2:令1n =,214a =,得12a =±,令2n =,得2212240a a a +⋅-=,①当12a =时,得24a =或26a =-,若24a =,则2d =,2n a n =,(1)n S n n =+,对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+; 若26a =-,则8d =-,314a =-,318S =-,不满足23323(31)a S ⋅=⨯⨯+. ②当12a =-时,得24a =-或26a =,若24a =-,则2d =-,2n a n =-,(1)n S n n =-+,对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+; 若26a =,则8d =,314a =,318S =,不满足23323(31)a S ⋅=⨯⨯+.综上所述,存在等差数列{}n a ,使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+.其中2n a n =,或2n a n =-26．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21n n a S An Bn +=++(0A ≠).(1)若132a =,294a =,求证数列{}n a n -是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式; (2)已知数列{}n a 是等差数列,求1B A-的值.【答案】27．已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足:221nn n n n b a b a a ++=+,*N n ∈,(1)设n n n a b b +=+11,*N n ∈,求证:数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列; (2)设nnn a b b •=+21,*N n ∈,且{}n a 是等比数列,求1a 和1b 的值. 【答案】解:(1)∵n n n a b b +=+11,∴1n a +=∴11n n b a ++=∴ ()2222111*n n n n n n b b b n N a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∴数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是以1 为公差的等差数列.(2)∵00n n a >b >，,∴()()22222n n n n n n a b a b <a b +≤++.∴11n <a +=≤﹡)设等比数列{}n a 的公比为q ,由0n a >知0q >,下面用反证法证明=1q 若1,q >则212=a a <a q≤1log q n >时,11n n a a q +=与(﹡)矛盾. 若01,<q <则212=1a a >a >q ,∴当11log q n >a 时,111n n a a q <+=,与(﹡)矛盾. ∴综上所述,=1q .∴()1*n a a n N =∈,∴11<a ≤又∵11n n n n b b b a +=()*n N ∈,∴{}n b1.若1a ≠,11,于是123b <b <b . 又由221nn n n n b a b a a ++=+即1a =,得11n b a -.∴123b b b ，，中至少有两项相同,与123b <b <b 矛盾.∴1a .∴1n b -∴ 12=a b。