等差数列与等比数列定义及公式
等差数列公式和等比数列公式
等差数列公式和等比数列公式一、等差数列公式。
1. 定义。
- 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
即a_n-a_n - 1=d(n≥slant2)。
2. 通项公式。
- a_n=a_1+(n - 1)d，其中a_1为首项，n为项数，d为公差。
- 推导：a_2=a_1+d，a_3=a_2+d=a_1+2d，a_4=a_3+d=a_1+3d，以此类推可得a_n=a_1+(n - 1)d。
3. 前n项和公式。
- S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。
- 推导：S_n=a_1+a_2+·s+a_n，S_n=a_n+a_n - 1+·s+a_1。
将这两个式子相加得2S_n=n(a_1+a_n)，所以S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。
- 另一个形式：S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d。
这是将a_n=a_1+(n - 1)d代入S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}得到的，即S_n=frac{n<=ft[a_1+a_1+(n - 1)d]}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d。
二、等比数列公式。
1. 定义。
- 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）。
即frac{a_n}{a_n - 1} = q(n≥slant2)。
2. 通项公式。
- a_n=a_1q^n - 1，其中a_1为首项，n为项数，q为公比。
- 推导：a_2=a_1q，a_3=a_2q=a_1q^2，a_4=a_3q=a_1q^3，以此类推可得a_n=a_1q^n - 1。
3. 前n项和公式。
- 当q = 1时，S_n=na_1。
- 当q≠1时，S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}。
等差、等比数列 等差与等比数列的通项公式,求和公式
( 2n-3)/2^n+（2n-1）/2^
❶-❷得
1/2Sn=1/2+2/2^2+2/2^3+….+2/2^n-(2n-1)/2^(n+1)
1/2Sn=1/2+2(1/2^2+1/2^3+…1/2^n)-(2n-1)/2^(n+1）
Sn=3-(1/2)^(n-2)-(2n-1)/2^n
谢谢ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=1/d(1/an-1/an+1) (d为等差公差） 例：已知数列1/（1*4），1/（4*7），1/（7*10）……..1/（3n-2）
（3n+1)求Sn. 解：由已知得 an=1/(3n-2)(3n+1)
=1/3[1/(3n-2)-1/(3n+1)] Sn=1/3[1-1/4+1/4-1/7+1/7-1/10+……1/(3n-2)-1/(3n+1)]
=n/(3n+1)
2.错位相减法
• Cn=an*bn(an为等差数列，bn为等比数列）
例：已知an=(2n-1)/2^n,求Sn.
Sn=a1+a2+a3+…..an 得
Sn=1/2+3/2^2+5/2^3+…..+(2n-3)/2^(n-1)+….（2n-1)/2^n+0 ❶
1/2Sn=0+1/2^2+3/2^3+…+ （n+1）❷
2.等比数列的通项公 式
a a q a a q n1 • ,
• nm , 其中n m,也可以n m.
n
1
n
m
什么是等差数列和等比数列的计算
什么是等差数列和等比数列的计算？等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列，它们在数学和实际应用中都具有重要的作用。
本文将详细介绍等差数列和等比数列的概念、计算公式以及相关的性质和应用。
一、等差数列的计算：1. 概念：等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
其中，公差（d）表示相邻两项之差的恒定值。
2. 计算公式：-第n项（An）的计算公式：An = A1 + (n-1)d-前n项和（Sn）的计算公式：Sn = (n/2)(A1 + An)其中，A1表示数列的首项，n表示项数。
3. 性质和应用：-等差数列的性质之一是，任意三项成等差数列的条件是它们之间的差值相等。
-等差数列常用于数学和物理问题中，如等速直线运动、等间隔时间的增长等。
二、等比数列的计算：1. 概念：等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
其中，公比（r）表示相邻两项之比的恒定值。
2. 计算公式：-第n项（An）的计算公式：An = A1 * r^(n-1)-前n项和（Sn）的计算公式（当r ≠ 1）：Sn = A1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，A1表示数列的首项，n表示项数。
3. 性质和应用：-等比数列的性质之一是，任意三项成等比数列的条件是它们之间的比值相等。
-等比数列常用于数学和科学问题中，如指数增长、复利计算等。
总结：等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列，它们在计算和应用中有着重要的地位。
通过对等差数列和等比数列的计算公式和性质的理解，我们可以快速计算数列的任意一项和前n 项的和，并应用于解决各种实际问题。
在数学学习和实际应用中，我们可以利用等差数列和等比数列的特点和性质，推导结论、发现规律，丰富我们的数学思维和解题能力。
等比数列的定义和通项公式
练一练
1、指出下列数列是不是等比数列，若是， 指出下列数列是不是等比数列，若是， 说明公比；若不是，说出理由． 说明公比；若不是，说出理由． (1) １,2, 4, 16, 64, … (2)1, 9,… (2)1, 3, 9, 1, 3,9,… )1 (3) 2, -2, 2, -2, 2 (4) b, b, b, b, b, b, b, … 不是 不是 是 不一定
小结： 小结：填写下表
数 定 列 义 等 差 数 列 an+1-an=d d 叫公差 an+1=an+d an= a1+(n-1)d 等 比 数 列
an+1
an
=q
公差（比） 公差（ 定义变形 通项公式
q叫公比 叫 an+1=an q an=a1qn-1
an n−m an − am 一般形式 an=am+(n-m)d d = an=amqn-m q = a n− m m
an = a1 ⋅ q 对应点坐标为(n, an )
n −1
a1 n 等比数列 an}通项公式可整理为：an == ， { q q a1 x 它的图象是函数y = 的图象上的孤立点 q . q
=
课堂练习
1.已已等比数列 an }：(1) a1 能不能是零？ 不能 ； 已已等比数列{ 能不能是零？ 已已等比数列 ： (2)公比 能不能是零？ 不能；(3)公比 能不能是 ？ 公比q能不能是零 公比q能不能是 能 公比 能不能是零？ 公比 能不能是1？ 2.用下列方法表示的数列中能确定 用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ . 已已a ， ①已已 1=2，an=3an+1； ②1，2，4，……；× ， ， ， ； √ ③a，a，a，……，a； × ④1，-1，1，……，(-1)n+1√ ， ， ， ， ； ， ， ， ， ； ⑤sin1，sin2，sin4，sin8，……，sin2n-1； ， ， ， ， ， × ⑥2a，2a，2a，……，2a √ ， 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？ 什么样的数列既是等差数列又是等比数列？ 什么样的数列既是等差数列又是等比数列 非零的 常数列
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理一、等差数列的公式和相关性质1.等差数列的定义：如果一个数列的后一项减去前一项的差为一个定值，那么这个数列就是等差数列。
记为：an-an-1=d（d为公差）（n≥2，n∈N*）。
2.等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
推广公式：an=am+(n-m)d。
变形推广：d=(an-am)/(n-m)。
3.等差中项：（1）如果a、b、A成等差数列，那么A就是a与b的等差中项，即b成等差数列，A=(a+b)/2；（2）等差中项：数列{an}是等差数列，当且仅当2an=an-1+an+1(n≥2)，或2an+1=an+an+2.4.等差数列的前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2=n^2+(a1-d)n/2=An^2+Bn（其中A、B是常数，当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）。
特别地，当项数为奇数2n+1时，an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项，Sn=(2n+1)(a1+an)/2= (2n+1)an+1/2.5.等差数列的判定方法：（1）定义法：若an-an-1=d或an+1-an=d（常数n∈N*），则{an}是等差数列；（2）等差中项：数列{an}是等差数列，当且仅当2an=an-1+an+1(n≥2)，或2an+1=an+an+2；（3）数列{an}是等差数列，当且仅当an=kn+b（其中k、b是常数）；（4）数列{an}是等差数列，当且仅当Sn=An^2+Bn（其中A、B是常数）。
6.等差数列的证明方法：定义法：若an-an-1=d或an+1-an=d（常数n∈N*），则{an}是等差数列。
7.等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前n项和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）设项技巧：一般可设通项an=a1+(n-1)d。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列和等比数列是数学中的两个重要概念，它们在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结：
等差数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个数列被称为等差数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。
3. 求和公式：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]$，其中 $S_n$ 是前$n$ 项的和。
4. 等差中项：任意两项的算术平均值等于第三项。
5. 等差数列的性质：如果两个数列都是等差数列，那么它们的和也是一个等差数列。
等比数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的比是一个常数，这个数列被称为等比数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。
3. 求和公式：对于 $q \neq 1$，有 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$；对于 $q = 1$，有 $S_n = na_1$。
4. 等比中项：任意两项的几何平均值等于第三项。
5. 等比数列的性质：如果两个数列都是等比数列，那么它们的乘积是一个等比数列。
以上是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结。
在学习这些内容时，可以通过做练习题来加深理解和巩固知识。
等比等差数列的所有公式
等比等差数列的所有公式等差数列和等比数列是数学领域里比较基础且常见的两种数列。
它们不仅在高中阶段的数学学习中出现，同时也在大学的高级数学科目中应用广泛。
本文将会全面介绍等差数列和等比数列的定义、公式以及应用，以期为读者提供一个全面且清晰的了解。
一、等差数列等差数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的差值是相等的，这个相等的差值叫做公差。
举个例子，1，3，5，7，9....，就是一个公差为2的等差数列。
等差数列的通项公式对于任意一个等差数列，其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，d表示该数列的公差。
这个公式用起来非常方便，读者只需要知道该数列的首项和公差，就可以轻松地得出该数列的任意一项。
等差数列的和公式等差数列的和公式就是数列的所有数值之和，它能够帮助我们快速计算数列中所有数值之和。
韦达定理是该公式的基础，韦达定理是指求等差数列和时将数列上下颠倒，在叠加两个相同的数列使其首项与末项分别相加后，其中的所有项均相等，其和是所求等差数列的和的两倍。
求和公式： Sn=n(a1+an)/2其中n表示项数，a1表示首项，an表示末项。
（特殊情况下）如果公差为1，那么求和公式可以变为：Sn=n(a1+an)/2=n(a1+1)/2 。
二、等比数列等比数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的比值是相等的，这个相等的比值叫做公比。
例如，1，2，4，8，16....就是一个公比为2的等比数列。
等比数列的通项公式对于任意一个等比数列，其通项公式可以表示为an=a1×r^(n-1)，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，r表示该数列的公比。
与等差数列的情况类似，知道等比数列的首项和公比，就可以很容易地得出该数列的任意一项。
等比数列的和公式等比数列的和公式可以帮助我们快速计算数列中所有数值之和。
其中，如果公比r=1，那么求和公式就是Sn=na1，这个公式表示如果公比为1的等比数列中有n个元素，那么这个数列的和就是该数列第一个元素的值与这n 个元素数值之和相等。
数列的等差数列与等比数列的通项公式
数列的等差数列与等比数列的通项公式数列是数学中常见的一种数值排列形式，包括等差数列和等比数列两种类型。
在数列中，每一项与前一项之间具有一定的关系，这种关系可以用通项公式来表示。
等差数列和等比数列的通项公式是数学中重要的公式，通过它们可以计算数列中的任意一项。
本文将分别介绍等差数列和等比数列，并给出它们的通项公式。
一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之间的差值相等的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d在等差数列中，每一项与前一项的差值都是相同的，即后一项与前一项的差值等于公差d。
通过通项公式，可以根据数列的首项、公差和项数来计算任意一项的值。
例如，已知等差数列的首项a为3，公差d为2，求该等差数列的第6项：a6 = a + (6-1)d= 3 + 5×2= 3 + 10= 13因此，等差数列的第6项为13。
二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a×r^(n-1)在等比数列中，每一项与前一项的比值都是相同的，即后一项与前一项的比值等于公比r。
通过通项公式，可以根据数列的首项、公比和项数来计算任意一项的值。
例如，已知等比数列的首项a为2，公比r为3，求该等比数列的第4项：a4 = a×r^(4-1)= 2×3^3= 2×27= 54因此，等比数列的第4项为54。
总结：等差数列和等比数列是数学中常见的数值排列形式。
等差数列中每一项与前一项的差值相等，可以用通项公式an = a + (n-1)d 来表示。
等比数列中每一项与前一项的比值相等，可以用通项公式an = a×r^(n-1)来表示。
通过这两个通项公式，我们可以根据数列的首项、公差或公比以及项数来计算数列中任意一项的值。
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等差数列与等比数列
基础知识
1．数列的概念
定义1. 按照某一法则，给定了第1个数，第2个数，………，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。
数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。
定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。
定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。
定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即，其中是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。
定义5.如果在数列中，项数与具有如下的函数关系：，则称这个关系为数列的通项公式。
2．等差数列
定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。
等差数列具有以下几种性质：
（1）等差数列的通项公式：或；
（2）等差数列的前项和公式：或；
（3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数；
（4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数；
（5）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；
（6）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列；
（7）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；
（8）若，则；特别地，当时，；
（9）设，，，则有；
（10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，；
（11）对于项数为的等差数列，有，；
（12）是等差数列的前项和，则；
（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则
①．为等差数列，公差为；
②．（即）为等
差数列，公差；
③．（即）为等差数列，公差为.
3．等比数列
定义7.一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），
即。
等比数列具有以下性质：
（1）等比数列的通项公式：或；
（2）等比数列的前项和公式：；
（3）等比中项：；
（4）无穷递缩等比数列各项公式：对于等比数列的前项和，当
无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项的和，记为，即
；
（5）设是等比数列，则（是常数），仍成等比数列；
（6）设，是等比数列，则也是等比数列；
（7）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；
（8）设是正项等比数列，则是等差数列；
（9）若，则；特别地，当时，；
（10）设，，，则有；
（11）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则
①．为等比数列，公比为；
②．（即）为等
比数列，公比为；
典例分析
例1．设等差数列的首项与公差均为非负整数，项数不小于3，且各项之和为972，则这样的数列有_____________个。
解：设等差数列的首项为，公差为。
由已知有，即。
又因为，所以只可能取，又因为且均为整数，故；
若，由于为正数，则，即，故，这时有或；
若，则，这时有或。
例2．设，A是S的三元子集，满足：A中元素可以组成等差数列，那么这样的三元子集有___________个。
解：若成等差数列，则，从而首未两项奇偶相同，且首未两项
一旦确定，那么等差数列也就随之确定了。
但是值得注意的是，虽然成等差数列时，也成等差数列，但它们所对应的是同一个集合A={}。
将S按数的奇偶性分成与两个子集。
从中取出两个数作为等差数列的首未两项，共有种不同的取法；
从中取出两个数作为等差数列的首未两项，共有种不同的取法；
所以共有+种不同的取法。
例3．设，A为至少含有两项且公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其它元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数（这里只有两项的数列也看作是等差数列）（1991年全国高中数学联赛二试第一题）
分析：可先对特殊的n（如n=1,2,3）通过列举法求出A的个数，然后总结规律，找出
的递推关系，从而解决问题；也可以就A的公差时，讨论A的个数。
解法一：设元素集中满足条件的A有个，则
，，……如此下去，可以发现。
事实上，比的A增加的公差为的1个，公差为的1个，……，公差为为偶数)或为奇数）的增加1个，共增加
个。
由的递推公式可得个。
解法二：设A的公差为，则，分为两种情况讨论：
（1）当为偶数时，则当时，公差为的A有个，当时，公差为d的A有个，故当n为偶数时，这种A共有
个；
（2）当为奇数时，则当时，公差为的A有个，当
时，公差为d的A有个，故当n为奇数时，这种A共有
个；
综合（1）（2）得，所求的A共有个。
例4．将数列依次按每一项，两项，三项，四项循环分成（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27）,（29，31，33），（35，37，39，41），（43）……，则第100个括号内的各数之和是__________________。
解：每循环一次记为一组，则第100个括号是第25组的第4个括号。
而每组中第四个括号内的各数之和构成以72为首项，以80为公差的等差数列，故为所求。
例5．设数列是等差数列，是等比数列，且，，
（），又，试求数列的首项与公差。
（2000年全国高中数学联赛一试第13题）
分析；题中两个基本量中的首项和公差是所需求的。
利用，，成等比数列和给定的极限可列出两个方程，但需注意极限存在的条件。
解：设所求的首项为，公差为。
因为，故；又因为成
等比数列，故，即，即，化简得：
，解得，而，故；
若，则；若，则
；
但是存在，可知，于是不合题意，从而只有。
于是由
解得，所以，
故数列的首项与公差分别为和。
例6．若复数列的通项公式为
（1）将数列的各项与复平面上的点对应，问从第几项起，以后所有的各项对应的
点都落在圆的内部；
（2）将数列中的实数项按原来的顺序排成一个新数列，求数列的通项及所有项的和。
解：（1）设数列的各项在复平面上对应的点的坐标为，则
，。
要使点落在圆的内部，
只需，得
即，故从第6项起，以后每一项都落在圆的内部。
（2）要使数列中的项为实数，则，得，
因此数列的通项公式为，
所以，且
故数列是首项为1，公比为的无穷递缩数列，从而数列的所有项的和为：。
例7．已知整数，是1，2，3，……，n的一个排列，求证：
不可能构成一个等差数列，也不可能构成一个等比数列。
（2006年山东省第二届夏令营试题）
证明：若构成一个等差数列，设其公差为，则，
，所以。
而，因为，所以
所以。
于是当时，则，于是
所以，矛盾！
当时，则，又因为所以，从而。
所以，所以，从而，矛盾！
从而不可能构成一个等差数列。
下证不可能构成一个等比数列。
若构成了一个等比数列，考虑最后三项。
有，所以。
而（，，所以；
当时，显然；
当时，显然；
当时，有，知，所以即，所以或4；
当时，只能为1，6，6或2，6，3，但这两个都不是等比数列；
当时，，所以故；又因为，所以矛盾！
所以也不可能构成一个等比数列。
例8．正整数序列按以下方式构成：为某个正数，如果能被5整除，则
；如果不能被5整除，，则。
证明：数列{}自某一项起，以后各项都不是5的倍数。
（2006年山东省第二届夏令营试题）
证明：首先证明中一定在存在相邻的两项，它们都不是5的倍数。
（反证）若不然，数列中任意的两项都是5的倍数。
若，则；
若5，则，从而；
所以矛盾！（因为某个正数，不可能大于无穷多个正整数）
从而中一定在相在相邻的两项，它们都不是5的倍数。
设都不是5的倍数，则，其中，
有
因为，所以，所以只能取，即
只能取，这说明不是5的倍数。
即从起以后每一项都不是5的倍数。
例9．将与105互质的所有正整数从小到大排成数列，求这个数列的第三1000项。
解：设，，，
则；
；
；
；
；
；
，所以。
在1到105之间与105互质的数有
[
]+[++]
－=105－（35+21+15）+（7+3+5）－1=48
设将与105互质的数从小到大排列起来为数列，则
，，，
这是一个以48为周期的周数列，因为
所以；
而由于，，，，，，，
，；
所以=。
例10．数列的定义如下：，且当时，有
现已知，求正整数.（2006年山东省第二届夏令营试题）
解：由题设条件知，并由得当n为偶数时，，当n为奇数时，；
由于，知n为偶数；
所以知为奇数；所以知为偶数；
知为奇数；知为偶数；
知为奇数；知为偶数；
知为偶数；知为奇数；
知为偶数；知为奇数；
知为偶数；
所以，所以。