等差数列与等比数列的综合运用
等差数列与等比数列的综合应用题
等差数列与等比数列的综合应用题下面是2000字的文章，涉及到等差数列和等比数列的综合应用题。
等差数列和等比数列的综合应用题数列是数学中一个重要的概念，有着广泛的应用。
其中等差数列和等比数列是最常见的两种数列，它们在实际问题中有着丰富的应用。
本文将探讨其中一些有趣的综合应用题。
一、等差数列的综合应用1. 现有一连续数列，首项为a，公差为d，共有n项。
若已知该等差数列的和为Sn，则求出该数列的最后一项。
解析：根据等差数列的性质，我们知道等差数列的前n项和可以表示为Sn = (2a + (n-1)d) * n / 2。
将该式子中的Sn替换为已知的值，整理后得到一个关于未知数的一元二次方程，通过解方程，我们可以求得该数列的最后一项。
2. 小明上学迟到了，他每天比前一天迟到10分钟，第一天迟到15分钟，到第九天小明迟到多久？解析：这是一个等差数列的应用题，题目中已经给出了首项和公差，我们需要求出第九项。
根据等差数列的性质，我们知道第九项可以表示为a9 = a1 + (9-1)d。
将已知的值代入公式，计算得到小明第九天迟到了85分钟。
二、等比数列的综合应用1. 小明通过研究发现，他所在的城市每年的垃圾总量是前一年的1.5倍。
今年城市的垃圾总量为2000吨，请计算出5年后的城市垃圾总量是多少吨。
解析：这是一个等比数列的应用题，题目中已经给出了首项和公比，我们需要求出第五项。
根据等比数列的性质，我们知道第五项可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
将已知的值代入公式，计算得到5年后的城市垃圾总量为3750吨。
2. 一颗植物的高度是前一天的2倍，已知第一天植物的高度为10厘米，请计算出第五天的植物高度。
解析：这是一个等比数列的应用题，题目中已经给出了首项和公比，我们需要求出第五项。
根据等比数列的性质，我们知道第五项可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
等差数列和等比数列的综合应用
1等差数列和等比数列的综合应用1．等差数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ．⑵ {a n }是等差数列， 则{a kn } (k ∈N *，k 为常数)是 数列． ⑶ S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列．2．在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组 ⎩⎨⎧<≥+001n n a a 可解得S n 达到最 值时n 的值． ⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧可解得S n 达到最小值时n 的值．3．等比数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ． ⑵ {a n }是等比数列，则{a 2n }、{na 1}是 数列． ⑶ 若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列． 4．求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： （1）．等差数列的前n 项和公式： S n ＝ ＝ ．（2）．等比数列的前n 项和公式： ① 当q ＝1时，S n ＝ ． ② 当q≠1时，S n ＝ ．（3）．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．（4）．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．例1. 数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝31S n ，n ＝1，2，3…… 求：⑴ a 2、a 3、a 4的值及{a n }的通项公式；⑵ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值.2解析：(1)由a 1＝1，a n ＋1＝31S n ，n ＝1，2，3，…得a 2＝31S 1＝31a 1＝31，a 3＝31S 2＝31(a 1＋a 2)＝94，a 4＝31S 3＝31(a 1＋a 2＋a 3)＝2716 由a n ＋1－a n ＝31(S n －S n －1)＝31a n (n≥2)，得a n ＋1＝34a n (n≥2)，又a 2＝31，∴a n ＝31·(34)n －2(n≥2)∴ {a n }通项公式为a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅=-2)34(31112n n n(2) 由(1)可知a 2、a 4、…a 2n 是首项为31，公比为(34)2，项数为n 的等比数列.∴ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝31×22)34(1)34(1--n ＝73[(34)2n －1] 变式训练1.设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，......3,2,1=n 求首项1a 与通项n a 。
高三数学等差等比数列综合运用
1 n ( a 2 a 2 n ) 1 n (1 4 n 3) 2n 1 , n n 2 2
bn 1 bn
2( n 1) 1 (2 n 1)
2 . b n 是等差数列.
作业: 《全案》 P
速度训练: 1.已知等差数列｛an｝,｛bn｝前 n 项和分别是 Sn、Tn， a1 1 Sn 2n 若 ，则 等于（ C ） b1 1 Tn 3n 1 (A)
a n 是等差数列,记其前 n 项
和 为 S n , 若 a1 8 , 且 a 8 2 0 , 则
S
15
300 _________.
三、数列与其他数学分支的综合问题
数列的综合问题，是数列的概 念、性质在其他知识领域的穿插与 渗透。数列与函数、方程、三角、 不等式等知识相互联系，优化组合， 无形中加大了综合力度。
an
联系
差数列； ⑵
a n 为等差数列 b 为等比数列.
注:等差、等比数列的证明须用定义证明 .
二、等比数列与等差数列的综合计算问题 数列计算是本章的中心内容，利用等差数 列和等比数列的通项公式、前项和公式及其性 质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内 容.
例如:已知
a n S n S n 1 ( n 2 n )
2 2 ( n 1)
2( n 1) 2 n 3 ,
∴ a n 2 n 3 ,即 a n 是首项为 1 ,公差为 2
1 的等差数列.∴ b n ( a 2 a 4 a 2 n ) n
11 17
73
训练 3 、 预测 1
等差数列和等比数列的综合运用一
【例 5】等差数列 a n 中，a1＞0，前 n 项之和为 Sn， 且 S7＝S13，问 n 为何值时 Sn 最大。
（2）设 bn an 3 2an ，证明 bn bn 1 ，其中 n 为正整数．
法一：基本元素法
S n An 2 Bn 法二：利用特征式
法三：足数和性质 法四：利用已知结论
变式： （07 陕西理）各项均为正数的等比数列 an 的前 项和为 Sn，若 Sn=2,S3n=14,则 S4n 等于
知识梳理
1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质
例题分析
【例 1】 （1）已知 {an } 是等比数列， a1 a2 a3 7 ，
a1 a2 a3 8 ，求 an . （2）有四个数，其中前三个数成等差数列，后 三个成等比数列，且第一个数与第四个数的 和是 16，第二个数与第三个数的和为 12。 求此四个数。
一、诊断练习：
1、 （07 宁夏文 6） ．已知 a，b c，d 成等比数列，且曲线 ，
y x 2 2 x 3 的顶点是 (b，c) ，则 ad 等于
2. （05 福建卷）已知等差数列 {a n } 中，
a7 a9 16, a4 1, 则a12 的值是
3、 （06 江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项 a1=3 ，前三项和为 21，则 a3+ a4+ a5= 4、首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差 的取值范围是 5、 （07 年全国）设等差数列 an 的公差 d 不为 0， a1 9d ． 若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项，则 k
【例 2】数列 {an } 中， Sn=4an-1& n 1 2a n ，求证数列｛bn｝是等比数列
数列的综合应用
数列的综合应用数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。
数列的综合是数列中各个数值的求和运算，可以帮助我们解决很多实际问题。
本文将探讨数列的综合应用，从数学角度分析其在现实生活中的具体应用。
一、数列的定义和性质在介绍数列的综合应用之前，我们首先需要了解数列的基本定义和性质。
数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
根据数列的性质，我们可以将数列分为等差数列和等比数列两种常见类型。
1. 等差数列：等差数列中的任意两个相邻项之差都相等，这个固定的差值称为公差。
等差数列的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等比数列：等比数列中的任意两个相邻项之比都相等，这个固定的比值称为公比。
等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
二、数列的综合应用数列的综合应用广泛存在于日常生活和各个学科领域中，下面将从几个具体问题场景中介绍数列的应用。
1. 汽车里程计算假设一辆汽车从起点出发，每小时行驶的里程数分别是12公里、15公里、18公里、21公里...... 如果想知道5个小时内总共行驶了多少公里，我们可以使用等差数列的综合公式来计算。
首先确定首项a1=12，公差d=3（每小时增加3公里），然后带入数列综合公式Sn =(n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=5进行计算得出结果为75公里。
因此，这辆汽车在5个小时内共行驶了75公里。
2. 学生成绩评估假设某学生在数学考试中的成绩分别是80分、85分、90分、95分......，如果想知道前10次考试的总分，我们可以使用等差数列的综合公式进行计算。
首先确定首项a1=80，公差d=5（每次考试分数增加5分），然后带入数列综合公式Sn = (n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=10进行计算得出结果为875分。
因此，这名学生前10次数学考试的总分为875分。
等差数列与等比数列的应用
等差数列与等比数列的应用等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列。
它们在不同领域的应用十分广泛，本文将介绍它们的基本概念以及在不同领域中的应用。
一、等差数列的应用等差数列是指数列中任意两个相邻项之差相等的数列。
假设等差数列的首项为a，公差为d，则该数列的通项公式为an=a+(n-1)d，其中n表示第n个项。
1.1 等差数列的求和等差数列的求和是等差数列应用中常见的问题，可以通过求和公式来解决。
等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn=n/2*(a+an)。
这个求和公式可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和，提高计算效率。
1.2 财务中的应用等差数列在财务领域中有广泛的应用。
例如，假设某公司每年初始资产为a，每年增加的资产为d，如果要计算第n年的总资产，可以使用等差数列的通项公式an=a+(n-1)d。
这样，我们就可以根据公司每年的增长情况来计算未来某一年的总资产。
1.3 时间和距离中的应用在时间和距离的计算中，等差数列也有应用。
例如，假设一个物体的初始位置为a，每秒移动的距离为d，如果要计算第n秒物体的位置，可以使用等差数列的通项公式an=a+(n-1)d。
这样，我们就可以根据物体每秒移动的距离来计算未来某一秒物体的位置。
二、等比数列的应用等比数列是指数列中任意两个相邻项的比相等的数列。
假设等比数列的首项为a，公比为r，则该数列的通项公式为an=ar^(n-1)，其中n表示第n个项。
2.1 等比数列的求和等比数列的求和也是等比数列应用中常见的问题，可以通过求和公式来解决。
等比数列的前n项和Sn可以表示为Sn=a(r^n-1)/(r-1)。
这个求和公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和，提高计算效率。
2.2 银行利息的计算等比数列在银行利息的计算中有应用。
例如，某银行的存款利率为r%，如果某人每年将存款的本金乘以r/100再加上本金作为下一年的存款，那么每年的存款金额就可以看作是等比数列的项。
通过等比数列的通项公式an=ar^(n-1)，我们可以计算出未来某一年的存款金额。
等比数列和等差数列的综合运用
04
等比数列和等差数列的 应用题
生活中的等差数列问题
银行贷款和存款：等差数列可以用来计算银行贷款和存款的利息和本金。 工资计算：很多公司采用等差数列的方式来计算员工的工资等级和晋升。 地铁和公交车站：等差数列可以用来规划地铁和公交车站的站点间隔和路线。 音乐和艺术：等差数列在音乐和艺术中也有广泛应用，例如音阶和节奏的排列。
的首项 a_1 / r^(n-1)。
添加标题
等差数列和等比数列的混合运算
定义：等差数列 和等比数列的混 合运算是指在一 个数学表达式中 同时出现等差数 列和等比数列的 项。
运算规则：等差 数列和等比数列 的混合运算需要 遵循数学的运算 顺序，先进行乘 除运算，再进行 加减运算。
实例：例如，对 于等差数列 {2, 4, 6, 8} 和等比 数列 {1, 2, 4, 8}，混合运算的 结果可以是这些 数列的各项相加 或相乘。
等差数列和等比数列的应用：等差数列和等比数列的应用包括在数学、物理、工程等领域的应 用。
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实例：可以通过举例来说明等差数列和等比数列的混合运用，例如斐波那契数列就是一个典 型的例子。
03
等比数列和等差数列的 求和
等差数列的求和公式
定义：等差数列是一种常见的数列，其相邻两项的差相等
求和公式：S_n=n/2*(a_1+a_n) 其中，S_n为前n项和，a_1为首项， a_n为第n项
推导过程：通过等差数列的性质，我们可以将每一项表示为首项和公差 的函数，再利用求和公式进行推导
生活中的等比数列问题
添加项标题
银行贷款和储蓄：等比数列可以用来计算复利和本金增长，例 如银行的定期存款和贷款的利息计算。
添加项标题
等差、等比数列的性质及综合应用
2 3
.
7
5.已知数列{an}、{bn}分别为等差、等比数列， 且 a1=b1>0 ， a3=b3 ， b1≠b3 ， 则 一 定 有 a2 b2，>a5 b5（<填“>”“<”“=”).
(措施一)由中项性质和等比数列性质知
b1>0，b3>0，又b1≠b3，
a2= a1 a3 =b1 b3 >
等差、等比数列旳 性质及综合应用
1
掌握等差、等比数列旳基本性质： 如（１）“成对”和或积相等问题； （２）等差数列求和S2n-1与中项an；能 灵活利用性质处理有关问题.如分组求和 技巧、整体运算.
2
1.在等差数列{an}与等比数列{bn}中，下列 结论正确旳是( C ) A.a1+a9=a10,b1·b9=b10 B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6 C.a1+a9=a4+a6,b1·b9=b4·b6 D.a1+a9=2a5,b1·b9=2b5
=a14q166=a14·q6·q160
=(a14q6)·(q16)10
=1·210=1024. 23
(措施二)由性质可知，依次４项旳积为等 比数列，设公比为q,T1=a1·a2·a3·a4=1,
T4=a13·a14·a15·a16=8,
所以T4=T1·q3=1·q3=8 q=2,
所以T11＝a41·a42·a43·a44=T1·q10=1024.
a1 qn+
1 q
a1 1 q
=aqn+b,这
里a+b=0，但a≠0，b≠0，这是等比数列前n
项和公式旳一种特征，据此很轻易根据Sn判 断数列{an}是否为等比数列.
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等差数列与等比数列的综合运用
班别： 坐号： 姓名：
1．在直角三形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比等于 。
2． 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列， 则这三个数分别是 。
3． 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，则这四个数分别是 。
4． 已知数列{}n a 的前n 项的和1(0n n S a a =-是不为的常数），则{}n a （ ） A,一定是等差数列 B,或者是等差数列，或者是等比数列 C, 一定是等比数列 D,不是等差数列，也不是等比数列
5． a ,b,c 成等比数列，那么关于x 的方程20ax bx c ++= （ ） A ，一定有两个不相等的实数根 B ，一定有两个相等的实数根 C, 一定没有实数根 D ，以上均有可能 6． 已知数列{}n a 是等差数列，12a =，且存在数列{}n b ，使得121
1
1
44
4
(1)
n n
a a a a n
b ---=+ ，
则数列{}n b 的前n 项和n S = 。
7． 如果b 是a 与c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且,,y x z 都是正数，则
()log ()log ()log m m m b c x c a y a b z -+-+-= （0,1m m >≠）
8． 如果等差数列{}n a 的项数是奇数，11a =，{}n a 的奇数项的和是175，偶数项的和是150， 则这个等差数列的公差为 。
9． 在数列{}n a 中，11a =，13(1),n n a S n +=≥证明：23,,,n a a a 是等比数列。
10 求和：（1）21
123n n S x x nx -=++++
（2）23123n
n S x x x nx =+++++
参考答案
1、3：4：5
2、3，5，7
3、12，16，20，24或99816349
,,,
4444
4、B
5、C
6、1
22n n +-- 7、0 8、4 9、1111
33
n n n n n a S S a a -+=-=-得
14n n
a a += 10、
（1）若(1)1,122
n n n x S n +==+++= ；若21,2n n x xS x x nx ≠=+++
1
1n n
n n S xS x x
nx --=+++- ，2
1(1)
1n n
n x
nx
S x x
-=
-
--。
（2）同理若(1)1,122
n n n x S n +==+++=
；1,x ≠211
2
(1)
1(1)
1n n n x x
nx
S x x
-+--=
+
--
1、3：4：5
2、3，5，7
3、12，16，20，24或
99816349
,,,4444
4、B
5、C
6、122n n +--
7、0
8、4
9、111133n n n n n a S S a a -+=-=
-
得
14n n
a a += 10、
（1）若(1)1,122
n n n x S n +==+++= ；若21,2n
n x xS x x nx ≠=+++
1
1n n
n n S xS x x
nx --=+++- ，2
1(1)
1n n
n x
nx
S x x
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-
--。
（2）同理若(1)1,122
n n n x S n +==+++= ；1,x ≠211
2
(1)
1(1)
1n n n x x
nx
S x x
-+--=
+
--。