等差数列与等比数列综合问题(3)
等差数列与等比数列综合问题(3)教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和式以及有关性质,分析和解决等差、等比数列的综合问题. 2.突出方程思想的应用,引导学生选择简捷合理的运算途径,提高运算速度和运算能力.3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解.教学重点与难点 1.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识,从本质上掌握公式. 2.等差数列与等比数列的综合应用.例1已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11…都有100项,问它们有多少公共项.例2 已知数列{an}的前n 项和,求数列{|an|}的前n项和tn.例3已知公差不为零的等差数列{an}和等比数例{bn}中,a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,试问:是否存在常数a,b,使得对于一切自然数n,都有an=logabn+b成立.若存在,求出a,b的值,若不存在,请说明理由.例4已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{akn}是公比为q的等比数列,且k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+…+kn的值.例5、已知函数f(x)=2x-2-x ,数列{an}满足f( )= -2n (1)求{an}的通项公式。(2)证明{an}是递减数列。例6、在数列{an}中,an>0,= an+1 (n n)求sn和an的表达式。例7.已1
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知数列{an}的通项公式为an= .求证:对于任意的正整数n,均有a2n ─1,a2n,a2n+1成等比数列,而a2n,a2n+1,a2n+2成等差数列。例8.项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求该数列的中间项及项数。作业1 公差不为零的等差数列的第2,第3,第6项依次成等比数列,则公比是().(a)1 (b)2 (c)3 (d)4 2 若等差数列{an}的首项为a1=1,等比数列{bn},把这两个数列对应项相加所得的新数列{an+bn}的前三项为3,12,33,则{an}的公差为{bn}的公比之和为().(a)-5 (b)7 (c)9 (d)14 3 已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值是. 4 在等差数列{an}中,a1,a4,a25依次成等比数列,且a1+a4+a25=114,求成等比数列的这三个数.5 设数列{an}是首项为1的等差数列,数列{bn}是首项为1的等比数列,又cn =an-bn(n∈n+),已知试求数列{cn}的通项公式与前n项和公式.
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等差数列和等比数列的总结与联系
等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景: 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型,研究等差数列的通项、性质以及求和公式,并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标: (1)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式; (2)掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式;体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。
例题分析: 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法,求和: (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中,236,,a a a 组成等比数列的连续三项,求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== (1)求1a 和d 的值;(2)16b 是不是数列{}n a 中的项,为什么? (二)等差数列和等比数列之间的转化 结论: (1){}n a 成等差数列,则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列; (2)正项数列{}n a 成等比数列,则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列,再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析: 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比,以11(0)a a >为首项的等比数列,求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列,则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列;类比上述性质,相应地:若数列)}({* N n c n ∈是等比数列,且0>n c ,则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列,12n a n b ?? = ? ?? ,已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 (三)学法总结: (四)课后反思:
14等差与等比数列综合
江苏省2014届一轮复习数学试题选编14:等差与等比数列综合 填空题 1 .数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =,,,),且123a a a ,,成公比不为1的等比数列, 则{}n a 的通项公式是______. 【答案】2 2n a n n =-+ 2 .已知数列{}n a 满足143a =,()* 11226n n a n N a +-=∈+,则11n i i a =∑=______. 【答案】232 4 n n ?-- 3 .已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n , 若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________. 【答案】3 4 .设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ,,则a 1的值大于20的概率为____. 【答案】14 5 .已知数列 }{n a 满足1 22n n a qa q +=+-(q 为常数,||1q <),若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---, 则1a = . 【答案】2-或 126 6 .观察下列等式: 31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-1 4×2 3,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N * , 31×2×12+42×3×122++n +2n n +1×1 2 n =______. 【答案】()n n 211 1?+- 7 .已知等比数列{}n a 的首项是1,公比为2,等差数列{}n b 的首项是1,公差为1,把{}n b 中的各项按照如 下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间,构成新数列}{n c :1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ,,即在 n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项,则2013c =____. 【答案】1951 8 .若数列 {}n a 是各项均为正数的等比数列,则当12n n n b a a a =?? ?时,数列{}n b 也是等比数列;类比上
等差、等比数列公式总结
一、等差数列 1.定义:)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式:d n a )1(a 1n -+= 3.变式:d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和:2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义: ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义:常数)(a 1q a n n =+ 2.通项公式:11a -=n n q a 3.变式: m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n
前n 项和:n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式:m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质: ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和.进行拆分,分别利用基,则可或等比数列的和的形式数列,但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和: 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2.裂项相消法. ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列,项和,其中的前项为用于通 从而计算和的方法,适别裂开后,消去一部分把数列和式中的各项分
等差数列与等比数列综合问题(3)
等差数列与等比数列综合问题(3)教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和式以及有关性质,分析和解决等差、等比数列的综合问题. 2.突出方程思想的应用,引导学生选择简捷合理的运算途径,提高运算速度和运算能力.3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解.教学重点与难点 1.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识,从本质上掌握公式. 2.等差数列与等比数列的综合应用.例1已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11…都有100项,问它们有多少公共项.例2 已知数列{an}的前n 项和,求数列{|an|}的前n项和tn.例3已知公差不为零的等差数列{an}和等比数例{bn}中,a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,试问:是否存在常数a,b,使得对于一切自然数n,都有an=logabn+b成立.若存在,求出a,b的值,若不存在,请说明理由.例4已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{akn}是公比为q的等比数列,且k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+…+kn的值.例5、已知函数f(x)=2x-2-x ,数列{an}满足f( )= -2n (1)求{an}的通项公式。(2)证明{an}是递减数列。例6、在数列{an}中,an>0,= an+1 (n n)求sn和an的表达式。例7.已1 ————来源网络整理,仅供供参考
知数列{an}的通项公式为an= .求证:对于任意的正整数n,均有a2n ─1,a2n,a2n+1成等比数列,而a2n,a2n+1,a2n+2成等差数列。例8.项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求该数列的中间项及项数。作业1 公差不为零的等差数列的第2,第3,第6项依次成等比数列,则公比是().(a)1 (b)2 (c)3 (d)4 2 若等差数列{an}的首项为a1=1,等比数列{bn},把这两个数列对应项相加所得的新数列{an+bn}的前三项为3,12,33,则{an}的公差为{bn}的公比之和为().(a)-5 (b)7 (c)9 (d)14 3 已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值是. 4 在等差数列{an}中,a1,a4,a25依次成等比数列,且a1+a4+a25=114,求成等比数列的这三个数.5 设数列{an}是首项为1的等差数列,数列{bn}是首项为1的等比数列,又cn =an-bn(n∈n+),已知试求数列{cn}的通项公式与前n项和公式. ————来源网络整理,仅供供参考 2
等差和等比数列的应用(二)
等差和等比数列的应用(二) 班级—————————— 姓名—————————— 1、由3,11==d a 确定的等差数列{}n a ,当298=n a 时,序号n 等于( ) A .99 B .100 C .96 D .101 2、等比数列的前n 项,前n 2项,前n 3项的和分别为A ,B ,C ,则( ) A .A+B=C B .B 2=AC C .(A+B )-C=B 2 D .A 2+B 2=A (B+C ) 3、某单位年12月份产量是同年1月份产量的m 倍,那么该单位此年的平均增长 率是( ) A .11m B .12 m C .111-m D .112-m 4、自然中所有被4被余数为1的两位数的和等于———————————— 5、等差数列{}n a 的公差0≠d ,前n 项的和为n S ,且,4510S S =则d a :1=—————— 6、在数列{}n a 和{}n b 中,若1a =2,且对任意的自然数n ,n n n b a a ,031=-+是n a 与 1+n a 的等差中项,则n b =—————————————— 7、根据下面4个数列的通项公式,分别作出它们的图象: (1)n d n n c b n a n n n n n n )1()4(;12)3(;32)2(;4-=+==-= 8、已知数列{}n a 满足)2(,111N n n n a a a n n ∈≥=-=-且,求数列{}n a 的通项公式。 9、在数列{}n a 中,*-∈≥+==N n n a a a n n 且2(,12,111),求数列{}n a 的通项公式n a
等差数列与等比数列的综合问题(完整资料).doc
【最新整理,下载后即可编辑】 等差数列与等比数列的综合问题 【知识要点】 (一)等差、等比数列的性质 1.等差数列{a n }的性质 (1)a m =a k +(m -k )d ,d =k m a a k m --. (2)若数列{a n }是公差为d 的等差数列,则数列{λa n +b }(λ、b 为常数)是公差为λd 的等差数列;若{b n }也是公差为d 的等差数列,则{λ1a n +λ2b n }(λ1、λ2为常数)也是等差数列且公差为λ1d +λ2d . (3)下标成等差数列且公差为m 的项a k ,a k +m ,a k +2m ,…组成的数列仍为等差数列,公差为md . (4)若m 、n 、l 、k ∈N *,且m +n =k +l ,则a m +a n =a k +a l ,反之不成立. (5)设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ,B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ,C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ,则A 、B 、C 成等差数列. (6)若数列{a n }的项数为2n (n ∈N *),则S 偶-S 奇=nd , 奇 偶S S = n n a a 1+, S 2n =n (a n +a n +1)(a n 、a n +1为中间两项); 若数列{a n }的项数为2n -1(n ∈N *),则S 奇-S 偶=a n , 奇 偶S S =n n 1-,S 2n - 1 =(2n -1)a n (a n 为中间项). 2.等比数列{a n }的性质 (1)a m =a k ·q m -k . (2)若数列{a n }是等比数列,则数列{λ1a n }(λ1为常数)是公比为q 的等比数列;若{b n }也是公比为q 2的等比数列,则{λ1a n ·λ2b n }(λ1、λ2为常数)也是等比数列,公比为q ·q 2. (3)下标成等差数列且公差为m 的项a k ,a k +m ,a k +2m ,…组成的数列仍为等比数列,公比为q m . (4)若m 、n 、l 、k ∈N *,且m +n =k +l ,则a m ·a n =a k ·a l ,反之不成立. (5)设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ,B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ,C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ,则A 、B 、C 成等比数列,设M =a 1·a 2·…·a n ,N =a n +1·a n +2·…·a 2n ,P =a 2n +1·a 2n +2·…·a 3n ,则M 、N 、P 也成等比数列. (二)对于等差、等比数列注意以下设法:
等差等比数列的运用公式大全
第六讲:等差、等比数列的运用 1. 等差数列的定义与性质 定义:1n n a a d +-=(d 为常数),()11n a a n d =+- 等差中项:x A y ,,成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质:{}n a 是等差数列 m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+; {}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列,232n n n n n S S S S S --,,……仍为等差数列,公差为d n 2; a d a a d -+,, n n a b ,是等差数列,且前n 项和分别为n n S T ,,则 21 21 m m m m a S b T --= }n a 为等差数列2n S an bn ?=+(a b ,为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数) n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值;或者求出{}n a 中的正、负分界项, 即:当100a d ><,,解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当 100a d <>,,由1 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. 项数为偶数n 2的等差数列{} n a , 有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶, 1 += n n a a S S 偶 奇. 12-n 的等差数列{} n a ,有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-,
等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)
1.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A .a n =2n -5 B .a n =3n -10 C .S n =2n 2 -8n D .S n =12 n 2 -2n 2.(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足,a n +1+2a n =0,且a 2 =2,则{a n }前10项的和等于( ) A.1-2103 B .-1-210 3 C .210-1 D .1-210 3.已知等比数列{a n }的首项为1,公比q ≠-1,且a 5+a 4=3(a 3 +a 2),则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A .-9 B .9 C .-81 D .81 4.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A .-12 B .-10 C .10 D .12 5.(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零,S n 为其前n 项和,S 3=9,且a 2-1,a 3-1,a 5-1构成等比数列,则S 5=( ) A .15 B .-15 C .30 D .25 二、填空题 6.(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5=________,S n 的最小值为________. 7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走378里路,
等差数列与等比数列的综合运用
等差数列与等比数列的综合运用 班别: 坐号: 姓名: 1.在直角三形中,三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比等于 。 2. 成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上1,3,9后又成等比数列, 则这三个数分别是 。 3. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是37,第二个数与第三个数的和是36,则这四个数分别是 。 4. 已知数列{}n a 的前n 项的和1(0n n S a a =-是不为的常数),则{}n a ( ) A,一定是等差数列 B,或者是等差数列,或者是等比数列 C, 一定是等比数列 D,不是等差数列,也不是等比数列 5. a ,b,c 成等比数列,那么关于x 的方程20ax bx c ++= ( ) A ,一定有两个不相等的实数根 B ,一定有两个相等的实数根 C, 一定没有实数根 D ,以上均有可能 6. 已知数列{}n a 是等差数列,12a =,且存在数列{}n b ,使得121 1 1 44 4 (1) n n a a a a n b ---=+ , 则数列{}n b 的前n 项和n S = 。 7. 如果b 是a 与c 的等差中项,y 是x 与z 的等比中项,且,,y x z 都是正数,则 ()log ()log ()log m m m b c x c a y a b z -+-+-= (0,1m m >≠) 8. 如果等差数列{}n a 的项数是奇数,11a =,{}n a 的奇数项的和是175,偶数项的和是150, 则这个等差数列的公差为 。 9. 在数列{}n a 中,11a =,13(1),n n a S n +=≥证明:23,,,n a a a 是等比数列。 10 求和:(1)21 123n n S x x nx -=++++ (2)23123n n S x x x nx =+++++
等差等比数列练习题(含答案)
一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 ( ) (A )为常数数列 (B )为非零的常数数列 (C )存在且唯一 (D )不存在 2.、在等差数列 {}n a 中,41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列,则{}n a 的通项公式为 ( ) (A )13+=n a n (B )3+=n a n (C )13+=n a n 或4=n a (D )3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列,且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项,则 y c x a +的值为 ( ) (A ) 2 1 (B )2- (C )2 (D ) 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列,x 是a ,b 的等比中项, y 是b ,c 的等比中项,那么2x ,2b ,2y 三个数( ) (A )成等差数列不成等比数列 (B )成等比数列不成等差数列 (C )既成等差数列又成等比数列 (D )既不成等差数列,又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 ( ) (A )22-=n a n (B )28-=n a n (C )12-=n n a (D )n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-,则 ( ) (A )z y x ,,成等差数列 (B )z y x ,,成等比数列 (C ) z y x 1,1,1成等差数列 (D )z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ,则关于数列{}n a 的下列说法中,正确的个数有 ( ) ①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ③可能是等比数列,也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (A )4 (B )3 (C )2 (D )1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 ( ) (A )1212+-n n (B )212112+-+n n (C )1212+--n n n (D )212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ,且满足 5 524-+= n n B A n n ,则 13 5135b b a a ++的值为 ( ) (A ) 9 7 (B ) 7 8 (C ) 2019 (D )8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 ( ) (A )56 (B )58 (C )62 (D )60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3,9,27,…3n , …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列 的前n 项和为 ( )
等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)
等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义:()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且,q 称为公比 2、通项公式: ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠,首项:1a ;公比:q 推广:n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项: (1)如果,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,即:2A ab = 或A =注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个( (2)数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式: (1)当1q =时,1n S na = (2)当1q ≠时,()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---(,,','A B A B 为常数) 5、等比数列的判定方法: (1)用定义:对任意的n ,都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或 为常数,为等比数列 (2)等比中项:21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 (3)通项公式:()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法: 依据定义:若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质: (2)对任何*,m n N ∈,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=。 (3)若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈,则n m s t a a a a ?=?。特别的,当2m n k +=时,得2n m k a a a ?= 注:12132n n n a a a a a a --?=?=??? 等差和等比数列比较: