4.5圆轴扭转时的强度和刚度条件概述
4.5圆轴扭转时的强度和刚度条件
8
动脑又动笔
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
D1 d
D2
已知轴的 [τ] ，设计 如图结构中的轴径 d 。
1 1 T P D P2 D2 1 1 2 2
P1
P2
T P D P D 8P D P D 1 1 3 2 2 1 1 3 2 2 [ ] W 2 d 16 d
4
《化工设备设计基础》
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
例1 （续1）
《化工设备设计基础》
5
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件 例1 （续2）
解：（1）外力偶矩和扭矩的计算。
实际功率
P Pe 22 0.9 19.8kW
P 19.8 m A 9.55 9.55 3.15kN m n 60
0.4 19.8 1.26kN m 60 0.6 19.8 mC 9.55 1.89kN m 60 m B 9.55
主动力偶矩
扭矩：
M T 1 mC 1.89 kNm
MT 2 mc mB 1.89 1.26 3.15kN m
《化工设备设计基础》
M T max N mm, G MPa N / mm 2 , I mm
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
例1
• 图示为带有搅拌器的反应釜简图。搅拌轴上装有 两层浆叶，已知电动机的功率Pe=22KW，搅拌轴 转速n=60r/min，机械传动效率 η=90％ ，上、 下层搅拌浆叶所受的阻力不同，所消耗的功率各 占总功率的η=40％ 和η=60％ 。此轴采用 φ114×6mm的不锈钢管制成，材料性能参数 [τ]=60MPa，G=8X104MPa，[θ]=0.5°/m 。 试校核搅拌轴的强度和刚度。若将此轴改为相同 材料且与原来空心轴强度相同的实心轴，试确定 其直径，并比较两种轴的用钢量。
工程力学第6节 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
318Nm 955Nm
955 1910 955 N m 3-3 截面的扭矩 TCD M D 318 N m
绘出的扭矩图如图所示， 显然BA和AC段扭矩最大。故
Tmax 955 N m
3）按强度条件确定轴径
Tmax 16Tmax max [ ] 3 WP D 3 16 Tmax 3 16 955 D m 47.6 mm 6 [ ] 4510
二、圆轴扭转时的强度条件
材料的扭转 许用应力 圆轴扭转时的 强度条件
[ ]
u
n
max [ ]
max 应发生在最大扭矩 Tmax 的横截 等截面圆轴： 面上周边各点处，所以其强度条件为
等截面圆轴扭转 时的强度条件
max
Tmax [ ] WP
T ) max 的 阶梯轴等变截面圆轴： max 应发生在 ( WP
在最大切应力相同的情况下，空心轴所用 的材料是实心轴的 61.1%，自重也减轻了 38.9%。其 原因是：圆轴扭转时，横截面上应力呈线性分布，越 接近截面中心，应力越小，此处的材料就没有充分发 挥作用。做成空心轴，使得截面中心处的材料安置到 轴的外缘，材料得到了充分利用，而且也减轻了构件 的自重。但空心轴的制造要困难些，故应综合考虑。
对于空心轴，由扭转时的强度条件
Tmax 16 T max [ ] 3 4 WP D2 (1 )
Tmax 16 T max [ ] 3 4 WP D2 (1 )
D2
3
16T 4 [ ](1 ) 161186 m 64.2 mm 6 4 3010 (1 0.7 )
2 2 2 2
3
第四节圆轴扭转时的强度和刚度计算
03
弹性力学方程
在考虑物体的弹性形变时，需要使用弹性力学方程来描述物体的应力、应变和弹性模量之间的关系。
圆轴扭转的力学模型
01
静力平衡方程
在圆轴扭转过程中，静力平衡方程描述了扭矩与物体的质量、转动惯量和阻力矩之间的关系。
02
动力学方程
动力学方程描述了物体的运动状态随时间的变化，包括物体的角速度、角加速度等参数。
02
对于金属材料，其剪切模量可以通过剪切弹性模量和密度计算得到。
04
圆轴扭转的有限元分析
有限元模型的建立
将圆轴划分为若干个单元，以便进行有限元分析。
网格划分
材料属性定义
边界条件定义
载荷施加
为圆轴的材料定义弹性模量、泊松比等物理属性。
定义圆轴的边界条件，如固定支撑或自由支撑。
在圆轴上施加扭矩载荷，根据实际情况确定扭矩大小和作用位置。
边界条件和载荷施加
应变和应力分布
强度条件
刚度条件
结果分析和讨论Biblioteka THANKS感谢观看
《第四节圆轴扭转时的强度和刚度计算》
xx年xx月xx日
圆轴扭转的基本概念圆轴扭转的强度计算圆轴扭转的刚度计算圆轴扭转的有限元分析
contents
目录
01
圆轴扭转的基本概念
圆轴是一种常见的机械零件，通常由一系列的圆柱组成，轴的截面形状为圆形。
圆轴
扭转是指物体在扭矩的作用下发生形变或转动的现象。在机械工程中，扭转通常指的是由扭矩引起的物体转动或形变。
扭转
圆轴和扭转的定义
1
圆轴扭转的物理现象
2
3
在圆轴扭转过程中，扭矩是衡量物体受到的转动力的单位。扭矩的大小与物体的转动惯量和阻力矩有关。
课题十四圆轴扭转时的强度条件及刚度条件
图14-1
I
p
d 4 32
课题十四 圆轴扭转时的强度条件及刚度
剪应力的最大值发生在横截面的圆周线上，其值为 WT——抗扭截面系数 对于实心圆轴
m ax
T WT
对于空心圆轴
d3 W (14) T 16
d3 WT 16
二、圆轴扭转时的强度条件
课题十四 圆轴扭转时的强度条件及刚度条件 一、圆轴扭转时的应力
圆轴扭转时横截面上没有正应力，只有剪应力，剪应力的方向与
半径线垂直，大小与该点到圆心的距离成正比，圆心处为零，圆周处
最大，如图14-1所示。
T I p
式中： τ——横截面上某点的剪应力 T——截面的扭矩
ρ——剪应力计算点到圆心的距离
为保证轴的正常工作，轴内的最大剪应力不应超过材料的许用剪应 力，即
max
T [ ] WT
这就是圆轴扭转的强度条件
三、圆轴扭转时的变形
课题十四 圆轴扭转时的强度条件及刚度
圆轴扭转时的变形用扭转角ψ来度量，扭转角ψ是某一截面相对于另一截 面所转过的角度。如图14-2所示。 对等直圆轴而言，若在轴的长度范围内，扭矩为常量时，圆轴两端截面间
的扭转角为
G——材料的剪切弹性模量
TL GIp
图
14-2
课题十四 圆轴扭转时的强度条件及刚度
四、圆轴扭转时的刚度条件
限制变形的条件叫做刚度条件，圆轴扭转时的刚度条件 G Ip 1 8 0 L
圆轴的扭转变形与刚度条件
第五节圆轴的扭转变形与刚度条件一、圆周的扭转变形圆轴受扭转时，除了考虑强度条件外，有时还要满足刚度条件。
例如机床的主轴，若扭转变形太大，就会引起剧烈的振动，影响加工工件的质量。
因此还需对轴的扭转变形有所限制。
轴受扭转作用时所产生的变形，是用两横截面之间的相对扭转角ϕ表示的，如下图所示。
由于γ角与ϕ角对应同一段弧长，故有ϕ·R = γ·l (a)式中的R是轴的半径，由剪切虎克定律，τ=G·γ，所以可得ϕ=τ·l/ (G·γ)(b)式中τ=M·R/ Jρ，代入(b)得：ϕ=M·l/ (G·Jρ)(1-46)公式(1-46)是截面A、B之间的相对扭转角计算公式，ϕ的单位是rad。
两截面间的相对扭转角与两截面间的距离l成正比，为了便于比较，工程上一般都用单位轴长上的扭转角θ表示扭转变形的大小：θ=ϕ/ l=M/ (G·Jρ)(1-47)θ的单位是rad/m。
如果扭矩的单位是N·m，G的单位MP a，Jρ的单位m4。
但是工程实际中规定的许用单位扭转角[θ]是以°/m 为单位的，则公式(1-47)可改写为：(1-48)式中G·Jρ称为轴的抗扭刚度，取决于轴的材料与截面的形状与尺寸。
轴的G·Jρ值越大，则扭转角θ越小，表明抗扭转变形的能力越强。
二、扭转的刚度条件圆轴受扭转时如果变形过大，就会影响轴的正常工作。
轴的扭转变形用许用扭转角[θ]来加以限制，其单位为°/m，其数值的大小根据载荷性质、工作条件等确定。
在一般传动和搅拌轴的计算中，可选取[θ]=0.5°/m～10°/m。
由此得出轴的扭转刚度条件：θ=M/ (G·Jρ)·(180/ π)≤[θ](1-49)圆轴设计时，一般要求既满足强度条件(1-45)，又要满足刚度条件(1-49)。
4.4 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
圆轴扭转时的强度条件刚度条件圆轴的设计计算1. 等截面圆轴：2. 阶梯形圆轴：[]maxPT W ττ=≤[]max max P T W ττ=≤[]max max P()T W ττ=≤扭转强度条件分析单位长度扭转角 扭转刚度条件 许可单位扭转角 PTl GI ϕ='Prad/m T l GI ϕϕ=='P 180°/m πT GI ϕ=⨯'ϕ⎡⎤⎣⎦''max P 180°/m []πT GI ϕϕ=⨯≤精密机械传动轴 '[](0.250.5)()/m°ϕ=一般传动轴 '[](0.51)()/m °ϕ=精密要求不高的轴 '[](1 2.5)()/m °ϕ=式 （1）扭转强度条件扭转刚度条件• 已知T 、D 和[τ]，校核强度 • 已知T 和[τ]，设计截面最小D• 已知D 和[τ]，确定许可载荷T • 已知T 、D 和[φ’]，校核刚度 • 已知T 和[φ’]，设计截面最小D• 已知D 和[φ’]，确定许可载荷T []max P T W ττ=≤3P 1π16W D =''max P 180T GI ϕϕπ⎡⎤=⨯≤⎣⎦4P 1π32I D =例1 某传动轴所承受的扭矩T =200N·m ，轴的直径d =40mm 。
材料的[τ]=40MPa ，切变模量G =80GPa ，单位长度许可扭转角。
试校核轴的强度和刚度。
'[]1/m °ϕ=解： （1）校核轴的强度。
max P T W τ=316πT d =[]-3316200=15.92MPa<π4010τ⨯=⨯⨯（）（2）校核轴的刚度。
'max P 180πT GI ϕ=⨯432180ππT G d =⨯'9-3432200180=0.57/m<[]8010π4010π°ϕ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯（）传动满足强度和刚度要求。
第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算基础篇之四第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算杆的两端承受⼤⼩相等、⽅向相反、作⽤平⾯垂直于杆件轴线的两个⼒偶，杆的任意两横截⾯将绕轴线相对转动，这种受⼒与变形形式称为扭转（torsion ）。
本章主要分析圆轴扭转时横截⾯上的剪应⼒以及两相邻横截⾯的相对扭转⾓，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计⽅法。
4－1 外加扭⼒矩、扭矩与扭矩图作⽤于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。
在传动轴计算中，通常给出传动功率P 和转递n ，则传动轴所受的外加扭⼒矩M e 可⽤下式计算：[][]e kw 9549[N m]r /min P M n =?其中P 为功率，单位为千⽡（kW ）；n 为轴的转速，单位为转/分（r/min ）。
如功率P 单位⽤马⼒（1马⼒=735.5 N ?m/s ），则e []7024[N m][r /min]P M n =?马⼒外加扭⼒矩M e 确定后，应⽤截⾯法可以确定横截⾯上的内⼒—扭矩，圆轴两端受外加扭⼒矩M e 作⽤时，横截⾯上将产⽣分布剪应⼒，这些剪应⼒将组成对横截⾯中⼼的合⼒矩,称为扭矩（twist moment ），⽤M x 表⽰。
图4－1 受扭转的圆轴⽤假想截⾯m －m 将圆轴截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考虑其中任意部分的平衡，有M x －M e = 0由此得到图4－3 剪应⼒互等M x = M e与轴⼒正负号约定相似，圆轴上同⼀处两侧横截⾯上的扭矩必须具有相同的正负号。
因此约定为：按右⼿定则确定扭矩⽮量，如果横截⾯上的扭矩⽮量⽅向与截⾯的外法线⽅向⼀致，则扭矩为正；相反为负。
据此，图4－1b 和c 中的同⼀横截⾯上的扭矩均为正。
当圆轴上作⽤有多个外加集中⼒矩或分布⼒矩时，进⾏强度计算时需要知道何处扭矩最⼤，因⽽有必要⽤图形描述横截⾯上扭矩沿轴线的变化，这种图形称为扭矩图。
绘制扭矩图的⽅法与过程与轴⼒图类似，故不赘述。
【例题4－1】变截⾯传动轴承受外加扭⼒矩作⽤，如图4－2a 所⽰。
圆轴扭转的刚度条件
采用数学优化方法，对圆轴的尺寸、形状 等进行优化，以达到最佳的刚度性能。
材料选择与优化
高强度材料
选用高强度钢、钛合金等 高强度材料，以提高圆轴
的承载能力和刚度。
复合材料
采用碳纤维、玻璃纤维等 复合材料，可显著提高圆
轴的刚度和减轻重量。
材料改性
通过热处理、表面处理等 手段改善材料的力学性能
，提高圆轴的刚度。
结果讨论
根据实验结果，讨论圆轴在实际应用中的表现以及可能存在的优化方向。如不满足刚度条 件，需对圆轴结构进行优化设计或选用更高性能的材料。
04
圆轴扭转的刚度设计
设计原则与方法
刚度优先原则
在满足强度和稳定性的前提下，优先提高 圆轴的刚度，以减小变形和振动。
等强度设计
使圆轴各截面的应力接近许用应力，从而 充分利用材料强度。
将实验过程中记录的数据进行整理， 包括扭矩、扭转角度等参数的原始数 据和曲线图。
结果对比
将实验数据与理论计算值或其他试样 的实验数据进行对比，以评估圆轴的 刚度性能。
数据分析
通过分析扭矩-扭转角度曲线，可以了解 圆轴在扭转过程中的刚度变化。计算圆轴 的扭转刚度，即扭矩与扭转角度的比值。
刚度性能的评价指标
06
圆轴扭转的刚度条件在工程中的应用
机械传动系统中的应用
传动轴的刚度设计
在机械传动系统中，传动轴经常受到扭转力的作用。为确保传动效率和轴的稳定 性，需要根据圆轴扭转的刚度条件进行轴的设计，以防止过度变形或破坏。
轴承座的刚度要求
轴承座是支撑传动轴的关键部件，其刚度直接影响轴的传动精度和稳定性。根据 圆轴扭转的刚度条件，可以对轴承座进行刚度分析和优化，以提高传动系统的整 体性能。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（3）扭转刚度校核
I
ma x
D 4
32
(1 4 )
T ma x
102 4 1144 [1 ( ) ] 5.95 106 m m4 32 114
6 4 6
M 3.1510 57300 57300 GI 8 10 5.9510 0.38 / m 0.5 / m
《化工设备设计基础》
8
动脑又动笔
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
D1 d
D2
已知轴的 [τ] ，设计 如图结构中的轴径 d 。
1 1 T P D P2 D2 1 1 2 2
P1
P2
T P D P D 8P D P D 1 1 3 2 2 1 1 3 2 2 [ ] W 2 d 16 d
d 3
8P 1D1 P 2 D2 [ ]
分析与讨论 分析与讨论
轴径如何设计更为合理？
设计本题中的轴径还应考虑什么因素？
本章内容小结
圆轴扭转切应力
MT I
最大切应力 圆轴扭转时两端面的相对转角
0 l
max
MT [ ] W
MT dx GLeabharlann plMT l GI
单位长度相对转角
max
MT GI
GIρ：抗扭刚度
( torsion stiffness )
M 180 M T max 103 57300 T max 3.14 GI GI
单位 对于一般传动轴和搅拌轴[θ]可取(0.5~1)0/m。
0 0
《化工设备设计基础》
7
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件 例1（续4）
实心圆柱直径
D1 3 16W
3
16 104.46 103
81mm
空心圆柱与实心圆柱之比
G空心 G实心
D 4
4
2
d2
D12
1142 1022 0.395 2 81
问题：整个轴的扭转角是多少？
第四章 剪切与圆轴的扭转
4.1 剪切 4.2 扭转变形的概念 4.3 圆轴扭转时的外力和内力 4.4 圆轴扭转时横截面上的应力
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
《化工设备设计基础》
1
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
4.5.1圆轴扭转时的强度条件
max
式中：MTmax、Wρ分别为危险截面上的扭矩与抗扭截 面模量。 注：圆轴直径的设计公式：
6
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件 例1 （续3）
（2）扭转强度较核
W
max
D 3
16
(1 4 )
102 4 1143 [1 ( ) ] 104.46 103 m m3 16 114
M T max 3.15 106 30.16MPa 60MPa W 104.46 103
M T max W
D3
16M T max
《化工设备设计基础》
2
4.5.2. 圆轴扭转时的刚度条件
φ
d M T dx GI d MT dx GI
( x) (0)
MT dx GI 0
x
l
重要公式
M T ( x) dx GI ( x ) 0
4
《化工设备设计基础》
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
例1 （续1）
《化工设备设计基础》
5
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件 例1 （续2）
解：（1）外力偶矩和扭矩的计算。
实际功率
P Pe 22 0.9 19.8kW
P 19.8 m A 9.55 9.55 3.15kN m n 60
0.4 19.8 1.26kN m 60 0.6 19.8 mC 9.55 1.89kN m 60 m B 9.55
主动力偶矩
扭矩：
M T 1 mC 1.89 kNm
MT 2 mc mB 1.89 1.26 3.15kN m
《化工设备设计基础》
M T max N mm, G MPa N / mm 2 , I mm
4.5 圆轴扭转时的强度和刚度条件
例1
• 图示为带有搅拌器的反应釜简图。搅拌轴上装有 两层浆叶，已知电动机的功率Pe=22KW，搅拌轴 转速n=60r/min，机械传动效率 η=90％ ，上、 下层搅拌浆叶所受的阻力不同，所消耗的功率各 占总功率的η=40％ 和η=60％ 。此轴采用 φ114×6mm的不锈钢管制成，材料性能参数 [τ]=60MPa，G=8X104MPa，[θ]=0.5°/m 。 试校核搅拌轴的强度和刚度。若将此轴改为相同 材料且与原来空心轴强度相同的实心轴，试确定 其直径，并比较两种轴的用钢量。
MT L GI p
max
M 180 M T max 103 57300 T max 3.14 GI GI
《化工设备设计基础》
10