高二数学-导数_图文.ppt.ppt
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3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
2022-2023学年高二数学 苏教版2019 选择性必修第一册 5.1导数的概念 课件 (20张)
当堂检测
5．已知函数 f (x) x2 a ln x 的图象在(1, f (1)) 处的切线经过坐标原点，则实数a 的值等于___________． 【答案】 1
【详解】因为 f x x2 aln x ，所以 f x 2x a ，所以 f 1 2 a ，又 f 1 1 ，
x
所以 y f x 在1, f 1 处的切线方程为： y 1 2 ax 1 ，
m 又切线过点(－e，－1)，所以有 n＋1＝ 1(m＋e)．
m 再由 n＝ln m，解得 m＝e，n＝1. 故点 A 的坐标为(e,1)．
讲授新课
【方法技巧】 求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出 切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
D．2
【答案】A
【详解】因为 lim
f 3 x f 3 x
2 lim
f 3 x f 3 x 2 f (3) 2 ,
△x0
x
△x0
2x
所以 f (3) 1,故选:A.
当堂检测
4．若 f x x2 ，则 f x 在 x 1 处的切线的斜率为______．
【答案】2 【详解】由题意知， f (x) 2x ，得 f (1) 2 ， 所以曲线在 x 1 处的切线斜率为 2.故答案为：2.
讲授新课 知识点四 两曲线的公切线问题
【例 4】已知曲线 f(x)＝x3＋ax＋1在 x＝0 处的切线与曲线 g(x)＝－ln x 相切，则 a 的值为________． 4
[解析] 由 f(x)＝x3＋ax＋1，得 f′(x)＝3x2＋a. 4
∵f′(0)＝a，f(0)＝1， 4
∴曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线方程为 y－1＝ax. 4
2.2导数的概念及其几何意义(教学课件)——高二数学北师大版(2019)选择性必修第二册
点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直
点A
线l为曲线y＝f(x)在________处的切线．
要点四 导数的几何意义
函 数 y ＝ f(x) 在 x0 处 的 导 数 ， 是 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的
切线的斜率
_____________．
D．f′(xA)>f′(xB)>0
答案：B
解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)<f′(xB)<0.
故选B.
)
4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝x3 ＋ax＋3相切于点(1，4)，则a＝
0
________．
解析：∵切点(1，4)在曲线y＝x3＋ax＋3上，
Δx
Δx
Δy
当Δx趋于0时， ＝16，∴f′(3)＝16.
Δx
题型三 求曲线在某点处的切线方程
1 3 4
例3 已知曲线C：y＝ x ＋ ，求曲线C上的横坐标为2的点处的切
3
3
线方程．
解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)，
Δy
1
3
4 1
4
2+Δx 3 +3−3×23 −3
1
∵ ＝
即2x－y＝0.
2
斜率不存在，故曲线在点P处的切线为y轴，
即切线方程为x＝0.
1．函数y＝x2在x＝1处的导数为(
A．2x B．2＋Δx
C．2 D．1
)
答案：C
Δy
1+Δx 2 −1
解析： ＝
＝2＋Δx，
Δx
点A
线l为曲线y＝f(x)在________处的切线．
要点四 导数的几何意义
函 数 y ＝ f(x) 在 x0 处 的 导 数 ， 是 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的
切线的斜率
_____________．
D．f′(xA)>f′(xB)>0
答案：B
解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)<f′(xB)<0.
故选B.
)
4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝x3 ＋ax＋3相切于点(1，4)，则a＝
0
________．
解析：∵切点(1，4)在曲线y＝x3＋ax＋3上，
Δx
Δx
Δy
当Δx趋于0时， ＝16，∴f′(3)＝16.
Δx
题型三 求曲线在某点处的切线方程
1 3 4
例3 已知曲线C：y＝ x ＋ ，求曲线C上的横坐标为2的点处的切
3
3
线方程．
解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)，
Δy
1
3
4 1
4
2+Δx 3 +3−3×23 −3
1
∵ ＝
即2x－y＝0.
2
斜率不存在，故曲线在点P处的切线为y轴，
即切线方程为x＝0.
1．函数y＝x2在x＝1处的导数为(
A．2x B．2＋Δx
C．2 D．1
)
答案：C
Δy
1+Δx 2 −1
解析： ＝
＝2＋Δx，
Δx
高阶导数PPT
y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即 二阶导数，记作 函数 二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖 南 对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速 所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择 第二个模型. 第二个模型
湖 南 对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
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导数的应用(第1课时)利用导数研究函数的单调性(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)
图 （ １ ） 中的曲线越来越 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终大于 １ ； 图 （ ２ ） 中的曲线由 “ 陡峭 ” 变得 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的右半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ３ ） 中的曲线由 “ 平缓 ” 变得 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的左半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ４ ） 中的曲线越来越 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终小于 １． 因此 ， 只有图 ５-３-１ （ １ ） 中的图像有可能表示函数 y ＝ f（ 可能成为严格递增区间与严格 递减区间的分界点 ．
例4.确定函数（f x）＝x2的单调区间 ．
解函数在x 0处没有定义 ．当x 0时，f (x)=-2x3，
方程f′（ x )＝０ 无解 ， 所以函数 f（ x ）没有驻点 ． 但当 x ＞０ 时 ，f′（ x ） ＜０ ，f（ x ） 单调递减 ； 当 x ＜０ 时 ，f′（ x） ＞０ ， f（ x ） 单调递增 ． 可 见 ， 函数 f （ x ） 的严格递增区间为 （－∞，０）， 严格 递减区间为（０，＋∞）
课本练习 宋老师数学精品工作室
１． 利用导数研究下列函数的单调性 ， 并说明所得结果与你 之前的认识是否一致 ：
宋老师数学精品工作室 ２． 确定下列函数的单调区间 ：
随堂检测 宋老师数学精品工作室
1、函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
上面我们用导数值的正负判断函数在某区间的单调性 ． 但导数值还可 以进一步用以判断函数变化速度的快慢 ： 导数f′（ x ０ ） 是函数 f（ x ） 在点 x ０ 的切线的斜率 ， 所以它描述了曲线 y＝f（ x ） 在点 x０ 附近相 对于x轴的倾斜程度 ： 当f′（ x ０ ） ＞０ 时 ，f′（ x０ ） 越大 ， 曲线 y ＝ f （ x ） 在点 x ０ 附近相对于 x 轴倾斜得越厉害 ，f（ x ） 递增得 越快 ； 而当f′（ x ０ ） ＜０ 时 ，f′（ x ０ ） 越小 ， 曲线y ＝ f （ x ） 在点 x０ 附近相对于x轴倾斜得越厉害 ， f （ x ） 递减得越快 ． 综合这 两个方面 ， 导数的绝对值越大 ， 函数图像就越 “ 陡峭 ”， 也就是 函数值变化速度越快 ．
5.2.1 基本初等函数的导数(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
②若 f′(x)＝sin x，则 f(x)＝cos x；
③f(x)＝x13，则 f′(x)＝－x34.
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析：只有③正确．
答案：B
()
2．(多选)下列结论正确的是 A．若 y＝0，则 y′＝0
C．若 y＝x－1，则 y′＝－x－2 答案：ABC
()
B．若 y＝5x，则 y′＝5
1 2.
导数的简单综合应用
[例 3] (1)质点的运动方程是 S(t)＝sin t，则质点在 t＝π3 时的速度为________；质点运动的加速度为________；
(2)已知两条曲线 y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲 线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂 直？并说明理由．
注意的问题 (1)对于公式(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，一是注 意函数的变化，二是注意符号的变化． (2)对于公式(ln x)′＝1x和(ex)′＝ex 很好记，但对于公式 (logax)′＝xln1 a和(ax)′＝axln a 的记忆就较难，特别要 注意 ln a 所在的位置．
2．正、余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公 式是什么？
[新知初探] 知识点一 几个常用函数的导数
函数
导数
f(x)＝c (c 为常数)
f′(x)＝c′＝0
f(x)＝x
f′(x)＝x′＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝(x2)′＝2x
f(x)＝1x
f′(x)＝1x′＝－x12
f(x)＝ x f′(x)＝( x)′＝21x
2 5
.
(4)y′＝(3x)′＝3xln 3.
导数的概念及其意义(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
=
=
−1
1 + ∆ − 1
= ∆ + 2
切线的斜率
− 1
1 + ∆ 2 − 1
=
=
= ∆ + 2
−1
1 + ∆ − 1
当∆无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1
的一边无限趋近于1时，割线0 的斜率k都无限趋近于2
由 =
1+∆ −(1)
∆
= ∆ + 2
但 ∆可正、可负；
∆ = (2 ) − (1 )是函数值的改变量，可正、
可负，也可为0， 因此平均变化率可正、可负，也可为零
函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f(x)没有变化
瞬时变化率
函数 f(x) 在 x = x0 处的 瞬时变化率
是函数 f(x) 从 x0 到 x0 + ∆x 的平均变化率
A.0
B.-1 C.3
D.-6
答案 D
解析
(0+Δ)-(0)
Δ
则切线斜率
=
(Δ)2 -6Δ-0
=Δx-6,
Δ
f(0+x)-f(0)
k= lim
x
Δ→0
= (Δx-6)=-6.
x→0
)
规律方法 求曲线上某点(x0,f(x0))处的割线或切线斜率的步骤
f(x 0 +x)-f(x 0 )
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
= = 2 − 7 + 15(0 ≤ ≤ 8) .
计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
=
−1
1 + ∆ − 1
= ∆ + 2
切线的斜率
− 1
1 + ∆ 2 − 1
=
=
= ∆ + 2
−1
1 + ∆ − 1
当∆无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1
的一边无限趋近于1时，割线0 的斜率k都无限趋近于2
由 =
1+∆ −(1)
∆
= ∆ + 2
但 ∆可正、可负；
∆ = (2 ) − (1 )是函数值的改变量，可正、
可负，也可为0， 因此平均变化率可正、可负，也可为零
函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f(x)没有变化
瞬时变化率
函数 f(x) 在 x = x0 处的 瞬时变化率
是函数 f(x) 从 x0 到 x0 + ∆x 的平均变化率
A.0
B.-1 C.3
D.-6
答案 D
解析
(0+Δ)-(0)
Δ
则切线斜率
=
(Δ)2 -6Δ-0
=Δx-6,
Δ
f(0+x)-f(0)
k= lim
x
Δ→0
= (Δx-6)=-6.
x→0
)
规律方法 求曲线上某点(x0,f(x0))处的割线或切线斜率的步骤
f(x 0 +x)-f(x 0 )
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
= = 2 − 7 + 15(0 ≤ ≤ 8) .
计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
导数的概念及其几何意义(课件)高二数学(北师大版2019选择性)
例3 :服药后，人体血液中药物的质量浓度c(单位:μg/mL)是时间t(单位:min) 的函数 c=c(t).假设函数c=c(t)在t=10和t=100处的导数分别为c'(10) = l.5和 c'(100) = -0.6,试解释它们的实际意义.
解 :c'(10) = l.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度 为1.5 μg/(mL▪min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液中 药物的质量浓度将上升 1. 5 μg/mL. c'(100)= -0. 6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度 为 0. 6 μg/(mL ▪min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液 中药物的质量浓度将下降 0. 6 μg/mL.
P(x,x²)
T
P0(1,1)
1
2x
y
请看当点Q沿着曲 线逐渐向点P接近 时,割线PQ绕着点 P逐渐转动的情况.
o
P
y=f(x) Q
割 线
T 切线
x
割线斜率与切线斜率
1.割线的斜率
k f (x0 x) f (x0 ) x
2.切线的斜率 函数图象在点P0(x0, f(x0))处的斜率
k0
lim
x
y y 1 x3
4
3
lim
3 x0
x
3
P
1 lim[3x2 3xx (x)2 ] x2 .
2
3 x0
1 x
y |x2 22 4.
-2 -1 O 1 2
-1
即点P处的切线的斜率等于4. -2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.