[理学]3网孔分析法和节点分析法
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网孔分析回路分析结点分析解析
网孔分析回路分析结点分析解析网孔分析（Mesh analysis）也称为网孔电流分析（Mesh current analysis），是一种分析电路中电流的方法。
回路分析（Loop analysis）和结点分析（Node analysis）是分析电路中电压和电流的方法。
1.网孔分析网孔分析是应用基尔霍夫定律进行分析的一种方法，基本思想是将电流方程和电压方程结合起来，用矩阵方程解出未知电流。
基尔霍夫定律可以概括为：（1）基尔霍夫第一定律（节点定律）：一个节点的电流流入等于流出的总和。
（2）基尔霍夫第二定律（回路定律）：沿着一个闭合回路的电压和电流的代数和为零。
按照网孔的定义，电阻器与电源间没有分叉或分合。
电路中的每个电阻器与电源之间形成一条网孔。
每个网孔中的电流可以用符号I1、I2等表示。
通过网孔分析，我们可以得到每个网孔中的电流值，进而计算电阻器上的电压、功率等。
2.回路分析回路分析是应用基尔霍夫定律进行分析的一种方法。
基于回路定律，我们可以设置回路方程并求解未知变量。
在回路分析中，我们可以根据回路方程求解各种未知变量，包括电流、电压、功率等。
3.结点分析结点分析是应用基尔霍夫定律进行分析的一种方法。
基于结点定律，我们可以设置结点方程并求解未知变量。
在结点分析中，我们可以根据结点方程求解各种未知变量，包括电流、电压、功率等。
网孔分析、回路分析和结点分析是三种常用的电路分析方法。
它们在不同情况下有着各自的优势和适用性。
选择合适的分析方法取决于电路的特点和问题的要求。
熟练掌握这三种方法将有助于工程师更好地理解电路，并解决实际问题。
电路分析网孔分析法和节点分析
等效单口网络：当两个单口网络的VCR关系完全 相同时，称这两个单口是互相等效的。
将电路中的某些单口用其等效电路代替，可以简化 电路的分析和计算。
一、线性电阻的串联和并联
1．线性电阻的串联（见第一章）
2．线性电阻的并联（见第一章）
3．线性电阻的串并联 由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网
络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻。
i5 R2 i＋2 R5 ib uS－2
支路电流： i1,i2,i3,i4,i5,i6 网孔电流：
假想沿网孔边沿流动的电流，
i4
R4 ic R6 i6
如图中ia,ib,ic
R3 ＋uS3－i3 参考方向可以任意选取。
若以网孔电流为求解变量， 所需方程数将大大减少。（重点）
一、网孔电流
设想电流i1、i2和i3沿每个
图中 节点1与公共点O间电阻称为R1 节点2与公共点O间电阻称为R2 节点3与公共点O间电阻称为R3
二、Δ形联接
当三个电阻依次联成一个 闭合电路，且三个联接点再 分别与外电路相联，叫Δ形 联接。
图中：
节点1与2间电阻称为R12 节点2与3间电阻称为R23 节点3与1间电阻称为R31
方法： Y-变换
R2
R12
R23 R12 R 23 R31
特例：当三电阻相等时，则
R 3RY
或
RY
1 3
R
历年考题：
9、图示电路，求u 。(2V)
10、图示电路，求i 。(9/13A)
3Ω
6Ω
i
+ 18V
+u–
1A
3Ω 2A 2Ω 4Ω
–
2Ω
6Ω
3Ω
第三章网孔分析法和结点分析法
将电路中的某些单口用其等效电路代替，可以简化 电路的分析和计算。
一、线性电阻的串联和并联
1．线性电阻的串联（见第一章）
2．线性电阻的并联（见第一章）
3．线性电阻的串并联 由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网
络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻。
i5 R2 i＋2 R5 ib uS－2
支路电流： i1,i2,i3,i4,i5,i6 网孔电流：
假想沿网孔边沿流动的电流，
i4
R4 ic R6 i6
如图中ia,ib,ic
R3 ＋uS3－i3 参考方向可以任意选取。
若以网孔电流为求解变量， 所需方程数将大大减少。（重点）
一、网孔电流
设想电流i1、i2和i3沿每个
图中 节点1与公共点O间电阻称为R1 节点2与公共点O间电阻称为R2 节点3与公共点O间电阻称为R3
二、Δ形联接
当三个电阻依次联成一个 闭合电路，且三个联接点再 分别与外电路相联，叫Δ形 联接。
图中：
节点1与2间电阻称为R12 节点2与3间电阻称为R23 节点3与1间电阻称为R31
方法： Y-变换
R2
R12
R23 R12 R 23 R31
特例：当三电阻相等时，则
R 3RY
或
RY
1 3
R
历年考题：
9、图示电路，求u 。(2V)
10、图示电路，求i 。(9/13A)
3Ω
6Ω
i
+ 18V
+u–
1A
3Ω 2A 2Ω 4Ω
–
2Ω
6Ω
3Ω
第三章网孔分析法和结点分析法
第03章 网孔分析法与结点分析法
(希望所有的量均为电流量)
1. 自电导×节点电位+互电导×相邻节
点电位 = 流进该节点的电流源电流
2.自电导为正，互电导为负。
方程左边为流出所有电阻所在的支路的电流(代 数和),方程右边为流入除电阻所在的支路以外的所 有支路的电流(代数和)。（上课时给出特殊电路）
(二) 结点分析法三种情况
1. 电路中只有电流源，没有电压源
节点1 节点2 节点3
G1 (U1 U 2 ) G5 (U1 U 3 ) I S G1 (U 2 U1 ) G3 (U 2 U 3 ) G2 U 2 0 G3 (U 3 U 2 ) G4 U 3 G5 (U 3 U1 ) 0
变形
节点1 节点2 节点3 节点1 节点2 节点3 G1 (U1 U 2 ) G5 (U1 U 3 ) I S G1 (U 2 U1 ) G3 (U 2 U 3 ) G2 U 2 0 G3 (U 3 U 2 ) G4 U 3 G5 (U 3 U1 ) 0 (G1 G5 ) U1 G5 U 3 G1U 2 I S (G1 G3 G2 ) U 2 G1U1 G3U 3 0 (G4 G3 G5 ) U 3 G3U 2 G5U1 0
2. 电路中有电压源，但正好一端为参考端 3. 电路中有电压源，两端都不为参考端 a. 电压源正好与某电阻串联 b.电压源不与某电阻串联
1.电路中只有电流源，没有电压源
例如：P参30 2－19 用 结点分析法求结点电压。
1 1 （ ＋ ）U 1 U 2 2 1 2 2 1 1 1 1 (1 )U 2 U 1 U 3 0 2 2 2 2 1 1 1 1 ( )U 3 U 2 3 2 2 2 2
1. 自电导×节点电位+互电导×相邻节
点电位 = 流进该节点的电流源电流
2.自电导为正，互电导为负。
方程左边为流出所有电阻所在的支路的电流(代 数和),方程右边为流入除电阻所在的支路以外的所 有支路的电流(代数和)。（上课时给出特殊电路）
(二) 结点分析法三种情况
1. 电路中只有电流源，没有电压源
节点1 节点2 节点3
G1 (U1 U 2 ) G5 (U1 U 3 ) I S G1 (U 2 U1 ) G3 (U 2 U 3 ) G2 U 2 0 G3 (U 3 U 2 ) G4 U 3 G5 (U 3 U1 ) 0
变形
节点1 节点2 节点3 节点1 节点2 节点3 G1 (U1 U 2 ) G5 (U1 U 3 ) I S G1 (U 2 U1 ) G3 (U 2 U 3 ) G2 U 2 0 G3 (U 3 U 2 ) G4 U 3 G5 (U 3 U1 ) 0 (G1 G5 ) U1 G5 U 3 G1U 2 I S (G1 G3 G2 ) U 2 G1U1 G3U 3 0 (G4 G3 G5 ) U 3 G3U 2 G5U1 0
2. 电路中有电压源，但正好一端为参考端 3. 电路中有电压源，两端都不为参考端 a. 电压源正好与某电阻串联 b.电压源不与某电阻串联
1.电路中只有电流源，没有电压源
例如：P参30 2－19 用 结点分析法求结点电压。
1 1 （ ＋ ）U 1 U 2 2 1 2 2 1 1 1 1 (1 )U 2 U 1 U 3 0 2 2 2 2 1 1 1 1 ( )U 3 U 2 3 2 2 2 2
第3章网孔分析法和节点分析法(免费阅读)
i1i2 2
补充方程
4、超级网孔法
网孔方程是描述网孔的KVL方程，把网孔拓展一 下成为超级网孔。
4Ω
网孔1和网孔2看
i
+ 4V _
成一个网孔，即 超级网孔
3
2Ω 2Ω
4Ω
2Ω
+ 12V_
i
i
2A
1
2
+ 6_ V
超级网孔 方程
超级网孔 自电阻
4 i1 6 i2 6 i3 1 6 2 4
3.列写网孔方程
i1 R1
R3 i3
+
i2
+
u_s1
ia
R2 ib
us2 _
网孔1： R1 i1+R2i2=uS1 网孔2： -R2i2+ R3 i3 =-uS2
网孔电流
i1 ia i2 ia ib i3 ib
代入KVL方程
(R1+ R2) ia-R2ib=uS1 - R2ia+ (R2 +R3) ib = -uS2
例1.
+
4V
_
+ 2V _ 8Ω
i3
2Ω
4Ω
i1
4Ω i2
（1）给网孔电流选取 参考方向（刚开始都
用顺时针或逆时针， 标出方向）
+
（2）列方程 8V
_ （3）求解
2 4 i1 4 i2 2 i3 4 4 i1 4 3 i2 4 i3 8 2 i 1 4 i 2 2 4 8 i 3 2
第3章 网孔分析法和节点分析法
重点
★★★
熟练掌握电路方程的列写方法和计算 网孔分析法 节点分析法
第3章网孔分析法和节点分析法
5 13 1 2 1 2
i1 i3 2ia
补充方程
5i1 10 4i3 4 5i2 8 4ib
18 i1 8
1 i2
0
0 i3 0
练习
10Ω
_ 4ib +
+ 2ia _
ib
+
+
4Ω
8V
_
u_a 5Ω
0.2ua
ia
作业
+ 4ix _ 4Ω
ix
2Ω
2Ω
2Ω
1A
3.2 节点（结点）电压法 (node voltage method)
4Ω
网孔1和网孔2看
i
+ 4V _
3
成一个网孔，即 超级网孔
2Ω 2Ω
4Ω
2Ω
+ 12V_
i
i
2A
1
2
+ 6_V
超级网孔 方程
超级网孔 自电阻
4i1 6i2 6i3 12 6 4
i1 i2 2 补充方程 2i1 4i2 10i3 4
超级网孔 与网孔3的
互电阻
作业1
列写网孔方程，并求出u0 4Ω
3Ω
i
+
4Ω
3
6Ω
8V
_
i
2Ω i
1
2 2A
网孔电流等于支路电 流等于电流源电流
i2 2A
6i1 2i2 4i3 8 i2 2A 4i1 6i2 13i3 0
6i1 4i3 12 4i1 13i3 12
6 4
4
13
i1 i2
12 12
2、等效变换
5Ω + 6V _
电路分析网孔分析法和节点分析
n
iS iSk k 1
与iS参考方向相同的电流源iSk取正号，相反则取负号。
图
电压源、电流源、电阻网络混联
当电压源与电流源或电阻并联时，可等效为一个电压源.
a IS
b
＋ R US
－
a
＋
US －
b
电流源与电压源或电阻串联时,可等效为一个电流源.
a IS
b
＋
US R
－
a IS
b
三、含独立电源的电阻单口网络
二、网孔方程
＋i1 R1
以网孔电流为变量，结 －uS1 ia 合VCR列写网孔的KVL方程。 －uS＋4
R2 i5
i＋2
R5 ib uS－2
例如网孔a，ia 的箭头方 i4
向，既代表ia 的参考方向， 也代表列写KVL的绕行方向。
R4
R6 i6
ic
R3 ＋uS3－i3
问题: 如果我们假定网孔电流方向：同为顺时针 或逆时针, 网孔的互电阻正﹑负是否有规律？
(RR1i11 RR45 (i1 R5i)2i1) R54i(2i1Ri34)i3uuS1S1 R52i12 (RR52(i1 Ri52) R6R)6i(2i2Ri63i)3 uSS2
R34i13 R66i(2i2(Ri33) R44 (i1R6i)3i3) uSS33
第三章 网孔分析法和节点分析
科学家研究世界 工程师创造崭新世界
第二章 用网络等效简化电路分析
2b法的缺点是需要联立求解的方程数目 太多，给求解带来困难。
本章通过两个途径来解决这个问题:
1. 利用单口网络的等效电路来减小电路规模， 从而减少方程数目。
2. 减少方程变量的数目，用独立电流或独立电 压源作变量来建立电路方程。
iS iSk k 1
与iS参考方向相同的电流源iSk取正号，相反则取负号。
图
电压源、电流源、电阻网络混联
当电压源与电流源或电阻并联时，可等效为一个电压源.
a IS
b
＋ R US
－
a
＋
US －
b
电流源与电压源或电阻串联时,可等效为一个电流源.
a IS
b
＋
US R
－
a IS
b
三、含独立电源的电阻单口网络
二、网孔方程
＋i1 R1
以网孔电流为变量，结 －uS1 ia 合VCR列写网孔的KVL方程。 －uS＋4
R2 i5
i＋2
R5 ib uS－2
例如网孔a，ia 的箭头方 i4
向，既代表ia 的参考方向， 也代表列写KVL的绕行方向。
R4
R6 i6
ic
R3 ＋uS3－i3
问题: 如果我们假定网孔电流方向：同为顺时针 或逆时针, 网孔的互电阻正﹑负是否有规律？
(RR1i11 RR45 (i1 R5i)2i1) R54i(2i1Ri34)i3uuS1S1 R52i12 (RR52(i1 Ri52) R6R)6i(2i2Ri63i)3 uSS2
R34i13 R66i(2i2(Ri33) R44 (i1R6i)3i3) uSS33
第三章 网孔分析法和节点分析
科学家研究世界 工程师创造崭新世界
第二章 用网络等效简化电路分析
2b法的缺点是需要联立求解的方程数目 太多，给求解带来困难。
本章通过两个途径来解决这个问题:
1. 利用单口网络的等效电路来减小电路规模， 从而减少方程数目。
2. 减少方程变量的数目，用独立电流或独立电 压源作变量来建立电路方程。
3网孔分析法和节点分析法课件
第三章 网孔分析法和结点分析法
例5、用结点分析法求 图示电路中各电阻支 路电流。
解：用接地符号标出参考结点，标出两个结点电压
u1和u2的参考方向，如图所示。用观察法列出结点
方程：(1 u1
1)u1 (1
u2 2)u2
5
10
2uu11u32u2
5
10
解得各结点电压为 各电阻支路电流为
u1 1V u2 3V i1 1A i2 6A i3 4A
G21v1
G22v2
G23v3
iS
22
G31v1
G32v2
G33v3
iS
33
是各结点全部电导的总和。
此例中 G11= G1+ G4+ G5, G22= G2 + G5+ G6, G33= G3+ G4+ G6
第三章 网孔分析法和结点分析法
2.结点方程
用(n-1)结点电压做 未知量，根据KVL 、 VCR方程写出各支路电 流，再由KCL 列出(n-1) 个电流方程。
如图电路有4个结点， 选0为基准结点，把3个 结点电压做独立变量， 则各支路电压可表示
u1 u10 v1 u2 u20 v2 u3 u30 v3
u4 u10 u30 v1 v3 u5 u10 u20 v1 v2 u6 u20 u30 v2 v3
第三章 网孔分析法和结点分析法
第三章 网孔分析法和结点分析法
第3章 网孔分析法和结点分析法
本章要求: 1.掌握列网孔方程，求解网孔电流； 2. 掌握列结点方程，求结点电压； 3.理解受控源与独立源的区别，掌握受控源电路 的基本分析、计算方法。
第三章 网孔分析法和结点分析法
第二章+网孔分析法和节点分析法
第二章 网孔分析法和节点分析法
本章重点：网孔分析法、节点分析法 本章难点：含特殊情况和含受控源电路的分析
1
§2-1 网孔分析法
网孔电流： 主观设想沿着网孔边界流动的电流。 一、定义：以网孔电流为待求量求解电路的方法
Ib Ia
Ic
2
二、网孔电流变量的完备性和独立性
完备性: 可由网孔电流求得任一条支路电流。
i1 =Ia i2 =Ia - Ib i3 =Ib i4 =Ia - Ic i5 =Ic i6 =Ic - Ib
i1
i2
i6 i4
i3 i5
独立性：网孔电流彼此独立，不能互求。
节点1: - i1 + i2 + i3=0 用网孔电流表示: - Ia +(Ia - Ib) + Ib=0 3
三、网孔电流法：u(Isb6-+IaI)aRR46+-u(Isb5-+Ic)(RIa-2I+c)Rus52+-(uIas-1I+bI)bRR41==00
(4) 求响应i
i = I3= -0.956A
=0.956 A
5
例2：求图示电路中各支 I1
I2
路电流。
I3
(1) 选择网孔电流,
ia
ib
参考方向取顺时针
方向
(2) 列写网孔电流方程：
15ia - 5 ib = 40
- 5ia +20 ib = 5 (3) 解网孔电流
(4) 求各支路电流
I1 = ia = 3A I2 = ib = 1A
-Ia+3 Ib-Ic= u1 -2U
U=Ib - Ic
Ic=2
16
上节课内容回顾
本章重点：网孔分析法、节点分析法 本章难点：含特殊情况和含受控源电路的分析
1
§2-1 网孔分析法
网孔电流： 主观设想沿着网孔边界流动的电流。 一、定义：以网孔电流为待求量求解电路的方法
Ib Ia
Ic
2
二、网孔电流变量的完备性和独立性
完备性: 可由网孔电流求得任一条支路电流。
i1 =Ia i2 =Ia - Ib i3 =Ib i4 =Ia - Ic i5 =Ic i6 =Ic - Ib
i1
i2
i6 i4
i3 i5
独立性：网孔电流彼此独立，不能互求。
节点1: - i1 + i2 + i3=0 用网孔电流表示: - Ia +(Ia - Ib) + Ib=0 3
三、网孔电流法：u(Isb6-+IaI)aRR46+-u(Isb5-+Ic)(RIa-2I+c)Rus52+-(uIas-1I+bI)bRR41==00
(4) 求响应i
i = I3= -0.956A
=0.956 A
5
例2：求图示电路中各支 I1
I2
路电流。
I3
(1) 选择网孔电流,
ia
ib
参考方向取顺时针
方向
(2) 列写网孔电流方程：
15ia - 5 ib = 40
- 5ia +20 ib = 5 (3) 解网孔电流
(4) 求各支路电流
I1 = ia = 3A I2 = ib = 1A
-Ia+3 Ib-Ic= u1 -2U
U=Ib - Ic
Ic=2
16
上节课内容回顾
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5 i 1 2 i 2 i 3 12 2 i 1 11 i 2 6 i 3 6 i 1 6 i 2 10 i 3 19
解得：i1 1A i2 2 A 6 i3 3 A i 4 i 3 i1 4 A i5 i1 i2 — 3A i6 i3 i2 1A
其中，R11, R22和R33称为网 孔自电阻，它们分别是各网孔内全部电阻的总和。 例如R11= R1+ R4+ R5, R22= R2 + R5+ R6, R33= R3+
R4+ R6， Rkj(kj)是相邻网孔的互电阻，每一项
的正负由网孔电流与网孔绕向是否相同来定。
第三章 网孔分析法和结点分析法
具有m个网孔的平面电路，其网孔方程的一般形式 为
R 11 i 1 R 12 i 2 ... R 1 m i m u S 11 R 21 i 1 R 22 i 2 ... R 2 m i m u S 22 .......... .. R m 1 i 1 R m 2 i 2 ... R mm i m u S mm
解：两个网孔电流i1 和i2的参考方向，如 图示。直接列出网孔 方程
(1 1 ) i1 1 i 2 5 1 i 1 ( 1 2 ) i 2 10
2 i1 i 2 5 i 1 3 i 2 10
i2 3 A
解出网孔电流
其中，uiskk 表示第k个网孔的全部电流源电压的代
数和，其电压的参考方向与该网孔电流参考方向
相同的取正号，相反则取负号。需要补充这些电
流源(iSK) 与相关网孔电流关系的方程。
第三章 网孔分析法和结点分析法
4.含独立电流源电路的网孔方程 当电路中含有独立电流源时，先将电阻与电流 源并联单口等效变换为电压源和电阻串联单口，电 路变为仅由电压源和电阻构成的电路，再建立网孔 方程。若电路中的电流源没有电阻与之并联，则将 电流源电压作未知量来建立这些网孔的网孔方程。 由于增加了未知量，需补充电流源电流与网孔电流
i1、i2和i3叫网孔电流。支路电流i4、i5和i6可 以用三个网孔电流i1、i2和i3的线性组合来表示。
第三章 网孔分析法和结点分析法
2.网孔方程 三个网孔的KVL方程为
R 1 i1 R 5 i 5 R 4 i 4 u S 1 R 2 i2 R 5 i5 R 6 i6 S 2 R 3 i3 R 6 i6 R 4 i4 u S 3
R 4 i1 R 6 i 2 ( R 3 R 4 R 6 ) i 3 u S 3
网孔方程
第三章 网孔分析法和结点分析法
将网孔方程写成一般形式
R 11 i 1 R 12 i 2 R 13 i 3 u S 11 R 21 i 1 R 22 i 2 R 23 i 3 u S 22 R 31 i 1 R 32 i 2 R 33 i 3 u S33
关系的方程。对于由独立电压源、独立电流源和电
阻构成的电路来说，其网孔方程的一般形式为。
第三章 网孔分析法和结点分析法
R 11 i 1 R 12 i 2 ... R 1 m i m u iS11 u S 11 R 21 i 1 R 22 i 2 ... R 2 m i m u iS22 u S 22 .......... .. R m 1 i 1 R m 2 i 2 ... R mm i m u iS mm u S mm
将以下各式代入上式，消去i4、i5和i6后可以得到
i 4 i1 i 3 i 5 i1 i 2 i6 i2 i3
( R 1 R 4 R 5 ) i1 R 5 i 2 R 4 i 3 u S 1
R 5 i 1 ( R 2 R 5 R 6 ) i 2 R 6 i 3 u S2
的基本分析、计算方法。
第三章 网孔分析法和结点分析法
3.1 网孔分析法 1.网孔电流 电路共有6条支路和4个结
点。对①、②、③结点写出 KCL方程。
i1 i 3 i 4 0 i 4 i1 i 3 i1 i 2 i 5 0 i 5 i1 i 2 i i i 0 i i i 3 6 6 2 3 2
3.网孔分析法计算举例 步骤如下： 1）标明网孔电流方向。若全部网孔电 流均选为顺时针方向，则网孔方程的全部互电阻项 均取负号。2）列出各网孔方程。3）解网孔方程， 得网孔电流。 4）根据支路电流与网孔电流的关系， 求得各支路电流。
第三章 网孔分析法和结点分析法
例1、用网孔分析法求图示电路各支路电流。
i1 1 A
由支路电流与网孔电 流的关系得
i3=i1-i2=4A。
第三章 网孔分析法和结点分析法
例2、用网孔分析法求图示电 路各支路电流。
解：选定各网孔电流的参考 方向，如图所示。用观察法 列出网孔方程
( 2 1 2 ) i 1 2 i 2 1 i 3 6 18 2 i 1 ( 2 6 3 ) i 2 6 i 3 18 12 1 i 1 6 i 2 ( 3 6 1 ) i 3 25
第三章 网孔分析法和结点分析法
第3章
网孔分析法和结点分析法
3.1 网孔分析法 3.2 结点分析法 3.3 含受控源的电路分析
第三章 网孔分析法和结点分析法
第3章 网孔分析法和结点分析法
本章要求:
1.掌握列网孔方程，求解网孔电流；
2. 掌握列结点方程，求结点电压；
3.理解受控源与独立源的区别，掌握受控源电路