第二章(网孔分析和节点分析)
第2章网孔与节点
ia=2 -ia+3ib -2ic=10 -2ib +3ic=0 U=2(ib – ic )
《电路分析基础》
第2章 电阻电路的一般分析方法
公共支路： 设理想电流源端电压，暂当作电压源电压列写 方程，并利用理想电流源与相应回路电流关系
补充方程。
＋－ 6V
2Ω
i0 ia
第2章 电阻电路的一般分析方法
例2-1-2、求图示电路中各支路电流。
(1) 选择网孔电流,参考
方向取顺时针方向；
I1
I2
(2) 列写网孔电流方程：
I3
ia
ib
15ia - 5 ib = 40
- 5ia +20 ib = 5
(3) 解网孔电流 ia = 3A ib = 1A
(4) 求各支路电流
I1 =ia = 3A I2 = ib = 1A I3 = ia - ib = 2A
Ib
Ic
(R 4+R 5+R 6) Ia-R4 Ib-R5Ic=us5-us6
自电阻 互电阻 互电阻 回路电压源电压升代数和
-R4 Ia + (R 4+R 1+R 2) Ib-R2Ic=us1-us2 -R5 Ia -R2 Ib + (R 5+R 3+R 2) Ic=us2-us5
方程数 = 网孔数；
第2章 电阻电路的一般分析方法
根据给定电路合理选择网孔电流或节点电压变量，建立求解问题的
网孔电流或节点电压方程组并正确求解。
根据电路中的特殊问题合理假设相关电路变量，并灵活运用节点分析
法或网孔分析法求解电路。
利用Matlab软件，运用节点分析法或网孔分析法求解较大型的电路
第二章 网孔分析和节点分析
un3 20 50 105 175V U un3 1 20 195V
I ( un 2 90) / 1 120 A
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＋
un1 100V
1 － U 20A ＋ 3 2 2
－
100V
1
5.节点分析和网孔分析的比较:
1.网孔分析只适于平面电路；
+ : 流过互电阻的两个回路电流方向相同
Rkk:自电阻(为正)
Rjk ＝Rkj :互电阻
- : 流过互电阻的两个回路电流方向相反 0 : 无关
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2. 网孔分析法的一般步骤（只适于平面电路）：
(1) 选定m=b-(n-1)个网孔，并确定其绕行方向；
(2) 对m 个网孔，列写网孔方程（实质是KVL方程）； 自电阻、互电阻、电压升。方程个数为b-(n-1)。 (3) 求解上述方程，得到m个网孔电流； (4) 求各支路电流(用网孔电流表示)； (5) 其它分析。
(2) 用节点电压表示控制量。
u3 un 3 i un 2 R2
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I
例
求U和I 。 应用节点法。
1
－ 90V ＋ 2
un 2 100 110 210V
注：与电流源串接的 电阻不参与列方程
0.5un1 0.5un 2 un3 20
＋ － 110V
b ( n 1)
a i1 R1 uS1 + – i2 R2 + – iM2 i3
与支路电流法相比， 方程数减少n-1个。
(R1+ R2) iM1-R2iM2=uS1-uS2
i M1
R3
uS2
电路分析网孔分析法和节点分析
电路分析网孔分析法和节点分析电路分析是电路理论和实际电路设计中的重要部分。
在电路分析中，有两种主要的方法，即网孔分析法和节点分析法。
本文将详细介绍这两种方法，并从理论和实践两个层面对这两种方法进行比较和对比。
首先，我们来看网孔分析法。
网孔分析法是通过将电路划分为若干个网孔来进行分析的方法。
网孔是由电路元件组成的闭合路径。
在网孔分析法中，我们可以根据基尔霍夫定律和欧姆定律，得到各个网孔中的电流和电压之间的关系。
通过解这些方程，我们可以得到电路中各个元件的电流和电压。
相对而言，网孔分析法适用于复杂的电路，因为通过合理划分网孔，可以降低计算复杂度。
其次，我们来看节点分析法。
节点分析法是通过将电路划分为若干个节点来进行分析的方法。
节点是电路中的交叉点或连接点。
在节点分析法中，我们可以根据基尔霍夫定律和欧姆定律，得到各个节点的电流和电压之间的关系。
通过解这些方程，我们可以得到电路中各个元件的电流和电压。
相对而言，节点分析法适用于简单的电路，因为节点分析法只需要解线性方程组，计算较为简单。
接下来，我们比较和对比这两种分析方法。
首先，网孔分析法和节点分析法都是基于基尔霍夫定律和欧姆定律进行分析的。
这两个定律是电路分析的基础，无论是网孔分析法还是节点分析法，都离不开这两个定律。
其次，网孔分析法和节点分析法在计算复杂度上有所不同。
网孔分析法需要对每个网孔进行分析和计算，所以在实际应用中可能需要解较多的方程，计算复杂度较高。
而节点分析法只需要解线性方程组，所以计算复杂度相对较低。
因此，网孔分析法适用于复杂的电路，而节点分析法适用于简单的电路。
最后，网孔分析法和节点分析法在电路分析结果的表示上有所不同。
在网孔分析法中，我们通常会得到各个网孔中的电流值，而在节点分析法中，我们通常会得到各个节点的电压值。
所以，在实际应用中，我们可以根据需要选择不同的方法，以得到更加直观和实用的分析结果。
综上所述，网孔分析法和节点分析法都是重要的电路分析方法，在不同的场景下，可以选择不同的方法进行电路分析。
第二章网孔节点
iS1 iS2 i1 i2 0
iS 2 iS 3 i2 i3 0
用节点电压表示支路电流 u1 i1 G 1u1 R1 u1 u 2 i2 G 2 (u1 u 2 ) R2
u2 i3 G 3u2 R3
代入节点①、节点②电流方程，得到
例2
列写如图所示电路的节点电压方程。
解 选取参考节点如图所示， 则节点①的方程为 u n1 节点②的方程为
us1
G2un1 (G2 G3 )un2 is3
2.3.1 理论分析
①各支路电压可用节点电压表示。 u1 = un1，u2 = -un1，u3 = un2，u4 = un1-un2，u5 = un1-un2
解之：
10V
I1 4A, I 3 2A
此方法使电流源 的电流为网孔电流， 故方程数目减少。
结论：含有电流源电路网孔方程
• 理想电流源在非公共的支路上，其所在网 孔的网孔电流已知； • 理想电流源在公共的支路上：方法一，设 电流源设电压，并补充方程：电流源与网 孔电流的关系方程；方法二，避开电流源 所在的网孔，设回路电流，列写回路电压 降方程。 • 非理想电流源转换为非理想电压源直接列 写网孔电流方程
网孔电流方程的标准形式
整理后可得
( R1 R4 R5 )iM 1 R5iM 2 R4iM 3 uS1 uS 4 R5iM 1 ( R2 R5 R6 )iM 2 R6iM 3 uS 2 R i R i ( R R R )i u u 6 M2 3 4 6 M3 S3 S4 4 M1
i1 i2 i4 i5 0 i3 i4 i5 0
整理得节点电压方程为：
网孔分析法及节点分析法概述
网孔分析法及节点分析法概述概述网孔分析法和节点分析法是电路分析中常用的两种方法，用于求解复杂电路中的电流和电压。
本文将对这两种方法进行概述，并介绍它们的应用范围和优缺点。
一、网孔分析法网孔分析法，也称为基尔霍夫第二定律法，通过应用基尔霍夫定律来分析电路中的电流和电压。
该方法基于电流的守恒定律和电压的环路定律。
1. 应用范围网孔分析法适用于回路数较少且每条支路中包含较多元件的电路。
它将电路拆分为若干个网孔，每个网孔中的电流可以通过基尔霍夫定律来求解。
这种方法在使用电流源或需要求解电路中的电流时非常有效。
2. 求解步骤网孔分析法的求解步骤如下：1) 选择合适的回路方向，并给每个回路方向标记正向箭头。
2) 为每个网孔选择一个未知电流作为变量，并为其标记符号。
3) 列出每个网孔中基尔霍夫定律的方程。
4) 根据基尔霍夫定律的方程组，解出未知电流的值。
5) 利用欧姆定律和基尔霍夫定律，求解电路中的电压和电流。
3. 优缺点网孔分析法的优点在于能够简化复杂电路的分析过程，将电路分解为多个小型网孔进行分析，提高了计算的精确性。
然而，该方法对于回路较多且元件较少的电路并不适用，因为这样的电路更适合使用节点分析法来求解。
二、节点分析法节点分析法，也称为基尔霍夫第一定律法，通过应用基尔霍夫定律来分析电路中的电流和电压。
该方法基于电压的守恒定律和电流的汇聚定律。
1. 应用范围节点分析法适用于回路数较多且每个节点连接的支路数较多的电路。
它将电路拆分为若干个节点，通过节点电流和基尔霍夫定律来求解电路中的电压和电流。
该方法在使用电压源或需要求解电路中的电压时非常有效。
2. 求解步骤节点分析法的求解步骤如下：1) 选择一个节点为参考节点，将其电位定义为零。
2) 为每个节点选择一个未知电流作为变量，并为其标记符号。
3) 列出每个节点处的基尔霍夫定律方程。
4) 根据基尔霍夫定律的方程组，解出未知电流的值。
5) 利用欧姆定律和基尔霍夫定律，求解电路中的电压和电流。
电路分析基础—第2章
2021年4月4日9时3信7分息学院
1
结束
(1-1)
第2章 运用独立电流、电压变量的分析方法 电路分析基础
2—1 网孔分析 1、网孔电流
是一个沿着网孔边界流动的假想电流，即设想每个网 孔里具有相同的电流。 2、网孔电流法
以网孔电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。它仅 适用于平面电路。
基本思想
以网孔电流为未知量，各支路电流可用网孔电流的线 性组合表示，来求得电路的解。
第2章 运用独立电流、电压变量的分析方法 电路分析基础
第二章 网孔分析和节点分析
线性电路的一般分析方法
• 普遍性：对任何线性电路都适用。 • 系统性：计算方法有规律可循。
方法的基础 • 电路的连接关系—KCL，KVL定律。
• 元件的电压、电流关系特性。
复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元 件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所 选变量的不同可分为支路电流法、网孔电流法和节点 电压法。
列写的方程
节点电压法列写的是节点上的KCL方程，独立方程数为：
注意
(n 1)
① 与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。
② 任意选择参考点。其它节点与参考点的电位差即为节点电 压(位)，方向为从独立节点指向参考节点。
2021年4月4日9时3信7分息学院
17
结束
(1-17)
第2章 运用独立电流、电压变量的分析方法 电路分析基础
结束
(1-23)
第2章 运用独立电流、电压变量的分析方法
1）一般情况
例1： P75 例2—8 试写电路的节点方程
电路分析基础
选5为参考点，其余4个节点的电压分别为Un1、Un2、Un3、Un4
第二章网孔分析与节点分析
I1 1218 203 6 A P6 2 6 12W 0 1 1 1 64 11 0 1218 I 2 406 203 2 A 6 11 7 I3 I1 I 2 6 2 4 A
例
( RS R1 R4 )i1 R1i2 R4 i3 U S
R1i1 ( R1 R2 )i2 U
电流源看作电 压源列方程
R4 i1 ( R3 R4 )i3 U
i i2 i3
RS
R1
+
US _
i1
R4
R5
i2 i3
R2
表明
（1）不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。 （2）当网孔电流均取顺（或逆时 针方向时，Rjk均为负。
i
R3
解2
只让一个回路电流经过R5支路
( RS R1 R4 )i1 R1i2 ( R1 R4 )i3 U S
2 3
结论
结点、支路和 基本回路关系
支路数＝树枝数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数
b n l 1
例
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基 本回路。 1
4
8 3
5
6 7 2
5 8 6 7
4 8 3 6
4 8 2 3
割集Q (Cut set ) Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。 6 6 1 4 1 4 3 9 7 3 9 5 2 8 5 2 8 割集：（1 9 6）（2 8 9）（3 6 8）（4 6 7）（5 7 8） （3 6 5 8 7）（3 6 2 8）是割集吗？ 基本割集 只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1 连支集合不能构成割集
2-2节点分析
练习
(1S)u1 5A - i
解：选定6V电压源电流i的
(0.5S)u2 2A i
参考方向。计入电流变量i
列出两个结点方程：
补充方程 u1 u2 6V
解得 u1 4V,u2 2V,i 1A
28
练习
用结点分析法求图 所示电路的结点电 压。
u1=14V (1S)u1 (1S 0.5S)u2 3A - i6 (0.5S)u1 (1S 0.5S)u3 i6
自电导是各节点上所有 电导的总和。
自电导总是正的。
i4
3
G4
2
is2
1
G3 i3
is1
G2
G1
i2
i1
4
二、节点方程组
节点1：G1 G 4 u N 1 G 4 u N 3 iS 2 节点2：G 2 G 3 u N 2 G 3u N 3 iS 2 节点3： G 4 u N 1 G 3u N 2 G 3 G 4 u N 3 iS 1
22
四、含有电压源网络的节点方程
情况2：当网络中含有多个无伴电压源，且这些电压源 无公共节点时。
此时无法将理想电压源的端电压设定为节点电压，可 设流过无伴电压源电流为未知量，按前述方法先列节点方 程，再用补充方程将该电压源的电压用节点电压表示。
23
四、含有电压源网络的节点方程
例5： 试列出节点电压方程。
i4
节点1 ： i1 i4 iS2
3
G4
2
is2
1
节点2： i2 i3 iS2 节点3： i4 i3 iS1
is1
由欧姆定律i=Gu，得：
G3 i3
G2
i2
G1
i1
G1u14 G4u31 iS2 G2u24 G3u23 iS2
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记作uN1。
is1
2
G3 i3
is2
1
i1
G2
G1
（b）支路电压都可以用 节点电压来表示。
i2 4
如支路电压 u23 uN2 uN3
节点法不
（c）节点电压数必少于支路电压数
(n-1<b)
。
仅适用于 平面网络
（d）选择节点电压作为求解对象，可以减少
联立方程数，仍可求出所有支路电压、电流。
2、如何列出求解节点电压的方程？
解
含无伴电流源
i4
R4
提问1：
时用虚网孔法
网孔2的网孔方程还是有的，
iM3
该如何写？ 提问2：
+
- R3 i3 i6+ uiss2
i1
- 电解压 得如源网果孔u以s2电电，流流us？源1依i引s旧2替入，代电如压何变量uis，s11 加一个i5方iM程2 i2
R2
iM1
R1
网 孔2： iM2 iS1
如何列出求解节点电压的方程？(续)
整理后得：
i4
G4
G1 G4 uN1 G4uN3 iS2
3
2
1
G2 G3 uN2 G3uN3 iS2
is1
G3 i3
is2
i1
G4uN1 G3uN2 G3 G4 uN3 iS1
G2
G1
已知各电流源和电导(阻)
即可求得uN1、uN2、uN3，
R1 R2 iM1 R2iM2 uS2 R2 R3 iM2 R2iM1 R3iM3 uS1 R3 R4 iM3 R3iM2 uS2
已知各电压源 和电阻即可求
得iM1、 iM2 、
iM3 。
支路电流：i1 iM1,i2 iM2 iM1,i3 iM3 iM2 ,i4 iM3 ,i5 iM2 ,i6 iM3 iM1
网 孔1：
R1 R2 iM1 uS2 R2iS1
网 孔3： R3 R4 iM3 uS2 R3iS1
由以上两式可分别求得iM1和iM3
例题 用网孔电流法求所示电路中的ix,已知r=8Ω。
解
10Ω
4V
含受控源时暂把受控 源看作独立源处理 6V
rix
i1
2Ω
4Ω
i2 ix
注意到 ix i2
G1n vn1 is11
G2n
vn2
is22
M M M
Gnn
vnn
isnn
可表示为
GV = IS
其中V称节点电压列向量，IS称节点电流源列向量， 系数矩阵G称节点电导矩阵,为对称矩阵。
Gii 称为第i个节点的自电导 (取+) Gij 是第i个节点与第j个节点的互电导 （取-） Gij = Gji，即节点电导矩阵具有对称性
3、网孔方程的一般形式
具有m个网孔的线性电阻网络方程
R11 R12 L
R21
R22
L
M M O
Rm1
Rm2
L
R1m im1 vs11
R2m
im2
vs 22
M M M
Rmm
imm
vsmm
简写成
RI = VS
式中I 为网孔电流列向量， VS为网孔电压源列向量， 系数矩阵R称网孔电阻矩阵，为对称矩阵。
用待求变量表示控制变量
解得 i1 1A , i2 3A
§2 节点电压法（节点分析 ，节点法）
基本要求： 熟练掌握用视察法列节点方程 掌握含受控源电路节点方程的列写 用虚节点法列写含无伴电压源支路的节点方程
1、支路电压与节点电压
（a）什么是节点电压？
i4
G4
设4为参考点，u14
即节点1的节点电压， 3
2、如何列出求解网孔电流的方程？
（a）网孔电流恒满足KCL。 i4
R4
（b）所需方程只能根据 KVL和元件VCR建立。
网孔电流方程是
+
以网孔电流来
us1
表示的KVL方程。 -
联合运用KVL和欧姆定律，得：
iM3Biblioteka - R3 i3 i6+ us2
i1
iM2
i R2 M1
R1
i5
i2
网 孔1 网 孔2 网 孔3
Rii 称为第i个网孔的自电阻(取＋) Rij 是第i个网孔与第j个网孔的互电阻(同方向取-) Rij = Rji，即网孔电阻矩阵具有对称性
综上，网孔分析法是以各网孔电流作为未知变量来列写方程，所得方程称 网孔方程。从网孔方程求得网孔电流以后，再求出各支路电压和电流。
例题 若图中电压源us1换为电流源is1 ,求解网孔电流。
第二章 网孔分析和节点分析
本章为上章§1—5“两类约束的应用”中所述 典型问题解法的继续。
§1—5所示2b法涉及联立方程数较多，本章所 示方法能达到同样目的而可减少所需联立方程数。
§1 网孔电流法（网孔分析，mesh analysis） §2 节点电压法（节点分析，node analysis） §3 含运算放大器电路的分析(自学)
习题课
§2.1 网孔电流法（网孔分析，网孔法）
基本要求： 熟练掌握用视察法列网孔方程 掌握含受控源电路网孔方程的列写 用虚网孔法列写含无伴电流源支路的网孔方程
1、支路电流和网孔电流
i4
R4
iM3
+
- R3 i3 i6+ us2
i1
us1
-
iM2
i R2 M1
i5
i2
R1
（a）什么是网孔电流？ iM1、 iM2、iM3
（a）节点电压恒满足KVL。 i4
G4
（b）所需方程只能根据
KVL和元件VCR建立。 3
2
1
节 点1
i i1 i4 iS2 s1
G3 i3
is2
i1
节 点2 i2 i3 iS2
G2
G1
节 点3 i4 i3 iS1
i2 4
根据欧姆定律，得
G1uN1 G4 uN3 uN1 iS2 G2uN2 G3 uN2 uN3 iS2 G4 uN3 uN1 G3 uN2 uN3 iS1
例题
列出节点方程。
注意电压源有电流，设为i由其正极流出。
i2 4
进而求得支路电压、电流。
节点电压方程是 以节点电压来表示的KCL方程。
综上,节点分析法是以各节点的电位作为未知变量来列写节点方程 。从节点方程求得节点电压以后，再求出各支路电压和电流。
3、节点方程的一般形式
具有n个独立节点的网络矩阵方程为
G11 G12 L G21 G22 L
M M O Gn1 Gn2 L
（b）支路电流都可以用网孔电流来表示。
网孔分析 仅适用于 平面网络
（c）网孔电流数必少于支路电流数 (m<b) 。
（d）选择网孔电流作为求解对象，可以减少 联立方程数，仍可求出所有支路电流、电压。
支路电流： i1 iM1 , i2 iM 2 iM1 , i3 iM 3 iM 2 , i4 iM 3 , i5 iM 2 , i6 iM 3 iM1