电路分析网孔分析法和节点分析
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电路分析基础第四版
Rjk:互电阻
+ : 流过互阻两个网孔电流方向相同 - : 流过互阻两个网孔电流方向相反
特例：不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。 （平面电路， Rjk均为负(当网孔电流均取顺(或逆)时针方向))
网孔分析法
网孔电流法的一般步骤：
(1) 选定m=b-(n-1)个网孔，确定其绕行方向； (2) 对m个网孔，以网孔电流为变量，列写
i2 i3
G2uN 2 G3 (u N 2
u N 3 )
i4 G4uN3
i5 G5 (u N1 u N 3 )
(G1 G5 )uN1 G1uN 2 G5uN3 iS
G1uN1
(G1
G2
G3 )uN 2
G3uN3
0
量，列写其KCL方程； (3) 求解上述方程，得到n-1个节点电压； (4) 求各支路电流(用节点电压表示)； (5) 其它分析。
节点分析法
仅含有电流源、电阻的电路
节点分析法
节点分析法
含有电压源、电阻的电路
节点分析法
例 试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。
选择合适的参考点（方程简洁）
+ Us
网孔电压升的代数和
网孔分析法
一般情况，对于具有 m=b-(n-1) 个网孔的电路，有
R11iM1+R12iM2+ …+R1m iMm=uS11
R21iM1+R22iM2+ …+R2m iMm=uS22 …
其中
Rm1iM1+Rm2iM2+ …+Rmm iMm=uSmm
第二章 网孔分析和节点分析
un3 20 50 105 175V U un3 1 20 195V
I ( un 2 90) / 1 120 A
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＋
un1 100V
1 － U 20A ＋ 3 2 2
－
100V
1
5.节点分析和网孔分析的比较:
1.网孔分析只适于平面电路；
+ : 流过互电阻的两个回路电流方向相同
Rkk:自电阻(为正)
Rjk ＝Rkj :互电阻
- : 流过互电阻的两个回路电流方向相反 0 : 无关
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2. 网孔分析法的一般步骤（只适于平面电路）：
(1) 选定m=b-(n-1)个网孔，并确定其绕行方向；
(2) 对m 个网孔，列写网孔方程（实质是KVL方程）； 自电阻、互电阻、电压升。方程个数为b-(n-1)。 (3) 求解上述方程，得到m个网孔电流； (4) 求各支路电流(用网孔电流表示)； (5) 其它分析。
(2) 用节点电压表示控制量。
u3 un 3 i un 2 R2
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I
例
求U和I 。 应用节点法。
1
－ 90V ＋ 2
un 2 100 110 210V
注：与电流源串接的 电阻不参与列方程
0.5un1 0.5un 2 un3 20
＋ － 110V
b ( n 1)
a i1 R1 uS1 + – i2 R2 + – iM2 i3
与支路电流法相比， 方程数减少n-1个。
(R1+ R2) iM1-R2iM2=uS1-uS2
i M1
R3
uS2
3网孔分析法和节点分析法课件
第三章 网孔分析法和结点分析法
例5、用结点分析法求 图示电路中各电阻支 路电流。
解：用接地符号标出参考结点，标出两个结点电压
u1和u2的参考方向，如图所示。用观察法列出结点
方程：(1 u1
1)u1 (1
u2 2)u2
5
10
2uu11u32u2
5
10
解得各结点电压为 各电阻支路电流为
u1 1V u2 3V i1 1A i2 6A i3 4A
G21v1
G22v2
G23v3
iS
22
G31v1
G32v2
G33v3
iS
33
是各结点全部电导的总和。
此例中 G11= G1+ G4+ G5, G22= G2 + G5+ G6, G33= G3+ G4+ G6
第三章 网孔分析法和结点分析法
2.结点方程
用(n-1)结点电压做 未知量，根据KVL 、 VCR方程写出各支路电 流，再由KCL 列出(n-1) 个电流方程。
如图电路有4个结点， 选0为基准结点，把3个 结点电压做独立变量， 则各支路电压可表示
u1 u10 v1 u2 u20 v2 u3 u30 v3
u4 u10 u30 v1 v3 u5 u10 u20 v1 v2 u6 u20 u30 v2 v3
第三章 网孔分析法和结点分析法
第三章 网孔分析法和结点分析法
第3章 网孔分析法和结点分析法
本章要求: 1.掌握列网孔方程，求解网孔电流； 2. 掌握列结点方程，求结点电压； 3.理解受控源与独立源的区别，掌握受控源电路 的基本分析、计算方法。
第三章 网孔分析法和结点分析法
电路分析网孔分析法和节点分析
电路分析网孔分析法和节点分析电路分析是电路理论和实际电路设计中的重要部分。
在电路分析中，有两种主要的方法，即网孔分析法和节点分析法。
本文将详细介绍这两种方法，并从理论和实践两个层面对这两种方法进行比较和对比。
首先，我们来看网孔分析法。
网孔分析法是通过将电路划分为若干个网孔来进行分析的方法。
网孔是由电路元件组成的闭合路径。
在网孔分析法中，我们可以根据基尔霍夫定律和欧姆定律，得到各个网孔中的电流和电压之间的关系。
通过解这些方程，我们可以得到电路中各个元件的电流和电压。
相对而言，网孔分析法适用于复杂的电路，因为通过合理划分网孔，可以降低计算复杂度。
其次，我们来看节点分析法。
节点分析法是通过将电路划分为若干个节点来进行分析的方法。
节点是电路中的交叉点或连接点。
在节点分析法中，我们可以根据基尔霍夫定律和欧姆定律，得到各个节点的电流和电压之间的关系。
通过解这些方程，我们可以得到电路中各个元件的电流和电压。
相对而言，节点分析法适用于简单的电路，因为节点分析法只需要解线性方程组，计算较为简单。
接下来，我们比较和对比这两种分析方法。
首先，网孔分析法和节点分析法都是基于基尔霍夫定律和欧姆定律进行分析的。
这两个定律是电路分析的基础，无论是网孔分析法还是节点分析法，都离不开这两个定律。
其次，网孔分析法和节点分析法在计算复杂度上有所不同。
网孔分析法需要对每个网孔进行分析和计算，所以在实际应用中可能需要解较多的方程，计算复杂度较高。
而节点分析法只需要解线性方程组，所以计算复杂度相对较低。
因此，网孔分析法适用于复杂的电路，而节点分析法适用于简单的电路。
最后，网孔分析法和节点分析法在电路分析结果的表示上有所不同。
在网孔分析法中，我们通常会得到各个网孔中的电流值，而在节点分析法中，我们通常会得到各个节点的电压值。
所以，在实际应用中，我们可以根据需要选择不同的方法，以得到更加直观和实用的分析结果。
综上所述，网孔分析法和节点分析法都是重要的电路分析方法，在不同的场景下，可以选择不同的方法进行电路分析。
第二章网孔节点
iS1 iS2 i1 i2 0
iS 2 iS 3 i2 i3 0
用节点电压表示支路电流 u1 i1 G 1u1 R1 u1 u 2 i2 G 2 (u1 u 2 ) R2
u2 i3 G 3u2 R3
代入节点①、节点②电流方程，得到
例2
列写如图所示电路的节点电压方程。
解 选取参考节点如图所示， 则节点①的方程为 u n1 节点②的方程为
us1
G2un1 (G2 G3 )un2 is3
2.3.1 理论分析
①各支路电压可用节点电压表示。 u1 = un1，u2 = -un1，u3 = un2，u4 = un1-un2，u5 = un1-un2
解之：
10V
I1 4A, I 3 2A
此方法使电流源 的电流为网孔电流， 故方程数目减少。
结论：含有电流源电路网孔方程
• 理想电流源在非公共的支路上，其所在网 孔的网孔电流已知； • 理想电流源在公共的支路上：方法一，设 电流源设电压，并补充方程：电流源与网 孔电流的关系方程；方法二，避开电流源 所在的网孔，设回路电流，列写回路电压 降方程。 • 非理想电流源转换为非理想电压源直接列 写网孔电流方程
网孔电流方程的标准形式
整理后可得
( R1 R4 R5 )iM 1 R5iM 2 R4iM 3 uS1 uS 4 R5iM 1 ( R2 R5 R6 )iM 2 R6iM 3 uS 2 R i R i ( R R R )i u u 6 M2 3 4 6 M3 S3 S4 4 M1
i1 i2 i4 i5 0 i3 i4 i5 0
整理得节点电压方程为：
运用节点法和网孔法进行电路分析
确定了节点电压，支路电流的计算可从欧姆定律的简单应用得出。 例子4.1 含超节点的节点分析
(4.25)
(4.26)
图7所示电路包含两个电压源，而且经我们指定参考节点，电压源 V 2 是一个浮动电压源。 如图中所示，超节点包括电压源和与它并联的电阻元件 R 4 。
图7 另一个超节点例子
首先，我们注意到通过电阻 R 4 的电流 I 4 由公式(4.27)给出：
R R1 R3
这种形式。如
果对角线上的某个元素由正、负两部分组成，那么一定有一个符号是错误的。 · 所有的对角线上的元素都是正的，其它元素都是负的，而且矩阵是对称的 Aij = A ji 。如果矩 阵不具有这个特性，那一定存在错误。 用上面的形式列写电路方程式，一定存在一组由真实电流值构成的解。 一旦我们把方程式变为矩阵形式，对结果进行逐条的检验。如果 det A = 0 ，那么就能得出 一组解。 未知电压 VK 为：
运用节点法和网孔法进行电路分析运用节点法和网孔法进行电路分析众所周知运用基尔霍夫定律和欧姆定律我们可以对任何一个电路进行分析以确定其运行条件电流和电压值
运用节点法和网孔法进行电路分析
众所周知，运用基尔霍夫定律和欧姆定律，我们可以对任何一个电路进行分析，以确定其 运行条件（电流和电压值）。一般电路分析的难点在于用最少的联立方程描述电路的运行特性。 在这一讲里，我们将介绍两种非常有效的可用于对任意电路进行分析的方法：节点法和网 孔法。这些方法是建立在对基尔霍夫定律的系统应用基础上的，我们将通过图1的例子电路来说 明求解的步骤。
图10 标注网孔电流方向 现在，让我们把注意力转移到标记各个支路上的元件电压。 电阻上电压极性与指定的网孔电流的方向一致。万一某一处支路被两个网孔共用，就像例 子中含有电阻 R 2 的支路，电压的极性与各自网孔中指定的网孔电流的方向一致。 在这个电路中，我们进行网孔分析的第一步是单独分析每个网孔，根据定义的网孔电流方 向在回路上应用KVL定律。 考虑网孔1 为了分析更方便，我们把网孔1从图11所示的电路中分离出来。这么做的时候，必须注意要 包括共享支路的所有信息。在这里，我们给出了网孔电流 I 2 在共享支路上的方向。
(4.25)
(4.26)
图7所示电路包含两个电压源，而且经我们指定参考节点，电压源 V 2 是一个浮动电压源。 如图中所示，超节点包括电压源和与它并联的电阻元件 R 4 。
图7 另一个超节点例子
首先，我们注意到通过电阻 R 4 的电流 I 4 由公式(4.27)给出：
R R1 R3
这种形式。如
果对角线上的某个元素由正、负两部分组成，那么一定有一个符号是错误的。 · 所有的对角线上的元素都是正的，其它元素都是负的，而且矩阵是对称的 Aij = A ji 。如果矩 阵不具有这个特性，那一定存在错误。 用上面的形式列写电路方程式，一定存在一组由真实电流值构成的解。 一旦我们把方程式变为矩阵形式，对结果进行逐条的检验。如果 det A = 0 ，那么就能得出 一组解。 未知电压 VK 为：
运用节点法和网孔法进行电路分析运用节点法和网孔法进行电路分析众所周知运用基尔霍夫定律和欧姆定律我们可以对任何一个电路进行分析以确定其运行条件电流和电压值
运用节点法和网孔法进行电路分析
众所周知，运用基尔霍夫定律和欧姆定律，我们可以对任何一个电路进行分析，以确定其 运行条件（电流和电压值）。一般电路分析的难点在于用最少的联立方程描述电路的运行特性。 在这一讲里，我们将介绍两种非常有效的可用于对任意电路进行分析的方法：节点法和网 孔法。这些方法是建立在对基尔霍夫定律的系统应用基础上的，我们将通过图1的例子电路来说 明求解的步骤。
图10 标注网孔电流方向 现在，让我们把注意力转移到标记各个支路上的元件电压。 电阻上电压极性与指定的网孔电流的方向一致。万一某一处支路被两个网孔共用，就像例 子中含有电阻 R 2 的支路，电压的极性与各自网孔中指定的网孔电流的方向一致。 在这个电路中，我们进行网孔分析的第一步是单独分析每个网孔，根据定义的网孔电流方 向在回路上应用KVL定律。 考虑网孔1 为了分析更方便，我们把网孔1从图11所示的电路中分离出来。这么做的时候，必须注意要 包括共享支路的所有信息。在这里，我们给出了网孔电流 I 2 在共享支路上的方向。
电路分析第2章 电路分析方法1
i2 G3 4
结论： 结论： 1. 自电导×节点电压 + 互电导×相邻节点电压 = 该节点 自电导× 互电导× 的电流源电流代数和。流进为正，流出为负。 的电流源电流代数和。流进为正，流出为负。 2. 自电导均为正值，互电导均为负值。 自电导均为正值，互电导均为负值。 3.适用于平面电路和非平面电路。 适用于平面电路和非平面电路。 适用于平面电路和非平面电路
( R1 + R3 ) I1 − R3 I3 = U S1 − U 0 ( R4 + R5 + R6 ) I2 − R6 I3 = U 0 − R3 I1 − R6 I2 + ( R2 + R3 + R6 ) I3 = U S2 I S = I 2 − I1
辅助方程
10
[例4] 电路如图示，已知 S=5V，R1=R2=R4=R5=1Ω， 例 电路如图示，已知U ， Ω R3=2Ω，µ=2。 求U1＝？ Ω 。 R5 +µU2– [解] 列网孔方程时，可先将受控源 解 列网孔方程时，
应用KVL列回路电压方程 列回路电压方程 应用 R2iB+R5(iA+iB)+R6(iB+iC) − uS2 =0
+
R1iA+R5(iA+iB)+R4(iA−iC) + uS4 − uS1=0 R3iC− uS3 − uS4+R4(iC−iA)+R6(iB+iC) =0
uS3
–
R3
i3
(R1+R4+R5)iA+R5iB−R4iC = uS1 − uS4 R11iA+R12iB+R13iC=uS11 R21iA+R22iB+R23iC=uS22 R5iA+ (R2+R5+R6)iB+R6iC = uS2 −R4iA+R6iB+(R3+R4+R6)iC= uS3+uS4 R31iA+R32iB+R33iC=uS33
网孔分析法及节点分析法概述
网孔分析法及节点分析法概述概述网孔分析法和节点分析法是电路分析中常用的两种方法，用于求解复杂电路中的电流和电压。
本文将对这两种方法进行概述，并介绍它们的应用范围和优缺点。
一、网孔分析法网孔分析法，也称为基尔霍夫第二定律法，通过应用基尔霍夫定律来分析电路中的电流和电压。
该方法基于电流的守恒定律和电压的环路定律。
1. 应用范围网孔分析法适用于回路数较少且每条支路中包含较多元件的电路。
它将电路拆分为若干个网孔，每个网孔中的电流可以通过基尔霍夫定律来求解。
这种方法在使用电流源或需要求解电路中的电流时非常有效。
2. 求解步骤网孔分析法的求解步骤如下：1) 选择合适的回路方向，并给每个回路方向标记正向箭头。
2) 为每个网孔选择一个未知电流作为变量，并为其标记符号。
3) 列出每个网孔中基尔霍夫定律的方程。
4) 根据基尔霍夫定律的方程组，解出未知电流的值。
5) 利用欧姆定律和基尔霍夫定律，求解电路中的电压和电流。
3. 优缺点网孔分析法的优点在于能够简化复杂电路的分析过程，将电路分解为多个小型网孔进行分析，提高了计算的精确性。
然而，该方法对于回路较多且元件较少的电路并不适用，因为这样的电路更适合使用节点分析法来求解。
二、节点分析法节点分析法，也称为基尔霍夫第一定律法，通过应用基尔霍夫定律来分析电路中的电流和电压。
该方法基于电压的守恒定律和电流的汇聚定律。
1. 应用范围节点分析法适用于回路数较多且每个节点连接的支路数较多的电路。
它将电路拆分为若干个节点，通过节点电流和基尔霍夫定律来求解电路中的电压和电流。
该方法在使用电压源或需要求解电路中的电压时非常有效。
2. 求解步骤节点分析法的求解步骤如下：1) 选择一个节点为参考节点，将其电位定义为零。
2) 为每个节点选择一个未知电流作为变量，并为其标记符号。
3) 列出每个节点处的基尔霍夫定律方程。
4) 根据基尔霍夫定律的方程组，解出未知电流的值。
5) 利用欧姆定律和基尔霍夫定律，求解电路中的电压和电流。
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等效单口网络：当两个单口网络的VCR关系完全 相同时，称这两个单口是互相等效的。
将电路中的某些单口用其等效电路代替，可以简化 电路的分析和计算。
一、线性电阻的串联和并联
1．线性电阻的串联（见第一章）
2．线性电阻的并联（见第一章）
3．线性电阻的串并联 由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网
络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻。
i5 R2 i＋2 R5 ib uS－2
支路电流： i1,i2,i3,i4,i5,i6 网孔电流：
假想沿网孔边沿流动的电流，
i4
R4 ic R6 i6
如图中ia,ib,ic
R3 ＋uS3－i3 参考方向可以任意选取。
若以网孔电流为求解变量， 所需方程数将大大减少。（重点）
一、网孔电流
设想电流i1、i2和i3沿每个
图中 节点1与公共点O间电阻称为R1 节点2与公共点O间电阻称为R2 节点3与公共点O间电阻称为R3
二、Δ形联接
当三个电阻依次联成一个 闭合电路，且三个联接点再 分别与外电路相联，叫Δ形 联接。
图中：
节点1与2间电阻称为R12 节点2与3间电阻称为R23 节点3与1间电阻称为R31
方法： Y-变换
R2
R12
R23 R12 R 23 R31
特例：当三电阻相等时，则
R 3RY
或
RY
1 3
R
历年考题：
9、图示电路，求u 。(2V)
10、图示电路，求i 。(9/13A)
3Ω
6Ω
i
+ 18V
+u–
1A
3Ω 2A 2Ω 4Ω
–
2Ω
6Ω
3Ω
第三章网孔分析法和结点分析法
3－1 网孔分析法(重点） 3－2 结点分析法 （重点） 3－3 含受控源的电路分析（重点） 3－4 回路分析法和割集分析法 3－5 计算机分析电路实例 3－6 树支电压与连支电流法
§3－1 网孔分析法(重点)
本章介绍利用独立电流或 独立电压作变量来建立电路方 程的分析方法，可以减少联立 求解方程的数目，适合于求解 稍微复杂一点的线性电阻电路， 是求解线性电阻电路最常用的 分析方法。
例1 电路如图，求i1,i2,i3 .
＋ i1 1Ω 5V
－
i3 2Ω 1Ω
i2 ＋ －10V
（这是方法之一，其它方法随着课程的深入将逐步介绍）
含源电 阻单口
i
外施电流 i，
＋ 由 KVL 写出
u u=Ri+Uoc
R
＋
Uoc
－
i＋
u
－
－ 外施电压 u， 由 KCL 写出
u
i= R －Isc
i
•
＋
R
Isc u
•
－
历年考题：
9、图示电路，求u 。(2V)
10、图示电路，求i 。(9/13A)
3Ω
当仅需求解电路某一部分的电压和电流时，常用这种 方法来简化电路分析。现举例加以说明。
§2-3 Y形和Δ形电阻网络的等效互换
元件间连接的方式除了串联，并联还有Y形和Δ形。
一、 Y形连接
当三个电阻的一端公共联接（如 图中O点），且与外电路不联，另一端 互不相联（如图中1点，2点，3点）， 且分别与外电路相联的联接方式称为Y 形连接。
1
1
2 C
3
2
A
D
Rd
C
B
3 A
D
Rd
B
记忆如下公式：
三、Y形和Δ形电阻网络的等效互换关系
1、已知Y形电阻转换成Δ形各电阻。
Rmn
Y形电阻两两乘积之和 与Rmn相对端子所接的电阻
如：
R23
R1R2
R2 R3 R1
R3R1
2、已知Δ形电阻转换成Y形各电阻
Rk
K端所接两电阻的乘积 形三个电阻之和
如：
网孔边界闭合流动而形成， 如图中箭头所示。这种在网 孔内闭合流动的电流，称为 网孔电流。
一般来说，由一些独立电源和一些线性电阻元件组成
的线性电阻单口网络，就端口特性而言，可以等效为一个 线性电阻和电压源的串联， 或者等效为一个线性电阻 和电流源的并联。可以通
过计算端口VCR方程，得 到相应的等效电路。
含独立电源的电阻单口的化简方法：
写出端口的VCR， 画出与之对应的电压源串联 模型或电流源并联模型。
§2－2 电阻单口网络
VCR相同
N1
等效
N2
单口网络：只有两个端钮与其它电路相连接的网 络，称为二端网络。当强调二端网络的端口特性，而 不关心网络内部的情况时，称二端网络为单口网络， 简称为单口(One-port)。
§2－2 电阻单口网络
VCR相同
N1
等效
N2
电阻单口网络的特性由端口电压电流关系(简称为 VCR)来表征(它是u-i平面上的一条曲线)。
第三章 网孔分析法和节点分析
科学家研究世界 工程师创造崭新世界
第二章 用网络等效简化电路分析
2b法的缺点是需要联立求解的方程数目 太多，给求解带来困难。
本章通过两个途径来解决这个问题:
1. 利用单口网络的等效电路来减小电路规模， 从而减少方程数目。
2. 减少方程变量的数目，用独立电流或独立电 压源作变量来建立电路方程。
n
iS iSk k 1
与iS参考方向相同的电流源iSk取正号，相反则取负号。
图
电压源、电流源、电阻网络混联
当电压源与电流源或电阻并联时，可等效为一个电压源.
a IS
b
＋ R US
－
a
＋
US －
b
电流源与电压源或电阻串联时,可等效为一个电流源.
a IS
b
＋
US R
－
a IS
b
三、含独立电源的电阻单口网络
二、独立电源的串联和并联
根据独立电源的VCR,KCL、KVL方程可得到以下公式：
1．n个独立电压源的串联单口网络，如图所示，就端
口特性而言，等效于一个独立电压源，其电压等于各电压
源电压的代数和
n
uS uSk k 1
图 其中与uS参考方向相同的电压源uSk取正号，相反则取
负号。
2. n个独立电流源的并联单口网络，如图所示，就端 口特性而言，等效于一独立电流源，其电流等于各电流源 电流的代数和
6Ω
i
+ 18V
+u–
1A
3Ω 2A 2Ω 4Ω
–
2Ω
6Ω
3Ω
四、含源线性电阻单口两种等效电路的等效变换
含源线性电阻单口可能存在两种形式的VCR方程，即
u Roi uoc i Gou isc
相应的两种等效电路，如图(a)和(c)所示。
五、用单口等效电路简化电路分析
(用途：用于计算复杂支路中某一支路的VCR参数)
解 由KVL及KCL: i1 ＋ i3 －5= 0
－
i 3
＋2i2
＋10
=0
i
3
－
i1＋i2
=0
得 i1＝1A, i2 = －3A, i3 = i1－i2 =4A
例2 求图电路各支路电流。
解：由KVL及KCL列方程；（相当复杂，如何简化？）
思路，采用网孔分析法！ 何谓网孔分析法？
i1 R1 ＋
－uS1 ia －uS＋4
将电路中的某些单口用其等效电路代替，可以简化 电路的分析和计算。
一、线性电阻的串联和并联
1．线性电阻的串联（见第一章）
2．线性电阻的并联（见第一章）
3．线性电阻的串并联 由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网
络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻。
i5 R2 i＋2 R5 ib uS－2
支路电流： i1,i2,i3,i4,i5,i6 网孔电流：
假想沿网孔边沿流动的电流，
i4
R4 ic R6 i6
如图中ia,ib,ic
R3 ＋uS3－i3 参考方向可以任意选取。
若以网孔电流为求解变量， 所需方程数将大大减少。（重点）
一、网孔电流
设想电流i1、i2和i3沿每个
图中 节点1与公共点O间电阻称为R1 节点2与公共点O间电阻称为R2 节点3与公共点O间电阻称为R3
二、Δ形联接
当三个电阻依次联成一个 闭合电路，且三个联接点再 分别与外电路相联，叫Δ形 联接。
图中：
节点1与2间电阻称为R12 节点2与3间电阻称为R23 节点3与1间电阻称为R31
方法： Y-变换
R2
R12
R23 R12 R 23 R31
特例：当三电阻相等时，则
R 3RY
或
RY
1 3
R
历年考题：
9、图示电路，求u 。(2V)
10、图示电路，求i 。(9/13A)
3Ω
6Ω
i
+ 18V
+u–
1A
3Ω 2A 2Ω 4Ω
–
2Ω
6Ω
3Ω
第三章网孔分析法和结点分析法
3－1 网孔分析法(重点） 3－2 结点分析法 （重点） 3－3 含受控源的电路分析（重点） 3－4 回路分析法和割集分析法 3－5 计算机分析电路实例 3－6 树支电压与连支电流法
§3－1 网孔分析法(重点)
本章介绍利用独立电流或 独立电压作变量来建立电路方 程的分析方法，可以减少联立 求解方程的数目，适合于求解 稍微复杂一点的线性电阻电路， 是求解线性电阻电路最常用的 分析方法。
例1 电路如图，求i1,i2,i3 .
＋ i1 1Ω 5V
－
i3 2Ω 1Ω
i2 ＋ －10V
（这是方法之一，其它方法随着课程的深入将逐步介绍）
含源电 阻单口
i
外施电流 i，
＋ 由 KVL 写出
u u=Ri+Uoc
R
＋
Uoc
－
i＋
u
－
－ 外施电压 u， 由 KCL 写出
u
i= R －Isc
i
•
＋
R
Isc u
•
－
历年考题：
9、图示电路，求u 。(2V)
10、图示电路，求i 。(9/13A)
3Ω
当仅需求解电路某一部分的电压和电流时，常用这种 方法来简化电路分析。现举例加以说明。
§2-3 Y形和Δ形电阻网络的等效互换
元件间连接的方式除了串联，并联还有Y形和Δ形。
一、 Y形连接
当三个电阻的一端公共联接（如 图中O点），且与外电路不联，另一端 互不相联（如图中1点，2点，3点）， 且分别与外电路相联的联接方式称为Y 形连接。
1
1
2 C
3
2
A
D
Rd
C
B
3 A
D
Rd
B
记忆如下公式：
三、Y形和Δ形电阻网络的等效互换关系
1、已知Y形电阻转换成Δ形各电阻。
Rmn
Y形电阻两两乘积之和 与Rmn相对端子所接的电阻
如：
R23
R1R2
R2 R3 R1
R3R1
2、已知Δ形电阻转换成Y形各电阻
Rk
K端所接两电阻的乘积 形三个电阻之和
如：
网孔边界闭合流动而形成， 如图中箭头所示。这种在网 孔内闭合流动的电流，称为 网孔电流。
一般来说，由一些独立电源和一些线性电阻元件组成
的线性电阻单口网络，就端口特性而言，可以等效为一个 线性电阻和电压源的串联， 或者等效为一个线性电阻 和电流源的并联。可以通
过计算端口VCR方程，得 到相应的等效电路。
含独立电源的电阻单口的化简方法：
写出端口的VCR， 画出与之对应的电压源串联 模型或电流源并联模型。
§2－2 电阻单口网络
VCR相同
N1
等效
N2
单口网络：只有两个端钮与其它电路相连接的网 络，称为二端网络。当强调二端网络的端口特性，而 不关心网络内部的情况时，称二端网络为单口网络， 简称为单口(One-port)。
§2－2 电阻单口网络
VCR相同
N1
等效
N2
电阻单口网络的特性由端口电压电流关系(简称为 VCR)来表征(它是u-i平面上的一条曲线)。
第三章 网孔分析法和节点分析
科学家研究世界 工程师创造崭新世界
第二章 用网络等效简化电路分析
2b法的缺点是需要联立求解的方程数目 太多，给求解带来困难。
本章通过两个途径来解决这个问题:
1. 利用单口网络的等效电路来减小电路规模， 从而减少方程数目。
2. 减少方程变量的数目，用独立电流或独立电 压源作变量来建立电路方程。
n
iS iSk k 1
与iS参考方向相同的电流源iSk取正号，相反则取负号。
图
电压源、电流源、电阻网络混联
当电压源与电流源或电阻并联时，可等效为一个电压源.
a IS
b
＋ R US
－
a
＋
US －
b
电流源与电压源或电阻串联时,可等效为一个电流源.
a IS
b
＋
US R
－
a IS
b
三、含独立电源的电阻单口网络
二、独立电源的串联和并联
根据独立电源的VCR,KCL、KVL方程可得到以下公式：
1．n个独立电压源的串联单口网络，如图所示，就端
口特性而言，等效于一个独立电压源，其电压等于各电压
源电压的代数和
n
uS uSk k 1
图 其中与uS参考方向相同的电压源uSk取正号，相反则取
负号。
2. n个独立电流源的并联单口网络，如图所示，就端 口特性而言，等效于一独立电流源，其电流等于各电流源 电流的代数和
6Ω
i
+ 18V
+u–
1A
3Ω 2A 2Ω 4Ω
–
2Ω
6Ω
3Ω
四、含源线性电阻单口两种等效电路的等效变换
含源线性电阻单口可能存在两种形式的VCR方程，即
u Roi uoc i Gou isc
相应的两种等效电路，如图(a)和(c)所示。
五、用单口等效电路简化电路分析
(用途：用于计算复杂支路中某一支路的VCR参数)
解 由KVL及KCL: i1 ＋ i3 －5= 0
－
i 3
＋2i2
＋10
=0
i
3
－
i1＋i2
=0
得 i1＝1A, i2 = －3A, i3 = i1－i2 =4A
例2 求图电路各支路电流。
解：由KVL及KCL列方程；（相当复杂，如何简化？）
思路，采用网孔分析法！ 何谓网孔分析法？
i1 R1 ＋
－uS1 ia －uS＋4