网孔分析和节点分析 PPT
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电路分析网孔分析法和节点分析
等效单口网络：当两个单口网络的VCR关系完全 相同时，称这两个单口是互相等效的。
将电路中的某些单口用其等效电路代替，可以简化 电路的分析和计算。
一、线性电阻的串联和并联
1．线性电阻的串联（见第一章）
2．线性电阻的并联（见第一章）
3．线性电阻的串并联 由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网
络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻。
i5 R2 i＋2 R5 ib uS－2
支路电流： i1,i2,i3,i4,i5,i6 网孔电流：
假想沿网孔边沿流动的电流，
i4
R4 ic R6 i6
如图中ia,ib,ic
R3 ＋uS3－i3 参考方向可以任意选取。
若以网孔电流为求解变量， 所需方程数将大大减少。（重点）
一、网孔电流
设想电流i1、i2和i3沿每个
图中 节点1与公共点O间电阻称为R1 节点2与公共点O间电阻称为R2 节点3与公共点O间电阻称为R3
二、Δ形联接
当三个电阻依次联成一个 闭合电路，且三个联接点再 分别与外电路相联，叫Δ形 联接。
图中：
节点1与2间电阻称为R12 节点2与3间电阻称为R23 节点3与1间电阻称为R31
方法： Y-变换
R2
R12
R23 R12 R 23 R31
特例：当三电阻相等时，则
R 3RY
或
RY
1 3
R
历年考题：
9、图示电路，求u 。(2V)
10、图示电路，求i 。(9/13A)
3Ω
6Ω
i
+ 18V
+u–
1A
3Ω 2A 2Ω 4Ω
–
2Ω
6Ω
3Ω
第三章网孔分析法和结点分析法
将电路中的某些单口用其等效电路代替，可以简化 电路的分析和计算。
一、线性电阻的串联和并联
1．线性电阻的串联（见第一章）
2．线性电阻的并联（见第一章）
3．线性电阻的串并联 由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网
络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻。
i5 R2 i＋2 R5 ib uS－2
支路电流： i1,i2,i3,i4,i5,i6 网孔电流：
假想沿网孔边沿流动的电流，
i4
R4 ic R6 i6
如图中ia,ib,ic
R3 ＋uS3－i3 参考方向可以任意选取。
若以网孔电流为求解变量， 所需方程数将大大减少。（重点）
一、网孔电流
设想电流i1、i2和i3沿每个
图中 节点1与公共点O间电阻称为R1 节点2与公共点O间电阻称为R2 节点3与公共点O间电阻称为R3
二、Δ形联接
当三个电阻依次联成一个 闭合电路，且三个联接点再 分别与外电路相联，叫Δ形 联接。
图中：
节点1与2间电阻称为R12 节点2与3间电阻称为R23 节点3与1间电阻称为R31
方法： Y-变换
R2
R12
R23 R12 R 23 R31
特例：当三电阻相等时，则
R 3RY
或
RY
1 3
R
历年考题：
9、图示电路，求u 。(2V)
10、图示电路，求i 。(9/13A)
3Ω
6Ω
i
+ 18V
+u–
1A
3Ω 2A 2Ω 4Ω
–
2Ω
6Ω
3Ω
第三章网孔分析法和结点分析法
节点和网孔分析法
网孔方程建立
根据基尔霍夫电压定律（KVL），可以建立每个网孔的电压方程。对于每个网孔，其电压降等于该网 孔上所有元件电压降的代数和。通过列写网孔电压方程，可以得到一组以网孔电流为未知数的线性方 程组。
网孔阻抗矩阵形成与求解
阻抗矩阵形成
在列写网孔电压方程时，需要将电路中 的电阻、电感、电容等元件用阻抗表示 。将各元件的阻抗按照网孔电流的流向 排列成矩阵形式，即可得到网孔阻抗矩 阵。该矩阵是一个方阵，其阶数等于网 孔数。
在多个领域进行了实际应用验证，证明了 节点和网孔分析法的有效性和实用性。
未来发展趋势预测
跨领域应用拓展
随着节点和网孔分析法的不断完善，其应用领域将进一步拓展，包括 社交网络、交通网络、生物网络等多个领域。
动态网络分析
未来研究将更加注重动态网络的分析，探索网络结构和行为的动态演 化规律。
多层网络分析
节点导纳矩阵形成与求解
形成节点导纳矩阵
将节点电压方程中的系数按照一定规则排列成矩阵形式，得到节点导纳矩阵。 矩阵中的元素表示各节点之间的电导连接关系。
求解节点电压
根据节点导纳矩阵和给定的电流源，可以求解出各节点的电压值。一般采用高 斯消元法或迭代法进行求解。
03
网孔分析法
网孔定义及分类
网孔定义
随着多层网络研究的兴起，节点和网孔分析法将进一步拓展到多层网 络分析领域，揭示不同层级网络之间的相互作用和影响。
算法优化与创新
针对现有算法存在的问题和不足，未来研究将致力于算法的优化和创 新，提高节点和网孔分析法的准确性和效率。
THANKS。
05
节点和网孔分析法在电路中的 应用
复杂电路分析
01
02
03
节点分析法
根据基尔霍夫电压定律（KVL），可以建立每个网孔的电压方程。对于每个网孔，其电压降等于该网 孔上所有元件电压降的代数和。通过列写网孔电压方程，可以得到一组以网孔电流为未知数的线性方 程组。
网孔阻抗矩阵形成与求解
阻抗矩阵形成
在列写网孔电压方程时，需要将电路中 的电阻、电感、电容等元件用阻抗表示 。将各元件的阻抗按照网孔电流的流向 排列成矩阵形式，即可得到网孔阻抗矩 阵。该矩阵是一个方阵，其阶数等于网 孔数。
在多个领域进行了实际应用验证，证明了 节点和网孔分析法的有效性和实用性。
未来发展趋势预测
跨领域应用拓展
随着节点和网孔分析法的不断完善，其应用领域将进一步拓展，包括 社交网络、交通网络、生物网络等多个领域。
动态网络分析
未来研究将更加注重动态网络的分析，探索网络结构和行为的动态演 化规律。
多层网络分析
节点导纳矩阵形成与求解
形成节点导纳矩阵
将节点电压方程中的系数按照一定规则排列成矩阵形式，得到节点导纳矩阵。 矩阵中的元素表示各节点之间的电导连接关系。
求解节点电压
根据节点导纳矩阵和给定的电流源，可以求解出各节点的电压值。一般采用高 斯消元法或迭代法进行求解。
03
网孔分析法
网孔定义及分类
网孔定义
随着多层网络研究的兴起，节点和网孔分析法将进一步拓展到多层网 络分析领域，揭示不同层级网络之间的相互作用和影响。
算法优化与创新
针对现有算法存在的问题和不足，未来研究将致力于算法的优化和创 新，提高节点和网孔分析法的准确性和效率。
THANKS。
05
节点和网孔分析法在电路中的 应用
复杂电路分析
01
02
03
节点分析法
第二章 网孔分析和节点分析
un3 20 50 105 175V U un3 1 20 195V
I ( un 2 90) / 1 120 A
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＋
un1 100V
1 － U 20A ＋ 3 2 2
－
100V
1
5.节点分析和网孔分析的比较:
1.网孔分析只适于平面电路；
+ : 流过互电阻的两个回路电流方向相同
Rkk:自电阻(为正)
Rjk ＝Rkj :互电阻
- : 流过互电阻的两个回路电流方向相反 0 : 无关
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2. 网孔分析法的一般步骤（只适于平面电路）：
(1) 选定m=b-(n-1)个网孔，并确定其绕行方向；
(2) 对m 个网孔，列写网孔方程（实质是KVL方程）； 自电阻、互电阻、电压升。方程个数为b-(n-1)。 (3) 求解上述方程，得到m个网孔电流； (4) 求各支路电流(用网孔电流表示)； (5) 其它分析。
(2) 用节点电压表示控制量。
u3 un 3 i un 2 R2
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I
例
求U和I 。 应用节点法。
1
－ 90V ＋ 2
un 2 100 110 210V
注：与电流源串接的 电阻不参与列方程
0.5un1 0.5un 2 un3 20
＋ － 110V
b ( n 1)
a i1 R1 uS1 + – i2 R2 + – iM2 i3
与支路电流法相比， 方程数减少n-1个。
(R1+ R2) iM1-R2iM2=uS1-uS2
i M1
R3
uS2
3网孔分析法和节点分析法课件
第三章 网孔分析法和结点分析法
例5、用结点分析法求 图示电路中各电阻支 路电流。
解：用接地符号标出参考结点，标出两个结点电压
u1和u2的参考方向，如图所示。用观察法列出结点
方程：(1 u1
1)u1 (1
u2 2)u2
5
10
2uu11u32u2
5
10
解得各结点电压为 各电阻支路电流为
u1 1V u2 3V i1 1A i2 6A i3 4A
G21v1
G22v2
G23v3
iS
22
G31v1
G32v2
G33v3
iS
33
是各结点全部电导的总和。
此例中 G11= G1+ G4+ G5, G22= G2 + G5+ G6, G33= G3+ G4+ G6
第三章 网孔分析法和结点分析法
2.结点方程
用(n-1)结点电压做 未知量，根据KVL 、 VCR方程写出各支路电 流，再由KCL 列出(n-1) 个电流方程。
如图电路有4个结点， 选0为基准结点，把3个 结点电压做独立变量， 则各支路电压可表示
u1 u10 v1 u2 u20 v2 u3 u30 v3
u4 u10 u30 v1 v3 u5 u10 u20 v1 v2 u6 u20 u30 v2 v3
第三章 网孔分析法和结点分析法
第三章 网孔分析法和结点分析法
第3章 网孔分析法和结点分析法
本章要求: 1.掌握列网孔方程，求解网孔电流； 2. 掌握列结点方程，求结点电压； 3.理解受控源与独立源的区别，掌握受控源电路 的基本分析、计算方法。
第三章 网孔分析法和结点分析法
电路分析第2章 电路分析方法1
i2 G3 4
结论： 结论： 1. 自电导×节点电压 + 互电导×相邻节点电压 = 该节点 自电导× 互电导× 的电流源电流代数和。流进为正，流出为负。 的电流源电流代数和。流进为正，流出为负。 2. 自电导均为正值，互电导均为负值。 自电导均为正值，互电导均为负值。 3.适用于平面电路和非平面电路。 适用于平面电路和非平面电路。 适用于平面电路和非平面电路
( R1 + R3 ) I1 − R3 I3 = U S1 − U 0 ( R4 + R5 + R6 ) I2 − R6 I3 = U 0 − R3 I1 − R6 I2 + ( R2 + R3 + R6 ) I3 = U S2 I S = I 2 − I1
辅助方程
10
[例4] 电路如图示，已知 S=5V，R1=R2=R4=R5=1Ω， 例 电路如图示，已知U ， Ω R3=2Ω，µ=2。 求U1＝？ Ω 。 R5 +µU2– [解] 列网孔方程时，可先将受控源 解 列网孔方程时，
应用KVL列回路电压方程 列回路电压方程 应用 R2iB+R5(iA+iB)+R6(iB+iC) − uS2 =0
+
R1iA+R5(iA+iB)+R4(iA−iC) + uS4 − uS1=0 R3iC− uS3 − uS4+R4(iC−iA)+R6(iB+iC) =0
uS3
–
R3
i3
(R1+R4+R5)iA+R5iB−R4iC = uS1 − uS4 R11iA+R12iB+R13iC=uS11 R21iA+R22iB+R23iC=uS22 R5iA+ (R2+R5+R6)iB+R6iC = uS2 −R4iA+R6iB+(R3+R4+R6)iC= uS3+uS4 R31iA+R32iB+R33iC=uS33
电路分析基础—第2章
2021年4月4日9时3信7分息学院
1
结束
(1-1)
第2章 运用独立电流、电压变量的分析方法 电路分析基础
2—1 网孔分析 1、网孔电流
是一个沿着网孔边界流动的假想电流，即设想每个网 孔里具有相同的电流。 2、网孔电流法
以网孔电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。它仅 适用于平面电路。
基本思想
以网孔电流为未知量，各支路电流可用网孔电流的线 性组合表示，来求得电路的解。
第2章 运用独立电流、电压变量的分析方法 电路分析基础
第二章 网孔分析和节点分析
线性电路的一般分析方法
• 普遍性：对任何线性电路都适用。 • 系统性：计算方法有规律可循。
方法的基础 • 电路的连接关系—KCL，KVL定律。
• 元件的电压、电流关系特性。
复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元 件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所 选变量的不同可分为支路电流法、网孔电流法和节点 电压法。
列写的方程
节点电压法列写的是节点上的KCL方程，独立方程数为：
注意
(n 1)
① 与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。
② 任意选择参考点。其它节点与参考点的电位差即为节点电 压(位)，方向为从独立节点指向参考节点。
2021年4月4日9时3信7分息学院
17
结束
(1-17)
第2章 运用独立电流、电压变量的分析方法 电路分析基础
结束
(1-23)
第2章 运用独立电流、电压变量的分析方法
1）一般情况
例1： P75 例2—8 试写电路的节点方程
电路分析基础
选5为参考点，其余4个节点的电压分别为Un1、Un2、Un3、Un4
第二章网孔分析与节点分析
1 0 1 U=US 2 7 64 0 406 P70 6 70 420 W 0 6 7
I1 1218 203 6 A P6 2 6 12W 0 1 1 1 64 11 0 1218 I 2 406 203 2 A 6 11 7 I3 I1 I 2 6 2 4 A
例
( RS R1 R4 )i1 R1i2 R4 i3 U S
R1i1 ( R1 R2 )i2 U
电流源看作电 压源列方程
R4 i1 ( R3 R4 )i3 U
i i2 i3
RS
R1
+
US _
i1
R4
R5
i2 i3
R2
表明
（1）不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。 （2）当网孔电流均取顺（或逆时 针方向时，Rjk均为负。
i
R3
解2
只让一个回路电流经过R5支路
( RS R1 R4 )i1 R1i2 ( R1 R4 )i3 U S
2 3
结论
结点、支路和 基本回路关系
支路数＝树枝数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数
b n l 1
例
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基 本回路。 1
4
8 3
5
6 7 2
5 8 6 7
4 8 3 6
4 8 2 3
割集Q (Cut set ) Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。 6 6 1 4 1 4 3 9 7 3 9 5 2 8 5 2 8 割集：（1 9 6）（2 8 9）（3 6 8）（4 6 7）（5 7 8） （3 6 5 8 7）（3 6 2 8）是割集吗？ 基本割集 只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1 连支集合不能构成割集
I1 1218 203 6 A P6 2 6 12W 0 1 1 1 64 11 0 1218 I 2 406 203 2 A 6 11 7 I3 I1 I 2 6 2 4 A
例
( RS R1 R4 )i1 R1i2 R4 i3 U S
R1i1 ( R1 R2 )i2 U
电流源看作电 压源列方程
R4 i1 ( R3 R4 )i3 U
i i2 i3
RS
R1
+
US _
i1
R4
R5
i2 i3
R2
表明
（1）不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。 （2）当网孔电流均取顺（或逆时 针方向时，Rjk均为负。
i
R3
解2
只让一个回路电流经过R5支路
( RS R1 R4 )i1 R1i2 ( R1 R4 )i3 U S
2 3
结论
结点、支路和 基本回路关系
支路数＝树枝数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数
b n l 1
例
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基 本回路。 1
4
8 3
5
6 7 2
5 8 6 7
4 8 3 6
4 8 2 3
割集Q (Cut set ) Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。 6 6 1 4 1 4 3 9 7 3 9 5 2 8 5 2 8 割集：（1 9 6）（2 8 9）（3 6 8）（4 6 7）（5 7 8） （3 6 5 8 7）（3 6 2 8）是割集吗？ 基本割集 只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1 连支集合不能构成割集
网孔分析和节点分析
20I1 35I2 U 10
2I1 2I2 8I3 U 0
I2 I3 0.1
说明：
当所选网孔包括电流源时电流 源的端电压要列入网孔方程中，同 时增加一个电流源支路方程。
如能使电流源只出现在一个网 孔中则该网孔方程不用列出，该网 孔电流由电流源决定。
例3 列出如图所示电路的节点电压方程
u3
u14 = u1 u24 = u2 u34 = u3
uu122 = u1 uu233 = u2 uu133 = u1 -
i5 i1 i5 iS 0 u1 i1 i1 i2 i3 0 i
i3 i4 i5 0 S u1
u2
i2
u2
i3 u3 i4
u3
i1 G1(u1 u2 ) i5 G5 (u1 u3 ) i2 G2u2 i3 G3 (u2 u3 ) i4 G4u3
24 0.706 10
2.471A
=0
§3-4 含运算放大器的电阻电路
OpAmps Resistance circuit
内容： 一、运算放大器及等效电路； 二、理想运算放大器；
三、含有运算放大器的电阻电路分析。
一、运算放大器及其等效电路
反相输入端
u-
u+
同相输入端
差分输入电压
uo=A( u+- u-) =Aud
…… …… …… …… …… …… …… ……
Gn1u1 + Gn2u2 + ……+ Gnnun = iSnn
电源
自电导本节点电压+互电导相邻节点电压=流入本节点电流 源电流代数和
含有电压源的节点法说明：
1.若存在电压源串联电阻的有伴电压源模型，则可将其串联组合转换 成电流源并联电阻模型；
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4i1 20i 2 24i 3 15i
i i2 i3
－
i2
i3
+ 15i
§2-1 网孔分析… …
10i1 5i 2 4i 3 0
i1 5i 2 4i 3 10 4i1 5i 2 9i 3 0
解得
i 2 29.6 A
i 3 28 A
（R1 R4 R5）i M 1 R5 i M 2 R4 i M 3 us1 us 4 R5 i M 1 （R2 R5 R6）i M 2 R6 i M 3 us 2 R4 i M 1 R6 i M 2 （R3 R4 R6）i M 3 us 3 us 4
+ 10Ω
－ 4V
2i1 2i x 4 i x 3A
+ 6V －
i1
8ix － 2Ω
+
ix
ix
4Ω
自习P68例2-5（可略）
§2-1 网孔分析… …
习题2-8 .
P86 1Ω
i1
50V －
+
5Ω
i 20Ω
4Ω
解：
10i1 5i 2 4i 3 0
5i1 25i 2 20i 3 50
（1）
§2-1 网孔分析… …
i1 uS1 + R1 i5 i M1 R5 i6 i M3 R3 + uS3 －
R2
i M2 R6
i2 + uS2 －
－
－
uS4 i3
+
R4
i4
各支路电流与网孔电流的关系为 i1 i M 1 i 2 i M 2 i 3 i M 3 i4 i M 1 i M 3 i6 i M 3 i M 2 i5 i M 1 i M 2 将式（2）代入式（1）并整理，可得
若令 R11 R1 R4 R5、 R12 R5、 R13 R4、 us11 us1 us 4 R21 R5、 R22 R2 R5 R6、 R23 R6、 us 22 us 2
R31 R4、 R32 R6、 R33 R3 R4 R6、 us 33 us 3 us 4
+
－
iM1
－ + R4
iM2
+ uS2 －
uS4
i3 R3
iM3
+
uS3 －
应用支路电流法可得
网孔 ①
.
R1 i1 R5 i5 R4 i4 us1 us 4
网孔 ②
网孔 ③
R2 i 2 R6 i6 R5 i5 us 2
R4 i4 R6 i6 R3 i 3 us 3 us 4
第二章 网孔分析和节点分析
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 网孔分析 互易定理 节点分析 含运算放大器的电阻电路 电路的对偶性
§2-1 网孔分析… …
直接求解的电路变量：各网孔电流 网孔电流 —— 假想在各网孔中独立流动的电流
i1 uS1 R1
.
R2
i5 R5 i4 i6 R6
i2
则得
R11 i M 1 R12 i M 2 R13 i M 3 u s11 R21 i M 1 R22 i M 2 R23 i M 3 u s 22 R31 i M 1 R23 i M 2 R33 i M 3 u s 33
§2-1 网孔分析… …
一般情况： 设网孔数为m，各网孔电流分别为iM1、 iM2、 ．．．、iMm，且均取顺时针方向（或均取逆时针 方向），则网孔方程为
（2）
（3）
§2-1 网孔分析… …
（R1 R4 R5）i M 1 R5 i M 2 R4 i M 3 u s1 u s 4 R5 i M 1 （R2 R5 R6）i M 2 R6 i M 3 u s 2 R4 i M 1 R6 i M 2 （R3 R4 R6）i M 3 u s 3 u s 4
T2 1， 3， 5
T3 2， 3， 5
树(Tree)：连通所有的节点，但不构成任何一个回路的所有 支路的集合。 树支：构成树的各支路 连支：除树支之外的其他各支路 . 回路分析法：选定一树，每添一条连支则与有关的树支构成 一个独立回路（亦称基本回路）。
R
j 1
m
kj Mj
i u skkFra bibliotek式中k 1， 2 ，．．．，m
k j 自电阻，取正号 Rkj k j 互电阻，取负号 uskk —网孔k中各电压源的 电压升之代数和
§2-1 网孔分析… …
例2-1 .
P64 i1 + 20V R1 R2 10Ω R3 20Ω iM2 i3 i2
1Ω + 7V iM － 1 + u 7A － 2Ω
iM2
3Ω
2Ω
i M 1 6i M 2 3i M 3 0
2i M 1 3i M 2 6i M 3 u 0 i M1 i M 3 7
例 2-4
iM3
1Ω
解： 12i1 2i x 6 8i x 2i 1 6i x 4 8i x 12i1 6i x 6
5Ω
iM1
+ 10V
－
－
解：
25i M 1 20i M 2 20
20i M 1 30i M 2 10
i M 1 1.143 A i M 2 0.429 A i1 i M 1 1.143 A
i 2 i M 2 0.429 A i 3 i M 2 i M 1 0.714 A
i i 2 i 3 1.6 A P 15i i 3 672 W
* 独立回路的选取方法
① 4 1 ② 2 5 3 ④ 6
③ ①
4
1② 2 3
1 ③ 6
① 4
② 3
5
④
2
③ 6
5
① 4
② 5 ④ 6
网络线图（有向图）
③ 1 ① ② 5 3 ④ ③ ① ②
④
2
5
3
④
③
T1 4 ， 5， 6
§2-1 网孔分析… …
例2-2 .
+ 40V P66 20Ω
50Ω i
30Ω iM2 2A
－
iM1
解：
50i M 1 30i M 2 40
i M 2 2
i M 1 0.4 A i i M 1 i M 2 1.6 A
§2-1 网孔分析… …
例 2-3 解： 3i M 1 i M 2 2i M 3 u 7
i i2 i3
－
i2
i3
+ 15i
§2-1 网孔分析… …
10i1 5i 2 4i 3 0
i1 5i 2 4i 3 10 4i1 5i 2 9i 3 0
解得
i 2 29.6 A
i 3 28 A
（R1 R4 R5）i M 1 R5 i M 2 R4 i M 3 us1 us 4 R5 i M 1 （R2 R5 R6）i M 2 R6 i M 3 us 2 R4 i M 1 R6 i M 2 （R3 R4 R6）i M 3 us 3 us 4
+ 10Ω
－ 4V
2i1 2i x 4 i x 3A
+ 6V －
i1
8ix － 2Ω
+
ix
ix
4Ω
自习P68例2-5（可略）
§2-1 网孔分析… …
习题2-8 .
P86 1Ω
i1
50V －
+
5Ω
i 20Ω
4Ω
解：
10i1 5i 2 4i 3 0
5i1 25i 2 20i 3 50
（1）
§2-1 网孔分析… …
i1 uS1 + R1 i5 i M1 R5 i6 i M3 R3 + uS3 －
R2
i M2 R6
i2 + uS2 －
－
－
uS4 i3
+
R4
i4
各支路电流与网孔电流的关系为 i1 i M 1 i 2 i M 2 i 3 i M 3 i4 i M 1 i M 3 i6 i M 3 i M 2 i5 i M 1 i M 2 将式（2）代入式（1）并整理，可得
若令 R11 R1 R4 R5、 R12 R5、 R13 R4、 us11 us1 us 4 R21 R5、 R22 R2 R5 R6、 R23 R6、 us 22 us 2
R31 R4、 R32 R6、 R33 R3 R4 R6、 us 33 us 3 us 4
+
－
iM1
－ + R4
iM2
+ uS2 －
uS4
i3 R3
iM3
+
uS3 －
应用支路电流法可得
网孔 ①
.
R1 i1 R5 i5 R4 i4 us1 us 4
网孔 ②
网孔 ③
R2 i 2 R6 i6 R5 i5 us 2
R4 i4 R6 i6 R3 i 3 us 3 us 4
第二章 网孔分析和节点分析
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 网孔分析 互易定理 节点分析 含运算放大器的电阻电路 电路的对偶性
§2-1 网孔分析… …
直接求解的电路变量：各网孔电流 网孔电流 —— 假想在各网孔中独立流动的电流
i1 uS1 R1
.
R2
i5 R5 i4 i6 R6
i2
则得
R11 i M 1 R12 i M 2 R13 i M 3 u s11 R21 i M 1 R22 i M 2 R23 i M 3 u s 22 R31 i M 1 R23 i M 2 R33 i M 3 u s 33
§2-1 网孔分析… …
一般情况： 设网孔数为m，各网孔电流分别为iM1、 iM2、 ．．．、iMm，且均取顺时针方向（或均取逆时针 方向），则网孔方程为
（2）
（3）
§2-1 网孔分析… …
（R1 R4 R5）i M 1 R5 i M 2 R4 i M 3 u s1 u s 4 R5 i M 1 （R2 R5 R6）i M 2 R6 i M 3 u s 2 R4 i M 1 R6 i M 2 （R3 R4 R6）i M 3 u s 3 u s 4
T2 1， 3， 5
T3 2， 3， 5
树(Tree)：连通所有的节点，但不构成任何一个回路的所有 支路的集合。 树支：构成树的各支路 连支：除树支之外的其他各支路 . 回路分析法：选定一树，每添一条连支则与有关的树支构成 一个独立回路（亦称基本回路）。
R
j 1
m
kj Mj
i u skkFra bibliotek式中k 1， 2 ，．．．，m
k j 自电阻，取正号 Rkj k j 互电阻，取负号 uskk —网孔k中各电压源的 电压升之代数和
§2-1 网孔分析… …
例2-1 .
P64 i1 + 20V R1 R2 10Ω R3 20Ω iM2 i3 i2
1Ω + 7V iM － 1 + u 7A － 2Ω
iM2
3Ω
2Ω
i M 1 6i M 2 3i M 3 0
2i M 1 3i M 2 6i M 3 u 0 i M1 i M 3 7
例 2-4
iM3
1Ω
解： 12i1 2i x 6 8i x 2i 1 6i x 4 8i x 12i1 6i x 6
5Ω
iM1
+ 10V
－
－
解：
25i M 1 20i M 2 20
20i M 1 30i M 2 10
i M 1 1.143 A i M 2 0.429 A i1 i M 1 1.143 A
i 2 i M 2 0.429 A i 3 i M 2 i M 1 0.714 A
i i 2 i 3 1.6 A P 15i i 3 672 W
* 独立回路的选取方法
① 4 1 ② 2 5 3 ④ 6
③ ①
4
1② 2 3
1 ③ 6
① 4
② 3
5
④
2
③ 6
5
① 4
② 5 ④ 6
网络线图（有向图）
③ 1 ① ② 5 3 ④ ③ ① ②
④
2
5
3
④
③
T1 4 ， 5， 6
§2-1 网孔分析… …
例2-2 .
+ 40V P66 20Ω
50Ω i
30Ω iM2 2A
－
iM1
解：
50i M 1 30i M 2 40
i M 2 2
i M 1 0.4 A i i M 1 i M 2 1.6 A
§2-1 网孔分析… …
例 2-3 解： 3i M 1 i M 2 2i M 3 u 7