《数据结构(C／C++描述)》-第5章 多维数组、矩阵和广义表

称为基地址或基址。
中国水利水电出版社
11
Data Structures: Chapter 5
设二维数组 A 具有m 行 n列, 借助矩阵形式给出如下：
a00 a01 a11 a0 n-1 a1 n-1 am-1 n-1 a10
Amn=
am-1 0 am-1 1 以行为主序的存储方式： 0 1 … n-1 n n+1 … 2n-1 a00 a01 a0n-1 a10 a11 a1n-1
若以列序为主序的方式存储二维数组，则元素aij 的 存储位置可由下式确定：
Loc( i, j ) = Loc ( 0, 0 ) +（mj+i )L
中国水利水电出版社
13
Data Structures: Chapter 5
无论规定行优先或列优先，只要知道以下3 要素，便可随时求出任一元素的地址。 这样数组中的任一元素便可以随机存取！
中国水利水电出版社
10
Data Structures: Chapter 5
以“行序为主序”的存储映象
例如：
a0,0 a0,1 a0,2 a1,0 a1,1 a1,2
a0,0 a0,1 a0,2 a1,0 a1,1 a1,2
L
二维数组A中任一元素aij 的存储位置
LOC( i, j ) = LOC(0,0) + ( 3×i＋j )×L
对稀疏矩阵三元组表的不同的存储 方法，对应稀疏矩阵不同的压缩存储方 法。常见的有：
一、三元组顺序表
中国水利水电出版社
3
Data Structures: Chapter 5
5.1.1 数组的定义 数据对象:
D = { aij | 0≤i≤b1-1, 0 ≤j≤b2-1 } 数据关系:
R = { ROW, COL }
ROW= b 1= m b2= n
{< ai,j , ai+1,j >| 0≤i≤b1-2, 0≤j≤b2-1}
… am-10 am-11
mn-1 am-1n-1
以列为主序的方式： 0 1 … m-1 m m+1 … 2m-1 … a00 a10 am-10 a01 a11 am-11 a0n-1 a1n-1
中国水利水电出版社
nm-1 am-1n-1
12
Data Structures: Chapter 5
数组元素存储地址的计算
a00 a01 a11 a0 n-1 a1 n-1 am-1 n-1 a10
Amn=
am-1 0 am-1 1
① 开始结点的存放地址（即基地址） ② 维数和每维的上、下界； ③ 每个数组元素所占用的存储单元数
中国水利水电出版社
14
Data Structures: Chapter 5
若是n 维数组，其中任一元素的地址该如何计算？ 教材已给出低维(行优先)优先的地址计算公式。 见 （5-2）式,该式称为 n 维数组的映像函数。
a11 a11 c a11 …… c c … a 1n … a 1n ……….. … a nn a11 c … c a21 a22 … c ………… …. an1 an 2 … an n (b)下三角矩阵
(a)上三角矩阵
下（上）三角矩阵的存储和对称矩阵类似。
中国水利水电出版社
19
Data Structures: Chapter 5
（行关系和列关系）的约束： a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … …… am1 am2 … amn 一个 m×n 的二维数组可以 看成是m 行的一维数组，或 者是 n 列的一维数组。
Amn=
n N 维数组的特点： 个下标，每个元素受到 n 个关系约束 一个 n 维数组可以看成是由若干个 n-1 维数组组成的线性表。
通常认为:
t m n
≤ 0.05 的矩阵为稀疏矩阵。
中国水利水电出版社
22
Data Structures: Chapter 5
以常规方法－－二维数组来表
示高阶的稀疏矩阵时有以下问题: (1) 零值元素占了很大空间;
(2) 计算中进行了很多和零值的运算，
遇除法，还需判别除数是否为零。
中国水利水电出版社
0 0 12 9 0 0 0 0 3 0 0 0 M 0 0 24 0 0 18 0 0 15 0 0 7
中国水利水电出版社
26
Data Structures: Chapter 5
存储原则：只存矩阵的行、列数和每个非零元 的行、列下标及其值。
0 0 12 9 0 0 0 0 3 0 0 0 M 0 0 24 0 0 18 0 0 15 0 0 7 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 67 0 0
Data Structures: Chapter 5
中国水利水电出版社
1
Data Structures: Chapter 5
5.1 多维数组 5.2 特殊矩阵 5.3 稀疏矩阵
5.4 广义表
中国水利水电出版社
2
Data Structures: Chapter 5
5.1 多维数组
一维数组的特点： 1个下标，ai 是ai+1的直接前驱 二维数组的特点： 2个下标，每个元素ai,j 受到两个关系
k=0
a21
1
a22
2
a31
3
a32
4
a33
5
…… 当i≥j 当i< j
an, n
…. …. n(n+1)/2-1
K=
中国水利水电出版社
i ( i -1) / 2 + j-1 j ( j -1) / 2 + i-1
18
Data Structures: Chapter 5
2. 三角矩阵 上三角或下三角。
中国水利水电出版社17 NhomakorabeaData Structures: Chapter 5
以存储下三角矩阵中元素为例，第i 行恰有i 个元 素，元素总数为：n(n+1)/2。 因此，可将这些元素存放在一个向量(一维数组） sa[0..n(n+1)/2-1]中。 为了便于访问对称矩阵A中的元素，我们必须在aij 和 sa[k]之间找一个对应关系。 a11
数据关系：
R＝{ R1, R2, ..., Rn } Ri＝{<aj ,..., j ,..., j , aj ,..., j ,..., j > | 0 ≤ jk ≤ bk -1, 1≤ k ≤n 且 k i, 0≤ ji ≤bi -2, i =1,...,n }
1 i n 1 i+1 n
基本操作: }
中国水利水电出版社
16
Data Structures: Chapter 5
•
• • • • • • •
5.2 特殊矩阵
－－非零元素或零元素的分布有一定规律的矩阵。 1. 对称矩阵 －－在一个 n 阶方阵A中，若元素满足下述性质： aij = aji 1≤i, j≤n 则称 A 为对称矩阵。 只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让 每两个对称的元素共享一个存储空间，这样，能节 约近一半的存储空间。
有两类矩阵适合压缩存储：
(1) 特殊矩阵
非零元在矩阵中的分布有一定规则. 例如：对称矩阵、三角矩阵。
(2) 随机稀疏矩阵
非零元在矩阵中随机出现。
中国水利水电出版社
25
Data Structures: Chapter 5
例如：如下稀疏矩阵
M －－非零元个数＜＜m×n
0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 67 0 0
an-1 n an n
对角矩阵，可按行为主序或对角线的顺序，将 其压缩存储到一个向量中，并且也能找到每个非零 元素和向量下标的对应关系。
中国水利水电出版社
21
Data Structures: Chapter 5
5.3 稀疏矩阵
假设 m 行 n 列的矩阵含 t 个非零元 素，则称表达式 的值为稀疏因子。
COL
= {< ai,j , ai,j+1 >| 0≤i≤b1-1, 0≤ j≤b2-2}
4
中国水利水电出版社
抽象数据类型多维数组的定义
ADT Array
{ 数据对象：
Data Structures: Chapter 5
D＝{aj
1
j 2, ..., j i..., j n| ji
= 0,...,bi -1, i =1,2, ....,n }
中国水利水电出版社
5
Data Structures: Chapter 5
基本操作:
1. 构造多维数组
InitArray(&A, n, bound1, ..., boundn) 操作结果： 若维数 n 和各维长度合法，则构 造相应的数组 A，并返回OK。
中国水利水电出版社
6
Data Structures: Chapter 5
称为 三元组
例如： M 的存储，由矩阵的行列数（6,7）和 三元组表: ((1,2,12),(1,3,9),(3,1,-3),(3,6,14), (4,3,24),(5,2,18), (6,1,15), (6,4,-7)） 惟一确定。
中国水利水电出版社
27
Data Structures: Chapter 5
23
Data Structures: Chapter 5
解决问题的原则:
(1) 尽可能少存或不存零值元素;
(2) 尽可能减少没有实际意义的运算;
(3) 操作方便; 如: 能尽可能快地找到 与下标值 (i, j) 对应的元素; 能尽可能快地找到 同一行或同一列的非零值元;