江苏省淮安市2007—2008学年度第一学期期末调查测试模拟试卷

江苏省淮安市2007—2008学年度第一学期期末调查测试模拟试卷一、填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分）1、已知{}{}φ≠⋂>=≤=N M ,,1要使p x x N x x M ，则p 应满足的条件是 ▲ ；2、化简=--+CD AC BD AB ▲ ；3、将︒-300化成弧度为 ▲ ；4、已知两个函数)(x f 和)(x g 的定义域和值域都是{}3,2,1,其定义如下表:请填写后面表格,其三个数应依次为 ▲ ；5、方程013=--x x 的一个实数根所在的区间是 ▲ ； 6、要得到函数x x y 2cos 32sin -=的图像，只需要将函数x y 2sin 2=的图像沿x 轴向 ▲ 平移 ▲ 个单位。

7、如图，已知非零向量，且OA B C ,,⊥==b OB a OA C 为垂足, 设向量a λ=OC ,则实数λ的值为 ▲ ；8、如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点,那么称这个点为”好点”.在下面的五个点)21,2(),2,2(),1,2(),2,1(),1,1(G Q P N M 中,”好点”的个数为 ▲ ；9、若0cos 3sin =+αα，则ααααsin 3cos 2sin 2cos -+的值为 ▲ ；10、与向量)5,12(=d 平行的单位向量为 ▲ ； 11、已知41)6sin(=+πx ，则)3(sin)65sin(2x x -+-ππ= ▲ ；12、若向量j i ,为相互垂直的单位向量，j i a 2-=，j m i b +=，且a 与b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为 ▲ ；13、点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v =（4，－3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位）.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为 ▲ ； 14、已知ααααsin cos 1cos 1sin -=+是一个恒等式。

现右图中给出了一个该恒等式的图形证明。

请写出图中你认为可以体现该恒等式成立的关系式 ▲ ；（注意：请将填空题答案填在下面的横线上。

）1、 2、 3、 4、 5、6、 7、 8、 9、 10、11、 12、 13、 14、 二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15、（本题满分14分）已知a b a ,3||,2||==与b 的夹角为060，b k a d b a c +=+=3,35， 当实数k 为何值时，（1）d c //；（2）d c ⊥。

16、（本题满分14分）已知偶函数)(x f 在0≥x 时的图象是如图所示的二次抛物线的一部分。

（1）请补全函数)(x f 的图象； （2）求函数)(x f 的表达式； （3）写出函数的单调区间。

17、（本题满分14分）（1）已知角α终边上一点P(—4，3），求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值；（2）已知40,434πβπαπ<<<<，且135)43sin(,53)4cos(=+-=+βπαπ，求)sin(βα+的值；18、（本题满分16分）在ABC ∆中，若b AC a AB ==,。

（1）若D 为BC 上的点，且BC t BD =，求证：b t a t AD +-=)1(； （2）若P 、Q 是线段BC 的三等分点，试证：b a AQ AP +=+； （3）若P 、Q 、S 是线段BC 的四等分点，试证：)(23b a AS AQ AP +=++；（4）如果1321,,,,-n A A A A 是线段BC 的)3(≥n n 等分点，你能得到什么结论？并加以证明。

（注：(1)1232n n n ++++= ）19、（本题满分16分）已知5)(3131--=x xx f ，5)(3131-+=xx x g（1）判断)(x f 的奇偶性，并写出)(x f 的单调区间；（2）分别计算：)2()2(5)4(g f f ⨯-和)3()3(5)9(g f f ⨯-的值，并概括出满足)(x f 和)(x g 对所有不为0的实数x 都成立的一个等式，并给出证明。

20、（本题满分16分）将一块圆心角为0120，半径为20的扇形截成一块矩形，如图甲、乙所示有两种截法：图甲矩形OPMN 的一边OP 在扇形的一条半径OA 上，顶点M 在弧AB 上；图乙矩形PQMN 的一边PQ 与弦AB 平行，顶点M 、N 在弧AB 上，顶点P 、Q 分别在半径OA 、OB 上。

（1）在图甲中，设θ=∠MOA ，请将矩形OPMN 的面积表示成θ的函数；（2）求图甲中矩形OPMN 面积的最大值； （3）请问甲、乙两种截法中哪种截法能得到最大面积的矩形，并求出面积的最大值。

参考答案：1、1<p2、03、35π-4、3、2、15、（1，2）6、右、6π7、2aba ∙8、2个 9，511- 10，125125(,)(,)13131313--11，191612，1(,2)(2,)2-∞--13，)5,10(- 14，2P M A M B M =⨯三，解答题15，由题意得01c o s 602332a b a b ∙==⨯⨯=（1） 当//,c d 9,53(3)35,35c d a b a k b k k λλλλ=+=+∴==∴= 则且（2） 当,c d ⊥ 22290,53)(3)0153(95)014c d a b a k b a k b k a b k ∙=+∙+=∴+++=∴=- 则( 16，（1）图略（2）由题意可知当0x ≥时，当抛物线的顶点为（-1，2），且过（0，0）（2，0），设抛物线方程为(2),2(12)2y a x x a a =-∴-=-∴=当0x ≥时，抛物线方程为224y x x =-当0x <是时由对称性可知224y x x =+2224(0)()24(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪∴=⎨+<⎪⎩ （3） 由图可知，(,1),(0,1)-∞-为函数的单调减区间。

(1,),(1,0)+∞-为函数的单调增区间。

17，（1）角的边上一点P （-4，3）34s in ,c o s 55αα==-，原式2(s in )s in 3s in c o s c o s 4a a a aa-∴==--∙（2）sin ()sin ()αβπαβ+=-++=33s in ()c o s ()c o s ()s in ()44443331263,0,c o s (),c o s ()s in ()4444541365a a a a a ππππββπππππβββ-++-++<<<<+=-+=-∴+=18,,()(1)B D t B C A B a A C b A D A B B D A B t A C A B t A B t A C===∴=+=+-=-+(1)A D t a t b ∴=-+ （2）P ，Q 是线段BC 的三等分点，12,33B P BC B Q B C ∴==，由（1）知1122(1)(1)3333A P A Q AB AC A B A C A B A C +=-++-+=+ ，A P A Q a b ∴+=+3） 由（1）可知，311113,,442244A P AB AC A Q A B A C A C A B A C =+=+=+3()2A P A Q A C A B A C ∴++=+ ，3()2A P A Q A C a b ∴++=+（4）结论：1231()2n n O A O A O A O A O A O B -+++=+123123()()()n O A O A O A O A O A A B O A A B O A A B n n n+++=++++++111()(1)[123(1)](1)2n n O A A B n O A n A B n O A A B n n --+=-++++-=-+11(1)()()22n n n O A O B O A O A O B --=-+-=+19 （1）由题意知：函数f(x)定义域为),0()0,(+∞⋃-∞，因为5)()()(3131----=-x x x f=53131x x ---=)(x f -，所以f(x)为奇函数令31)(x x g =，31)(-=x x h ，则函数g(x)与-h(x)在),0()0,(+∞-∞和上都是增函数，所以，f(x)在),0()0,(+∞-∞和上为增函数（2）05225225544)2()2(5)4(313131313131=+⋅-⋅--=⋅----g f f05335335599)3()3(5)9(313131313131=+⋅-⋅--=⋅----g f f对任意不为0的实数x 来说，都有0)()(5)(2=⋅-x g x f x f证明：05555)()(5)(3131313132322=+⋅-⋅--=⋅----x xx xx xx g x f x f20、（1）)2,0(,2sin 200πθθ∈=OPMN S ；（2）200max =S（3）)2,0(],63)62sin(33[800πθπθ∈-+=S故乙种截法能得到最大面积的矩形，面积最大值为33400。