1.3.2二次根式的运算
八年级数学下册二次根式二次根式的运算教学课件新版浙教版
ab
x2
xy 1 x2 y2
巩固提升：
1. 8 18 50 __0__. 2. 75 48 27 _6___3_.
3.3 2 4 1 1 8 _4__2__.
22
4. 12
1 3
11 3
__53___3_.
5. (2 2 3)2 12 =_4___3_ 2
6.( 2 3 5)( 2 3 5) =__4___2__1_0__
把下列各式化简(分母有理化)：
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
（3） 2 3 40
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝－4 14 .
3 7 3 7• 7
21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b
a＋b • a＋b
＝
2a a＋b a＋b
.
（3） 2 ＝
2
＝ 2 • 10 ＝ 20 ＝ 2 5 ＝ 5 .
3 25x
9y2
19 ＝ 19 ＝ 19
16
16 4
25x 5 x
9y2
3y
注意： 如果被开方数是带 分数，应先化成假 分数再进行运算。
把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过程叫做分
母有理化。
例：计算 1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
解：1 解法1: 3 3 3 5
5 5 55
解法2 :
5 26 5
3 6＝ 6
2
5
如果根号前 有系数，就 把系数相除， 仍旧作为二 次根号前的 系数
a
b
a b
a 0,b 0
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以
二次根式经典总结
1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0.2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=. 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：)0b ,0a (ba b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）)0b ,0a (b a b a>≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8．常用分母有理化因式：a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式.9．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.形如)0a(,a≥的式子，叫做二次根式（1）二次根式a中，被开方数必须是非负数。
初中数学二次根式基础知识点(共6篇)
初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足以下条件：3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa0(a=0);5.二次根式的运算：a(a0)(1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式单项式和多项式统称为整式。
1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。
3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
3.多项式的排列：1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于单项式的项，包括它前面的_质符号，因此在排列时，仍需把每一项的_质符号看作是这一项的一局部，一起挪动初中数学一元二次方程常见考法1.考察一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵敏，所以一直很吸引命题者。
浙教版八年级下册 1.3 二次根式的运算 课件(共26张PPT)
术作品的面积为多少平方厘米？
解：
（2）三张长方形连接在一起的总长度为:
10 2
20 2
A
B
？
C
30 2
10 2 20 2+30 2=60 2cm
AB=5 2cm
AC=60 2 4=15 2cm
正方形的边长BC AC AB
= (m)
.
C
∴BE=AE÷0.8=
AEΒιβλιοθήκη FD
(m)
∴AB = +
= (m)
，
∵CF= BE=
=
.
∴DF=1.6CF= (m)
∴CD = +
=
(m)
答：这个小男孩经过的总路程约为7.71米.
∵CD= m
( 3) 2 3
(1 2) 2 1 2
(1 2)
2 1
三. 性质复习
最简二次根式
1.根号内是一个不含平
方因数的整数
例1 计算
1
3
(2)
4
12 24 化成最简二次根式
2.分母中不含根号
8
2
1
2
2
2
解：原式=
6 -12 2
2 2
2
2
2
1
3
3 2
3
E
G
D
图2
F
B
例题分析
例7 如图，一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=40cm，将斜边上
八年级数学下册全册教案
八年级数学下册全册教案第一章：二次根式1.1 二次根式的概念与性质学习二次根式的定义和性质掌握二次根式的运算规则例题讲解与练习1.2 二次根式的乘除法学习二次根式的乘除法运算掌握二次根式乘除法的规则例题讲解与练习1.3 二次根式的加减法学习二次根式的加减法运算掌握二次根式加减法的规则例题讲解与练习第二章：平面几何2.1 矩形、平行四边形的性质学习矩形和平行四边形的性质掌握矩形和平行四边形的判定方法例题讲解与练习2.2 菱形、正方形的性质学习菱形和正方形的性质掌握菱形和正方形的判定方法2.3 三角形全等的判定与性质学习三角形全等的判定方法掌握三角形全等的性质例题讲解与练习第三章：一次函数与不等式3.1 一次函数的定义与性质学习一次函数的定义和性质掌握一次函数的图像特点例题讲解与练习3.2 一次函数的图像与解析式学习一次函数的图像绘制方法掌握一次函数的解析式求法例题讲解与练习3.3 不等式的解法学习不等式的解法规则掌握不等式的解法技巧例题讲解与练习第四章：数据的收集、整理与分析4.1 数据的收集与整理学习数据的收集方法和整理技巧掌握数据整理的常用工具和软件4.2 数据的描述与表示学习数据的描述方法和表示方式掌握数据描述的常用指标和图表例题讲解与练习4.3 数据的分析与解读学习数据的分析方法和解读技巧掌握数据分析的常用工具和软件例题讲解与练习第五章：概率与统计5.1 概率的基本概念学习概率的定义和基本性质掌握概率的计算方法和规则例题讲解与练习5.2 事件的独立性与组合学习事件的独立性和组合概念掌握事件独立性和组合的计算方法例题讲解与练习5.3 统计的基本概念与方法学习统计的定义和基本方法掌握统计的计算指标和分析技巧例题讲解与练习八年级数学下册全册教案第六章：平行四边形与矩形6.1 平行四边形的性质学习平行四边形的定义和性质掌握平行四边形的判定方法例题讲解与练习6.2 矩形的性质学习矩形的定义和性质掌握矩形的判定方法例题讲解与练习6.3 平行四边形和矩形的应用学习平行四边形和矩形的应用问题掌握解决平行四边形和矩形问题的方法例题讲解与练习第七章：菱形与正方形7.1 菱形的性质学习菱形的定义和性质掌握菱形的判定方法例题讲解与练习7.2 正方形的性质学习正方形的定义和性质掌握正方形的判定方法7.3 菱形和正方形的应用学习菱形和正方形的应用问题掌握解决菱形和正方形问题的方法例题讲解与练习第八章：三角形全等的判定与性质8.1 三角形全等的判定学习三角形全等的判定方法掌握三角形全等的判定条件例题讲解与练习8.2 三角形全等的性质学习三角形全等的性质掌握三角形全等的性质特点例题讲解与练习8.3 三角形全等的应用学习三角形全等的应用问题掌握解决三角形全等问题的方法例题讲解与练习第九章：一次函数与不等式9.1 一次函数的图像与解析式学习一次函数的图像绘制方法掌握一次函数的解析式求法9.2 不等式的解法学习不等式的解法规则掌握不等式的解法技巧例题讲解与练习9.3 一次函数与不等式的应用学习一次函数与不等式的应用问题掌握解决一次函数与不等式问题的方法例题讲解与练习第十章：数据的收集、整理与分析10.1 数据的收集与整理学习数据的收集方法和整理技巧掌握数据整理的常用工具和软件例题讲解与练习10.2 数据的描述与表示学习数据的描述方法和表示方式掌握数据描述的常用指标和图表例题讲解与练习10.3 数据的分析与解读学习数据的分析方法和解读技巧掌握数据分析的常用工具和软件例题讲解与练习八年级数学下册全册教案第十一章：概率与统计11.1 概率的基本概念学习概率的定义和基本性质掌握概率的计算方法和规则例题讲解与练习11.2 事件的独立性与组合学习事件的独立性和组合概念掌握事件独立性和组合的计算方法例题讲解与练习11.3 统计的基本概念与方法学习统计的定义和基本方法掌握统计的计算指标和分析技巧例题讲解与练习第十二章：全章复习12.1 复习重点知识点复习全册的重要知识点和概念回顾全册的主要定理和公式例题讲解与练习12.2 复习重点题型和解题方法复习全册的重点题型和解题方法分析全册的典型例题和解题思路12.3 综合练习与模拟考试进行全章的综合练习和模拟考试检验学生对全册知识点的掌握情况例题讲解与练习第十三章：数学思维与应用13.1 数学思维方法学习数学思维的基本方法和技巧掌握数学思维的训练方法和实践应用例题讲解与练习13.2 数学应用问题学习数学应用问题的解决方法和策略掌握数学应用问题的分析和解答技巧例题讲解与练习13.3 数学创新与探究鼓励学生进行数学创新和探究培养学生的数学思维能力和创新意识例题讲解与练习第十四章：中考数学备考指导14.1 中考数学考试大纲分析分析中考数学考试大纲的要求和重点了解中考数学考试的题型和分值分布14.2 中考数学备考策略学习中考数学备考的方法和技巧制定中考数学备考的计划和策略例题讲解与练习14.3 中考数学模拟试题进行中考数学模拟试题的练习和讲解检验学生中考数学备考的准备情况例题讲解与练习第十五章：期末考试复习与总结15.1 期末考试复习复习全册的重要知识点和概念回顾全册的主要定理和公式例题讲解与练习15.2 期末考试题型和解题方法复习全册的重点题型和解题方法分析全册的典型例题和解题思路例题讲解与练习15.3 期末考试总结总结全册的学习成果和收获反思全册的学习过程中存在的问题和改进方向例题讲解与练习重点和难点解析八年级数学下册全册教案的重点和难点如下：1. 二次根式的概念与性质、乘除法、加减法；2. 平面几何中矩形、平行四边形的性质，菱形、正方形的性质，三角形全等的判定与性质；3. 一次函数的定义与性质、图像与解析式，不等式的解法；4. 数据的收集、整理与分析，概率的基本概念，事件的独立性与组合，统计的基本概念与方法；5. 全章复习，数学思维与应用，中考数学备考指导，期末考试复习与总结。
浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教学设计2
浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教学设计2一. 教材分析《二次根式的运算》是浙教版数学八年级下册1.3节的内容，主要包括二次根式的加减乘除运算规则，以及二次根式的混合运算。
这部分内容是学生学习二次根式知识的重要环节，也是进一步学习函数、方程等数学知识的基础。
教材内容通过实例引入，引导学生探究二次根式的运算规律，从而掌握二次根式的运算方法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数的基本概念，以及整式的加减乘除运算。
但二次根式的运算相对于整式运算，具有更大的复杂性，需要学生克服恐惧心理，勇于探究和尝试。
同时，学生需要理解二次根式的运算规律，将已有的整式运算经验迁移到二次根式运算中。
三. 教学目标1.理解二次根式的加减乘除运算规则，掌握二次根式的混合运算方法。
2.能够正确进行二次根式的运算，并解决实际问题。
3.培养学生的运算能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.二次根式的加减运算规则。
2.二次根式的乘除运算规则。
3.二次根式混合运算的顺序和技巧。
五. 教学方法1.实例引入：通过具体的二次根式运算实例，引导学生观察和总结二次根式的运算规律。
2.小组合作：学生进行小组讨论和实践，培养学生的合作意识和团队精神。
3.练习巩固：通过大量的练习题，让学生在实践中掌握二次根式的运算方法。
4.反馈评价：及时给予学生反馈，鼓励学生自主发现和纠正错误。
六. 教学准备1.PPT课件：制作含有实例、练习题的PPT课件，方便学生直观地理解和掌握二次根式的运算方法。
2.练习题：准备一定数量的练习题，用于学生在课堂上的练习和巩固。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，方便板书和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的二次根式运算实例，引导学生进入学习状态，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用PPT课件，展示二次根式的加减乘除运算规则，以及二次根式混合运算的顺序和技巧。
2020最新浙教版八年级数学下册电子课本课件【全册】
第2章 一元二次方程
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2020最新浙教版八年级数学下册 电子课本课件【全册】目录
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0002页 0043页 0093页 0115页 0133页 0174页 0244页 0254页 0327页 0371页 0410页 0476页 0557页 0593页
第1章 二次根式 1.2二次根式的性质 第2章 一元二次方程 2.2一元二次方程的解法 2.4一元二次方程根与系数的关系 3.1平均数 3.3方差和标准差 4.1多边形 4.3中心对称 4.5三角形的中位线 第5章 特殊平行四边形 5.2菱形 第6章 反比例函数 6.2反比例函数的图像和性质
第1章 二次根式
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1.1二次根式
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1.2二次根式的性质
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1.3二次根式的运算
人教版 初中数学 八下
人教版初中数学八下第1章：二次根式1.1 二次根式的概念•二次根式：形如√a (a ≥ 0) 的式子，其中a称为被开方数。
1.2 二次根式的性质•√a^2 = |a| (a为任意实数)•√ab = √a × √b (a ≥ 0, b ≥ 0)•(√a)^2 = a (a ≥ 0)1.3 二次根式的运算•加减运算：先将根式化为最简形式，再合并同类二次根式。
•乘除运算：利用二次根式的性质进行计算。
第2章：一元二次方程2.1 一元二次方程的概念•一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。
2.2 一元二次方程的解法•直接开平方法•配方法•公式法：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)•因式分解法2.3 一元二次方程的应用•应用于实际问题，如面积、速度、价格等。
第3章：旋转3.1 旋转的概念•旋转：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换。
3.2 旋转的性质•对应点到旋转中心的距离相等。
•对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
•旋转前、后的图形全等。
第4章：圆4.1 圆的概念•圆：平面上所有与定点距离等于定长的点的集合。
定点称为圆心，定长称为半径。
4.2 圆的性质•圆的对称性•圆的切线垂直于过切点的半径•垂径定理及其推论4.3 圆的弧、弦、圆心角•弧、弦、圆心角的关系•圆周角定理及其推论4.4 圆的计算•圆的周长= 2πr•圆的面积= πr^2第5章：数据的分析5.1 数据的代表•平均数、中位数、众数5.2 数据的波动•方差、标准差5.3 统计图的选择与绘制•条形图、折线图、扇形图等以上是人教版初中数学八年级下册的主要章节和内容概述。
具体的笔记内容还需要结合教材和教师授课内容来整理，建议你在学习过程中及时记录重要概念、定理、公式以及解题方法，并定期复习，巩固所学知识。
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课内练习
3.计算
(1) (1+ 2)(2 - 2)
(2) (3 5 - 5 2)
2
4. 在 Rt△ABC 中, ∠C＝Rt∠, AC＝2 2 , AB＝3 2 . 求 Rt△ABC 的周长和面积.
A
C
B
拓展 已知等腰直角三角形的斜边长为 3 ，求它的面积. 解 如图所示,△ABC 为等腰直角三角形， ∠A=90°， BC = 3 .
A
过 A 作 AD⊥BC 于点 D，则
1 3 AD = BC = 2 2
∴S△ ABC
B
D
C
1 3 3 1 = BC AD = 3 = 2 2 2 4
(1) 填空:根式 2, 75, 1 , 15, 1 中可以与 的二次根式有
3
个;
27
3
3 合并
(2) 选择:下列计算正确的是 ( C )
自主、合作、探究、互动
耳到、眼到、口到、心到
八年级 数学（下）
第一章 二次根式
比一比:
1 化简: (1) 3a - a + 2a 3
(2) 3 2 - 1 2 + 2 2
3
1 = (3 - + 2) a 3 14 = a 3
1 = (3 - + 2) 2 3 14 = 2 3
1 我们把 3, - , +2 看作系数,每一项所含的二次根式 3
D
5.如图,两根直立的竹竿相距6m,高分别为
4m和7m. 求两竹竿顶端间的距离 AD.
E
6. 已知 : a = 3 + 2，b = 3 - 2， 求 : a2 - ab + b2 的值.
1 1 拓展已知 a ,b , 求 a 2 2ab b2 的值. 2 3 3 2
即 11 - 7 > 17 - 13
归纳
小结
ab （a ≥0 ， b≥0）
1.二次根式的运算(乘除运算):
a b
a a （ a ≥ 0 ， b＞ 0） b b
2.以前我们学过的整式运算 的法则和方法（乘法公式） 也适用于二次根式
（1）作业本. （2）同步练习.
A C
2+ 3= 5 63 + 28 = 5 7
B 2 +
D
2=2 2
(3) 选择:下列计算正确的是 ( C )
8 + 18 = 4+ 9 2
A 102 - 82 = 102 - 82 = 10 - 8 = 2 B 2 + 3 2 2 - 3 2 = 4 - 3 2 = -2
C D
3 a + b 3 a - b = 3 a2 - b2 5+ 6
2
= 5 + 6 = 11
作业题
3.求当 a＝ 2 时,代数式 (a-1)² -(a+ 2 ) (a-1) 的值. 4.如图,在等腰三角形 ABC 中, AB＝AC ＝ 2 5 , BC＝ 2 6. 求△ABC 的面积.
作业题
7.不用计算器,比较
2 与 6 -2.1 的大小,并说明理由. 3+ 2
拓展 不用计算器，比较 11 - 7 与 17 - 13 的大小， 并说明理由.
( 11 - 7)( 11 + 7) 4 解 ∵ 11 - 7 = = 11 + 7 11 + 7
( 17 - 13)( 17 + 13) 4 17 - 13 = = 17 + 13 17 + 13 4 4 ∴ > 11 + 7 17 + 13
相同( 2 ),化简过程就和合并同类项的方法一样.
交流 归纳
二次根式加减法的步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式; （2）找出其中的被开方数相同的二次根式; （3）合并被开方数相同的二次根式.
一化
二找
三合并
慧眼识真:
(1)
下列计算哪些正确，哪些不正确？
3+ 2=
5
(不正确) (不正确) (不正确) (正确)
aa = 0 (不正确)
(2) a + b = a b
(3) a - b = a-b
(4) a a + b a = (a + b) a
1 (5) 3 1 3a 2 2a =
课内练习
1.化简
2 1 3 -( 24 12) 3 6 2
课内练习
2.计算
1 1 24 - 2 3 2 2
1 2 3 1 - 15 - 3 5