2001年高考试题——数学文(全国卷)
2001年高考.全国卷.理科数学试题及答案
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至9页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin 正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）若0cos sin >θθ，则θ在（A ）第一、二象限（B ）第一、三象限（C ）第一、四象限（D ）第二、四象限（2）过点()()1,11,1--B A 、且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（A ）()()41322=++-y x （B ）()()41322=-++y x （C ）()()41122=-+-y x （D ）()()41122=+++y x （3）设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A ）1（B ）2（C ）4（D ）6（4）若定义在区间()01，-内的函数()()1log 2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是（A ）（0，21）（B ）（0，21]（C ）（21，+∞）（D ）（0，+∞）(5)极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是o（A ）（B ）（C ）（D ）（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y （B ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y π（C ）)20)(1arccos(≤≤-=x x y （D ）)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π（7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为（A ）43（B ）32（C ）21（D ）41（8）若40πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则（A ）b a <（B ）b a >（C ）1<ab （D ）2>ab （9）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为（A ）60°（B ）90°（C ）105°（D ）75°（10）设)()(x g x f 、都是单调函数，有如下四个命题：○1若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增；○2若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增；○3若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减；○4若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减；其中，正确的命题是（A ）○1○3（B ）○1○4（C ）○2○3（D ）○2○4（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为321P P P 、、.①② ③若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（A ）123P P P >>（B ）123P P P =>（C ）123P P P >=（D ）123P P P ==（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。
2001高考数学全国卷及答案理
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 若siniθcosθ＞0，则θ在( )(A) 第一、二象限(B) 第一、三象限(C) 第一、四象限(D) 第二、四象限(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是( )(A) (x－3) 2＋(y＋1) 2 = 4 (B) (x＋3) 2＋(y－1) 2 = 4(C) (x－1) 2＋(y－1) 2 = 4 (D) (x＋1) 2＋(y＋1) 2 = 4(3) 设｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )(A) 1(B) 2(C) 4(D) 6(4) 若定义在区间(－1，0)的函数f (x ) = log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是( )(A)(210，)(B)⎥⎦⎤⎝⎛210，(C) (21，＋∞) (D) (0，＋∞)(5) 极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是 ( )(6) 函数y = cos x ＋1(－π≤x ≤0)的反函数是 ( )(A) y =－arc cos (x －1)(0≤x ≤2) (B) y = π－arc cos (x －1)(0≤x ≤2) (C) y = arc cos (x －1)(0≤x ≤2)(D) y = π＋arc cos (x －1)(0≤x ≤2)(7) 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0) F 2 (3，0)，则其离心率为 ( )(A)43(B)32 (C)21 (D) 41(8) 若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 ( )(A) a ＜b(B) a ＞b(C) ab ＜1(D) ab ＞2(9) 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B 所成的角的大小为( )(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°(10) 设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题：① 若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增； ② 若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增； ③ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减； ④ 若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减． 其中，正确的命题是( )(A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( ) (A) P 3＞P 2＞P 1(B) P 3＞P 2 = P 1(C) P 3 = P 2＞P 1(D) P 3 = P 2 = P 1(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为( )(A) 26 (B) 24(C) 20(D) 19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 (14)双曲线116922=-yx的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P到x 轴的距离为(15)设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则 q =(16)圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ．(Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (18) (本小题满分12分) 已知复数z 1 = i (1－i ) 3． (Ⅰ)求arg z 1及1z ；(Ⅱ)当复数z 满足1z =1，求1z z -的最大值． (19) (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．(20) (本小题满分12分)已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n ．(Ⅰ)证明in i i m i P m P n <；(Ⅱ)证明(1＋m ) n ＞ (1＋n ) m ． (21) (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41．(Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ (22) (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈[0，21]都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)．且f (1) = a ＞0． (Ⅰ)求f (21) 及f (41)；(Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数； (Ⅲ)记a n = f (2n ＋n21)，求()n n a ln lim ∞→．2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）2π （14）516 （15）1 （16）2n (n －1)三.解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是 M 底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC ， ……2分∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31 M 底面43131⨯⨯=41=． ……4分（Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE 则SE 是所求二面角的棱． ……6分 ∵ AD ∥BC ，BC = 2AD ，∴ EA = AB = SA ，∴ SE ⊥SB ，∵ SA ⊥面ABCD ，得SEB ⊥面EBC ，EB 是交线， 又BC ⊥EB ，∴ BC ⊥面SEB ， 故SB 是CS 在面SEB 上的射影， ∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角． ……10分 ∵ 22AB SASB +=2=，BC =1，BC ⊥SB ，∴ tan ∠BSC =22=SBBC ．即所求二面角的正切值为22． ……12分（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）z 1 = i (1－i ) 3 = 2－2i ， 将z 1化为三角形式，得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=47sin 47cos 221ππi z ，∴ 47arg 1π=z ，221=z ． ……6分（Ⅱ）设z = cos α＋i sin α，则z －z 1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i ， ()()22212sin 2cos ++-=-ααz zsin 249+=(4πα-)， ……9分当sin(4πα-) = 1时，21z z -取得最大值249+．从而得到1z z -的最大值为122+． ……12分 （19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明一：因为抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F (2p ，0)，所以经过点F 的直线的方程可设为2p my x +=； ……4分代入抛物线方程得y 2 －2pmy －p 2 = 0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2 = －p 2． ……8分因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x = －2p 上，所以点c 的坐标为（－2p ，y 2），故直线CO的斜率为111222x y y p p y k ==-=．即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． ……12分证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ． ……2分连结AC ，与EF 相交于点N ，则ABBF AC CN AD EN ==，，ABAF BCNF =……6分根据抛物线的几何性质，AD AF =，BC BF =， ……8分∴ NFABBCAF ABBFAD EN =⋅=⋅=，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ． ……12分 （20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）证明： 对于1＜i ≤m 有im p = m ·…·(m －i ＋1)，⋅-⋅=mm mm mp iim 1…mi m 1+-⋅，同理⋅-⋅=nn nn np iin 1…ni n 1+-⋅， ……4分由于 m ＜n ，对整数k = 1，2…，i －1，有mk m nk n ->-，所以iim i in mp np >，即im i i n i p n p m >． ……6分（Ⅱ）证明由二项式定理有()in ni i nC m m∑==+1，()im mi i mC n n ∑==+01，……8分由 (Ⅰ)知i n i p m ＞im i p n (1＜i ≤m ＜n ＝，而 !i p C im im =，!i p C in in =， ……10分所以， im i i n i C n C m >(1＜i ≤m ＜n ＝．因此，∑∑==>mi im i m i in iC n C m 22．又 10000==m n C n C m ，mn nCmCmn==11，()n i m Cm i ni ≤<>0．∴∑∑==>mi im i n i in i C n C m 0．即 (1＋m )n ＞(1＋n )m ． ……12分 （21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－51）万元，……，第n 年投入为800×（1－51）n－1万元．所以，n 年内的总投入为a n = 800＋800×（1－51）＋…＋800×（1－51）n－1∑=--⨯=nk k 11)511(800= 4000×[1－(54)n ]； ……3分第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋41）万元，……，第n 年旅游业收入为400×（1＋41）n－1万元．所以，n 年内的旅游业总收入为b n = 400＋400×（1＋41）＋…＋400×（1＋41）n－1∑=-⨯=nk k 11)45(400= 1600×[ (54)n －1]． ……6分（Ⅱ）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即 1600×[（45）n －1]－4000×[1－（54）n ]＞0．化简得 5×（54）n ＋2×（54）n －7＞0， ……9分设=x （54）n ，代入上式得5x 2－7x ＋2＞0，解此不等式，得52<x ，x ＞1(舍去)． 即 （54）n ＜52，由此得 n ≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分 （22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．（Ⅰ）解：因为对x 1，x 2∈[0，21]，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)，所以=)(x f f (2x ) · f (2x )≥0，x ∈[0，1]．∵ =)1(f f (2121+) = f (21) · f (21) = [f (21)]2，f (21)=f (4141+) = f (41) · f (41) = [f (41)]2． ……3分0)1(>=a f ，∴ f (21)21a =，f (41)41a =． ……6分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x )关于直线x = 1对称， 故 f (x ) = f (1＋1－x )，即f (x ) = f (2－x )，x ∈R ． ……8分 又由f (x )是偶函数知f (－x ) = f (x ) ，x ∈R ， ∴ f (－x ) = f (2－x ) ，x ∈R ， 将上式中－x 以x 代换，得f (x ) = f (x ＋2)，x ∈R ．这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x )≥0，x ∈[0，1]．∵ f (21)= f (n ·n 21) = f (n 21＋（n －1）·n 21) = f (n 21) · f (（n －1）·n 21)= f (n 21) · f (n 21) · … ·f (n 21)= [ f (n 21)]n ，f (21) = 21a ，∴ f (n 21) = n a21．∵ f (x )的一个周期是2，∴ f (2n ＋n 21) = f (n 21)，因此a n = n a 21， ……12分 ∴ ()∞→∞→=n n n a lim ln lim (a n ln 21) = 0． ……14分。
2001年高考试题—数学理(全国卷)
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式： 三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβ−++=sin sin 21cos sin a ()()[]βαβαβ−−+=sin sin 21sin cos a()()[]βαβαβ−++=cos cos 21cos cos a()()[]βαβαβ−−+−=cos cos 21sin sin a正棱台、圆台的侧面积公式 S 台侧l c c )(21+'=其中c ′、c 分别表示上、下底面周长， l 表示斜高或母线长 台体的体积公式 V 台体h S S S S )(31+'+'=一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若sini θcos θ＞0，则θ在 ( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是( )A ．(x －3) 2＋(y ＋1) 2 = 4B ．(x ＋3) 2＋(y －1) 2 = 4C ．(x －1) 2＋(y －1) 2 = 4D ．(x ＋1) 2＋(y ＋1) 2 = 43．设｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ( ) A ．1B ．2C ．4D ．64．若定义在区间(－1，0)的函数2()log (1)a f x x =+满足()0f x >，则a 的取值范围是 ( ) A ．(210，)B ．⎥⎦⎤⎝⎛210，C ．(21，＋∞) D ．(0，＋∞)5．极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是( )6．函数y = cos x ＋1(－π≤x ≤0)的反函数是 ( )A ．y =－arc cos (x －1)(0≤x ≤2)B ．y = π－arc cos (x －1)(0≤x ≤2)C ．y = arc cos (x －1)(0≤x ≤2)D ．y = π＋arc cos (x －1)(0≤x ≤2)7． 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0)， F 2 (3，0)，则其离心率为 ( ) A ．43 B ．32 C ．21 D ．41 8． 若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 ( ) A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．ab ＞29． 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B 所成的角的大小为( ) A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°10．设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题：① 若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增； ② 若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增； ③ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④ 若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减． 其中，正确的命题是 ( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11． 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( ) A ．P 3＞P 2＞P 1B ．P 3＞P 2 = P 1C ．P 3 = P 2＞P 1D ．P 3 = P 2 = P 112． 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为 ( ) A ．26 B ．24C ．20D ．19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是14．双曲线116922=−y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为15．设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则q =16．圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． 18． (本小题满分12分)已知复数z 1 = i (1－i ) 3．(Ⅰ)求arg z 1及1z ；(Ⅱ)当复数z 满足1z =1，求1z z −的最大值． 19． (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ． 20． (本小题满分12分)已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n ． (Ⅰ)证明in iim iP m P n <； (Ⅱ)证明(1＋m ) n ＞ (1＋n ) m ． 21． (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41． (Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？22． (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈[0，21]都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)．且f (1) = a ＞0． (Ⅰ)求f (21) 及f (41)； (Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数； (Ⅲ)记a n = f (2n ＋n21)，求()n n a ln lim ∞→．2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一． 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）2π （14）516（15）1 （16）2n (n －1)三．解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是 M 底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC ， ……2分 ∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面43131⨯⨯=41=． ……4分 （Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE 则SE 是所求二面角的棱． ……6分∵ AD ∥BC ，BC = 2AD ， ∴ EA = AB = SA ，∴ SE ⊥SB ，∵ SA ⊥面ABCD ，得SEB ⊥面EBC ，EB 是交线， 又BC ⊥EB ，∴ BC ⊥面SEB ， 故SB 是CS 在面SEB 上的射影， ∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角． ……10分 ∵ 22AB SA SB +=2=，BC =1，BC ⊥SB ，∴ tan ∠BSC =22=SB BC ． 即所求二面角的正切值为22． ……12分 （18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）z 1 = i (1－i ) 3 = 2－2i ， 将z 1化为三角形式，得⎪⎭⎫⎝⎛+=47sin47cos 221ππi z ，∴ 47arg 1π=z ，221=z ． ……6分 （Ⅱ）设z = cos α＋i sin α，则z －z 1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i ， ()()22212sin 2cos ++−=−ααz zsin 249+=(4πα−)， ……9分当sin(4πα−) = 1时，21z z −取得最大值249+．从而得到1z z −的最大值为122+． ……12分 （19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明一：因为抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F (2p，0)，所以经过点F 的直线的方程可设为2pmy x +=； ……4分 代入抛物线方程得y 2 －2pmy －p 2 = 0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2 = －p 2． ……8分因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x = －2p 上，所以点c 的坐标为（－2p，y 2），故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==−=． 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． ……12分证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ． ……2分 连结AC ，与EF 相交于点N ，则ABBF AC CN AD EN ==，，ABAF BCNF = ……6分根据抛物线的几何性质，AD AF =，BC BF =， ……8分∴ NF ABBC AF ABBF AD EN =⋅=⋅=，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ． ……12分 （20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）证明： 对于1＜i ≤m 有 im p = m ·…·(m －i ＋1)，⋅−⋅=m m m m mp iim 1…m i m 1+−⋅， 同理 ⋅−⋅=n n n n np i in 1…n i n 1+−⋅， ……4分 由于 m ＜n ，对整数k = 1，2…，i －1，有mkm n k n −>−， 所以 i im i i n mp n p >，即im i i n i p n p m >． ……6分（Ⅱ）证明由二项式定理有()in ni i nC m m ∑==+01， ()immi i mCn n ∑==+01， ……8分由 (Ⅰ)知i n i p m ＞im i p n (1＜i ≤m ＜n ＝，而 !i p C i m im=，!i p C i n in =， ……10分所以， imi i n i C n C m >(1＜i ≤m ＜n ＝． 因此，∑∑==>mi imi mi iniC n Cm 22． 又 10000==m n C n C m ，mn nC mC m n==11，()n i m C m i n i ≤<>0． ∴∑∑==>mi imi ni iniC n Cm 0． 即 (1＋m )n ＞(1＋n )m ． ……12分 （21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－51）万元，……，第n 年投入为800×（1－51）n －1万元． 所以，n 年内的总投入为a n = 800＋800×（1－51）＋…＋800×（1－51）n －1∑=−−⨯=nk k 11)511(800= 4000×[1－(54)n]； ……3分 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋41）万元，……，第n年旅游业收入为400×（1＋41）n －1万元．所以，n 年内的旅游业总收入为b n = 400＋400×（1＋41）＋…＋400×（1＋41）n －1∑=−⨯=nk k 11)45(400= 1600×[ (54)n－1]． ……6分 （Ⅱ）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即 1600×[（45）n －1]－4000×[1－（54）n ]＞0．化简得 5×（54）n ＋2×（54）n －7＞0， ……9分 设=x （54）n，代入上式得 5x 2－7x ＋2＞0，解此不等式，得52<x ，x ＞1(舍去)． 即 （54）n ＜52，由此得 n ≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分 （22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．（Ⅰ）解：因为对x 1，x 2∈[0，21]，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)，所以=)(x f f (2x ) · f (2x )≥0，x ∈[0，1]． ∵ =)1(f f (2121+) = f (21) · f (21) = [f (21)]2，f (21)=f (4141+) = f (41) · f (41) = [f (41)]2． ……3分0)1(>=a f ，∴ f (21)21a =，f (41)41a =． ……6分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x )关于直线x = 1对称， 故 f (x ) = f (1＋1－x )，即f (x ) = f (2－x )，x ∈R ． ……8分 又由f (x )是偶函数知f (－x ) = f (x ) ，x ∈R ， ∴ f (－x ) = f (2－x ) ，x ∈R ， 将上式中－x 以x 代换，得f (x ) = f (x ＋2)，x ∈R ．这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x )≥0，x ∈[0，1]．∵ f (21)= f (n ·n 21) = f (n 21＋（n －1）·n 21)= f (n 21) · f (（n －1）·n 21)= f (n 21) · f (n 21) · … ·f (n 21)= [ f (n 21)]n ，f (21) = 21a ，∴ f (n 21) = n a 21．∵ f (x )的一个周期是2，∴ f (2n ＋n 21) = f (n 21)，因此a n = n a 21，……12分 ∴ ()∞→∞→=n n n a lim ln lim (a n ln 21) = 0． ……14分。
2001年高考数学试卷
2001年高考数学试卷 (江西、山西、天津卷)理科类第Ⅰ卷 (选择题共60分)参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的 概率是P ，那么n 次独立重复试 验中恰好发生k 次的概率 k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）函数)32sin(3π+=xy 的周期、振幅依次是（A ）4π、3（B ）4π、－3（C ）π、3（D ）π、－3（2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是（A ）等比数列，但不是等差数列 （B ）等差数列，但不是等比数列 （C ）等差数列，而且也是等比数列（D ）既非等比数列又非等差数列（3）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x （C ）4)1()1(22=-+-y x（D ）4)1()1(22=+++y x（4）若定义在区间（-1，0）内的函数a x f x x f a 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是（A ）)21,0(（B ）]21,0(（C ）),21(+∞（D ）),0(+∞（5）若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，2），则c=（A ）21-a +23b （B ）21a －23b （C ）23a 21-b（D ）－23a 21+bcl S 21=锥侧其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长. 棱锥、圆锥的体积公式 sh V 31=锥体其中s 表示底面积，h 表示高.（6）若A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|．若直线PA 的方程为 01=+-y x ，则直线PB 的方程是（A ）05=-+y x （B ）012=--y x （C ）042=--x y （D ）072=-+y x（7）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα（A ）b a <（B ）b a >（C ）1<ab（D ）2>ab（8）函数331x x y -+=有（A ）极小值－1，极大值1 （B ）极小值－2，极大值3 （C ）极小值－2，极大值2（D ）极小值－1，极大值3（9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分， 一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（A ）3种（B ）4种（C ）5种（D ）6种（10）设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅（A ）43 （B ）－43 （C ）3 （D ）－3（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜。
2001年全国统一高考文科数学试卷
第1页（共16页）2001年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）tan300cot 405︒+︒的值为( )A．1B．1C．1-D．1-2．（5分）过点A (1,1)-、(1,1)B -且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是( )A ．22(3)(1)4x y -++=B ．22(3)(1)4x y ++-=C ．22(1)(1)4x y +++=D ．22(1)(1)4x y -+-=3．（5，则这个圆锥的全面积是()A ．3π B． C ．6π D ．9π4．（5分）若定义在(1,0)-内的函数2()log (1)0a f x x =+>，则a 的取值范围是( )A ．1(0,)2B ．1(0,]2C ．1(,)2+∞ D ．(0,)+∞ 5．（5分）已知复数z =，则1argZ 是( ) A ．3π B ．53π C ．6π D ．116π 6．（5分）函数21(0)x y x -=+>的反函数是( )A ．21log 1y x =-，(1,2)x ∈ B ．21log 1y x =--，(1,2)x ∈ C ．21log 1y x =-，(1x ∈，2] D ．21log 1y x =--，(1x ∈，2] 7．（5分）若椭圆经过原点，且焦点为1(1F ，20)(3,0)F ，则其离心率为( )A ．34B ．23C ．12D ．148．（5分）若04παβ<<<，sin cos a αα+=，sin cos b ββ+=，则( ) A ．1a b << B ．1a b >>C ．1ab <D ．1ab > 9．（5分）冰柜里装有四种饮料：5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶橘子水、6瓶啤酒，其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是( )。
2001年高考试题——数学理(全国卷)[1]
![2001年高考试题——数学理(全国卷)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/ff9fa10d79563c1ec5da712e.png)
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式： 三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a ()()[]βαβαβ--+=sin sin 21sin cos a()()[]βαβαβ-++=cos cos 21cos cos a()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin a正棱台、圆台的侧面积公式 S 台侧l c c )(21+'=其中c ′、c 分别表示上、下底面周长， l 表示斜高或母线长 台体的体积公式 V 台体h S S S S )(31+'+'=一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若sini θcos θ＞0，则θ在 ( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是( )A ．(x －3) 2＋(y ＋1) 2 = 4B ．(x ＋3) 2＋(y －1) 2 = 4C ．(x －1) 2＋(y －1) 2 = 4D ．(x ＋1) 2＋(y ＋1) 2 = 43．设｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ( ) A ．1B ．2C ．4D ．64．若定义在区间(－1，0)的函数2()log (1)a f x x =+满足()0f x >，则a 的取值范围是 ( ) A ．(210，)B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛210，C ．(21，＋∞) D ．(0，＋∞)5．极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是( )6．函数y = cos x ＋1(－π≤x ≤0)的反函数是 ( )A ．y =－arc cos (x －1)(0≤x ≤2)B ．y = π－arc cos (x －1)(0≤x ≤2)C ．y = arc cos (x －1)(0≤x ≤2)D ．y = π＋arc cos (x －1)(0≤x ≤2)7． 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0)， F 2 (3，0)，则其离心率为 ( ) A ．43 B ．32 C ．21 D ．41 8． 若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 ( ) A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．ab ＞29． 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B 所成的角的大小为( ) A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°10．设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题：① 若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增； ② 若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增； ③ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④ 若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减． 其中，正确的命题是 ( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11． 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( ) A ．P 3＞P 2＞P 1B ．P 3＞P 2 = P 1C ．P 3 = P 2＞P 1D ．P 3 = P 2 = P 112． 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为 ( ) A ．26 B ．24C ．20D ．19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为15．设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则q =16．圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． 18． (本小题满分12分)已知复数z 1 = i (1－i ) 3．(Ⅰ)求arg z 1及1z ；(Ⅱ)当复数z 满足1z =1，求1z z -的最大值． 19． (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ． 20． (本小题满分12分)已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n ．(Ⅰ)证明i n i im i P m P n <；(Ⅱ)证明(1＋m ) n ＞ (1＋n ) m ． 21． (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41． (Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？22． (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈[0，21]都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)．且f (1) = a ＞0． (Ⅰ)求f (21) 及f (41)； (Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数； (Ⅲ)记a n = f (2n ＋n21)，求()n n a ln lim ∞→．2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一． 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）2π （14）516（15）1 （16）2n (n －1)三．解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是 M 底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC ， ……2分 ∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面 43131⨯⨯= 41=． ……4分 （Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE 则SE 是所求二面角的棱． ……6分∵ AD ∥BC ，BC = 2AD ，∴ EA = AB = SA ，∴ SE ⊥SB ，∵ SA ⊥面ABCD ，得SEB ⊥面EBC ，EB 是交线， 又BC ⊥EB ，∴ BC ⊥面SEB ， 故SB 是CS 在面SEB 上的射影， ∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角． ……10分 ∵ 22AB SA SB +=2=，BC =1，BC ⊥SB ，∴ tan ∠BSC =22=SB BC ． 即所求二面角的正切值为22． ……12分 （18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）z 1 = i (1－i ) 3 = 2－2i ， 将z 1化为三角形式，得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=47sin 47cos 221ππi z ，∴ 47arg 1π=z ，221=z ． ……6分 （Ⅱ）设z = cos α＋i sin α，则z －z 1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i ， ()()22212sin 2cos ++-=-ααz zsin 249+=(4πα-)， ……9分当sin(4πα-) = 1时，21z z -取得最大值249+．从而得到1z z -的最大值为122+． ……12分 （19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明一：因为抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F (2p，0)，所以经过点F 的直线的方程可设为2pmy x +=； ……4分 代入抛物线方程得y 2 －2pmy －p 2 = 0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2 = －p 2． ……8分因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x = －2p 上，所以点c 的坐标为（－2p，y 2），故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=． 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． ……12分证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ． ……2分连结AC ，与EF 相交于点N ，则ABBF ACCN ADEN ==，，ABAF BCNF =……6分 根据抛物线的几何性质，AD AF =，BC BF =， ……8分∴ NF ABBC AF ABBF AD EN =⋅=⋅=，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ． ……12分 （20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）证明： 对于1＜i ≤m 有im p = m ·…·(m －i ＋1)，⋅-⋅=mm m m m p i im 1…m i m 1+-⋅，同理 ⋅-⋅=n n n n np i in 1…n i n 1+-⋅， ……4分由于 m ＜n ，对整数k = 1，2…，i －1，有mkm n k n ->-， 所以 i im i i n mp n p >，即imi i n i p n p m >． ……6分 （Ⅱ）证明由二项式定理有()inni i nC m m ∑==+01， ()i mmi i mCn n ∑==+01， ……8分由 (Ⅰ)知i n i p m ＞im i p n (1＜i ≤m ＜n ＝，而 !i p C i m im=，!i p C in in =， ……10分所以， imi i n i C n C m >(1＜i ≤m ＜n ＝． 因此，∑∑==>mi imi mi iniC n Cm 22． 又 10000==m n C n C m ，mn nC mC m n ==11，()n i m C m in i ≤<>0．∴∑∑==>mi imi ni iniC n Cm 0． 即 (1＋m )n ＞(1＋n )m ． ……12分 （21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－51）万元，……，第n 年投入为800×（1－51）n －1万元． 所以，n 年内的总投入为a n = 800＋800×（1－51）＋…＋800×（1－51）n －1∑=--⨯=nk k 11)511(800= 4000×[1－(54)n]； ……3分 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋41）万元，……，第n年旅游业收入为400×（1＋41）n －1万元．所以，n 年内的旅游业总收入为b n = 400＋400×（1＋41）＋…＋400×（1＋41）n －1∑=-⨯=nk k 11)45(400= 1600×[ (54)n－1]． ……6分 （Ⅱ）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即 1600×[（45）n －1]－4000×[1－（54）n ]＞0．化简得 5×（54）n ＋2×（54）n －7＞0， ……9分 设=x （54）n，代入上式得 5x 2－7x ＋2＞0，解此不等式，得52<x ，x ＞1(舍去)． 即 （54）n ＜52，由此得 n ≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分 （22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．（Ⅰ）解：因为对x 1，x 2∈[0，21]，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)，所以=)(x f f (2x ) · f (2x )≥0，x ∈[0，1]． ∵ =)1(f f (2121+) = f (21) · f (21) = [f (21)]2，f (21)=f (4141+) = f (41) · f (41) = [f (41)]2． ……3分0)1(>=a f ，∴ f (21)21a =，f (41)41a =． ……6分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x )关于直线x = 1对称， 故 f (x ) = f (1＋1－x )，即f (x ) = f (2－x )，x ∈R ． ……8分 又由f (x )是偶函数知f (－x ) = f (x ) ，x ∈R ， ∴ f (－x ) = f (2－x ) ，x ∈R ， 将上式中－x 以x 代换，得f (x ) = f (x ＋2)，x ∈R ．这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x )≥0，x ∈[0，1]．∵ f (21)= f (n ·n 21) = f (n 21＋（n －1）·n 21)= f (n 21) · f (（n －1）·n 21)= f (n 21) · f (n 21) · … ·f (n 21)= [ f (n 21)]n ，f (21) = 21a ，∴ f (n 21) = n a 21．∵ f (x )的一个周期是2，∴ f (2n ＋n 21) = f (n 21)，因此a n = n a 21，……12分 ∴ ()∞→∞→=n n n a lim ln lim (a n ln 21) = 0． ……14分。
2001年高考试题——数学理(全国卷)
绝密★启用前2001年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理科类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项:1．答第Ⅰ卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）,0cos sin >θθ则θ在（A ）第一、二象限 （B ）第一、三象限 （C ）第一、四象限 （D ）第二、四象限（2）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x （C ）4)1()1(22=-+-y x（D ）4)1()1(22=+++y x（3）设{a n }逆增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）6（4）若定义在区间（-1，0）内的函数a x f x x f a 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是（A ）)21,0(（B ）]21,0(（C ）),21(+∞（D ）),0(+∞（5）极坐极方程)4sin(2πθρ+=的图形是)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅l c c S )(21+'=台侧 其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜 高或母线长. 台体的体积公式h s s s s V )(31+'+'=台体 其中s ′、s 分别表示上、下底面的面积，h 表示高.（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y （B ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y π （C ）)20)(1arccos(≤≤-=x x y（D ）)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π（7）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0），则其离心率为（A ）43（B ）32（C ）21（D ）41（8）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα（A ）b a <（B ）b a >（C ）1<ab（D ）2>ab（9）在正三棱柱所成的角的大小为与则若中B C AB BB AB C B A ABC 111111,2,=-（A ）60°（B ）90°（C ）105°（D ）75°（10） 设)(),(x g x f 都是单调函数，有如下四个命题：①若;)()(,)(,)(单调递增则单调递增单调递增x g x f x g x f - ②若;)()(,)(,)(单调递增则单调递减单调递增x g x f x g x f - ③若;)()(,)(,)(单调递减则单调递增单调递减x g x f x g x f - ④若;)()(,)(,)(单调递减则单调递减单调递减x g x f x g x f - 其中,正确的命题是 （A ）①③（B ）①④（C ）②③（D ）②④（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则（A ）P 3＞P 2＞P 1（B ）P 3＞P 2＝P 1（C ）P 3＝P 2＞P 1（D ）P 3＝P 2＝P 1（12） 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的 数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同 的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（A ）26 （B ）24（C ）20 （D ）19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项:1．第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题 中横线上．（13） 若一个园锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积 是 .（14） 双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2,则点P 到x 轴的距离为 .（15）设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q = .（16）圆周上有2n 个等分点（n>1）,以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，⊥︒=∠SA ABC ,90面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=.21（Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积；得分 评卷人 DSABC（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.（18）（本小题满分12分）已知复数.)1(31i i z -=（Ⅰ）求1arg z 及|z 1|；（Ⅱ）当复数z 满足|z|=1，求||1z z -的最大值.（19）（本小题满分12分） 设抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC//x 轴.证明直线AC 经过原点O.（20）（本小题满分12分） 已知n m i ,,是正整数，且.1n m i <≤<（Ⅰ）证明;in i i m i P m P n <（Ⅱ）证明.)1()1(mn n m +>+（21）（本小题满分12分）某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少51.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.41 （Ⅰ）设n 年内（本年度为第一年）总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？（22）（本小题满分14分）设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x 1,x 2∈[0，21]都有).()()(2121x f x f x x f ⋅=+且f （1）=a ＞0． （Ⅰ）);41(),21(f f 求 （Ⅱ）证明)(x f 是周期函数； （Ⅲ）记),212(nn f a n +=求).(ln lim n n a ∞→。
2001年高考数学试题及答案(全国文)
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) tg300°＋ctg405°的值为( )(A) 31+(B) 31-(C) 3-1+1--(D) 3(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是( )(A) (x－3)2＋(y＋1)2 = 4 (B) (x＋3)2＋(y－1)2 = 4(C) (x－1)2＋(y－1)2 = 4 (D) (x＋1)2＋(y＋1)2 = 4(3) 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的面积是( )(A) 3π(B) π33(C) 6π(D) 9π(4) 若定义在区间(－1，0)内的函数f (x) = log2a(x＋1)满足f (x)＞0，则a的取值范围是()(A)(210，)(B) ⎥⎦⎤⎝⎛210，(C) (21，＋∞) (D) (0，＋∞)(5) 已知复数i z 62+=，则z1arg 是 () (A)6π (B)611π(C)3π (D)35π (6) 函数y = 2－x ＋1(x ＞0)的反函数是 ()(A)11log 2-=x y ，x ∈(1，2) (B) 11log 2--=x y ，x ∈(1，2) (C) 11log 2-=x y ，(]21，∈x (D) 11log 2--=x y ，(]21，∈x (7) 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0) F 2 (3，0)，则其离心率为 () (A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8) 若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 () (A) a ＜b(B) a ＞b(C) ab ＜1(D) ab ＞2(9) 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B所成的角的大小为()(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°(10) 设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题：()①若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递增；②若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递增；③若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减；④若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减．其中，正确的命题是()(A) ①③(B) ①④(C) ②③(D)②④(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则()(A) P 3＞P 2＞P 1(B) P 3＞P 2 = P 1(C) P 3 = P 2＞P 1(D) P 3 = P 2 = P 1(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为 ()(A) 26(B) 24(C) 20(D) 19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13) (121+x )10的二项展开式中x 3的系数为 ．(14) 双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 ．(15) 设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则q = ．(16) 圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 __________ ．三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，S k = 2550． (Ⅰ)求a 及k 的值； (Ⅱ)求∞→n lim (++2111S S …nS 1)． (18) (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (19) (本小题满分12分)已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB = 2，BC = 6，CD = DA= 4 求四边形ABCD 的面积．(20) (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．(21) (本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为λ (λ＜1＝，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？ (22) (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡210，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) ·f (x 2)．(Ⅰ)求⎪⎭⎫ ⎝⎛21f 及⎪⎭⎫⎝⎛41f ；(Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数；2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史财经类）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）A （4）A （5）D（6）A （7）C （8）A （9）B （10）C（11）D （12）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．16（15）1 （16）（13）15 （14）52n (n－1)三.解答题：（17）本小题考查数列求和以及极限的基本概念和运算，考查综合分析的能力．满分12分．解：（Ⅰ）设该等差数列为｛a n ｝，则a 1 = a ，a 2 = 4，a 3 = 3a ，S k =2550．由已知有a ＋3a = 2×4，解得首项a 1 = a = 2，公差d = a 2－a 1= 2． ——2分代入公式()d k k a k S k ⋅-+⋅=211得()25502212=⋅-+⋅k k k ， 整理得 k 2＋k －2550 = 0， 解得 k = 50，k = －51（舍去）．∴ a = 2，k =50． ——6分（Ⅱ）由()d n n a n S n ⋅-+⋅=211得S n = n (n ＋1)，∴()1132121111121++⋅⋅⋅+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++n n S S S n)111()3121()2111(+-+⋅⋅⋅+-+-=n n111+-=n ， ——9分∴1)111(lim )111(lim 21=+-=+⋅⋅⋅++∞→∞→n S S S n n n ． ——12分（18）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是M 底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC ，——2分∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面43131⨯⨯= 41=．——4分（Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ——6分 ∵ AD ∥BC ，BC = 2AD ， ∴ EA = AB = SA ，∴ SE ⊥SB ，∵ SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴ BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC是所求二面角的平面角． ——10分∵ 22AB SA SB +=2=，BC =1，BC ⊥SB ， ∴ tg ∠BSC =22=SB BC ． 即所求二面角的正切值为22． ——12分（19）本小题考查三角函数的基础知识以及运用三角形面积公式及余弦定理解三角形的方法，考查运用知识分析问题、解决问题的能力．满分12分．解：如图，连结BD ，则有四边形ABCD 的面积，C CD BC A AD AB S S S CDB ABD sin 21sin 21⋅+⋅=+=∆∆． ∵ A ＋C = 180°，∴ sin A = sin C ． ∴ ()A CD BC AD AB S sin 21⋅+⋅=()A A sin 16sin 464221=⨯+⨯=． ——6分由余弦定理，在△ABD 中，BD 2 = AB 2＋AD 2－2AB · AD cos A =22+42－2×2×4cos A = 20－16cosA ，在△CDB 中BD 2 = CB 2＋CD 2－2CB · CD cos C = 62＋42－2×6×4cos C= 52－48cos C ，——9分∴ 20－16cos A = 52－48cos C∵ cos C = －cos A ， ∴ 64cos A =－32，21cos -=A ，∴ A = 120°， ∴38120sin 16=︒=S ．——12分（20）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明：因为抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F (2p，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为2p my x +=；——4分代入抛物线方程得y 2 －2pmy －p 2 = 0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2 = －p 2． ——8分因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x = －2p 上，所以点C 的坐标为（－2p，y 2），故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=， 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． ——12分（21）本小题主要考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：设画面高为x cm ，宽为λx cm ，则λ x 2 = 4840． 设纸张面积为S ，有S = (x ＋16) (λ x ＋10) =λx 2＋(16λ＋10)x ＋160，——3分将λ1022=x 代入上式，得)58(10445000λλ++=S ．——6分当λλ58=时，即)185(85<=λ时，S取得最小值． ——8分 此时，高：cm 884840==λx ，宽：cm 558885=⨯=x λ．答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小． ——12分（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．(Ⅰ)解：由f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)，x 1 x 2∈[0，21]知 =)(x f f (2x) · f (2x)≥0，x ∈[0，1]． ——2分∵ =)1(f f (2121+) = f (21) · f (21) = [f (21)]2， 2)1(=f ，∴ f(21)212=．——5分∵ f (21)2)]41([)41()41()4141(f f f f =⋅=+=， f (21)212=，∴ f(41)412=．——8分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x )关于直线x = 1对称， 故 f (x ) = f (1＋1－x )， 即f(x )=f(2－x )，x∈R ． ——11分又由f (x )是偶函数知f (－x ) = f (x ) ，x ∈R ，∴f (－x) = f (2－x) ，x∈R，将上式中－x以x代换，得f (x) = f (x＋2)，x∈R．这表明 f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．——14分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
绝密★启用前2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。
共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项:1．答第Ⅰ卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）tg300°+ctg405°的值为（A ）1+3（B ）1－3（C ）―1―3（D ）－1+3（2）过点A （1，―1）、B （―1，1）且圆心在直线x +y ―2=0上的圆的方程是（A ）4)1()3(22=++-y x（B ）4)1()3(22=-++y x（C ）4)1()1(22=-+-y x （D ）4)1()1(22=+++y x （3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（A ）3π （B ）33π （C ）6π （D ）9π （4） 若定义在区间（―1，0）内的函数a x f x x f 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是（A ）)21,0(（B ）)21,0(（C ）),21(+∞（D ）),0(+∞（5） 已知复数是则z i z1arg,62+=6π （B ）611π（C ）3π（D ）35π（6）函数)0(121>+-=-x y 的反函数是（A ）)2,1(,11log2∈-=x x y（B ）)2,1(,11log2∈--=x x y)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅l c c S )(21+'=台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜 高或母线长.台体的体积公式h s s s s V )(31+'+'=台体其中s ′、s 分别表示上、下底面的面积，h 表示高.（C ）(]2,1,11log2∈-=x x y （D ）(]2,1,11log2∈--=x x y（7）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0），则其离心率为（A ）43（B ）32（C ）21（D ）41（8）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα（A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab （D ）2>ab（9）在正三棱柱所成的角的大小为与则若中B C AB BB AB C B A ABC 111111,2,=-（A ）60°（B ）90°（C ）105°（D ）75°（10） 设)(),(x g x f 都是单调函数，有如下四个命题：①若;)()(,)(,)(单调递增则单调递增单调递增x g x f x g x f - ②若;)()(,)(,)(单调递增则单调递减单调递增x g x f x g x f - ③若;)()(,)(,)(单调递减则单调递增单调递增x g x f x g x f - ④若;)()(,)(,)(单调递减则单调递减单调递减x g x f x g x f - 其中,正确的命题是 （A ）①③（B ）①④（C ）②③（D ）②④（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜三种盖 法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则 （A ）P 3＞P 2＞P 1 （B ）P 3＞P 2＝P 1 （C ）P 3＝P 2＞P 1（D ）P 3＝P 2＝P 1（12） 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的 数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信 息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（A ）26（B ） （C ）20（D ）19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项:1．第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题 中横线上。
（13）的系数为的二项展开式中310)121(x x + .（14） 双曲线116922=-yx的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2,则点P 到x①②③得分 评卷人轴的距离为 .（15）设|a n |是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若|S n |是等差数列，则q = .（15） 圆周上有2n 个等分点（n>1）,以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）a,4,3a,前n 项和为S S =2550k 的值;（Ⅱ）求)111(21SS S linn +++∞→（18）（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD ， SA=AB=BC=1，AD=.21（Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积；（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.DSABC已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。
px的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点Cp2>()0在抛物线的准线上，且BC∥x轴, 证明直线AC经过原点O.（21）（本小题满分12分）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面的上下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？（22）（本小题满分14分）设（x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x 1,x 2∈[0，21]都有).()()(2121x f x f x x f ⋅=+ （Ⅰ）设);41(),21(,2)1(f f f 求=（Ⅱ）证明)(x f 是周期函数。
绝密★启用前2001年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史财经类)参考解答及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分 细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有校严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
（1）B （2）C （3）A （4）A （5）D （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D二、填空：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
（13）15 （14）516 （15）1 （16）2n(n －1)三、解答题（17）本小题考查数列求和以及极限的基本概念和运算，考查综合分析的能力，满分12分。
解：（Ⅰ）设该等差数列为|a n |，则a 1=a , a 2=4, a 3=3a , S 1=2550. 由已知有a +3a =2×4,解得首项a 1=a =2, 公差d =a 2－a 1=2 ……2分代入公式S 1=k ·a 1+2)1(-+k k ·d 得k ·2+2)1(-kk ·2=2550，整理得 k 2+k －2550=0, 解得 k=50, k=－51(舍去). ∴ a=2, k=50.……6分（Ⅱ）由S n =n ·a 1+2)1(-n n ·d 得S n =n(n+1),∴2111S S ++…+3212111⨯+⨯=nS +…+)1(1+n n)3121()2111(-+-=+…+（)111--n n111+-=n ……9分 ∴ 1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∞→∞→n S S S n nn . (12)分（18）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分。
解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是 M 底面=,43125.01)(21=⨯+=⋅+AB AD BC……2分∴四棱锥S —ABCD 的体积是 V=底面M SA ⨯⨯3143131⨯⨯==41.（Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱。
……6分ESCA DB∵ AD ∥BC, BC=2AD, ∴ EA=AB=SA, ∴SE ⊥SB ，∵ SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SE 是SC 在面SEB 上的射影，∴SC ⊥SE ， 所以∠BSC 是所求二面角的平面角. (10)分∵,,1,222SB BC BC ABSA B S ⊥==+=∴.22==∠SBBC BSC tg即所求二面角的正切值为.22 (12)分（19）本小题考查三角函数的基础知识以及运用三角形面积公式及余弦定理解三角形的方 法，考查运用知识分析问题、解决问题的能力，满分12分。
解：如图，连结BD ，则有四边形ABCD 的面积 .sin 21sin 21C CD BC A AD AB S S S CDB ABD ⋅+⋅=+=∆∆∵ A+C=180°, ∴sinA=sinC.A CD BC AD AB S sin )(21⋅+⋅=∴.sin 16sin )4642(21A A =⨯+⨯=……6分由余弦定理，在△ABD 中,BD 2=AB 2+AD 2―2AB ·AdcosA=22+42―2×2×4cosA=20―16cosA, 在△CDB 中,BD 2=CB 2+CD 2―2CB ·CdcosC=62+42―2×6×4cosC =52―48cosC,……9分∴ 20―16cosA=52―48cosC, ∵ cosC=―cosA, ∴ 64cosA=―32,DcosA=―,21∴ A=120°∴ S=16sin120°=38 (10)分（20）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力， 满分12分。