直线与圆
直线与圆的位置关系—知识讲解
直线与圆的位置关系—知识讲解责编：常春芳【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，（1）d＜r直线l与⊙O相交；（2）d=r直线l与⊙O相切；（3）d＞r直线l与⊙O相离.要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线.【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系【高清ID号：356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5∙⨯(cm)，（1）当r=2cm时，CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离【答案】B.类型二、切线的判定与性质2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．【思路点拨】作垂直，证半径．【答案与解析】证明：过D作DF⊥AC于F．∵∠B＝90°，∴DB⊥AB．又AD平分∠BAC，∴ DF＝BD＝半径．∴ AC与⊙D相切．【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可．3．（2016•三明）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．【思路点拨】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．【总结升华】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．【思路点拨】（1）连接OD，证明OD∥AD即可；（2）作DF⊥AB于F，证明△EAD≌△FAD，将DE转化成DF来求.【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝EAD．∴EA∥OD．∵DE⊥EA，∴DE⊥OD．又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）如上图，作DF⊥AB，垂足为F．∴∠DFA＝∠DEA＝90°．∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD．∴AF＝AE＝8，DF＝DE.∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．。
直线与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点在圆外⇔d ＞r ．点在圆上⇔d=r ．点在圆内⇔d ＜r ．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆相交⇔d ＜r ，直线与圆相切⇔d=r ，直线与圆相离⇔d ＞r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系：①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．(3)设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R 和r ，则①两圆外离⇔d ＞R+r ；有4条公切线；②两圆外切⇔d=R ＋r ；有3条公切线；③两圆相交⇔R －r ＜d ＜R+r （R ＞r ）有2条公切线；④两圆内切⇔d=R －r （R ＞r ）有1条公切线；⑤两圆内含⇔d ＜R —r （R ＞r ）有0条公切线．（注意：两圆内含时，如果d 为0，则两圆为同心圆）4.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）例题2图A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；• 当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是 例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15 B. 30 C. 45 D.604. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移个单位长. OD C B Ax y M B A O C l B A 例题3图 例题8图 例题9图 •A B P C EF •O 例题10图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图OO2O16. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC ＝1，，则⊙O的半径等于（）A.45B.54C.43D.657.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长63，以3为半径⊙O的同心圆与直线AB的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定8.如图，在ABC△中，12023AB AC A BC=∠==，°，，A⊙与BC相切于点D，且交AB AC、于M N、两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．9.如图，B是线段AC上的一点，且AB：AC=2：5，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是______cm．12.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30º，弦EF∥AB，连结OC交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为_________．13. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm，∠P=60°．求弦AB的长．中考题型一、选择题1.（2009年·宁德中考）如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB的长为（）A．43 B．4 C．23 D．2（第1题图）（第2题图）2.（2009年·潍坊中考）已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）A．2R B．3R C．R D．32RBPAOC第8题图第9题图第11题图第10题图第12题图第13题图3.（2009年·襄樊中考）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C,若∠A=25°则∠D 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60° D．70°（第3题图） （第4题图）4．（2009年湖南省邵阳市）如图AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结BC 交圆0于点D,连结AD,若∠ABC ＝450,则下列结论正确的是（ ） A.AD ＝21BC B.AD ＝21AC C.AC ＞AB D.AD ＞DC二、填空题5.（2009年·綦江县中考）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交O ⊙于点C ，连结BC ，若34A ∠=°，则C ∠= ．（第5题图） （第6题图）6.（2009年·庆阳市中考）如图直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．三、解答题7.（2009桂林百色）如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过A 点作直线MN ，若∠MAC＝∠ABC ．（1）求证：MN 是半圆的切线； （2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于G ，过D 作DE⊥AB 于E ，交AC 于F ．求证：FD ＝FG ．（3）若△DFG 的面积为4.5，且DG ＝3，GC ＝4，试求△BCG 的面积．课后练习题一、填空题：1、在直角坐标系中，以点（1,2）为圆心，1为半径的圆必与y轴，与x轴2、直线m上一点P与O点的距离是3，⊙O的半径是3，则直线m与⊙O的位置关系是3、R T⊿ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，则以2.4cm为半径的⊙C与直线AB的位置关系是4、如图1，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于D，且∠A=30°，⊙O半径为2cm，则CD=5、如图2，AB切⊙O于C，点D在⊙O上，∠EDC=30°，弦EF∥AB，CF=2，则EF=6、如图3，以O为圆心的两个同心圆中，大圆半径为13cm,小圆半径为5cm，且大圆的弦AB切小圆于P，则AB=7、如图4，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=30°，点P在射线OA上，且OP=6cm，以P为圆心，1cm为半径的⊙P以1cm/s的速度沿射线PB方向运动。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系知识要点：1．直线和圆的位置关系如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么： （1）直线l 和相交⇔d ＜r ，直线和圆有两个交点； （2）直线l 和⊙O 相切⇔d=r ，直线和圆只有一个交点； （3）直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ，直线和圆没有交点。
2．切线的判定和性质：（1）判定：经过半径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
（2）性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
3．外切多边形：（1）和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。
（2）圆的外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边的和相等。
4．切线长定理：（1）在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
(1)(2)(3)二星级题：1．已知⊙A 的直径为6，A 点坐标是（－3，－4），则⊙A 与x 轴的位置关系是 ，与y 轴的位置关系是 ，与直线y=x 的位置关系是 。
2．如图所示，已知菱形ABCD ，对角线AC=16，BD=12，以B 点为圆心，以R 为半径作⊙B 与AD 相切。
求⊙B 的半径。
3．已知C 是AB 的中点，D 点在OC 延长线长，AC 平分∠BAD 。
求证：AD 是⊙O 的切线。
三星级题：1．如图，已知同心⊙O ，外⊙O 的弦AB 、AC 切内⊙O 于点M 、N ，过M 、N 两点的直线交外⊙O 于点D 、E 。
求证：∠DAB=∠EDC 。
2．如图，已知等边三角形一边长的高为h ，内切圆半径为r ，求证：h=3r 。
BDE如图所示，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，以AB 为直径作⊙O 切DC 于E 点。
直线和圆的关系
直线和圆的关系证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：①当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径。
直线和圆的关系 11.直线和圆的关系 1① 相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
② 相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
③ 相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。
④ 直线和圆的关系 12.圆的切线① 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
如图，直线l就是⊙O的切线。
此外，经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；垂直于切线且过切点的直线必过圆心。
② 切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径。
如上图，若直线l是⊙O的切线，A为切点，则l丄OA.3. 切线长① 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
② 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B切点分别为A，B，则PA=PB，∠OPA=∠OPB.4.切线的判定和性质的应用(1)辅助线的练习利用切线的性质进行计算或演示的常用辅助线是连接圆心和切点，利用垂直直角三角形解决相关问题。
(2) 证明直线与圆相切的三种途径证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）①.证直线过半径外端且垂直于这条半径（即运用判定定理）②.证圆心到直线的距离等于圆的半径（即证d=r)③.当题目已知直线与圆的公共点时，一般用方法②，当题目未知直线与圆的公共点时，一般用方法③，方法①运用较少。
判断直线与圆位置关系的方法1、代数法:联立直线方程和圆方程，解方程组，如果方程组无解，则直线与圆分离，如果方程组有一组解，则直线与圆相切，如果方程组有两组解，则直线与圆相交。
直线与圆的关系
直线与圆的关系
直线和圆是数学中的重要概念，它们之间的关系被应用于解决各种问题，并在
不同的研究领域中发挥着重要作用。
直线是指任意给定两点之间的最短路径，它是一个平行四边形中所有顶点的连线。
而圆即一个由一个点为中心，由某一距离为半径的闭合曲线形成的球面。
圆的方程可以表示为：x²+y²=r²，圆的方程的参数包括圆的半径r和圆心位置（h，k）。
直线和圆之间的关系是十分重要的。
通常情况下，直线可以与圆有四种关系：
穿过圆心、与圆相切、穿过圆、相交。
第一种关系是直线穿过圆心，这意味着圆心落在直线上，满足直线方程
y=mx+b，圆方程可以表示为（x-h）²+（y-k）²=r²。
第二种情况是直线与圆相切，此时直线满足直线方程y=mx+b，圆方程可以表
示为（x-h）²+（y-k）²=r²，这意味着直线的斜率等于半径的平方根。
第三种情况是直线穿过圆，这意味着直线满足直线方程y=mx+b，而圆方程可
以表示为（x-h）²+（y-k）²=r²，此时，斜率不等于半径的平方根。
第四种情况是直线与圆相交，满足直线方程y=mx+b，圆方程可以表示为（x-h）²+（y-k）²=r²，斜率可以大于，小于或等于半径的平方根。
在总结以上，我们可以看出，直线和圆之间的关系是一个复杂的问题，有四个
基本的关系，所有的情况都取决于斜率以及圆半径的大小。
因此，要求学生了解直线和圆之间的关系和方程，从而判断他们之间的不同关系，尤其是线与圆相交和线与圆相切等情况，这需要深入研究和分析。
直线与圆的位置关系的数学知识点
直线与圆的位置关系的数学知识点
直线与圆的位置关系的数学知识点
①直线和圆无公共点，称相离。
AB与圆O相离，dr。
②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。
AB 与⊙O相交，d
③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
AB与⊙O相切，d=r。
(d为圆心到直线的距离)
平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程
如果b^2-4ac0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴(或垂直于x轴)，将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1
当x=-C/Ax2时，直线与圆相离;。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系位置关系有三种：相交、相切、相离．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：（1）代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次方程，求出其∆的值，然后比较判别式∆与0的大小关系．若0∆<，则直线与圆相离；若0∆=，则直线与圆相切；若0∆>，则直线与圆相交．（2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系：d r <⇔相交，d r =⇔相切，d r >⇔相离．二、计算直线被圆截得的弦长的常用方法（1）几何方法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算．（2）代数方法：运用韦达定理及弦长公式2221(1)[()4]A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-三、圆与圆的位置关系的判定设2222221111122222:()()(0),:()()(0)C x a y b r r C x a y b r r -+-=>-+-=>，则有：12121C C r r C >+⇔与2C 外离；12121C C r r C =+⇔与2C 外切；1212121r r C C r r C -<<+⇔与2C 相交；1212121()C C r r r r C =-≠⇔与2C 内切；12121C C r r C <-⇔与2C 内含； 四、圆的切线方程问题（1）已知22222222123:,:()(),:0,O x y r O x a y b r O x y Dx Ey F +=-+-=++++=则以00(,)M x y 为切点的1O 的切线方程200;xx yy r +=2O 的切线方程200()()()(),x a x a y b y b r --+--=3O 切线方程0000()()022D x xE y y xx yyF ++++++= （2）已知圆的222x y r +=的切线斜率为k ，则圆的切线方程为21y kx r k =±+（3）已知切线过圆外一点11(,)P x y ,可设切线方程为11(),y y k x x -=-利用相切条件确定斜率k ，此时必有两条切线，不能漏掉斜率不存在的那一条切线．（4）切线长公式：从圆外一点00(,)P x y 引圆222()()x a y b r -+-=的切线，则P 到切点的切线段长为22200()()d x x y y r =-+--；从圆外一点00(,)P x y 引圆220x y Dx Ey F ++++=的切线，则P 到切点的切线段长为220000d x y Dx Ey F =++++五、圆系方程（1）同心圆系2220000()(),,x x y y r x y -+-=为常数，r 为参数．（2）圆心共线且半径相等圆系22200()(),x x y y r -+-=r 为常数，圆心00(,)x y 在直线0ax by c ++=上移动．（3）过两已知圆22(,)0(1,2)i i i i f x y x y D x E y F i =++++==的交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=即12(,)(,)0(1)f x y f x y λλ+=≠-．当1λ=-时，方程变为121212()()0,D D x E E y F F -+-+-=表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心垂直的直线．（4）过直线与圆交点的圆系方程：直线:0l Ax By C ++=与圆22:0C x y Dx Ey F ++++=相交，则方程22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=表示过直线l 与圆C 的两个交点的圆系方程．题型一、直线与圆相交【例1】 直线10x y -+=与圆()2211x y ++=的位置关系是_________．【例2】 圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有_________个．【例3】 判断直线210x y -+=和圆2222410x y mx my m +--+-=的位置关系，结论为（ ）A ．相交但直线不过圆心B ．相交且直线过圆心C ．相交或相切D ．相交、相切或相离 【例4】 自点()64P -，向圆2220x y +=引割线，所得弦长为62，则这条割线所在直线的方程是 ．【例5】 直线023=+-y x 被圆224x y +=截得的弦长为_______.【例6】 若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l ：y kx =的距离为22，则k 的取值范围是_________．【例7】 圆22(2)(3)4x y -++=上与直线20x y -+=距离最远的点的坐标是_________．【例8】 若直线l 与圆22(1)4x y ++=相交于A ,B 两点，且线段AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l的方程为 ．题型二、直线与圆相切【例9】 若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(12)P -，，则ab 的积为_________． 【例10】 过点()4,4引圆()()22134x y -+-=的切线，则切线长是_________．【例11】 动圆C 经过点)0,1(F ，并且与直线1-=x 相切，若动圆C 与直线122++=x y 总有公共点，则圆C 的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π【例12】 求过点(24)A ，向圆224x y +=所引的切线方程为 ．【例13】 已知圆的方程为22220x y ax y a ++++=，一定点为(1,1)A --，要使过定点A 作圆的切线有两条，则a 的取值范围是_________．【例14】 过点(2,4)A --且与直线l ：3260x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程为 ．【例15】 过直线2x =上一点M 向圆()()22511x y ++-=作切线，则M 到切点的最小距离为_______．【例16】 已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆:C 222210x y x y +--+=的两条切线，,A B 是切点，那么四边形PACB 面积的最小值为_______，此时P 点的坐标为_______． 【例17】 已知圆224O x y +=：，过点(2,4)P 与圆O 相切的两条切线为,PA PB ，其中A B 、为切点，求直线AB 的方程．题型三、综合问题【例18】 直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是_________．【例19】 圆224x y +=被直线3230x y +-=截得的劣弧所对的圆心角的大小为_________．【例20】 过点()2,0P 与圆22230x y y ++-=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是_________．【例21】 若直线220(,0)ax by a b -+=>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b+的最小值为____________．【例22】 若过定点(10)M -，且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是____________． 【例23】 若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是_________．【例24】 直线经过点332P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，被圆2225x y +=截得的弦长为8，则此弦所在直线方程为____________．课后练习【题1】 圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是_________．【题2】 直线2x =被圆224x a y -+=（）所截得的弦长等于23，则a 的为_________．【题3】 如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是________．【题4】 经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为____________．【题5】 过点(1,2)P 的直线将圆22450x y x +--=分成两个弓形，当这两个弓形面积之差最大时，这条直线的方程为____________．【题6】 过点(1,2)的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =_________．【题7】 已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740()l m x m y m m +++--=∈R ．（1）证明直线l 与圆相交；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最小时，求直线l 的方程．【题8】 已知圆22:2440C x y x y +-+-=，问最否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在，写出直线方程；若不存在，说明理由．。
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定(编)
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定【知识点一】：直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．【典例分析】1．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤52．如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点（﹣3，0）出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半径为1的圆与函数y＝x的图象相切时，点A的坐标变为（）A．（﹣2，0）B．（﹣，0）或（，0）C．（﹣，0）D．（﹣2，0）或（2，0）3．如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（）A．40°或80°B．50°或100°C．50°或110°D．60°或120°第1题图第2题图第3题图4．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（）A．﹣2≤x≤2B．﹣2＜x＜2C．0≤x≤2D．﹣2≤x≤25．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．6．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．第4题图第5题图第6题图7．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，且＝，连接DE．（1）若＝140°，求∠C的度数．（2）求证AB＝AP．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．【知识点二】：切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．【典例分析】1．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．B．C．D．52．AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．第1题图第2题图第3题图4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，AD＝CD，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E ＝50°，则∠ACD等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC 相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）6．如图，已知一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（）A．2B．C．D．第4题图第5题图第6题图7．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．8．如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝．第7题图第8题图9．如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC．（1）求证：DE⊥AC；（2）若BC＝4cm，AD＝3cm，求AE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD 的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．11．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．13．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．【知识点三】：切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．【典例分析】1．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E （1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝2BC，求证：DA与⊙O相切．4．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．5．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CD⊥AB，联结OD、PC，∠ODC＝∠P，求证：PC是⊙O的切线．6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的平分线CO交AB边于点O，以点O为圆心，OB为半径作⊙O．（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BO＝1，∠BAC＝30°，求△AOC的面积．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD＝5，DC＝3，求AC的长．8．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F 为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。
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直线与圆一、选择题1．(文)(2010·黑龙江哈三中)直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a>0)没有公共点，则a的取值范围是()A．(0，2－1)B．(2－1，2＋1) C．(－2－1，2＋1) D．(0，2＋1) (理)(2010·宁德一中)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．－3<m<1 B．－4<m<2 C．0<m<1 D．m<12．直线l：2xsinα＋2ycosα＋1＝0，圆C：x2＋y2＋2xsinα＋2ycosα＝0，l与C的位置关系是() A．相交B．相切C．相离D．不能确定3．(文)(2010·青岛市质检)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是() A．2 B．1＋ 2 C．2＋22D．1＋2 2(理)(2010·山东肥城联考)若圆x2＋y2－6x－2y＋6＝0上有且仅有三个点到直线ax－y＋1＝0(a 是实数)的距离为1，则a等于()A．±1 B．±24C．±2 D．±324．(2010·深圳中学)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则()A．l的方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0B．l的方程为5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．l的方程为5x－12y＋20＝0D．l的方程为5x＋12y＋20＝05．设直线x＋ky－1＝0被圆O：x2＋y2＝2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x－y－1＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．不确定6．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有()A．66条B．72条C．74条D．78条7．(2010·温州十校)在平面直角坐标系xOy中，过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的一条切线(切点为T)交双曲线的右支于点P，若M为FP的中点，则|OM|－|MT|等于() A．b－a B．a－b C.a＋b2D．a＋b8．(文)(2010·广东茂名)圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab 的取值范围是()A.⎝⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎝⎛⎭⎫－∞，14(理)(2010·泰安质检)如果直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M、N两点，且M、N关于直线x＋y＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx－y＋1≥0kx－my≤0y≥0表示的平面区域的面积是() A.14 B.12C．1 D．29．(文)若动圆C与圆C1：(x＋2)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－2)2＋y2＝4内切，则动圆C的圆心的轨迹是()A．两个椭圆B．一个椭圆及双曲线的一支C．两双曲线的各一支D．双曲线的一支(理)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为()A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时10．(2010·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，则直线ax－by＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的概率为()A.38 B.516 C.58 D.316二、填空题11．(2010·四川广元市质检)已知直线l：x－2y－5＝0与圆O：x2＋y2＝50相交于A、B两点，则△AOB的面积为______．12．(文)(2010·天津南开区模拟)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线OA、OB，A、B为切点，则线段AB的长为________．(理)(2010·甘肃质检)若直线2x－y＋c＝0按向量a＝(1，－1)平移后与圆x2＋y2＝5相切，则c的值为________．13．(2010·湖南文)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________；圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为________．14．(2010·江苏，9)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．三、解答题15．(2010·广东湛江)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．16．(文)(2010·北京延庆县模考)已知长方形ABCD，AB＝22，BC＝1，以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy.(1)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；(2)过点P(0,2)的直线l交(1)中椭圆于M、N两点，判断是否存在直线l，使得以弦MN为直径的圆恰好过原点，并说明理由．(理)(2010·哈三中)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝16.(1)由动点P引圆C的两条切线PA、PB，若直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，且满足k1＋k2＋k1·k2＝－1，求动点P的轨迹方程；(2)另作直线l：kx－y－k＝0，若直线l与圆C交于Q、R两点，且直线l与直线l1：x＋2y＋4＝0的交点为M，线段QR的中点为N，若A(1,0)，求证：|AM|·|AN|为定值．17．(文)已知定直线l：x＝－1，定点F(1,0)，⊙P经过F且与l相切.(1)求P点的轨迹C的方程. (2)是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由.(理)设点F⎝⎛⎭⎫0，32，动圆P经过点F且和直线y＝－32相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线w.(1)求曲线w的方程；(2)过点F作互相垂直的直线l1、l2，分别交曲线w于A、C和B、D两个点，求四边形ABCD面积的最小值．直线与圆答案1文[答案] A[解析] 圆的方程x2＋(y －a)2＝a2，由题意知圆心(0，a)到直线x ＋y －1＝0距离大于a ，即|a －1|2>a ，解得－1－2<a<－1＋2，∵a>0，∴0<a<2－1. 理[答案] C[解析] 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d 小于半径．∵圆x2＋y2－2x －1＝0的圆心是(1,0)，半径是2，∴d ＝|1－0＋m|2<2，∴|m ＋1|<2，∴－3<m<1，故所求的m 的取值集合应是(－3,1)的一个真子集，故选C. 2[答案] A[解析] 圆心C(－sinα，－cosα)到直线l 的距离为 d ＝|－2sin2α－2cos2α＋1|2sinα 2＋ 2cosα 2＝12，圆半径r ＝1，∵d<r ，∴直线l 与⊙C 相交． 3文[答案] B[解析] 圆心C(1,1)到直线x －y －2＝0距离d ＝2，∴所求最大值为d ＋r ＝2＋1. 理[答案] B[解析] 圆(x －3)2＋(y －1)2＝4，半径为2， 由题意圆心(3,1)到直线的距离是1， ∴|3a|a2＋1＝1，∴a ＝±24.4[答案] A[解析] 圆x2＋y2＋2x －4y －20＝0化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，圆心C(－1,2)，半径r ＝5，点在圆内，设l 斜率为k ，方程为y ＝k(x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0， ∵|AB|＝8，∴圆心到直线距离为52－42＝3， ∴|－k －2＋4k|k2＋1＝3，∴k ＝－512，当斜率不存在时，直线x ＝－4也满足．故选A.5[答案] C[解析] ∵直线x ＋ky －1＝0过定点N(1,0)，且点N(1,0)在圆x2＋y2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M 是以ON 为直径的圆，圆心为P ⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12，∵点P ⎝⎛⎭⎫12，0到直线x －y －1＝0的距离为24<12， ∴曲线M 与直线x －y －1＝0相交，故选C. 6[答案] B[解析] 因为在圆x2＋y2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax ＋by －1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B. 7[答案] A[解析] 如图，F′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF|－|PF′|＝2a.又M 为PF 的中点，∴|MF|－|OM|＝a ，即|OM|＝|MF|－a.又直线PF 与圆相切， ∴|FT|＝OF2－OT2＝b ，∴|OM|－|MT|＝|MF|－a －(|MF|－|FT|)＝|FT|－a ＝b －a ，故选A. 8文[答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，故选A. 理[答案] A[解析] ∵直线y ＝kx ＋1与圆的两交点M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，∴圆心在直线x ＋y ＝0上，且两直线y ＝kx ＋1与x ＋y ＝0垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1－k 2＋⎝⎛⎭⎫－m 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1m ＝－1，∴不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y≤0y≥0，表示的平面区域如图，故其面积S ＝12|OA|·yB ＝14.9文[答案] D[解析] 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得 |C1C|＝r ＋1，|C2C|＝r －2， ∴|C1C|－|C2C|＝3，故C 点的轨迹为双曲线的一支． 理[答案] B[解析] 以A 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系，则A(102t,102t)，B(40,0)．当满足下列条件时，B 城市处于危险区内，即(102t －40)2＋(102t)2≤302，解得2－12≤t≤2＋12，故选B. 10[答案] B[解析] 由题意知，圆心C(1,2)到直线ax －by ＝0距离d<1，∴|a －2b|a2＋b2<1，化简得3b －4a<0，如图，满足直线与圆相交的点(a ，b)落在图中阴影部分，E ⎝⎛⎭⎫34，1，∵S 矩形ABCD ＝2，S 梯形OABE ＝⎝⎛⎭⎫14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P ＝582＝516.11[答案] 15[解析] 圆心(0,0)到直线l 距离d ＝5，圆半径R ＝52，∴弦长|AB|＝2 52 2－ 5 2＝65，∴S △AOB ＝12|AB|·d ＝12×65×5＝15.12文[答案] 4[解析] 圆(x －3)2＋(y －4)2＝5的圆心C(3,4)，半径为r ＝5，|CO|＝5，∴切线长|OA|＝25， 由12|OA|·|CA|＝12|OC|·d ，得d ＝2， ∴弦长|AB|＝2d ＝4. 理[答案] 8或－2[解析] 设直线2x －y ＋c ＝0上点P(x0，y0)，按a 平移后移到点P′(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋1y ＝y0－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x －1y0＝y ＋1代入直线2x －y ＋c ＝0中得2x －y －3＋c ＝0，此时直线与圆x2＋y2＝5相切， ∴|－3＋c|5＝5，∴c ＝8或－2.13[答案] －1 x2＋(y －1)2＝1[解析] 过P 、Q 两点的直线的斜率kPQ ＝b － 3－a a － 3－b ＝a ＋b －3a ＋b －3＝1，∴线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为－1，线段PQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a －b ＋32，b －a ＋32，∴PQ 的垂直平分线l 的方程为y －b －a ＋32＝－⎝⎛⎭⎫x －a －b ＋32，即y ＝－x ＋3，设圆心(2,3)关于直线l ：y ＝－x ＋3的对称点为(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋32＝－a ＋22＋3b －3a －2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1，故所求的圆的方程为x2＋(y －1)2＝1. 14[答案] (－13,13)[解析] 由题意知，圆心O(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d<1，∴|c|13<1，∴－13<c<13.15[解析] (1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得|－k －2|k2＋1＝2，即k ＝2±6，从而切线方程为y ＝(2±6)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0， 由直线与圆相切得x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. ∴所求切线的方程为y ＝(2±6)x x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0(2)由|PO|＝|PM|得，x12＋y12＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0. 即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，|PM|取最小值时即 |OP|取得最小值，直线OP ⊥l ， ∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝02x －4y ＋3＝0得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 16文[解析] (1)由题意可得点A ，B ，C 的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，(2，1)．设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则有2a ＝|AC|＋|BC|＝ －2－2 2＋ 0－1 2＋ 2－2 2＋ 0－1 2＝4>22， ∴a ＝2，b2＝a2－c2＝4－2＝2， 椭圆的标准方程为x24＋y22＝1.(2)假设满足条件的直线l 存在，由条件可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2(k≠0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2y2＝4y ＝kx ＋2，消去y 并整理得(1＋2k2)x2＋8kx ＋4＝0∴x1＋x2＝－8k 1＋2k2，x1x2＝41＋2k2若以弦MN 为直径的圆恰好过原点，则OM →⊥ON →， ∴x1x2＋y1y2＝0，∴(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0，∴4 1＋k2 1＋2k2－16k21＋2k2＋4＝0，即8－4k21＋2k2＝0，解得k ＝±2检验知k 值满足判别式Δ>0∴直线l 的方程为y ＝2x ＋2或y ＝－2x ＋2.16理[解析] (1)由k1＋k2＋k1·k2＝－1得，(k1＋1)(k2＋1)＝0，∴k1＝－1或k2＝－1.设切线方程为x ＋y ＝m ，则由圆心到直线距离公式得：m ＝－7±42， ∴P 点轨迹方程为：x ＋y －7±42＝0；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1 x ＋2y ＋4＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －42k ＋1，－5k 2k ＋1 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3 2＋ y －4 2＝16y ＝k x －1 消去y 得(k2＋1)x2－(2k2＋8k ＋6)x ＋k2＋8k ＋9＝0此方程两根即Q 、R 两点的横坐标，由根与系数的关系及中点坐标公式可得xN ＝k2＋4k ＋3k2＋1，代入y ＝k(x －1)得yN ＝4k2＋2kk2＋1， 即N ⎝⎛⎭⎪⎫k2＋4k ＋3k2＋1，4k2＋2k k2＋1，又A(1,0)则由两点间距离公式可得： |AM|·|AN|＝10为定值．17文[解析] (1)由题设知点P 到点F 的距离与点P 到直线l 的距离相等． ∴点P 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线 ∴点P 的轨迹C 的方程为：y2＝4x(2)设AB 的方程为x ＝my ＋n ，代入抛物线方程整理得：y2－4my －4n ＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y1＋y2＝4my1y2＝－4n .∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴y1y2＋x1x2＝0.即y1y2＋y124·y224＝0. ∴y1y2＝－16，∴－4n ＝－16，n ＝4. ∴直线AB ：x ＝my ＋4恒过存在M(4,0)点．17理[解析] (1)由抛物线的定义知点P 的轨迹为以F 为焦点的抛物线，p 2＝32，即p ＝3，∴w ：x2＝6y.(2)设AC ：y ＝kx ＋32，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋32 k≠0x2＝6y ⇒x2－6kx －9＝0. 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，易求|AC|＝6(k2＋1)， ∵l1与l2互相垂直，∴以－1k换k 得|BD|＝6⎝⎛⎭⎫1k2＋1， SABCD ＝12|AC||BD|＝12×6(k2＋1)×6⎝⎛⎭⎫1k2＋1 ＝18⎝⎛⎫2＋k2＋1k2≥18(2＋2)＝72， 当k ＝±1时取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为72.。