《一元微积分A上》2015-2016 学年第一学期
一元微积分A(上)试题
（勤奋、求是、创新、奉献）2012 ～ 2013学年第一学期考试 2012. 11课程代码 210151 班级 姓名___ ______ 学号 ___ _________一元微积分A （上）试卷（本卷考试时间 120 分钟）题号一二三 四 五 六七 八 九 十 十一 十二总 分分值 20分18分5分 5分 6分 5 分5分 6分 7分 9分 8分 6分 100分得 分一、填空题（每小题4分，共5小题20分）1. 极限233632lim 15n n n n→∞++=+ ．2. 3. 设2sin ln3y x =+, 则dy = dx .4. 设函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----，则方程()0f x '=正好有 个实根.5. 函数23x y xe =+的驻点是x = .二、单项选择题（每小题3分，共6小题18分）2t a n 2,00.,0xx y x k xk x x ⎧<⎪===⎨⎪+≥⎩设函数在点连续，则()y f x =O yx2-2()y f x =O yx 2-2O yx 2-2()y f x =Oyx -22-11()y f x =1. 下列极限中存在的是（ ）. A. 11lim 2xx →-； B. 01lim sinx x→； C. 11lim 1x x →-； D. lim arctan x x →∞．2. 设质点的运动方程为)sin(θω+=t A s ，其中,,A ωθ为常数，则（ ）成立.A. 0ds s dt ω+=;B. 2220d s s dt ω+=; C. 220d s ds dt dt ω+=; D. 220d s ds dt dt+=． 3. 函数21()lim1nn xf x x →∞+=+有（ ）个间断点.A. 3;B. 2;C. 1;D. 0.4．在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的函数是（ ）. A. 41()f x x=； B. 2()1f x x =+； C . ()tan f x x =； D .()||f x x =. 5. 设函数()f x 可导，且0lim ()1x f x →'=，则0x =是函数()f x 的（ ） A ．零点; B ．驻点; C ．极值点; D ．以上都不是.6. 设函数()f x 可导，在(,2)-∞-上()0f x '>，在(2,2)-上()0f x '<，在(2,)+∞上()0f x '>，则此函数的图形是( ).A ．B ．C. D ．三、（5分）求极限30sin 21lim x x x e x→+-.四、（5分）设sin tan arccos ln 2xy x x x x =+++，求dxdy .五、（6分）设 sin cos ,cos sin ,x t t t y t t t =-⎧⎨=+⎩， 求4t dydx π=，22d y dx．六、（5分）方程35y y xe x +=确定y 为x 的函数，求出它在1,0x y ==处的导数.七、（5分）一球形物体收缩时，其半径以2cm/s 的速率缩短，试求半径为４m 时，该球形物体体积的变化率.八、(6分) 设函数)(x f ln(2),0sin 2,0ax x x b x +≤⎧=⎨+>⎩，问b a ,为何值时，(1) )(x f 在0=x 连续； (2) )(x f 在0=x 可导；(3) )(x f 在0=x 可导时，求出)(x f '．九、（7分）设曲线c bx ax x y +++=23过)0,1(点，且在该点与直线33+-=x y 相切，此外该函数)(x y y =在2-=x 取得极值，求常数c b a ,,的值.十、(9分)求曲线2ln=的凹凸区间与拐点.y x x十一、（8分）油脂公司要制作一个容积为16πkL的圆柱形储油罐，问应当如何确定油罐的底圆半径r和高h，才能使得造价最省？(体积单位与容积单位的换算公式：3=)1m1kL十二、(6分) 设函数)(x f 在],[b a 上可导，在),(b a 内有二阶导数，且()()0,()()0,f a f b f a f b ''==>试证明：在),(b a 内至少有两个点,ξη，使得()0,()0.f f ξη''==。
一元微积分 (第四章 不定积分)
第四章 不定积分一、概念【理解原函数与不定积分的概念】若()()F x f x ¢=，则称()F x 是()f x 的一个原函数．()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记为()()f x dx F x C =+ò，其中()()F x f x ¢=．二、基本积分公式【掌握不定积分的基本公式】kdx kx C =+⎰ 11x x dx C μμμ+=++⎰ （1μ≠-）ln xxa a dx C a=+⎰ x x e dx e C =+⎰ 1ln dx x C x =+⎰ sin cos xdx x C =-+⎰ cos sin xdx x C =+⎰2sectan xdx x C =+⎰ 2csc cot xdx x C =-+⎰21arctan 1dx x C x =++⎰ arcsin x C =+sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰ln(x C =+ln(x C =++2211arctan x dx C a x a a =++⎰ arcsin x C a=+ 三、求积分的四种方法 【掌握不定积分的凑微分法、第二换元法与分部积分法,会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分】1.公式法 【例1】 求22221111()arctan (1)1dx dx x C x x x x x=-=--+++⎰⎰. 【例2】 求 22tan (sec 1)tan xdx x dx x x C =-=-+⎰⎰.2.凑微分（第一换元法）： ()()f x dx df x ¢=． 常见凑法：11,11x dx dx μμμμ+=≠-+， 1()(0)dx d ax b a a =+≠ ，1ln dx d x x=，x xe dx de = ， sin cos xdx d x =- ， cos sin xdx d x =21arctan 1dx d x x=+， 2sec tan xdx d x =， 2csc cot xdx d x =- 【例1】 求 222221111()2222x x t t x t x xedx e d x e dt e C e C ---=-=---=-+=-+⎰⎰⎰.【例2】 求11(2ln )ln 2ln (2ln )2ln dx d x x C x x x =+=++++⎰⎰【例3】 求 2arctan 1x xxe dx e C e=++⎰. 【补例】 求 111ln(1)111x x x xx x x e e e dx dx dx x e C e e e ⎛⎫+-==+=+++ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰【补例】 求 2221111ln(1)(1)(1)1(1)1x x x x x x x x x e e e dx dx dx x e C e e e e e ⎛⎫+-==-=++++ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰【例4】 求22arcsin x C =-=+.【例5】 求22211sin 11cos tan sec 1sin cos cos cos x dx dx dx d x x x C x x x x -==+=-++⎰⎰⎰⎰.【例6】 求C ==-=.【例7】 求211114()ln 3454151dx x dx C x x x x x -=-=+---++⎰⎰. （分母判别式大于零，拆分） ()22113arctan 6132243dx x dx C x x x -==+-++-⎰⎰【补例】（分母判别式小于零，配方）222222221(613)31(613)361326136132613613133ln 613arctan 222xdx x x d x x dx dx dxx x x x x x x x x x x x x C '-+-+=+=+-+-+-+-+-+-=-+++⎰⎰⎰⎰⎰【例8】【例9】 求32222322111(1)(1)2221(1)3x x x C ==+-+=+原式 (或令tan x t =)【例10】 求2arcsin 2x C -==+.3.分部积分公式：()()()()()()()f x dx u x dv x u x v x v x du x ==-⎰⎰⎰． 被积函数为“反对幂三指”的某两个相乘时，考虑用分部积分公式.选()u x 的原则：“反对幂三指”读在前面的作()u x ；或不易凑进去的作()u x ；若被积函数只有一项，该项即作为()u x ，总之要使右侧积分()()v x du x ⎰易求.【例1】 求x x x x x xxe dx xde xe e dx xe e C ==-=-+⎰⎰⎰.【例2】 求21ln(21)ln(21)ln(21)ln(21)212x x dx x x dx x x x x C x +=+-=+-++++⎰⎰ 【例3】求22222111arctan arctan arctan arctan arctan 2212x x xdx xdx x x dx x x x x x ==--++⎰⎰⎰（）=（）+C 【例4】 求 ln ax xdx ⎰ 分11a a =-⎧⎨≠-⎩两种情况讨论.【例5】 求 cos xe xdx ⎰cos cos cos cos cos sin cos sin cos (sin cos )x x x x x x x x x x xe xdx xde e x e d x e x e xdxe x xde e x e x e xdx ==-=+=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：则 1cos (cos sin )2xxx e xdx e x e x C =++⎰.解：原式11(1)[]ln(1)111111x x xx x x x x x x x e e x xd dx dx x e C e e e e e e+-=-=--=-+=-+-++++++++⎰⎰⎰ 【例7】求 2tan x xdx ⎰2tan x sin (sec 1)tan tan x cos ln cos x x x x x dx xd x xdx x x dx x x C=⋅=-=-=⋅-++⎰⎰⎰⎰221-21-2【例8】 已知()f x 的一个原函数为2ln x ，求()xf x dx '⎰．解：由已知得： ()f x =212ln (ln )2ln x x x x x'=⋅= 2()ln f x dx x C =+⎰ 则222ln ()()()()ln 2ln ln xxf x dx xdf x xf x f x dx x x C x x C x'==-=⋅-+=-+⎰⎰⎰4.第二换元法：()x=()f x dx f j j j j ⅱ蝌令（t ）,dx=（t ）dt（t ）（t ）dt ．被积函数中含根号，若能用凑微分方法积分就用凑微分，若不能就用第二换元法把根号换掉．直接代换：f dx òt ， 倒代换： 令1x t=三角代换：f dx òf dx òf dx ò 令sin x a t =令tan x a t = 令sec x a t =（利用辅助三角形）【例1】 求222arctan 1dt t C C t -=-+=-+.【例2】 求t t t e dt te e C C ==-+=-+⎰⎰t.【例3】 求t = 则434x tdx t dt ==原式23333333444(ln(1))ln(1333411t t C t t t dt dt C t t -+++=⋅===++⎰⎰.t =， 则222ln(1)1tx t dx dt t=+=+原式222arctan 11t dt t C tC t ++==⋅=⎰. 【例5】 求解：令2sin x t = 则2cos dx tdt =2sin 24cos 2(1cos 2)2()2arcsin 222t x tdt t dt t C x C ==+=++=+⋅+⎰⎰【例6】 求1x=t 1arcsin arcsin t C C x -=-+=-+令. 注：本题还可令sec x t =t =【例7】 求解：令：tan x t = 2sec dx tdt = 则原式2sec tan arctan ln tan sec tan sec sec sec sec sec sec ln t t C x x Ct ttdt t t tdt td t t t tdt t t t ++=+⋅=⋅=⋅⋅==⋅-=⋅-⎰⎰⎰⎰ 【例8】()22arctan 1x dx x x +⎰解:令tan x t =，2sec dx tdt =，()2222222222arctan sec cot (csc 1)cot tan sec 21cot cot cot ln sin 22x t t dx tdt t tdt t t dt td t t t x x t tt t tdt t t t C ===-=--⋅+⎡⎤=---=-+-+=⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 则【例9】 （2009数2、3）计算不定积分ln(1dx ⎰211t x t =⇒=-2221ln(1)11ln(1ln(1)1111t dx t d dt t t t t +=+=-⋅---+⎰⎰⎰则22111112111ln 11411(1)412(1)t dt dt C t t t t t t t ⎡⎤-⋅=--=++⎢⎥-+-++++⎣⎦⎰⎰而2ln(1)111ln(1ln 1412(1)t t dx C t t t ++=+-+=--+⎰则【例10】求211t x t =⇒=-则222112212ln 111t t dt dt t C t t t -⎡⎤=-=-+=--+=⎢⎥--+⎣⎦⎰⎰【例11】2222sin cos dxa xb x +⎰解：00a b ≠⎧⎨≠⎩时，原式=22222tan 1tan 1arctan(tan )tan tan 1()d x d x a x C a x a x b b ab b b==+++⎰⎰ 00a b =⎧⎨≠⎩时，原式=2222sec 11tan tan x dx d x x C b b b ==+⎰⎰ 00a b ≠⎧⎨=⎩时，原式=2222csc 11cot cot x dx d x x C a a a =-=-+⎰⎰【例12】 21002100(1)1(1)x x dxx t t t dt --=--⋅=⎰⎰ . 【例13】 求()()()222(11)11111111xxx x x x xxe x e e e e e dx dx dx dx dx e d C x x x x x x x +-==-=+=++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰【例14】 求()2ln 1ln 11ln 1111xx dx xd dx x x x xx ==-⋅=----⎰⎰⎰其他代换（换元）：如万能公式222222212sin cos tan 21111x du u u uu tg dx x x x u u u u-=====+++-，， ，【例】 求22211222221sin 1(1)111tan 12dt dt dx C C t xx t t t t =⋅==-+=-++++++++⎰⎰⎰。
2015-2016一元微积分A下试卷(A卷)
2
5．求定积分
e
1 e
| ln x | dx .
6．求伯努利方程 3y y (1 2 x) y 的通解.
4
三、(8 分) 求曲线 =1, =1+ cos 所围图形公共部分的面积.
3
四、（8 分） 求曲线 y ln x 在区间(2,6)内的一条切线， 使它与直线 x 2, x 6 及曲线 y ln x 所围图形的面积最小.
五、（8 分）求可积函数 f ( x ) ，使对一切 x 有
f ( x ) e ( x 1) 2 (t x ) f (t ) dt .
1
x
4
.
1
二、求解下列各题（6 小题，每题 6 分，共 36 分）
3
1．计算曲线 y x 2 上相应于 0 x 5 的一段弧的长度.2．计算不定积分 Nhomakorabea
1 2
0
arcsin xdx.
3．求微分方程 y 2 y 3 满足初始条件 y (1) 2, y (1) 4 的特解.
4． 设 f ( x ) 有二阶连续导数，f ( ) 2 ， [ f ( x ) f ( x )]sin xdx 5 ， 求 f0 ( .)
（填收敛，发散）的.
7．
x dx 1 x
.
. .
8．微分方程 cos x sin ydx sin x cos ydy 0 的通解为
x 9．微分方程 y y e cos x 满足条件 y (0) 0 的解为
10．设
sin x 是 f ( x ) 的一个原函数， a 0 ，则 f ( ax ) dx x
《一元微积分A上》2013-2014 学年第 一 学期 一元 微积分(A 上) 试卷
f (x) 在[a, b] 上连续 f (x) 在[a, b] 上存在最大值与最小值 （1 分）
f (a) f ( a b ) ， f (b) f ( a b ) a, b 都不是最大值点
2
2
假设最大值点为 (a, b) ， 一定是极大值点
（2 分） （2 分）
f (x) 在 (a, b) 内可导 f ( ) 0 。
]上 的 最 大 值 为
0
，最小值为
2
2
3。
62
二、选择题（将正确答案填入题前括号内，5 小题，每题 3 分，共 15 分）
（ D ）1．以下关于数列收敛的性质描述，正确的是？
（A）若{an} 收敛，{bn} 有界，则{anbn}收敛 （B）若{an} 收敛，{bn} 发散，则{anbn}发散 （C）若{an} 发散，{bn} 发散，则{anbn}发散 （D）若{an} 收敛，{bn} 有界，则{anbn}有界
8．函数 f (x) (x2 2)ex2 的所有单调递增区间为[1, 0] [1, ) 。
9 ． 函 数 f (x) esin x 在 0 点 处 带 佩 亚 诺 型 余 项 的 3 阶 泰 勒 公 式 为
1 x 1 x2 o(x3) 。 2
10 ． 函 数
f
( x)
x
s
i
nx
在
区
间
[
0
,
f ( 3x ) lim
f(
x)
－4
。
x0
x
3． lim(1 1 1 )n e1 。
n
n n2
4． lim x0
x sin
1 x2
0
。
1
最新15级一元微积分A上月考试题
东华大学 2015----2016 学年第一学期月考试卷踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
课程名称 一元微积分A （上） 考试教室教师 班号 姓名 学号一、填空题（每小题 3分，总计 30分 ） 1、函数1ln(12)y x =-的定义域为 ；2、1lim(1)xx x→∞-= ；3、11lim(sin sin )x x x x x→∞-= ； 4、3sin 10() , 00ax x e x f x x a xa x ⎧+-≠⎪===⎨⎪=⎩，当设在处连续，则 ，当 ； 5、已知0lim()x f x a →=存在，并且3x →=，则a = ； 6、设10()0x e x fx a x x ⎧+<=⎨+≥⎩，当a = 时，0lim ()x f x →存在；7、当lim nn n a n a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭a =； 8、当0x →时，1-与1cos x －是等价无穷小，则=a __ __；9、220sin (2)lim ln(13)x x x →+= ；10、x →= .二、选择题（每小题4分，共20分）1、函数()f x 在[,]a b 上有界是()f x 在[,]a b 上连续的（ ）. A ．必要条件 B.充分条件 C. 充分必要条件 D.无关条件2、设函数20()100x e x f x x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩，则下列说法中正确的是（ ）.A ．()f x 有1个间断点 B. ()f x 有2个间断点 C. ()f x 有3个间断点 D. ()f x 无间断点. 3、当0x →时，下列函数中与x 是等价无穷小的是（ ）.A ．1cos x - B. 2tan x x + C. 13sin x x + D.. 4、下列命题中不正确的是( ).A ．数列极限lim lim n n l n n x a x a +→∞→∞=⇔=，其中l 为某个确定的正整数.B. 数列极限212lim lim lim =.n n n n n n x a x x a -→∞→∞→∞=⇔=C. 数列{}n x 极限存在，则{}n x 有界.D. 数列极限lim n n x a →∞=的充要条件是a 的任何领域内都有{}n x 的无穷多项.5、函数210()00102x x f x x x x⎧⎪-≤<⎪==⎨⎪⎪<≤⎩的连续区间为（ ）A ．[1,2]- B. (,)-∞+∞ C. [1,0)(0,2]- D. (1,0)(0,2)-.三、计算下列极限（每小题 5 分，总计20分 ） 1、12sin 0lim(1)xx x x →++2、lim x →+∞-3、2221lim(cos )x x x x→∞+4、利用夹逼准则计算 22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++.四、(8分)用函数极限的εδ→定义证明：1limln 0x x →=.五、 (12分)求2ln||()32x f x x x =-+的间断点，并指出类型.六、 (10分)设函数()f x 在区间[0,2]l 上连续，且(0)(2)f f l =，证明：在[0,]l 上至少存在一点ξ，使()()f f l ξξ=+.东华大学 2015----2016 学年第一学期月考试卷踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
一元微积分(第一章 函数、极限、连续)
第一章 函数、极限、连续重点：1、求函数的极限（最重要的方法是L ’P 法则）2、无穷小的比较3、考察分段函数在分段点的连续性4、间断点的判定及分类5、介值定理 一、函数1、函数的定义及表示法【理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式】 函数概念 ()y f x =函数的两要素 ⎧⎨⎩定义域对应规则函数的表示方法① 显函数： ()y f x =② 隐函数：由方程(,)0F x y =确定的函数()y y x =.例：1yy xe +=确定了()y y x =⇒01x y==．③ 参数方程表示的函数：由方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩确定的函数()y y x =.例：2ln(1)arctan x t y t⎧=+⎨=⎩ 确定了()y f x =.④ 积分上限函数： ()()xax f t dt Φ=⎰．例：2311()(1)3xx t dt x Φ==-⎰⑤ 概率表示的函数：()()F x P X x =≤， 其中X 为随机变量，x 为实数.⑥ 分段函数：自变量不同范围内用不同式子表示的一个函数．【例】 ,0()sin ,0a x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ ； 1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ .如 A. 绝对值表示的函数 11111x x y x xx -≥⎧=-=⎨-<⎩ ；B. 极限表示的函数 2211()lim111nnn x x x f x x x x x x →∞⎧<-⎪=⋅==⎨+⎪->⎩； C. 其他形式 2022101()max{1,}12x x f x x xx ≤≤≤≤⎧==⎨<≤⎩ ．10sgn()0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩-------符号函数[]y x =--取整函数．2、函数的性质 【了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性】①．有界性：()f x 在某区间I 内有定义，若存在0M >，对任意x I ∈，总有()f x M ≤， 则称()f x 在某区间I 内有界.否则称()f x 在某区间I 内无界.例：2111sin1,(0);arctan ,();,1,()2121xx x x x R x R xx e π≤≠≤∈≤<∈++． ②．单调性：()f x 在某区间I 内有定义，若12,x x I ∀∈，当12x x <时12()()f x f x ≤，就称()f x 单调上升；当12x x <时，12()()f x f x ≥，就称()f x 单调下降． 不含等号时称严格单增（或单减）.③．奇偶性：若()()f x f x -=， 则称()f x 为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称； 若()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数，奇函数的图形关于原点对称．④．周期性：()()(0)f x T f x T +=≠． （主要是三角函数）【例1】讨论()ln(f x x =的奇偶性． 【奇函数】 【例2】 设sin ()tan xf x x x e=⋅⋅，则()f x 是（ ）．A. 偶函数B. 无界函数C. 周期函数D. 单调函数． 【解】 因为 2x k ππ→+时， ()f x →∞，所以()f x 非有界即为无界函数.3、 基本初等函数 【掌握基本初等函数的性质及图形】 （反、对、幂、三、指）① 常数函数---y C =② 幂函数---y x μ= （μ为常数）例：21,y x y y x===③ 指数函数---xy a = （0,1a a >≠） ，xy e =④ 对数函数---log a y x = （0,1a a >≠） ， ln y x =， lg y x = ⑤ 三角函数---sin ,cos ,tan y x y x y x===⑥ 反三角函数---arcsin ,arctan y x y x==4、 复合函数、反函数、初等函数 【了解反函数和隐函数的概念，理解复合函数及分段函数的概 念，了解初等函数的概念】① 复合函数 (),()[()y f uu x y f x ϕϕ==⇒=；f 为外层函数，ϕ称为内层函数．② 反函数 ()y y x =的反函数为1()x fy -=或1()y fx -=.【例】3y x x y =⇒=⇒3y x =的反函数.【例】 sin xy e= 看作是由 ,sin uy e u x == 复合而成的复合函数.③ 初等函数：由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而得的用一个数学式子 表示的函数. 注意：分段函数一般不是初等函数。
一元微积分大一知识点总结
一元微积分大一知识点总结微积分是数学的一个重要分支，包括微分学和积分学两个部分。
在大一学习微积分的过程中，我们需要掌握一些基本的概念、理论和技巧。
本文将对一元微积分大一知识点进行总结，希望能够帮助大家复习和巩固所学内容。
一、函数与极限函数是微积分的基础，我们需要了解函数的定义、性质以及常见函数的图像和性质。
另外，理解极限的概念也是非常重要的。
1. 函数：函数的定义：函数是一种映射关系，将自变量的值映射为因变量的值。
常见函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
函数的图像：函数图像可以通过画出关键点、研究增减性和凹凸性等方法得到。
极限的定义：函数在某一点无论从左侧还是右侧逼近时的极限都相等，则称该函数在该点有极限。
极限的性质：极限存在的充分必要条件是左极限和右极限存在且相等。
二、导数与微分导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
微分是导数的一个应用，主要用于求解函数的近似值和极值问题。
1. 导数：导数的定义：函数在一点的导数表示了函数在该点的切线斜率。
导数的计算方法：可以利用极限的性质来求解导数，也可以利用求导法则进行计算。
导数的性质：导数运算是线性的，满足求和、差、常数倍、乘积、商等法则。
微分的定义：微分表示了函数的变化量与自变量的变化量之间的关系。
微分的应用：微分可以用来求函数的近似值，也可以用来研究函数的极值问题。
三、积分与定积分积分是导数的逆运算，它可以用来求反函数、定积分以及解决曲线下面积的问题。
1. 不定积分：不定积分的定义：不定积分可以看作是导数的逆运算，表示了函数的原函数。
不定积分的计算方法：可以利用基本积分公式和换元积分法进行计算。
2. 定积分：定积分的定义：定积分表示了函数在一个区间上的累积效应，可以用来求解曲线下面积等问题。
定积分的计算方法：可以利用定积分的性质和积分区间的划分来计算定积分。
四、微分方程微分方程是一种包含导数的方程，它在各个学科中都有广泛的应用，尤其在物理和工程领域中扮演着重要角色。
一元微积分高难度习题
第一章、极限与连续 1．求21)]1x x x -→+∞+-。
2。
求n 0≥x )。
3． 设3214lim1x x ax x l x →---+=+，求常数,a l 。
4。
求已知()0lim x f x →存在，且3x →=，求()0lim x f x →．5。
极限sin sin sin lim sin x t xt xt x -→⎛⎫⎪⎝⎭，并记此极限为()f x ，求函数()f x 的间断点并指出其间断类型。
6。
求常数,a b ，使()1,0, 011arctan , 1-1x x f x ax b x x x ⎧<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩在所定义的区间上连续． 7。
设()()21211lim ,1n n n n n x a x f x a x ax +→∞+--=--为常数，求()f x 的分段表达式，并确定常数a 的值，使()f x 在[0,)+∞上连续． 8．设101=x , n n x x +=+61( ,3,2,1=n ),试证数列{}n x 极限存在,并求此极限。
第二章、导数1．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0),0(,0,)()(x f x x x f x F 其中)(x f 在0=x 处可导，0)0(≠'f ，0)0(=f ，则的是 )( 0x F x =（ ）（A ）连续点； （B ）第一类间断点； （C ）第二类间断点； （D ）不能确定。
2．函数x x x x x f ---=32)2()(不可导点的个数是（ ）. (A)3； (B)2； (C)1； (D)0。
3．⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=,0 ),(,0 ,cos 1)(2x x g x x xxx f 其中)(x g 是有界函数，则)(x f 在0=x 处（ ）（A ）极限不存在；（B ）极限存在但不连续；（C ）连续但不可导；（D ）可导。
4．设x x x x f -=2)(，则)(x f （ ）（A ）处处不可导；（B ）处处可导；（C ）有且仅有一个不可导点；（D ）有且仅有两个不可导点。
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用的 2 倍.问圆柱体的底面半径 R 等于多少时，费用最省？ 解：设侧面每平方米的费用为 k，
V 2 R3 R2h 3
h
V
2 R3 3
R2
V R2
2 3
R
f 2 R2 2k 2 Rhk 4k R2 2kV 4 k R2 R3
f (R) 8k R 2kV
8 k R 16 k R 2kV
1 的水平渐近线为 y 1 , 垂直渐近线为 x 1 .
1
2
1 ex
（3） a 0 时， lim sin x sin a cosa. xa sin(x a)
（4）设 y f (arccot 1 ) ， 则 dy f (arc cot 1 ) 1 dx .
x
x 1 x2
（5）设点 (1, 5) 是曲线 y ax3 bx2 的拐点，则参数 a 5 / 2 , b 15 / 2 .
f(0)
lim
x0
aex
bex x
1
lim
x0
aex
bex 1
ab ,
1
f(0)
lim
x0
ln(1 x) 1
x
x
lim
x0
ln(1 x) x x2
1, 2
x 0 处可导, a b 1 ,可得 a 1 , b 3 , f (0) 1
.
2
44
2
四、（9 分）某建筑物的外形是圆柱体的上方接一半球体，其体积是 V，考虑材 料和加工两方面的因素，半球顶表面每平方米的费用是圆柱体侧面每平方米的费
x 1
x 1
a b 1 1+a b ，推得 a b=5 .
5
6
当 a b=5 时 f (x) 在 x 1 连续。 六、(5 分) 设 f (x) 在[0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导， f (0) 0, f (1) 1 ,
3 证明存在不同的 , (0,1) 使得 f ( ) f ( ) 2 2 .
n
5 en( x1)
x2
x 1
解：
f
(x)
1
a 6
b
x 1
ax b 5
x 1
ax b a b
lim f (x) lim
x 1
5 x 1
5
lim f (x) lim x2 1
x1
x1
若使 f (x) 在 x 1 连续， lim f (x) lim f (x) f (1)
1
（6）函数
f
(x)
x
e2
在x
0
处的
3
阶带拉格朗日型余项的泰勒公式为
1 x
f (x) 1 1 x 1 x2 1 x3 e2 x4 2 8 48 384
(0 1) .
(7)设当 x 0 时，ex (ax2 bx 1) 是比 x2 高阶的无穷小，则 a 1 , b 1 . 2
（8）设 y xx sin x ，则 dy xx sin x(ln x 1 cot x) . dx
解：方程 xy e y esin x 0 两边同取导数， y xy e y y esin x cos x 0 ， 将 (0, 0) 带入 y xy e y y esin x cos x 0 解得 y 1 所以切线方程为 y x ，法线方程为 y x 。
x ln(1 t 2 )
证明：设 F (x) f (x) x3 ，则 F (x) 在[0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导, 3
F (1) F (0) 0 ，由拉格朗日中值定理存在 (0, 1 ) ，使得 2
F ( )
f ( ) 2
F (1) F (0) 2
2F(1)
1 0
2
2
存在 ( 1 ,1) ，使得 2
x
解：
lim
1
ex
a
a
，
lim
ln(1
2x)
b
2
b
x0
x0
x
若连续 a 2 b 2 ，所以 a 2, b 4 .
1
（4）求极限
lim
x0
sin x
x
1cos
x
.
解： lim ln y lim
1
ln
sin
x
lim
ln sin
x
ln
x
lim
cos x sin x
1 x
x0
x0 1 cos x x x0 1 cos x
1
F ( ) f ( ) 2F (1) F ( ) 2
2F (1)
1 1
2
2
故存在不同的 , (0,1) 使得 f ( ) 2 f ( ) 2 0 ，即 f ( ) f ( ) 2 2 .
4
16 k R3 2kV 3
0
R2 3
3
R2
R2
16 k R3 2kV
1 3V R 3
3
2
1 3V R 3
时导数大于 0, R 1 3
3V
时导数小于 0
2
2
故当 R 1 3 3V 时费用最省. 2
3
五、(7 分)设 f (x) lim x2en(x1) ax b ，求 f (x) 并讨论 f (x) 在 x 1 处的连续性.
3ex
2x
lim
x 1 ln 3
3
e
1 x
,
x 1 为第二类间断点. ln 3
aex bex
三、(9 分)
设
f
(
x)
1
x ln(1 x)
x0 在 x 0 处可导，求 a, b ，并求 f (0) .
x0
解： f (x) 在 x 0 处可导因而连续， f (0) 1 f (0) a b
（9）函数 y x2 2x 2 单调增加的区间是 (, 0) (2, ) . x 1
（10）设 y 2 x ，则 y(n) = 3 (1)n n! .
1 x
(1 x)n1
1
二、解下列各题（每题 6 分，共 30 分） （1）求曲线 xy e y esin x 0 在点 (0, 0) 处的切线方程和法线方程。
（2）设
，求 dy ,
y 2 arctan t
dx
d2y .
dx2
1
解： dy 1 t 2 1 ,
dx 2t
2t
1 t2
11
d2y
2
t2
1 t2
.
dx2 2t
4t 3
1 t2
1
ex a
x0
（3）求常数
a, b
使
f
(x)
2
x 0 在 x 0 连续.
ln(1
2x)
b
x0
2015-2016 学年第一学期一元微积分(A 上)试卷（A 卷）
踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负
教师
班号 专业班级
学号
姓名
题号 一
二
三
四
五
六 总分
得分
一、 填空题（每题 4 分，共 40 分） （1）[(1-2x)100 ] 200(1 2 x)99 .
（2）曲线 y 1 1 x
x0 sin x
x cos x sin x
x sin x 1
lim
lim
x0
x3
x0 3x2
3
1
lim
x0
sin x
x
1cos
x
1
e 3
2
（5）求函数 f (x)
2x 的间断点并指出间断点的类型 1
3ex
解： lim f (x) x0
2x
1
0;
3ex
lim
x0
2x
1
0 , x 0 为第一类可去间断点