高中数学第二章第二课时圆的参数方程及应用教学案新人教A版选修4-4
高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4
曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。
例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。
高中数学第二章参数方程一曲线的参数方程第2课时圆的参数方程高效演练新人教A版选修4-4(2021年
2018-2019学年高中数学第二章参数方程一曲线的参数方程第2课时圆的参数方程高效演练新人教A版选修4-4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章参数方程一曲线的参数方程第2课时圆的参数方程高效演练新人教A版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第二章参数方程一曲线的参数方程第2课时圆的参数方程高效演练新人教A版选修4-4的全部内容。
第2课时 圆的参数方程[A 级 基础巩固］一、选择题1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θy ＝3＋2sin θ(θ为参数）围成图形的面积等于（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案：D 2．圆x 2＋（y ＋1）2＝2的参数方程为( )A.错误!(θ为参数）B 。
错误!(θ为参数)C 。
错误!(θ为参数)D.错误!(θ为参数）解析:由x ＝错误!cos θ，y ＋1＝错误!sin θ知参数方程为错误!（θ为参数）．答案:D3．已知圆O 的参数方程是错误!（0≤θ〈2π），圆上点A 的坐标是(4,－3错误!)，则参数θ＝（ )A 。
7π6B.错误!C.错误! D 。
错误! 解析：由题意错误!（0≤θ〈2π），所以错误!（0≤θ〈2π)，解得θ＝错误!。
答案：D4．若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( ）A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：由于圆x 2＋y 2＝1的参数方程为错误!（θ为参数)，则x ＋错误!y ＝错误!sin θ＋cosθ＝2sin 错误!，故x ＋错误!y 的最大值为2.答案:B5．直线：3x－4y－9＝0与圆:错误!(θ为参数)的位置关系是( ）A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0，0），半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d＝错误!〈2。
2019-2020学年高中数学 第二章 参数方程 2.1 参数方程的概念教案 新人教A版选修4-4.doc
2019-2020学年高中数学 第二章 参数方程 2.1 参数方程的概念教案 新人教A 版选修4-4【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 2．分析探究理解： （1）、斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα （2）、抽象概括：参数方程的概念。
说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
（3）平抛运动：为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-==（4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。
（二）、应用举例：例1、已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)（1）判断点1M(0,1),2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。
分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。
学生练习。
反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。
高中数学 2.1参数方程的概念教案 新人教版选修4-4-新人教版高二选修4-4数学教案
第二章 参数方程【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
第一课时 参数方程的概念一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α2．分析探究理解：（1）、斜抛运动：（2）、抽象概括：参数方程的概念。
说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
（3）平抛运动： （4的参数方程消去参数t 后，参数方程的作用。
（二）、应用举例：例1、已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)（1）判断点1M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。
分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。
学生练习。
反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。
例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为60πrad/s,试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。
解析：如图，运动开始时质点位于A 点处，此时t=0，设动点M （x,y ）对应时刻t,由图可知2cos 602sin {x y t θθθ=π==又，得参数方程为60602cos 2sin (0){x t y t t ππ==≥。
2019-2020年高中数学第二章参数方程一2圆的参数方程教学案新人教A版选修4
2019-2020年高中数学第二章参数方程一2圆的参数方程教学案新人教A版选修4[对应学生用书P17]圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝xr ，sin ωt ＝y r，即圆心在原点O ，半径为r的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωty ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ(0≤θ＜2π)．[对应学生用书P17][例1] 圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解． [解] 如图所示，设圆心为O ′，连O ′M ，∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ，(θ为参数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.[例2] 若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．[思路点拨] (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．[解] 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1.∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |2≤1.解得1－2≤a ≤1＋ 2.法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)．∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.[对应学生用书P19]一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．答案：D2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ，故直线与圆相交，有两个公共点． 答案：C3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.答案：D4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36. 答案：A 二、填空题5．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________．解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，令2cos θ＝1得cos θ＝12，∴sin θ＝±32.∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)． 答案：(1，3)；(1，－3)6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆7．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ，为所求．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝12sin 2θ三、解答题8．P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点 ①画图并写出⊙O 的参数方程；②当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：①如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.②设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)， 因Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ.9．(新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 10．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3x －，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．。
高中数学 第二章 参数方程 第2节 第2课时 双曲线、抛物线的参数方程教学案 新人教A版选修4-4-
第2课时 双曲线、抛物线的参数方程[核心必知]1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ，规定参数φ的取值X 围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sec φ．2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，t ∈R ．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[问题思考]1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？提示：参数φ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？提示：如果x 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在x 轴上； 如果y 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在y 轴上．3．假设抛物线的参数方程表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2ptan α.那么参数α的几何意义是什么？提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M ，以射线OM 为终边的角．在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.[精讲详析] 此题考查双曲线的参数方程的应用，解答此题需要先求出双曲线的参数方程，设出P 点的坐标，建立方程求解．设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－35.sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45.∴P 的坐标为(54，－34)或(－54，34)．——————————————————参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点． 证明：设双曲线为x 2－y 2＝a 2，取顶点A (a ，0)，弦B ′B ∥Ox ，B (a sec α，a tan α)，那么B ′(－a sec α，a tan α)．∵k B ′A ＝a tan α－a sec α－a ，k BA ＝a tan αa sec α－a，∴k B ′A ·k BA ＝－1.∴以BB ′为直径的圆过双曲线的顶点．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[精讲详析] 此题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答此题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M 、P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．设M (x 、y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在抛物线的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2， 变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y .表示的为抛物线．——————————————————在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标2．抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x . 又∵M 点的纵坐标为2， ∴M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．又∵抛物线的准线方程为x ＝－12.∴由抛物线的定义知|MF |＝2－(－12)＝2＋12＝52.即点M 到抛物线焦点的距离为52.如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．[精讲详析] 此题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答此题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据条件求出椭圆的参数方程求解即可．∵x 216－y 29＝1，∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，∴a ＝5，c ＝4，b ＝3.∴方程为x 225＋y 29＝1.设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为3x －4y ＝0，∴点P 到直线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin 〔θ－φ〕|5(tan φ＝54)．∴d max ＝3415.——————————————————对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．3．(某某高考)两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为______________．解析：由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得x ＝54y 2.联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y2那么5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)，那么x ＝54y 2＝1.又y ≥0，所以其交点坐标为(1，255)．答案：(1，255)本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化．某某高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用，属低档题．[考题印证](某某高考)抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .假设|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，那么p ＝________．[命题立意] 此题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用． [解析] 由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p2，设准线与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在Rt △EFA 中，|EF |＝2|FA |，即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：2一、选择题1．以下参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos2tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：选D 注意参数X 围，可利用排除法．普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C.2．以下双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 解析：选B 由x ＝3sec θ得，x 2＝3cos 2θ＝3〔sin 2θ＋cos 2θ〕cos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适．3．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )条( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t 得y 2＝8x .∴点M (2，4)在抛物线上．∴过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．4．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－t，y ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的上支 C ．双曲线下支 D ．圆解析：选B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t>0，2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，即y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支．二、填空题5．(某某高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y 2＝4x ，那么焦点坐标为(1，0)． 答案：(1，0)6．抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数)设O 为坐标原点，点M 在C 上运动(点M 与O 不重合)，P (x ，y )是线段OM 的中点，那么点P 的轨迹普通方程为________．解析：抛物线的普通方程为y 2＝2x ，设点P (x ，y )，点M 为(x 1，y 1)(x 1≠0)，那么x 1＝2x ，y 1＝2y .∵点M 在抛物线上，且点M 与O 不重合， ∴4y 2＝4x ⇒y 2＝x .(x ≠0) 答案：y 2＝x (x ≠0)7．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是________．解析：双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的标准方程为y 236－x 212＝1，焦点在y 轴上，c 2＝a 2＋b 2＝48. ∴焦点坐标为(0，±43)． 答案：(0，±43)8．(某某高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，那么曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝ t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2. 由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1) 三、解答题9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A 、B 是双曲线同支上相异两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0，0)，求证：|x 0|>a 2＋b 2a.证明：设A 、B 坐标分别为(a sec α，b tan α)，(a sec β，b tan β)，那么中点为M (a2(sec α＋sec β)，b2(tan α＋tan β))，于是线段AB 中垂线方程为y －b2(tan α＋tan β)＝－a 〔sec α－sec β〕b 〔tan α－tan β〕[x －a2(sec α＋sec β)]．将P (x 0，0)代入上式，∴x 0＝a 2＋b 22a(sec α＋sec β)．∵A 、B 是双曲线同支上的不同两点， ∴|sec α＋sec β|>2.∴|x 0|>a 2＋b 2a.10．过点A (1，0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M 、N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)， 那么k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.∴kAP＝4〔t 1＋t 2〕4〔t 21＋t 22〕－1. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4〔t 21＋t 22〕，y ＝4〔t 1＋t 2〕， 那么y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16(x 4－14)＝4(x －1)．∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．11．圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P 、Q 两点距离的最小值．解：设Q (sec θ，tan θ)，|O 1P |＝1， 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3. 又|PQ |≥|O 1Q |－|O 1P | ∴|PQ |min ＝3－1.。
新人教A版高中数学第2章参数方程一第二课时圆的参数方程课件选修4_4
2．若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半径为 r 的圆的参数方程 x＝rcos θ，
___y＝___rs_i_n_θ____(θ 为参数)．其中参数 θ 的几何意义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置
O 逆 时针旋转到 OM 的位置时，OM0 转过的角度． 3．若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方程为__xy_＝＝__yx_00＋_＋_R_R_sc_ion_s_θθ_，____0_≤__θ_＜
α，则
y－1＝5sin
α，所以就有xy－－12＝＝55scions
α， α，
x＝2＋5cos α， y＝1＋5sin α
(α∈R，α 为参数)．
怎样把普通方程化为参数方程 (1)普通方程化为参数方程的关键是选参数，并且利用三角等式 sin2α＋cos2α ＝1. (2)把普通方程转化为参数方程时，必须指明参数的取值范围，取值范围不同， 所表示的曲线也可能会有所不同．
与曲线xy＝＝22scions
θ， θ
(θ 为参数)的公共点有(
)
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析：将xy＝＝22scions
θ， θ
化为 x2＋y2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2 为半径的圆，
于
1＝ 2
22<2＝r，故直线与圆相交，有两个公共点．
答案：C
3．圆心在点(－1,2)，半径为 5 的圆的参数方程为( )
则xy′′＝＝ccooss
θ＋sin θ，① θsin θ，②
①2－2×②，得 x′2－2y′＝1，即 x′2＝2y′＋12， ∴所求点 P 的轨迹为抛物线 x2＝2y＋12的一部分|x|≤ 2，|y|≤12.
2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A版选修4-4
2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A 版选修4-41．椭圆的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数)．(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？【提示】 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？【提示】 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠32π.3．类比y 2＝2px (p >0)，你能得到x 2＝2py (p >0)的参数方程吗？【提示】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2.(p >0，t 为参数，t ∈R )椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎨⎧cos θ＝x 5，sin θ＝y 3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a 、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，化为⎩⎨⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4)．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值．【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M 的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3. ∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4,4)；且Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M 的轨迹上的点到直线C 3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．(xx·开封质检)已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值．【解】 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)． 又直线l ：x ＋2y ＝0.因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22|sin θ＋π4|5.所以，当sin(θ＋π4)＝1，即θ＝π4时，d 取得最大值2105.双曲线参数方程的应用 求证：双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b 2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2 φ－tan 2 φ＝1的应用．如图2－2－1，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图2－2－1【证明】 设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1， |PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)，当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t (x －p2)，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎨⎧y ＝1txy ＝－2t x －p2确定， 两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x (x －p2)，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)．当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．(xx·天津高考)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E (－p 2，±6p )，F (p 2，0)，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2(教材第34页习题2.2，第5题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x轴交于P 、Q 两点，O 为椭圆的中心．求证：|OP |·|OQ |为定值．(xx·徐州模拟)如图2－2－2，已知椭圆x24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点．图2－2－2求证：|OP |·|OQ |为定值． 【命题意图】 本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力．【证明】 设M (2cos φ，sin φ)(φ为参数)， B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝|2cos φ1－sin φ|.∴|OP |·|OQ |＝|2cos φ1＋sin φ|·|2cos φ1－sin φ|＝4.因此|OP |·|OQ |＝4(定值).1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ，(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax，代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．(xx·陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)4．(xx·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 【解析】 将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解．∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将(32，0)代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a＝32. 【答案】32(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ，(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2y ＝2＋sin α，(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3)D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1. 又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤ 3.∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B4．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点的坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22) C ．(－3，－4) D ．(125，125) 【解析】 由题意知，3cos θ＝4sin θ， ∴tan θ＝34，又0≤θ≤π，则sin θ＝35，cos θ＝45，∴x ＝3×cos θ＝3×45＝125， y ＝4sin θ＝4×35＝125， 因此点P 的坐标为(125，125)． 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝2 3. 得点M 的坐标为(1,23)．直线OM 的斜率k ＝231＝2 3. 【答案】 236．(xx·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝0三、解答题(每小题10分，共30分)7．(xx·平顶山质检)如图2－2－3所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图2－2－3【解】 抛物线标准方程为x 2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝2t 2.得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎨⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t 2(t 为参数)， 消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．8．(xx·龙岩模拟)已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，①x 24＋y 2＝1，② ①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85. 设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，(85，－35)，则|AB |＝－35－12＋852＝825. 故所求的弦长为825. 9．(xx·漯河调研)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos αy ＝sin α (α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. 教师备选10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．【解】 设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ，其中，a >b >0,0≤θ<2π. 由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－(b a )2可得b a ＝1－e 2＝12即a ＝2b . 设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2cos 2θ＋(b sin θ－32)2 ＝a 2－(a 2－b 2)sin 2θ－3b sin θ＋94＝4b 2－3b 2sin 2θ－3b sin θ＋94＝－3b 2(sin θ＋12b)2＋4b 2＋3， 如果12b >1即b <12，即当sin θ＝－1时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝(b ＋32)2，由此得b ＝7－32>12，与b <12矛盾． 因此必有12b≤1成立， 于是当sin θ＝－12b时，d 2有最大值， 由题设得(7)2＝4b 2＋3，由此可得b ＝1，a ＝2.所求椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.由sin θ＝－12，cos θ＝±32可得，椭圆上的点(－3，－12)，点(3，－12)到点P 的距离都是7..。
数学新人教A版选修第二讲《参数方程》全部教案
数学新人教A版选修4-4 第二讲《参数方程》全部教案曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动：练习：斜抛运动：2．参数方程的概念（见教科书第22页）说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C的参数方程是 (t 为参数)（1）判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,a)在曲线C上，求a的值。
A、一个定点B、一个椭圆C、一条抛物线D、一条直线二．圆的参数方程说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？[来源:Z三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。
注意，在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y 的取值范围保持一致。
例3．（教科书第25页例3）例4．（教科书第26页例4）2．你能回答教科书第26页的思考吗？四．课堂练习（教科书第26页习题）五．巩固与反思1．本节学习的数学知识2．本节学习的数学方法巩固与提高1．与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程（t为参数）是（D）A． B．C． D．2．下列哪个点在曲线上（C）[来源:]A．(2,7)B．C．D．(1,0)3．曲线的轨迹是（D）A．一条直线B．一条射线C．一个圆D．一条线段4．方程表示的曲线是（D）A．余弦曲线B．与x轴平行的线段C．直线D．与y轴平行的线段5．曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）A．B．C．1D．6．方程(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D）A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线7．直线与圆相切，那么直线的倾斜角为（A）A．或B．或C．或D．或8．曲线的一个参数方程为。
【教育专用】2018版高中数学第二讲参数方程学案新人教A版选修4_4
第二讲 参数方程一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念 2 圆的参数方程[学习目标]1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题. [知识链接]曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？提示 联系x ，y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度. [预习导引] 1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ）y ＝g （t ）①，并且对于 t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程.2.圆的参数方程(1)如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0开始出发，按逆时针方向在圆O 上作均速圆周运动，设M (x ，y )，点M 转过的角度是θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ·cos θ，y ＝r ·sin θ(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程. (2)圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的普通方程与参数方程要点一 参数方程的概念 例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at2(t 为参数，a ∈R )，点M (－3，4)在曲线C 上.(1)求常数a 的值；(2)判断点P (1，0)、Q (3，－1)是否在曲线C 上？ 解 (1)将M (－3，4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝1＋2t ，4＝at 2，消去参数t ，得a ＝1.(2)由(1)可得，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2， 把点P 的坐标(1，0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝1＋2t ，－1＝t 2，这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上. 规律方法 点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上.(1)对于曲线C 的普通方程f (x ，y )＝0，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则点M (x 1，y 1)的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 1，y 1)＝0，若点N (x 2，y 2)不在曲线上，则点N (x 2，y 2)的坐标不是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 2，y 2)≠0. (2)对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f （t ），y 1＝g （t ）对应的参数t 有解，否则参数t 不存在.跟踪演练1 已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π).判断点A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值.解 把点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得cos θ＝1，且sin θ＝0，由于0≤θ＜2π，解之得θ＝0，因此点A (2，0)在曲线C 上，对应参数θ＝0，同理，把B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ＜2π，∴θ＝56π，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝56π.要点二 圆的参数方程及其应用例2 设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ.得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.曲线C 表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆， 则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝710＝71010＜3， 所以直线与圆相交.所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d ＜71010，故满足题意的点有2个. 答案 B规律方法 1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断，特别要注意变量的取值范围.跟踪演练2 已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2＋(y －1)2＝9上的点，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数).则x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴11－62≤x 2＋y 2≤11＋6 2.∴x 2＋y 2的最大值为11＋62，最小值为11－6 2. 要点三 参数方程的实际应用例3 某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H ＝2 000 m ，水平飞行速度为v 1＝100 m/s ，如图所示.(1)求飞机投弹t s 后炸弹的水平位移和离地面的高度；(2)如果飞机追击一辆速度为v 2＝20 m/s 同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g ＝10 m/s 2)解 (1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，由于炸弹作平抛运动，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－12gt 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2，令y ＝2 000－5t 2＝0，得t ＝20(s )，所以飞机投弹t s 炸弹的水平位移为100t m ，离地面的高度为(2 000－5t 2)m ，其中，0≤t ≤20.(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车参考系.水平方向S 相对＝v 相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1－v 2)t ＝(100－20)×20＝1 600(m).规律方法 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解.由于水平抛出的炸弹做平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间. 跟踪演练3 如果本例条件不变，求：(1)炸弹投出机舱10 s 后这一时刻的水平位移和高度各是多少m?(2)如果飞机迎击一辆速度为v 2＝20 m/s 相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？解 (1)将t ＝10代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1 000，y ＝1 500， 所以炸弹投出机舱10 s 后这一时刻的水平位移和高度分别是1 000 m 和1 500 m. (2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系.水平方向s 相对＝v 相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1＋v 2)t ＝(100＋20)×20＝2 400(m).1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.1.下列方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝m (m 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝n (m ，n 为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2；(4)x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由参数方程的概念知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＝m是参数方程，故选A.答案 A2.当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A.(2，3)B.(1，5)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D.(2，0)解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1，3sin θ＝0.∴过点(2，0). 答案 D3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )A.两条直线B.一条射线C.两条射线D.双曲线解析 当t ＞0时⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ＝2，是一条射线；当t ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，y ＝2，也是一条射线，故选C. 答案 C4.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________. 解析 当y ＝1时，t 2＝1，∴t ＝±1，当t ＝1时，x ＝2；当t ＝－1时，x ＝0.∴x 的值为2或0. 答案 2或05.已知直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，(α为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y －2＝2sin α.∴(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径r ＝2，则圆心(1，2)到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|12＋（－1）2＝22. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14.一、基础达标1.已知O 为原点，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则|OA |＝( )A.1B.2C.3D.4解析 |OA |＝x 2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A. 答案 A2.已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，曲线C 不经过第二象限，则实数a 的取值范围是( )A.a ≥2B.a ＞3C.a ≥1D.a ＜0解析 ∵曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，∴化为普通方程为(x －a )2＋y2＝4，表示圆心为(a ，0)，半径等于2的圆.∵曲线C 不经过第二象限，则实数a 满足a ≥2，故选A. 答案 A3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ＜2π)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ＜2π)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜π)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π) 解析 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ，(θ∈[0，2π)).故圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π).答案 D4.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y ＝x －2B.y ＝x ＋2C.y ＝x －2(2≤x ≤3)D.y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析 将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2，3]. 答案 C5.若点(－3，－33)在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.解析 将点(－3，－33)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－12，sin θ＝－32，解得θ＝4π3＋2k π，k ∈Z . 答案4π3＋2k π，k ∈Z 6.已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________.解析 由圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α.可求得其在直角坐标系下的方程为x 2＋(y －1)2＝1，由直线l 的极坐标方程ρsin θ＝1可求得其在直角坐标系下的方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x 2＋（y －1）2＝1可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1，y ＝1.所以直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，1). 答案 (－1，1)，(1，1)7.已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.∵圆与直线有公共点，则d ＝|0－1＋a |2≤1，解得1－2≤a ≤1＋ 2. 二、能力提升8.若P (2，－1)为圆O ′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程是( ) A.x －y －3＝0 B.x ＋2y ＝0 C.x ＋y －1＝0D.2x －y －5＝0解析 ∵圆心O ′(1，0)，∴k PO ′＝－1.∴k l ＝1. ∴直线l 方程为x －y －3＝0. 答案 A9.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________.解析 将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∵圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cosθ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数).答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)10.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标为________.解析 ∵sin t ∈[－1，1]，∴y ∈[0，2].∵方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1表示的曲线是线段x ＝1(0≤y ≤2).令x ＝1，由x 2＋y 2＝4，得y 2＝3， ∵0≤y ≤2，∴y ＝ 3. 答案 (1，3)11.设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点P (x ＋y ，xy )的轨迹. 解 设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′).则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos θ＋sin θ， ①y ′＝cos θsin θ， ② ①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1.即x ′2＝2⎝⎛⎭⎪⎫y ′＋12.∴所求点P 的轨迹为抛物线x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12的一部分⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤2，|y |≤12.12.已知点M (x ，y )是圆x 2＋y 2＋2x ＝0上的动点，若4x ＋3y －a ≤0恒成立，求实数a 的取值范围.解 由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，又点M 在圆上，∴x ＝－1＋cos θ，且y ＝sin θ(θ为参数)，因此4x ＋3y ＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由 tan φ＝43确定)∴4x ＋3y 的最大值为1.若4x ＋3y －a ≤0恒成立，则a ≥(4x ＋3y )max ， 故实数a 的取值范围是[1，＋∞). 三、探究与创新13.已知圆系方程为x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a ＞0，且为已知常数，φ为参数) (1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值. (1)解 由已知圆的标准方程为：(x －a cos φ)2＋(y －a sin φ2)＝a 2(a ＞0).设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数)，消参数得圆心的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.(2)证明 由方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0x 2＋y 2＝a 2得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2，即x cos φ＋y sin φ－a2＝0，圆x 2＋y 2＝a2的圆心到公共弦的距离d ＝a2为定值.∴弦长l ＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝3a (定值). 3 参数方程和普通方程的互化[学习目标]1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题. [知识链接]普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否唯一？提示 不一定唯一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同. [预习导引]参数方程与普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致.要点一 把参数方程化为普通方程例1 在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θy ＝b ＋t sin θ，(a ，b 为正常数)中，(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？解 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，(1)①×sin θ－②×cos θ得x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线. (2)(i)当t 为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －at＝cos θ， ③y －b t ＝sin θ. ④③2＋④2得（x －a ）2t 2＋（y －b ）2t2＝1， 即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆. (ii)当t ＝0时，表示点(a ，b ).规律方法 1.消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形.另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin 2α＋cos 2α＝1，(e x ＋e －x )2－(e x －e －x )2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 21＋k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋k 22＝1等.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线.跟踪演练1 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________.解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝1要点二 把普通方程化成参数方程 例2 求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ. ∴4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数) (2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16， 则x 2＝16－t 24.∴x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22，y ＝t(t 为参数). 同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝41－t 2和⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t 2(t 为参数).规律方法 1.将圆的普通方程化为参数方程 (1)圆x 2＋y 2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)；(2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数).2.普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x ＝f (t )，再计算y ＝g (t ))，并且要保证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x ＝f (t )，y ＝g (t )，调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x ，y 的取值范围保持一致.跟踪演练2 设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________.解析 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t 2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t 2.(t 为参数).答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2.(t 为参数)要点三 参数方程的应用例3 已知x 、y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求： (1)3x ＋4y 的最大值和最小值； (2)(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值和最小值. 解 由圆的普通方程x 2＋(y －1)2＝1得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.(θ∈[0，2π)).(1)3x ＋4y ＝3cos θ＋4sin θ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)， 其中tan φ＝34，且φ的终边过点(4，3).∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9， ∴3x ＋4y 的最大值为9，最小值为－1.(2)(x －3)2＋(y ＋3)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋8sin θ－6cos θ＝26＋10sin(θ＋φ). 其中tan φ＝－34.且φ的终边过点(4，－3).∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36， 所以(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值为36，最小值为16.规律方法 1.运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数.2.解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题.3.注意运用三角恒等式求最值：a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ).其中tan φ＝b a(a ≠0)，且φ的终边过点(a ，b ).跟踪演练3 如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12，0)，当点P 在圆上运动时，利用参数方程求线段PA 的中点M 的轨迹.解 因为圆x2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，所以可设点P (4cos θ，4sin θ)，设点M (x ，y )，由线段中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋122，y ＝4sin θ2(θ为参数)，即点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ(θ为参数)，所以点M 的轨迹是以点(6，0)为圆心、2为半径的圆.1.参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数. 2.同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形.3.参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.1.与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程为(t 为参数)( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2t B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝sin 2t C.⎩⎨⎧x ＝1－ty ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1－tan 2t 解析 A 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1，1]，y ∈[0，1].B 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1，1]，y ∈[0，1].C 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，1].D 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈R . 答案 D2.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)化为普通方程为________.解析 由x ＝t ＋1t 得x 2＝t 2＋1t 2＋2，又y ＝t 2＋1t 2，∴x 2＝y ＋2.∵t 2＋1t2≥2，∴y ≥2.答案 x 2－y ＝2(y ≥2) 3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程是________.解析 y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ＝1＋x ，又x ＝sin 2θ∈[－1，1]，∴曲线的普通方程是y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1).答案 y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1)4.已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5，4)在该曲线上. (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.解 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求.一、基础达标1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A.x ＝1－y 2B.y ＝1－x 2C.y ＝±1－x 2D.x 2＋y 2＝1解析 由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 答案 A2.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( ) A.π4，(1，0) B.π4，(－1，0) C.3π4，(1，0) D.3π4，(－1，0) 解析 直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π4.圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1，0). 答案 C3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A.x 2＋y 2＝1B.x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C.x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D.x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解析 x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又∵x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1，0). 答案 D4.若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由于圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，故x ＋3y 的最大值为2.故选B. 答案 B5.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析 由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8. ∴|AB |＝（4－4）2＋（8＋8）2＝16. 答案 166.在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________.解析 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2外切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2|＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2. 答案 ±2或±5 27.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，(t 为参数，t ＞0).求曲线C 的普通方程.解 由x ＝t －1t两边平方得x 2＝t ＋1t－2，又y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，则t ＋1t ＝y 3(y ≥6). 代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3－2.∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6).故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6). 二、能力提升8.已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( ) A. 2 B.2 2 C.3 2D.4 2解析 圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ的圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|（3）2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2. 答案 D9.过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，则θ＝________.解析 直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，∴θ＝π6或5π6.答案π6或5π610.在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.解析 曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32). 答案 3211.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知直线l上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数).(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系.解 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交.12.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数).(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ′1，C ′2.写出C ′1，C ′2的参数方程.C ′1与C ′2公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由.解 (1)C 1是圆，C 2是直线.C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1， 圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 2与C 1只有一个公共点.(2)压缩后的参数方程分别为C ′1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C ′2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t (t 为参数)，化为普通方程为C ′1：x 2＋4y 2＝1，C ′2：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0， 其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C ′2与椭圆C ′1仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点的个数相同. 三、探究与创新13.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π).解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得，ρ2－8ρcosθ－10ρsin θ＋16＝0，∴C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0； (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.∴C 1与C 2的交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.二 圆锥曲线的参数方程[学习目标]1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题. [知识链接]1.椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？ 提示 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角. 2.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？ 提示 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠32π. 3.类比y 2＝2px (p ＞0)，你能得到x 2＝2py (p ＞0)的参数方程吗？提示 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2(p ＞0，t 为参数，t ∈R .) [预习导引] 1.椭圆的参数方程2.双曲线的参数方程3.抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数).(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.要点一 椭圆参数方程的应用 例1 已知A 、B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 重心G 的轨迹的普通方程.解 由题意知A (6，0)，B (0，3).由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3(θ为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ.故重心G 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数).规律方法 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.跟踪演练1 已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3. ∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆.曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4，4)；且Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. 又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13| ＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，⎝ ⎛⎭⎪⎫其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定，cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.要点二 双曲线参数方程的应用例2 求证：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.证明 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋（－a ）2＝|a 2b 2（sec 2φ－tan 2φ）|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b 2(定值).规律方法 在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2φ－tan 2φ＝1的应用.跟踪演练2 如图，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.证明 设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝（sec φ＋2）2＋tan 2φ ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1， |PF 2|＝（sec φ－2）2＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1，|PF 1|·|PF 2|＝（2sec 2φ＋1）2－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2. 要点三 抛物线参数方程的应用例3 设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.解 设P 点的坐标为(2pt 2，2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1txy ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0).当t ＝0时，M (0，0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.规律方法 1.抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.跟踪演练3 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________. 解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p 2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去).答案 21.圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中的参数θ是半径OM 的旋转角，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ中的参数φ是椭圆上点M 的离心角.2.椭圆（x －m ）2a 2＋（y －n ）2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数).3.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数cot φ、sec φ、csc φ的意义分别为cot φ＝1tan φ，sec φ＝1cos φ，csc φ＝1sin φ. 4.抛物线y 2＝2px 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，由于y x ＝1t ，因此t 的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.5.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e －t，y ＝2（e t －e －t）(t 为参数)的普通方程是( ) A.抛物线 B.一条直线 C.椭圆D.双曲线解析 由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝2e t＋2e －t，y ＝2（e t －e －t）平方相减可得4x 2－y 2＝16，即x 24－y 216＝1，故答案为D. 答案 D2.椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( )A.(0，0)，(0，－8)B.(0，0)，(－8，0)C.(0，0)，(0，8)D.(0，0)，(8，0)解析 利用平方关系化为普通方程：（x －4）225＋y29＝1.∴焦点(0，0)，(8，0). 答案 D3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)表示的普通方程是________.解析 因x 2＝1＋sin α，y 2＝2＋sin α，所以y 2－x 2＝1，又因x ＝sinα2＋cos α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4，所以答案为y 2－x 2＝1(|x |≤2且y ≥1). 答案 y 2－x 2＝1(|x |≤2且y ≥1)4.点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A.0B.1C. 2D.2解析 d 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2.∵t ∈R ，∴d 2min ＝1，∴d min ＝1. 答案 B5.已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值. 解 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π).又直线l ：x ＋2y ＝0. 因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π45.又θ∈[0，2π)，∴d max ＝225＝2105， 即点P 到直线e ：x ＋2y ＝0的距离的最大值为2105.一、基础达标1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )。